Skip to main content

Full text of "Leerboek der theoretische Rekenkunde"

See other formats


^cifci{cr<jfcifc}cc!rcïci[cacifcifcffcyci^ 




&.&&0&0^i^&^s^j&0!&wi^G'&^ 



LEERBOEK 

DER 

THEORETISCHE REKENKUNDE 

DOOR 

Dr. F. SCHUH 

EERSTE DEEL 



P.NOOROHOFF. 1919 GRONINGEN 



PTOEE 




J«»aCMA4ft^ 



the 

university of 

connecticut 

libraries 




^\^ 



BOOK 5 12.8 1.SCH79 v. 1 c. 1 

SCHUH # LEERBOEK DER THEORETISCHE 

REKENKUNDE 



3 T153 OOOlOflMT O 






NOORDHOFF's VERZAMELING 

VAN WISKUNDIGE WERKEN. 

DEEL 5. 



NOORDHOFFs VERZAMELING 



VAN 



WISKUNDIGE WERKEN. 



DEEL 5. 



Prof. Dr. F. SCHUH. 

D D D G LEERBOEK DER □ □ □ o 
THEORETISCHE REKENKUNDE. 

EERSTE DEEL. 



P. NOORDHOFF. — 1919. — GRONINGEN. 



LEERBOEK 



DER 



THEORETISCHE REKENKUNDE, 



DOOR 



Dr. FRED. SCHUH, 



HOOGLEERAAR TE -"DELFT. 



EERSTE DEEL 



NATUURLIJKE GETALLEN EN CARDINAALGETALLEN. 
HET REKENEN IN TALSTELSELS EN MET POSITIEVE EN NEGATIEVE 

oooooooo GETALLEN. oooooooo 

BINOMIUM VAN NEWTON EN DE STELLINGEN VAN FERMAT EN EULER. 
ONBEPAALDE VERGELIJKINGEN EN KENMERKEN VAN DEELBAARHEID, 
o o o o o ONTBINDING DER FACULTEITEN. o ^p o o o 



P. NOORDHOFF. — 1919. - GRONINGEN. 



VOORBERICHT. 



Nu hiermede het eerste deel van mijn „Leerboek der Theoretische 
Rekenkunde" verschijnt is het mij een behoefte mijn dank te betuigen 
aan den heer Dr. P. J. H. Baudet, die zoo bereidwillig geweest is de 
drukproeven mede te lezen. Van verschillende zijner opmerkingen heb 
ik gaarne gebruik gemaakt, waardoor het werk hier en daar niet onbe- 
langrijke verbeteringen heeft ondergaan. 

Ook aan den heer Noordhoff, die zich veel moeite voor behoorlijke 
uitvoering gegeven heeft, komt mijn dank toe. 

Den Haag, September 1918. FRED. SCHUH. 



Digitized by the Internet Archive 
in 2013 



http://archive.org/details/leerboekdertheorOOschu 



NHOUD. 



NO. Blz. 

Inleiding xxii— xxiv 

1—290 HOOFDSTUK I. NATUURLIJKE GETALLEN. 1—122 

1—37 § 1. Natuurlijke getallen in verband met het tellen. 1—14 

1 — 19 A. Definitie en volgorde der natuurlijke getallen ^). / — 8 

1 Definitie der natuurlijke getallen 1 

2—4 Definitie van grooter en kleiner 1 — 2 

5 — 6 Transitieve eigenschap van het begrip grooter . . 2—3 

7 — 10 Grondeigenschappen van getallen 3 — 4 

11 — 14 Tellen van een hoeveelheid 4—6 

15 — 19 Hoofdeigenschap van het tellen 6 — 8 

20—37 B. De begrippen aantal en eindigheid i) . . . . 8 — 14 

20—23 Aantal elementen van een hoeveelheid 8—9 

24 — 25 Aantal elementen van een deel eener hoeveelheid . 9 — 10 

26 — 31 Eindige en oneindige hoeveelheden 10—12 

32—37 Getallenhoeveelheden 12—14 

38—67 § 2. Optelling van natuurlijke getallen .... 15—27 

38—59 A. Definitie en eigenschappen der optelling ^) . . 15 — 23 

38—41 Som van twee hoeveelheden ........ 15 — 16 

42 — 47 Som van natuurlijke getallen 16 — 18 

48—49 Grondeigenschappen der optelling 18 — 19 

50 — 53 Algemeene associatieve eigenschap der optelling . 19 — 21 

54—56 Algemeene commutatieve eigenschap der optelling . 21 — 23 

57 — 59 Uitbreiding der grondeigenschap van n^. 49 ... 23 



^) De cursief gedrukte opschriften komen in den tekst niet voor. 



VIII 

NO. Blz. 

60—67 B. Andere bewijzen der voorgaande eigen- 
schappen ^) 23—27 

60—61 Bewijs der afgeleide eigenschappen door mid- 
del van hoeveelheden 23—24 

62—64 Bewijsvoering door volledige inductie . . . 24 — 25 

65—67 Definitie der optelling door volledige inductie. 25—27 

68—88 § 3. Aftrekking van natuurlijke getallen. . 28-35 

68—69 Definitie der aftrekking. 28 

70 — 72 Geval, waarin de aftrekking mogelijk is. . . 29 

73—74 Ander bewijs der eigenschap van n^. 72 . . 29 — 30 

75 — 84 Eigenschappen der aftrekking 30—34 

85 — 88 Het vergelijken van verschillen 34—35 

89—116 § 4, Vermenigvuldiging van natuurlijke ge- 
tallen 36-47 

89 — 106 A. Definitie en eigenschappen der vermenig- 
vuldiging 36—43 

89 — 90 Product van twee natuurlijke getallen. . . . 36—37 
91—92 Moduluseigenschap der vermenigvuldiging . . 37 
93 — 94 Commutatieve eigenschap der vermenigvuldi- 
ging 37 — 38 

95 Associatieve eigenschap der vermenigvuldiging. 38—39 

96 Gevolgen der voorgaande eigenschappen . . 39 

97 — 98 Distributieve eigenschap der vermenigvuldiging. 39—40 

99 — 102 Algemeene distributieve eigenschap .... 40—42 
103 — 106 Distributieve eigenschap der vermenigvuldiging 

ten opzichte van de aftrekking 43 

107 — 116 B. Andere definities van vermenigvuldiging, 44 — 47 
107 — 110 Definitie der vermenigvuldiging door volledige 

inductie 44 — 45 

*111 — 116 ^) Product van twee hoeveelheden 45 — 47 

117 — 131 § 5. Machtsverheffing van natuurlijke getallen. 48 —54 

117—127 A. Definitie en eigenschappen der machts- 
verheffing 48 — 53 

il7 — 118 Definitie der machtsverheffing 48 

1) Zie de noot van blz. VII. 

2) De met * gemerkte nummers kunnen worden overgeslagen (zie blz. XXIV). 



IX 

NO. Blz. 
119 — 121 Distributieve eigenschap der machtsverheffing. 48—50 
122—126 Verdere eigenschappen der machtsverheffing . 50-52 
*127 1) Gevallen, waarin de machtsverheffing associa- 
tief is 52-53 

128—131 B. Andere definities van machtsverheffing . 53—54 
128—129 Definitie der machtsverheffing door volledige 

inductie 53 

*130— 131 ^) Definitie der machtsverheffing met behulp van 

hoeveelheden 53—54 

132—166 § 6. Deeling van natuurlijke getallen . . . 55—67 

132—133 Definitie der deeling. . . 55 

134 — 137 Verdeelings- en verhoudingsdeeling .... 55—57 

138—140 Definitie van deelbaarheid 57—58 

141 — 142 Transitieve eigenschap der deelbaarheid. . . 58—59 

143 — 151 Eigenschappen der deeling . . . . . . . 59—62 

152 — 153 Het vergelijken van quotiënten 62 

154 — 155 Distributieve eigenschap der deeling .... 63 

156 — 160 Eenige eigenschappen betreffende deelbaarheid. 63—65 
161 — 162 Eigenschappen der deeling in verband met de 

machtsverheffing 65 — 66 

163 — 166 Merkwaardige producten en quotiënten . . _ . 66—67 

167—213 § 7. Verdere eigenschappen betreffende deel- 
baarheid 68—88 

167 — 193 A. Grootste gemeene deeler en kleinste gemeene 

veelvoud 68 — 79 

167 — 169 Opgaande en niet-opgaande deelingen . . . 68—69 

170—171 Gemeene deelers van twee getallen .... 69—70 

172—174 Bepaling der gemeene deelers 70—71 

175 — 176 Grootste gemeene deeler van twee getallen . 71—72 
177 — 180 Eigenschappen betreffende den grootsten gemee- 

nen deeler 72 — 73 

181 Hoofdeigenschap der deelbaarheid 73 

*182— 183 1) Ander bewijs der hoofdeigenschap. ..... 73—75 

184—187 Gevolgtrekkingen uit de hoofdeigenschap der 

deelbaarheid 75—76 



1) Zie noot 2 van blz. VIII. 



NO. Blz. 
188—191 Kleinste gemeene veelvoud van twee getallen. 76 — 78 
192—193 Kleinste gemeene veelvoud van meerdere ge- 
tallen 78-79 

194—213 B. Ontbinding in priemfactoren met toepas- 
singen 79—88 

194 — 197 Deelbare getallen en priemgetallen .... 79—81 
198—200 Eigenschappen betreffende priemgetallen . . 81 
201—202 Ontbinding van een getal in priemfactoren. . 81—82 
203-204 Fundamentaalstelling der rekenkunde. . . . 82—84 
205 — 208 Toepassing der eigenschap van n^. 203 op de 

bepaling van G.G.D. en K-G.V 84—86 

209—212 Verdere toepassingen der eigenschap van n^. 203. 86—87 
*213 Gevallen, waarin de machtsverheffing commu- 
tatief is 87—88 

*214— 290 § 8. Oneindige hoeveelheden en cardinaal- 

getailen 89—122 

*214—232 A. Volgorde der cardinaalgetallen .... 89—96 
*214 — 216 Gelijkwaardigheid van hoeveelheden .... 89 — 90 
*217 — 218 Cardinaalgetal van een hoeveelheid .... 90 
*219 — 221 Grooter en kleiner bij cardinaalgetallen ... 91 

*222— 226 Kleinste transfiniete cardinaalgetal 91—93 

*227— 229 Gelijkwaardigheidsstelling van Schröder en 

Bernstein. 93—95 

*230— 232 Vergelijkbaarheid van hoeveelheden .... 95—96 

*233—252 B. Verbinding van cardinaalgetallen . . . 96 — 104 

*233— 234 Optelling van cardinaalgetallen 96—97 

*235— 237 Vermenigvuldiging van cardinaalgetallen . . 97 — 98 
*238— 242 Machtsverheffing van cardinaalgetallen . . . 98—100 
*243 — 246 Som van aftelbaar oneindig veel aftelbare hoe- 
veelheden 100—101 

*247 — 248 Formules, waarin het cardinaalgetal „aftelbaar 

oneindig" voorkomt 101 — 102 

*249— 252 Onbepaaldheid der omgekeerde verbindingen. 102 — 104 

^253—277 C. Niet- aftelbare cardinaalgetallen .... 104—114 

"^253—255 Vergrooting van cardinaalgetallen 104 — 105 

*256— 259 Rijen van cardinaalgetallen 105—106 

*260-262 Ordinaalgetallen 106-108 

*263— 267 Betrekkingen tusschen de cardinaalgetallen a«. 108—110 



XI 

NO. Blz. 

*268 — 272 Hoeveelheid van alle deelen eener hoeveelheid. 110—112 
*273 — 277 Hoeveelheden, wier elementen getallenhoeveel- 

heden zijn 112—114 

*278—290 D. Paradoxen uit de leer der hoeveelheden . 115—122 

*278— 280 Hoeveelheden, die tot paradoxen voeren . . 115—116 
*281 — 286 Discussie der uit hoeveelheden voortvloeiende 

paradoxen 116—119 

*287 — 290 Discussie van de paradox van den Cretenzer. 119—122 

291—487 HOOFDSTUK IL HET GETAL NUL. . 123—235 

291—323 § 1. De rekenregels met het getal nul . . 123-135 

291—309 A. Opstelling der rekenregels 123—130 

291-294 Nulhoeveelheid 123—124 

295—297 Optellen met het getal nul 125—126 

298—300 Grooter en kleiner in verband met het getal nul. 126—127 

301-303 Aftrekking na invoering van het getal nul . . 127—128 

304—307 Vermenigvuldiging met het getal nul. . . . 128 — 129 

308-309 Deeling in verband met het getal nul . . ! 129—130 

310 — 319 B. Oneigenlijke sommen, producten en machten, 130—133 

310—313 Som van nul termen of product van nul factoren. 130—131 

314 Machtsverheffing met grondtal nul 131—132 

315—319 Machtsverheffing met exponent nul .... 132—133 

320—323 C. Toepassingen van het invoeren van nul . 134 — 135 
*320 — 321 Voordeel verbonden aan het invoeren van het 

getal nul „ ... 134 

322—323 Toepassing op het merkwaardige quotiënt van 

n«. 164 134-135 

324-352 § 2. Permutaties en combinaties .... 136—151 

324—343 A. Bepaling der aantallen permutaties en com- 
binaties 136 — 144 

324—327 Variaties en permutaties 136—137 

328-331 Combinaties . 137—138 

332—335 Betrekkingen tusschen aantallen combinaties . 138 — 140 

336-339 Herhalingscombinaties 140-142 

340—343 Permutaties van elementen, die niet alle ver- 
schillen 142—144 



XII 
NO. Blz. 



"^344 — 352 B. Toepassing op de berekening van producten. 144 — 151 
*344— 347 Aantal manieren, waarop een product van n 

factoren met haakjes geschreven kan worden. 144 — 146 
*348— 351 Aantal manieren, waarop een product van n 

factoren berekend kan worden 146 — 149 

*352 Bewijs der gevonden formules door volledige 

inductie 149—151 

353—390 § 3. Binomium van Newton en toepassingen 

daarvan 152—177 

353 — 364 A. Macht van een binomium . . . . . . 152 — 160 

353—357 Formule voor de /z^e macht van een binomium. 152—154 

358—360 Betrekkingen tusschen binomiaalcoëfficiënten . 154—156 

*361— 362 Ander bewijs der formule van n^. 358 .. . 156—158 

363-364 Driehoek van Pascal 158-160 

365—371 B. Macht van een polynomium 161 — 166 

365—368 Formule voor de macht van een polynomium. 161—163 
369 Tweede bewijs der formule voor de macht van 

een polynomium 163 — 164 

370—371 Dferde bewijs der formule voor de macht van 

een polynomium 164 — 166 

372 — 383 C. Nadere beschouwing der macht van een 

polynomium 166—173 

372—374 Aantal termen in de ontwikkeling van de macht 

van een polynomium 166 — 168 

375—377 Verdeelingsprobleem 168—170 

378—379 Geheele rationale functie* van x 170 — 171 

380 — 383 Ontwikkeling van de n^^ macht van een geheele 

rationale functie . • ,171 —173 

384—390 D. Stellingen van Fermat en Euler .... 173—177 

384—385 Stelling van Fermat 173—174 

386—390 Stelling van Euler 174-177 

391—408 § 4. Eigenschappen betreffende de deelers 

van een getal 178—190 

391—401 A. Aantal, som en product der deelers. . . 178—185 

391-392 Bewijs der eigenschap van n». 205 ... . 178—179 

393—397 Aantal deelers van een getal 179—182 



XIII 
NO. Blz. 

398—399 Som der deelers van een getal 182—183 

400—401 Product der deelers van een getal 183 — 185 

402—408 B. Toepassing van het getal nul op G.G.D. 

en K.O.V. 185—190 

402—403 Eigenschappen betreffende grootsten gemeenen 

deeler en kleinste gemeene veelvoud. . . . 185 — 186 
*404— 407 Verdere eigenschappen betreffende G.G.D. en 

K.G.V 186-189 

*408 Getallenparen met gegeven G.G.D. en K.G.V. 189—190 

409—429 § 5. Talstelsels 191—201 

409—419 A. Getallen in talstelsels 191—195 

409 — 413 Voorstelling van een getal door cijfers . . . 191 — 193 

414_415 Talstelsel en grondtal 193 

416 — 417 Ondubbelzinnigheid der ontwikkeling in den 

vorm (258) 193—195 

418—419 Voorplaatsing van cijfers nul 195 

420—429 B. Volgorde der getallen in een talstelsel . . 195—201 
420—421 Grooter en kleiner bij getallen in het ^-tallig 

stelsel 195-196 

422—424 Tellen in het ^-talHg stelsel 196—198 

425-427 Tweetallig en tientallig stelsel ...... 198-199 

428—429 Tweede bewijs van de stelling van Fermat. . 200—201 

430-487 § 6. Het rekenen in talstelsels 202—235 

430-439 A. Optelling ^ 202-207 

430 — 433 Omvorming van een som van machten van g 

tot een getal in het ^-tallig stelsel .... 202—204 

434—437 Optelling van twee getallen in het^-tallig stelsel. 204—206 
438—439 Som van meer dan twee getallen in het ^-tallig 

stelsel 206—207 

440-447 B. Aftrekking 207—211 

440—442 Aftrekking van getallen in het ^-tallig stelsel. 207—208 

443—445 Andere aftrekkingsmethode 209—210 

446-447 Vergelijking van beide aftrekkingsmethoden . 210—211 

448—454 C. Vermenigvuldiging 211—215 

448 — 449 Vermenigvuldiging van getallen in het ^-tallig 

stelsel 211—212 



XIV 

NO. Blz. 

450 — 454 Kortere vermenigvuldigingsalgorithmus . . . 212—215 

455—470 D. Partiëele quotiënten 215-223 

455—460 Eigenschappen betreffende partiëele quotiënten. 215—218 
*461— 464 Eigenschappen betreffende gelijkheid en onge- 
lijkheid van twee partiëele quotiënten . . . 218 — 220 
*465— 467 Verdere eigenschappen van partiëele quotiënten. 220—221 
*468— 470 Insluiting van een partieel quotiënt tusschen 

twee grenzen 221—223 

471-481 E. Deeling 223—230 

All — 472 Deeling van getallen in het^-tallig stelsel; het 

quotiënt heeft één cijfer 223—224 

*473-476 Regel omtrent het te bepalen quotiënt . . . 224—227 
*477 — 479 Geval, waarin geen onzekerheid omtrent het 

quotiënt bestaat 227—228 

480 — 481 Deeling met een quotiënt van meerdere cijfers. 228 — 230 

482-487 F. Wisseling van talstelsel 230—235 

482—483 Overgang op een ander talstelsel 230—231 

484—485 Vergelijking der methoden van n^. 482 en 483. 231—233 

486—487 Voorbeeld ter toelichting 233—235 

488-^641 HOOFDSTUK Hl. INVOERING DER NE- 
GATIEVE GEHEELE GETALLEN . . . 236—305 

488—527 § 1. Stelsels getallen, waarbij de aftrekking 

onbeperkt mogelijk is 236—252 

488 — 501 A. Aanvulling der grondeigenschappen met de 

mogelijkheid der aftrekking 236—242 

488—490 Permanentie der rekenregels 236—238 

491 — 493 Algemeene eigenschap betreffende de mogelijk- 
heid en ondubbelzinnigheid der aftrekking. . 238—239 
494—496 Gevolgen van de mogelijkheid der aftrekking. 239 — 240 
497 — 498 Terugbrenging der aftrekking tot de optelling. 240—241 
499—501 Vereenvoudiging van de eigenschappen der 

aftrekking 241—242 

502 — 511 B. Terugbrenging der aftrekking tot vermenig- 
vuldiging en optelling . 242 — 246 

502—503 Product met een factor nul 242—243 

504 — 507 Enkele eigenschappen betreffende vermenig- 
vuldiging en aftrekking 243—245 



XV 
N°. Blz. 

508—511 Verdere vereenvoudiging van de eigenschappen 

der aftrekking 245—246 

512 — 527 C. Toevoeging van een nieuwe grondeigen- 
schap der volgorde 246—252 

512—514 Positieve en negatieve getallen 246—247 

515—519 Product van positieve getallen 247—249 

520—522 Absolute waarde van een getal 249-250 

523—527 Absolute waarde van een som 250—252 

528—557 § 2. Het stelsel der geheele getallen . . . 253—264 

528 — 540 A. Afleiding der geheele getallen uit aantal- 

lenparen 253 — 258 

528—529 Verschillen beschouwd als getallenparen . . 253—254 

530—533 Gelijkheid van aantallenparen 254—255 

534—535 Definitie der geheele getallen 255-256 

536—540 Geheele getallen, die aantallen en die welke 

geen aantallen zijn 256—258 

541 — 557 B. Grondeigenschappen voor de geheele ge- 
tallen 258—264 

541 — 544 Definitie van grooter en kleiner bij geheele 

getallen 258—259 

545 — 547 Eigenschappen betreffende grooter en kleiner. 259 — 260 

548 — 551 Definitie der optelling van geheele getallen . 260—261 

552 — 553 Grondeigenschappen der optelling van geheele 

getallen 261—262 

554—555 Definitie der vermenigvuldiging van geheele 

getallen 262—263 

556 — 557 Grondeigenschappen der vermenigvuldiging van 

geheele getallen 263—264 

558—575 § 3. Aftrekking met geheele getallen . . . 265—272 

558 — 566 A. Bewijzen der overige grondeigenschappen 

voor geheele getallen 265—268 

558 — 559 Mogelijkheid der aftrekking met geheele getallen. 265 

560—561 Rechtstreeksch bewijs van de mogelijkheid der 

aftrekking 265—266 

562—564 Andere bewijzen van enkele eigenschappen 

betreffende geheele getallen 266—267 

565 — 566 Grondeigenschap van n*^. 515 voor geheele ge- 
tallen 267—268 



NO. 


567- 


-575 


567- 


-570 


571- 


-573 


*574- 


-575 


576- 


-617 


""576- 


-586 


*576- 


-580 


*581- 


-582 


•-^583- 


-584 


*585- 


-586 


587- 


-608 


587- 


-588 


589- 


-590 


*591- 


-594 


*595- 


-599 


*600- 


-602 


*603- 


-605 


606- 


-608 


"^609- 


-617 


*609- 


-610 


*611 




*612- 


-614 


*615- 


-617 



XVI 

Blz. 

B. Verdere beschouwingen omtrent de geheele 

getallen 268—272 

Gebruikelijke schrijfwijze der geheele getallen. 268—269 

Deelbaarheid van geheele getallen 269—271 

Uitbreiding van een stelsel getallen door het 

vormen van getallenparen 271 — 272 

§ 4. Andere invoeringswijzen der negatieve 

getallen 273—292 

A. Methode van de par ing van natuurlijke 

getallen 273—276 

Geheele getallen als paren natuurlijke ge- 
tallen 273-274 

Het getal nul als geheel getal 275 

Positieve en negatieve geheele getallen. . . 275 — 276 
Algemeenere geldigheid der voorgaande be- 
schouwingen 276 

B. Methode der voorplaatsing van het nega- 
tieve teeken 276—288 

Methode van de doubleering der natuurlijke 

getallen 276—277 

Aanvullingsdefinities voor de begrippen „groo- 

ter", „som" en „product" 277—278 

Uitbreiding der formules van n». 589. . . . 278—280 
Bewijzen van de grondeigenschappen derrecht- 
streeksche verbindingen bij de methode der 

doubleering 280—283 

Bewijzen van de grondeigenschappen der volg- 
orde bij de methode der doubleering. . . . 283—285 
Wijziging van de grondeigenschappen der volg- 
orde door de mogelijkheid van de aftrekking. 285 — 286 
Rij der geheele getallen 286—288 

C. Verband tusschen de verschillende methoden. 288 — 292 

Gelijkvormige stelsels getallen 288—289 

Gelijkvormigheid der verschillende stelsels ge- 
heele getallen . 289 

Deelstelsel van een stelsel getallen .... 289 — 291 
Uitbreidingen van het stelsel der aantallen, 

waarbij de aftrekking onbeperkt mogelijk is . 291 — 292 



XVII 

NO. Blz. 

618-641 § 5. Gebruik van de negatieve getallen . . 293—305 

618 — 627 A. Toepassing op hoeveelheden met twee soor- 
ten elementen 293—297 

618 — 620 Hoeveelheden met twee soorten elementen. . 293 — 294 

621 — 622 Definitie van grooter en som bij hoeveelheden 

met positieve en negatieve elementen. . . . 294—295 

623—625 Definitie van product bij hoeveelheden met 

positieve en negatieve elementen 295—296 

626—627 Voorbeeld ter toelichting 296-297 

628- 64 J B. Verschillende andere toepassingen. . . . 297—305 
628—630 Andere toepassingen der negatieve getallen . 297—298 
631—632 Toepassing der negatieve getallen op de merk- 
waardige quotiënten 298-300 

633—636 Toepassing op het binomium van Newton. . 300-302 

*637 Andere afleiding en uitbreiding der formule (406). 302 

638-639 Rekenkundige reeksen 302—304 

640—641 Som van opvolgende elementen eener reken- 
kundige reeks 304-305 

642—895 HOOFDSTUK IV. TOEPASSING DER 
NEGATIEVE GETALLEN OP DEELBAAR- 
HEIDSPROBLEMEN 306—452 

642-695 § 1. Onbepaalde vergelijkingen 306 339 

642—673 A. Eén vergelijking met twee onbekenden. . 306—323 

642—643 Lineaire onbepaalde vergelijking 306—307 

644—645 Grootste gemeene deeler van geheele getallen. 307 — 308 
646—649 Eigenschappen betreffende onbepaalde verge- 
lijkingen 308—310 

650—651 Algemeene en bijzondere oplossingen . . . 310—311 
652—657 Het bestaan van oplossingen cener onbepaalde 

vergelijking 311—314 

658—659 Algorithmus ter oplossing van een onbepaalde 

vergelijking 314 

660-663 Voorbeeld ter toelichting '. 314-317 

664—665 Aan te brengen vereenvoudigingen .... 317—318 

666 — 669 Andere vereenvoudigingen 318—321 

670—673 Positieve oplossingen eener onbepaalde verge- 
lijking 321—323 



XVIIl 

NO. Blz. 

674—685 B. Twee of drie vergelijkingen met drie resp. 

vier onbekenden 323—330 

674—677 Twee onbepaalde vergelijkingen met drie onbe- 
kenden 323—325 

678—680 Bijzondere gevallen bij twee onbepaalde ver- 
gelijkingen met drie onbekenden . . . . \ 325—327 

681—683 Voorbeelden ter toelichting 327-329 

684—685 Drie onbepaalde vergelijkingen met vier onbe- 
kenden 329—330 

"^686—695 C. Eén vergelijking met drie of meer onbe- 
kenden 330—339 

*686— 689 Onbepaalde vergelijking met drie of meer onbe- 

onbekenden 330—332 

*690— 691 Algorithmus ter oplossing van een onbepaalde 

vergelijking met drie of meer onbekenden . . 332—333 

*692-693 Voorbeeld ter toelichting 333-337 

*694— 695 Positieve oplossingen eener onbepaalde verge- 
lijking met drie of meer onbekenden. . . . 337 — 339 

696-830 § 2. Kenmerken van deelbaarheid .... 340—413 

696—703 A. Voorbereidende beschouwingen 340 — 343 

696 — 697 Deelbaarheid door een deeler van een term der 

schaal 340—341 

698-699 Toepassing op het tientallig stelsel .... 341-342 
700—701 Deelbaarheid door een getal niet deelbaar op 

een term der schaal 342 

702—703 Samengestelde kenmerken van deelbaarheid . 342—343 

704 — 719 B. Kenmerk voor een deeler van g^ — 1 . . 343 — 351 
704—707 Deelbaarheid door een deeler van g — 1 . . 343—345 
708—709 Proeven op vermenigvuldigingen en deelingen. 345 — 346 
710—714 De (g — l)-proef, in het bijzonder de negen- 
proef 346—347 

715—717 Deelbaarheid door een deeler van ^^ — 1 . . 347—349 

718—719 Toepassing op het tientallig stelsel .... 349—351 

720—729 C Kenmerk voor een deeler van g^ -\- 1 . • 351 — 356 

720—722 Deelbaarheid door een deeler van ^^ -f- 1 . . 351—352 

723-726 Vergelijking der kenmerken van n". 715 en 720. 352—355 

727-729 Elf proef 355-356 



XIX 

NO. Blz. 

730 — 752 D. Kenmerk met de periode van resten . . 856—371 

730—733 Periode van resten 356—358 

734—735 Nadere beschouwing der re'stenperiode . . . 358—359 
736 — 738 Kenmerk van deelbaarheid met de periode van 

resten.' 359—360 

739—742 Vereenvoudiging van het kenmerk met de 

periode van resten 360—362 

743—746 Tafel van restenperioden 362—366 

747-749 Tafel der aantallen resten 366-369 

*750 — 751 Vergelijking van het kenmerk van n^. 737 met 

vorige kenmerken 369 — 370 

*752 Uitbreiding van het kenmerk met de periode 

van resten 370 — 371 

753—787 E. Kenmerken door optelling of aftrekking . 371—389 
753—755 Kenmerk van deelbaarheid door middel van 

optelling 371-373 

*756— 759 Het kenmerk van n^. 753 met herleidingsfactor 1. 373 — 375 
760—763 Kenmerk van deelbaarheid door middel van 

aftrekking • • • 375-376 

764—768 Toepasbaarheid der kenmerken van n^. 753 en 
760 voor lederen met g onderling ondeelbaren 

deeler 376-378 

*769— 773 Nadere beschouwing der kenmerken van n^ 753 

en 760 378-380 

774 — 775 Bepaling van den herleidingsfactor uit de tafel 

van vermenigvuldiging 380—381 

776—778 Toepassing op het tientallig stelsel .... 381 — 383 

779-780 Voorbeelden ter toelichting 383—384 

*781— 784 Quotiënt van een opgaande deeling bij de ken- 
merken door optelling of aftrekking .... 384—387 
*785-787 Voorbeelden ter toelichting 387—389 

788—813 F. Uitgebreide kenmerken door optelling en 

aftrekking 389-404 

788—790 Uitgebreide deelbaarheidskenmerken door optel- 
ling of aftrekking 389-390 

*791— 792 De kenmerken van n^. 788 met herleidings- 
factor 1 390-391 

793—794 Voorbeelden der kenmerken van n^. 788 . . 391—393 

795 — 796 Toepasbaarheid der kenmerken van n^. 788 voor 

iederen exponent 393 

797 -798 Combineering der beide kenmerken van n°. 788. 393—394 



XX 

NO. Blz. 
799—800 Tafel voor de toepassing der uitgebreide ken- 
merken door optelling en aftrekki:ig .... 394—397 

801—802 Berekening der'tafel van n». 800 397—398 

803—808 Eenvoudiger berekening der herleidingsfactoren. 398—400 

809—810 Verband tusschen de tafels van n^. 743 en 800. 401—402 

811—813 Voorbeelden ter toelichting 402—404 

814—830 Q. Rest- en quotiëntbepaling bij de uitge- 
breide kenmerken 404 — 413 

814 — 815 Rest der deeling bij de kenmerken door optel- 
ling en aftrekking 404—405 

816-817 Voorbeelden ter toelichting 405—406 

*818— 820 Quotiënt van een opgaande deeling bij de uit- 
gebreide kenmerken door optelling en aftrekking. 406- 408 

*821— 823 Voorbeelden ter toelichting 408—409 

824—828 Toepassing op de ontbinding van een getal in 

priemfactoren 409—412 

*829— 830 Uitbreiding der eigenschap van n^. 824. . . 413 

831—895 § 3. Deelbaarheid der faculteiten ... 414-452 

831—845 A. Formule van Legendre en eenige gevolgen 

daarvan 414—423 

831—832 Ontbinding van n\ in priemfactoren .... 414 — 415 

833—835 Omvorming der formule van Legendre . . . 415—417 
836 — 838 Deelbaarheid van {a^ -{- a2 -\- . . . . ^ ak)\ door 

a^\ a^\ ak\ 417—418 

839—842 Stelling van Catalan omtrent deelbaarheid van 

{a + b — 1)! door a! ^! 418—420 

*843— 844 Deelbaarheid van (^ö)! door (fl!)^^! . . . . 420-421 

*845 Stelling van Catalan en Bourguet 421-423 



846—859 B. Verband met de schrijfwijze in talstelsels. 423—430 

846—847 Derde vorm van de formule van Legendre. . 423 — 424 

848—852 Exponent, waarmede 2 in n\ voorkomt . . . 424—427 

=^553—856 Stelling van André ' 427—429 

^^=857—859 Omvorming der stelling van André .... 429—430 

*860—871 C. Nadere beschouwing van het verband met 

talstelsels. 431—439 

"^860-863 Som der cijfers van een som van eenige getallen. 431 — 433 

*864— 865 Som der cijfers van een product 433—434 



XXI 

NO. Blz. 

*866— 868 Bepaling van de hoogste macht van k\, waar- 
door ^i^ deelbaar is 435—436 

*869-871 Voorbeeld ter toelichting 436-439 

^872 — 895 D. Aggregaten van machten van 8 in verband 

met de formule van Legendre 439—452 

*872 Triadische getallen 439 

*873— 876 Splitsing van een getal in een aggregaat van 

verschillende machten van 3 439 — 441 

*877— 878 Nadere beschouwing der aggregaten van ver- 
schillende machten van 3 441—443 

*879— 881 • Ondubbelzinnigheid der splitsing in een aggre- 
gaat van verschillende machten van 3 . . . 443—444 
*882 — 883 Andere om vormingswijze tot een aggregaat van 

verschillende machten van 3. . . .~. . . 444—445 

*884— 886 Verband met de formule van Legendre . . . 445-448 

*887— 890 Uitbreiding der voorgaande beschouwingen . 448—450 

*891— 895 Talstelsel met wisselend grondtal • 450—452 

Notaties 453 

Lijst der tafels 454 

Register 455-464 

Corrigenda et Addenda 465 



INLEIDING. 



In dit leerboek wordt de rekenkunde behandeld geheel van 
het begin af, zonder dat daarbij eenige feitelijke wiskundige kennis 
van den lezer aangenomen wordt. Een beroep op bekend onder- 
stelde dingen is dan ook nergens geschied (van eenige geheel 
bijkomstige opmerkingen afgezien), ook niet stilzwijgend, zoodat 
van al het behandelde de motiveering in het boek zelf te vinden 
is. Dit wil natuurlijk niet zeggen, dat het daarom geschikt is om 
de rekenkunde er uit te leeren als men nog in het geheel niets 
van wiskunde weet, daar (zooals bij vluchtig inzien reeds kan 
blijken) een zekere rijpheid van oordeel en vertrouwdheid met 
de eerste beginselen der bewijsvoering ondersteld wordt. Het 
doel is dan ook geweest den lezer, die de eenvoudigste reken- 
kundige eigenschappen reeds kent en de gewone routine in het 
rekenen bezit, te doen zien op welke wetenschappelijke grond- 
slagen deze hem bekende zaken berusten. Hierbij zij vooral 
gewezen op de vorming van het begrip „natuurlijk getal" met 
de daaraan verbonden eigenschappen, op de behandeling van de 
algemeen bekende schrijfwijze dier natuurlijke getallen in een 
talstelsel met de verklaring der niet minder bekende reken- 
operaties (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en deelen), zooals 
deze in een talstelsel worden uitgevoerd, alsook op de invoe- 
ringswijze der negatieve geheele getallen en de daarop steunende 
bewijzen voor de geldigheid van de bekende rekenwetten der 
optelling en vermenigvuldiging (commutatieve eigenschap enz.) 
ook na die invoering. Ongetwijfeld zal bestudeering dezer onder- 
werpen, waarvoor in dit leerboek een groote plaats is ingeruimd, 
een dieper inzicht in deze belangrijke zaken verschaffen en tot 



XXIII 

vorming van een juist en helder begrip dienaangaande mede- 
werken, iets dat aan het wiskundig inzicht in het algemeen 
ongetwijfeld ten goede zal komen. 

Zonder slaafs de exameneischen te volgen is dit leerboek in 
het bijzonder bestemd voor studeerenden voor de akte Ki. Het 
stelt hun in staat zich omtrent de behandelde onderwerpen vol- 
ledig te oriënteeren, zoodat zij, als het leerboek in zijn geheel 
verschenen is, daarin een volledig overzicht over de rekenkunde, 
voor zoover hun studie betreft, zullen bezitten met aanwijzing 
van allerlei verwante onderwerpen, die min of meer daarbuiten 
vallen. Bovendien zal de lezer verschillende onderwerpen aan- 
treffen, die gewoonlijk tot de hoogere stelkunde gerekend worden, 
maar die, ten gevolge van het nauwe verband tusschen reken- 
en stelkunde moesten worden opgenomen. Zoo vindt men in 
dit deel de leer der permutaties en combinaties (ook herhalings- 
combinaties en permutaties bij gelijke elementen) behandeld, 
alsmede het binomium van Newton en de formule voor de n^^ 
macht van een veelterm. 

Er zij hier nog op gewezen welke onderdeelen voor de studie 
voor Ki voornamelijk van belang zijn. Vooreerst noemen we de 
eigenschappen der optelling, vermenigvuldiging en machtsver- 
heffing, inzonderheid de commutatieve, associatieve en distribu- 
tieve eigenschappen (n*^. 38—59, 89—106, 117 — 126); vervolgens 
de bewijsmethode door volledige inductie (n^ 62—64), de merk- 
waardige producten en quotiënten (n^ 163—166, 322, 631—632), 
de voor de rekenkunde zoo bij uitstek belangrijke theorie der 
deelbaarheid en ontbinding in priemfactoren (n^. 167 — 181, 
184—212, 391-392, 402—403), de beteekenis van het getal nul 
(n^ 308 — 316), de theorie der permutaties en combinaties (n^. 
324 — 343), het binomium van Newton en de formule voor de 
n'^^ macht van een polynomium {n\ 353—358, 363—369, 633—634), 
de stellingen van Fermat en Eu Ier (n^ 384 — 390), die bij allerlei 
rekenkundige quaesties, b.v. kenmerken van deelbaarheid, een 
rol spelen (zie n^ 716, 733 en 735), de formules voor het 
aantal, de som en het product der deelers van een getal (n^. 
393-400), de theorie der onbepaalde vergelijkingen (x\\ 642—669), 
de kenmerken van deelbaarheid {n\ 696—722, 727—749, 



XXIV 

753—755, 760—767, 774—780) en de formule van Legendre ten 
ontbinding van n! {n\ 831—838). 

Gewenscht is meer dan de opgenoemde nummers te bestudeeren, 
waarbij men echter veilig die, welke in den inhoud met * gemerkt 
zijn, kan overslaan. Natuurlijk is hiermede geenszins gezegd, 
dat het in de gemerkte nummers voorkomende onbelangrijk is; 
integendeel zal de lezer, die de rekenkunde om haar zelf bestu- 
deert, -daarin, naar wij hopen, aanleiding tot verdere studie vinden. 



HOOFDSTUK I. 
NATUURLIJKE GETALLEN, 



§ 1. Natuurlijke getallen in verband met het tellen. 

1. Definitie der natuurlijke getallen. Onder de natuurlijke 
getallen verstaat men de rij teekens 

1, 2, 3, 4, 5, , (1) 

waarbij op ieder getal ^ een ander getal volgt. Ook gaat aan 
ieder getal een ander getal vooraf, behalve aan het getal 1, waar- 
mede de rij begonnen wordt. 

ledere twee teekens der rij (1) worden verschillend gedacht. 

Daar op ieder getal ^) der rij weer een ander volgt, is deze 
niet in haar geheel neer te schrijven; d. w. z. men kan niet een 
getal aanwijzen, waarmede de rij eindigt. Dit bedoelt men als 
men zegt, dat de rij oneindig voortloopt, 

2. Definitie van grooter en kleiner. Is n een natuurlijk 
getal, dan worden de getallen, die bij het neerschrijven der rij 
(1) na n worden neergeschreven, grooter dan n genoemd, ter- 
wijl men n kleiner dan deze getallen noemt. Is p een dier 
getallen, dan schrijft men dit op een der twee volgende wijzen : 

p > n (lees: p grooter dan n), 
n < p (lees: n kleiner dan p) ^). 



^) Zoolang nog geen andere getallen zijn ingevoerd is met „getal" 
steeds een natuurlijk getal bedoeld. 

^) Men zou met de invoering van het teeken > kunnen volstaan, 
daar n < p ook 2i\s p > n te schrijven is. Het levert echter gemak op 
zoowel de eene als de andere schrijfwijze te kunnen kiezen. 

FRED. SCHUH, Leerboek der Theoretische Rekenkunde. 1 



Zoowel het een als het ander drukt uit, dat men bij het neer- 
schrijven der rij (1) het getal n eerder bereikt dan het getal p. 

3. Uit de in n^. 2 gegeven definitie volgt: 

Zijn m en n twee verschillende getallen, dan geldt steeds één 
en slechts één der betrekkingen: 

m < n, m> n. 
Laat men ook de mogelijkheid toe, dat m en n hetzelfde getal 
voorstellen, in welk geval men m en n ge/ijk noemt (in formule 
m = n), dan kan men de eigenschap ook zoo uitspreken: 

Bij twee getallen m en n geldt steeds één en slechts één der 
drie betrekkingen: 

m = n, m^ n, m <i n. 
In de beide laatste gevallen noemt men m en n ongelijk en 
schrijft dit: 

m^n, 

4. Uit de definitie van n^. 2 volgt verder, dat voor ieder 
getal n geldt: 

n^ \, 
waarbij ^ een afkorting voor „> of =" is. Dit kan ook zoo 
worden uitgedrukt, dat 1 het kleinste getal is. 

Er is echter geen grootste getal, daar op ieder getal een ander 
volgt, dat krachtens de definitie van n^ 2 grooter is. 

5. Transitieve eigenschap van het begrip grooter. De be- 
trekking (of het praedicaat) „grooter" heeft de volgende eigenschap: 

Qeldt voor de getallen m, n en p: 

p > n en n > m, (2) 

dan is ook: 

p> m. (3) 

Immers de eerste ongelijkheid (2) drukt uit, dat, als bij het 
neerschrijven der rij (1) het getal p wordt neergeschreven, n 
reeds neergeschreven is, terwijl verder uit de tweede ongelijk- 
heid (2) volgt, dat dan ook m reeds neergeschreven is. Hieruit 
besluit men tot (3). 

6. De eigenschap van n^. 5 wordt de transitieve eigenschap 
(eigenschap van het overdraagbaar zijn) van het praedicaat 



„grooter" genoemd. De beide praedicaten > kunnen nl. van 
de getallenparen /?, n en n, m op het getallenpaar /?, m worden 
overgedragen; hierbij worden de getallenparen p, n en /z, /tz door 
weglating van het gemeenschappelijke getal n tot /?, m samen- 
getrokken. 

Men kan de eigenschap van n^ 5 natuurlijk even goed met 
het teeken < formuleeren, zoodat ook het praedicaat < de 
transitieve eigenschap bezit ^). 

Opgemerkt zij nog, dat de beide ongelijkheden (2) ook korter 
aldus geschreven worden: 

p > n> m, (4) 

De transitieve eigenschap drukt dan uit, dat men uit (4) het 
middelste getal n en een der teekens > kan weglaten. 

7. Grondeigenschappen van getallen. De eigenschap van 
n^ 3 en de transitieve eigenschap van het praedicaat > behooren 
tot een groep van eigenschappen, die de grondeigenschappen 
der getallen genoemd worden. Hieronder verstaat men die eigen- 
schappen der getallen, die slechts kunnen worden bewezen door 
van de definities der getallen gebruik te maken. 

Door na elkaar dezelfde of verschillende grondeigenschappen 
toe te passen kan men daaruit andere eigenschappen afleiden, 
die afgeleide eigenschappen heeten. 

8. Een voorbeeld van een afgeleide eigenschap is: 
Qeldt voor de getallen m, n, p, g: 

q > p, p > n en n > m 
(of kortweg geschreven q > p > n > m), dan is: 

q > m. 

Uit q > p > n volgt nl. q > n, waarna men uit q > n > m 
verder tot q > m besluit. Bij dit bewijs is tweemaal de grond- 
eigenschap van n^. 5 toegepast. 

Het is duidelijk, dat de transitieve eigenschap ook tot meer dan 
vier getallen is uit te breiden. 



^) Ook het praedicaat = bezit de transitieve eigenschap. Dit is 
echter iets geheel van zelf sprekends, daar bij natuurlijke getallen het 
gelijk zijn beteekent geheel hetzelfde zijn. 



9. Zooals men aan het bewijs van n^ 8 kan waarnemen, is 
het kenmerkende van een afgeleide eigenschap, dat deze bewezen 
kan worden zonder op de definitie der getallen in te gaan, uit- 
sluitend door grondeigenschappen aan elkaar te rijgen. Neemt 
men de eigenschap van n^. 5 aan, dan heeft men zich bij het 
bewijs van n*^. 8 niet om de beteekenis van de letters en van 
het teeken > te bekommeren. 

10. De onderscheiding tusschen grondeigenschappen en afge- 
leide eigenschappen levert het voordeel, dat men bij latere uit- 
breidingen van het getalbegrip (achtereenvolgens tot aantallen, 
geheele getallen, meetbare getallen en reëele getallen), waarbij 
de letters iets anders dan natuurlijke getallen voorstellen en 
ook het teeken > een andere beteekenis heeft (evenals de later 
in te voeren teekens + en X), slechts de grondeigenschappen 
heeft aan te toonen om verzekerd te zijn, dat de gewone reken- 
regels geldig gebleven zijn. De afgeleide eigenschappen gelden 
dan nl. ook, daar de bewijzen dier afgeleide eigenschappen uit 
de grondeigenschappen onveranderd gebleven zijn. 

Genoemde onderscheiding levert daardoor een groot voordeel, 
daar ze ons ontslaat de afgeleide eigenschappen (die talrijker en 
•gecompliceerder zijn dan de grondeigenschappen) telkens opnieuw 
aan te toonen. 

11. Tellen van een hoeveelheid. Wanneer men de dingen 
of elementen van een hoeveelheid ^) (of verzameling) een voor 
een aanwijst en daarbij dit aanwijzen vergezeld doet gaan van 
het neerschrijven der getallen van de rij (1) (of het uitspreken 
der woorden „een", „twee", „drie" enz.) zegt men, dat men de 
elementen der hoeveelheid telt Ondersteld wordt daarbij, dat bij 
het aanwijzen van een element der hoeveelheid één en slechts één 
getal wordt neergeschreven (of uitgesproken) en dat een reeds 
aangewezen element niet nog eens wordt aangewezen; hiervoor 



^) Wanneer we van een hoeveelheid spreken wordt, zoo het tegen- 
deel niet gezegd is, aangenomen, dat die hoeveelheid minstens één 
element bevat. 



kan b.v. gezorgd worden door de aangewezen elementen te 
merken ^) of uit de hoeveelheid te verwijderen. 

12. Het getal, waarvan het neerschrijven (of uitspreken) verge- 
zeld gaat van het aanwijzen van een bepaald element eener 
hoeveelheid H, wordt het rangnummer van dit element genoemd. 
Is dit rangnummer r, dan noemen we het bijbehoorende element 
ook het r^^ element van H; gewoonlijk wijzen we dit aan als Er. 

Bevat de hoeveelheid meer dan één element, dan hangt het 
natuurlijk geheel van onze willekeur af welk harer elementen E^ 
heet, dus welk het element met rangnummer 1 is, daar bij het 
neerschrijven van het getal 1 het daarbij aan te wijzen element 
van H naar willekeur uit de elementen van H gekozen kan 
worden. Iets dergelijks geldt voor E^, enz. Het rangnummer 
van een bepaald element van H is dus niet door de hoeveelheid 
bepaald, maar hangt van de wijze van tellen af. 

13. Bij het tellen der elementen van een hoeveelheid H kan 
het voorkomen, dat op een zeker oogenbUk alle elementen van 
H zijn aangewezen, dus voorzien van een rangnummer. De 
telling is dan afgeloopen. 

Is n het rangnummer van het element, met het aanwijzen waar- 
van de telling besloten wordt, dan wordt n het resultaat der 
telling genoemd. 

Het is echter niet zeker, dat een telling tot een resul- 
taat voert, daar het kan voorkomen, dat de teUing nooit afloopt, 
dus dat er nog steeds elementen zonder rangnummer overblijven 
hoe lang men ook met tellen doorgaat (nader hierover in n^ 
26-31 en § 8 van dit hoofdstuk). 

14. Is n het resultaat der telling van een hoeveelheid //, d,an 
zijn de daarbij toegekende rangnummers de getallen, die ^ n 
zijn. Is N de hoeveelheid dier getallen, dan behoort dus bij ieder 
element van H één en slechts één getal van N (het rangnurn- 



^) De te tellen dingen behoeven niet materieel te zijn, maar kun- 
nen ook begrippen zijn. Het woord „merken" is dan natuurlijk niet 
letterlijk op te vatten. 



mer van dat element) en omgekeerd bij ieder getal van N één 
en slechts één element van H. 

Men drukt dit uit door te zeggen, dat er een een-eenduidige 
correspondentie of verwantschap (wijze van bijeenbehooren) bestaat 
tusschen de elementen van H en de getallen van N. Ook zegt 
men dan, dat de hoeveelheid H afgebeeld is op de hoeveelheid 
N der getallen, die ^ n zijn. Het tellen der hoeveelheid (of 
liever van de elementen daarvan) is het proces, waardoor men 
tracht zulk een afbeelding voor een of ander getal n tot stand 
te brengen. 

15. Hoofdeigenschap van het tellen. Onder een deel D 
van een hoeveelheid H verstaat men een hoeveelheid, waarvan 
ieder element ook element van H is (onverschillig of het omge- 
keerde al dan niet geldt). In het bijzonder is dus ook H zelf 
een deel van H. 

Is het deel D van H niet met H identiek, d. w. z. bevat H 
minstens één element, dat niet tot D behoort (of, anders gezegd, 
is H geen deel van D), dan wordt D een echt deel van H 
genoemd. 

16. Onderstel, dat de hoeveelheid H afgebeeld is op de hoe- 
veelheid N der getallen, die ^ n zijn. Zij het deel D van H 
eveneens op N afgebeeld. De eerste afbeelding noemen we A, 
de tweede A\ 

Z\] E^ het element van H, dat bij de afbeelding A met het 
getal 1 correspondeert, en £/ het element van D, dat bij de 
afbeelding A met 1 correspondeert. Zijn de elementen E^ en 
£/ verschillend, dan brengen we in de afbeelding A die wijzi- 
ging, dat we de elementen E^ en ^/ verwisselen. D. w. z. we 
laten E-^' met 1 correspondeeren en E^ met het getal, dat bij de 
afbeelding A aanvankelijk met E-^' correspondeerde. De afbeel- 
ding, waarin A op deze wijze overgaat, noemen we A^-, zijn E^ 
en E^' hetzelfde, in welk geval de genoemde wijziging achter- 
wege blijft, dan verstaan we onder A-^ de afbeelding A zelf. In 
elk geval is A-^ dus een afbeelding van H op N, waarbij met 
het getal 1 hetzelfde element correspondeert als bij de afbeelding^'. 

Zij verder Ec^ het element van H, dat bij de afbeelding A^, en 



Ec^ het element van D, dat bij de afbeelding A met het getal 2 
correspondeert. Zijn Ec^ en E^ verschillend, dan brengen we in 
de afbeelding A^ de wijziging bestaande in het verwisselen van 
E^ en E^ . Hierdoor ontstaat een afbeelding A^ (die, als £3 ^^ 
E^ hetzelfde zijn, dezelfde is als A^ van H op A^, waarbij met 
de getallen 1 en 2 dezelfde elementen correspondeeren als bij 
de afbeelding A . 

Zoo doorgaande kan men een afbeelding A^ van H op A/" vor- 
men, waarbij met de getallen 1, 2 en 3 dezelfde elementen 
correspondeeren als bij de afbeelding A\ enz., waardoor men 
ten slotte een afbeelding An van H op M verkrijgt, waarbij ieder 
getal van N met hetzelfde element correspondeert als bij de 
afbeelding A\ Hierin hgt opgesloten, dat ieder element van H 
tot D behoort, dus dat het deel D van H met H identiek is. 

17. In n^. 16 is gebleken, dat, als een hoeveelheid H en een 
deel D van H beide op de hoeveelheid N der getallen, die ^ n 
zijn, zijn afgebeeld, D met H identiek is. Hieruit volgt: 

Is een hoeveelheid H op de hoeveelheid N der getallen, die 
^ n zijn, afgebeeld, dan is een echt deel van H niet op N af 
te beelden. 

18. Uit deze eigenschap leidt men verder af: 

Het is niet mogelijk, dat een hoeveelheid H zoowel op de 
hoeveelheid M der getallen ^ m als op de hoeveelheid N der 
getallen ^ n is af te beelden, m ^ n ondersteld. 

Immers heeft men m < n en is H op N afgebeeld, dan ont- 
staat uit die afbeelding, door de 'getallen > m en de correspon- 
deerende elementen van H weg te laten, een afbeelding van een 
echt deel van H op M. Dit is volgens de eigenschap van n^ U 
niet te vereenigen met een afbeelding van H op M. 

19. Uit het in n*^. 17 en 18 gevondene blijkt: 

Is n het resultaat eener telling van een hoeveelheid H, dan 
voert ook iedere andere telling van H tot dit resultaat. 

De eigenschap van n^ 18 drukt nl. uit, dat het uitgesloten is, 
dat bij een tweede telling de hoeveelheid reeds met het m^^ 
element is uitgeput, waarin m < n is (d. w. z. dat alle elementen 



8 

van H zijn aangewezen als het getal m is neergeschreven). Verder 
is het volgens de eigenschap van n^ 17 uitgesloten, dat de hoe- 
veelheid met het n^^ element nog niet is uitgeput (dus uitge- 
sloten, dat er rangnummers > n verschijnen). 

De eigenschap betreffende de ondubbelzinnigheid van het resul- 
taat eener telling noemen we de hoofdeigenschap van het tellen. 
Ook spreekt men wel van de hoofdeigenschap der rekenkunde i). 



20. Aantal elementen van een hoeveelheid. Is bij een hoe- 
veelheid H het resultaat eener telHng /z, dan hangt het getal n 
volgens de eigenschap van n^. 19 alleen van de beschouwde 
hoeveelheid en niet van de wijze van tellen af. Dit getal n 
wordt het aantal elementen der hoeveelheid genoemd, terwijl men 
ook zegt, dat de hoeveelheid n elementen bevat. 

21. Wanneer we zeggen, dat het aantal elementen eener hoe- 
veelheid alleen van die hoeveelheid afhangt, wordt natuurlijk 
ondersteld, dat niet alleen de hoeveelheid, als één geheel beschouwd, 
gegeven is, maar ook nog wat onder elementen der hoeveelheid 
te verstaan is, dus welke gedeelten der hoeveelheid men met den 
naam van elementen wenscht te bestempelen. Bij het tellen van 
een partij schoenen b.v. maakt het verschil of men lederen schoen 
als een element der hoeveelheid beschouwt, dan wel onder een 
element een paar bijeenbehoorende schoenen verstaat. 

22. Zegt men van een hoeveelheid //, dat ze n elementen 
bevat, dan wil dit zeggen, dat H op de hoeveelheid N der getal- 
len, die ^ n zijn, is af te beelden. Deze afbeelding is zeker 
mogelijk als de hoeveelheid H met N identiek' is, daar men dan 
met ieder getal van H datzelfde getal (als getal van A^) kan laten 
correspondeeren, dus aan ieder getal van H dat getal zelf als 
rangnummer kan toekennen. Hieruit besluit men: 

Het aantal getallen, die ^ n zijn, bedraagt n. ^ 



^) Deze eigenschap wordt soms ten onrechte als een axioma beschouwd. 



Dit doet tevens zien, dat er voor ieder getal n hoeveelheden 
bestaan, die n tot aantal hebben. 

23. Bevatten twee hoeveelheden H en H' beide n elementen, 
dan kunnen ze beide op de in n^ 22 beschouwde hoeveelheid 
N worden afgebeeld. Daardoor zijn H en H' ook op elkaar 
afgebeeld, daar men een element van H en een van H' als 
correspondeerend kan beschouwen als ze bij de afbeelding op A^ 
hetzelfde rangnummer bezitten ^). 

Is omgekeerd gegeven, dat H en H' op elkaar zijn af te beel- 
den, en bevat H n elementen, dan geldt dit ook voor //'; immers 
men kan de rangnummers van de elementen van H op de 
correspondeerende elementen van H' overdragen, waardoor men 
een afbeelding van H' op N verkrijgt ^j, 

We vinden dus: 

Bevat de hoeveelheid H n elementen, dan bevat de hoeveel- 
heid H' dan en alleen dan n elementen als H en H' op elkaar 
kannen worden afgebeeld. 

24. Aantal elementen van een deel eener hoeveelheid. Zij 

H een hoeveelheid met n elementen en D een echt deel (zie 
n^. 15) van H. Men kan nu de telling van H zoo uitvoeren, 
dat men, bij het toekennen van rangnummers aan de elementen 
van ƒƒ, steeds elementen van D kiest zoolang D nog niet is 
uitgeput (dus zoolang nog niet alle elementen van D zijn aan- 
gewezen). Men verkrijgt daardoor een telling van D, welke tel- 
Hng afloopt (dus tot een resultaat voert), daar ze het begin vormt 
van een telHng van /ƒ, die afloopt. 

Is m het resultaat der telHng van D, dan is noodzakelijk 
m < n, daar men anders bij voortzetting der telling (waardoor 
een telling van H ontstaat) elementen van H zou krijgen met 
rangnummers, die > n zijn, in strijd met de omstandigheid, dat 
n het resultaat van iedere telling van H is. We vinden dus: 

Is H een hoeveelheid met n elementen en D een echt deel van 
H, dan is het aantal m der elementen van D kleiner dan n. 

Is slechts gegeven, dat D een deel van H is, dan kan men 



^) Vergelijk de eigenschap van n^. 216. 



10 

slechts tot m ^ n besluiten, waarbij het teeken = geldt als D 
met H identiek is. 

25. Is H een hoeveelheid met n elementen en is de hoeveelheid 
H af te beelden op een echt deel D van ƒƒ, dan bevat H' (vol- 
gens de eigenschap van n^ 23) m elementen, waarin m het aantal 
elementen van D is. Volgens de eigenschap van n^. 24 is nu 
m < n. 

Is van de hoeveelheid H omgekeerd gegeven, dat ze m elemen- 
ten bevat voor m. < n, dan kan men daaruit besluiten, dat H' 
op een echt deel van H is af te beelden. Immers uit de afbeel- 
ding van H op de hoeveelheid N der getallen ^ n leidt men, 
door weglating van de rangnummers > m met de bijbehoorende 
elementen van H, een afbeelding af van een echt deel D van H 
op de hoeveelheid M der getallen ^ m. Daar ook de hoeveel- 
heid H' op M is af te beelden, is H' af te beelden op D. 

We vinden dus: 

Is H een hoeveelheid met n elementen, dan bevat de hoeveel- 
heid H' dan en alleen dan een aantal elementen, dat < n is, 
als H op een echt deel van H is af te beelden. 

26. Eindige en oneindige hoeveelheden. Een hoeveelheid, 
waarbij de telling afloopt (tot een resultaat voert) wordt eindig 
genoemd. Loopt de teUing niet af, dan heet de hoeveelheid 
oneindig of transfiniet 

Bij een eindige hoeveelheid H is er dus een getal n, waarvoor 
H af te beelden is op de hoeveelheid A^ der getallen ^ n; bij 
een oneindige hoeveelheid is zulk een getal n niet aanwezig. 
Spreken we van een hoeveelheid met n elementen, dan ligt daarin 
dus opgesloten dat ze eindig is. 

Uit het eerste deel van het betoog van n^ 24 blijkt, dat een 
deel van een eindige hoeveelheid weer een eindige hoeveelheid is. 

27. Een eindige hoeveelheid is niet op een echt deel van zich 
zelf af te beelden. 

Zij nl. de eindige hoeveelheid H (met n elementen) afgebeeld 
op de hoeveelheid N der getallen ^ n en D een echt deel van 
H. Onderstel, dat D op H is af te beelden. Dan is (daar ook 



11 

N op H is af te beelden) een afbeelding van D op N mogelijk ^). 
Dit komt in strijd met de eigenschap van n^ 17, zoodat de 
onderstelling, dat D op H is af te beelden, onjuist is. 

Men kan het bewijs ook leveren door op te merken, dat vol- 
gens de eigenschap van n^. 24 m < n is als m het aantal 
elementen van D voorstelt. Hieruit volgt in verband met de 
eigenschap van n^. 23, dat D en H niet op elkaar zijn af te 
beelden. 

28. Een voorbeeld van een oneindige hoeveelheid levert de 
hoeveelheid gevormd door alle natuurlijke getallen, die we kort- 
weg als de hoeveelheid der natuurlijke getallen aanduiden. Dit 
ziet men onmiddellijk in door aan ieder getal dier hoeveelheid 
dat getal zelf als rangnummer toe te kennen; na het toekennen 
van een rangnummer aan een getal is nl. het op dat getal vol- 
gende getal nog zonder rangnummer (dus nog niet aangewezen), 
zoodat de telling niet afloopt. 

Ook kan men aldus redeneeren. Onderstel, dat de hoeveel- 
heid G der natuurlijke getallen op de hoeveelheid N der getallen 
^ n was afgebeeld. Door uit G de getallen > /z en uit A^ de 
daarmede correspondeerende getallen weg te laten krijgt men de 
eindige hoeveelheid N op een echt deel van zich zelf afgebeeld, 
in strijd met de eigenschap van n°. 27. 

29. De eigenschap van n°. 27 geldt voor een oneindige hoe- 
veelheid niet, zooals de hoeveelheid G der natuurlijke getallen 
doet zien. Vormen we nl. een echt deel G-^ van G door uit G 
het getal 1 weg te laten, dan kan men G op G^ afbeelden door 
het getal 1 van G met het getal 2 van G^ te laten correspon- 
deeren, het getal 2 van G met het getal 3 van G^, enz., waarbij 
dus ieder getal van G met het daarop volgende, als getal van 
G], correspondeert. Het blijkt dus, dat de hoeveelheid der natuur- 
lijke getallen op een echt deel van zich zelf is af te beelden. 

30. Bij een oneindige hoeveelheid H kan het in n^. 1 1 beschre- 
ven telproces onbepaald ver worden voortgezet, waarbij dan ieder 



^) Door aan de elementen van D dezelfde rangnummers toe te ken- 
nen als aan de correspondeerende elementen van H. 



12 

getal ten slotte als rangnummer van een element van H optreedt. 
Men krijgt op deze wijze een deel D van H op de hoeveelheid 
G der natuurlijke getallen afgebeeld. 

Zij E-^ het element van D met het rangnummer 1. Door E-^ 
uit H weg te laten ontstaat de hoeveelheid //^, die een echt 
deel van H is; evenzoo gaat D door weglating van E^ in D^ over. 

Men kan nu D op D^ afbeelden door de in n^. 29 besproken 
afbeelding van G op G^ van de rangnummers over te dragen 
op de bijbehoorende elementen. Door verder de niet tot D 
behoorende elementen van H (zoo die er zijn) met zich zelf, 
maar nu als elementen van H^ beschouwd, te laten correspon- 
deeren krijgt men een afbeelding van H op H^. 

We vinden dus: 

Een oneindige hoeveelheid is steeds op een echt deel van zich 
zelf af te beelden. 

31. Uit de eigenschappen van n^. 27 en 30 blijkt, dat een 
hoeveelheid eindig of oneindig is al naar gelang ze niet of wel 
op een echt deel van zich zelf is af te beelden. 

Het al of niet afbeeldbaar zijn op een echt deel van zich zelf 
is dus een kenmerk, waardoor men oneindige van eindige hoe- 
veelheden kan onderscheiden. Bij de door Dedekind gegeven 
theorie der natuurlijke getallen is dit kenmerk ter definiëering 
van eindige en oneindige hoeveelheden gekozen. 

32. Getallenhoeveelheden. We beschouwen een getallen- 
hoeveelheid H, d. w. z. een hoeveelheid, waarvan de elementen 
natuurlijke getallen zijn. Op H passen we het telproces toe en 
gaan daarbij op de volgende wijze te werk. Aan een getal a^ 
van H kennen we het rangnummer 1 toe. Is a^ niet het kleinste 
getal van H (m. a. w. bevat H nog minstens één getal, dat < a^ 
is), dan kennen we aan een getal ag van H, dat < % is, het 
rangnummer 2 toe. Is a^ niet het kleinste getal van H, dan 
kiezen we het getal a^ van H met het rangnummer 3 zoo, dat 
«3 < ^2 is, enz. 

Volgens de transitieve eigenschap van n^. 5 zijn dan de getal- 
len «2, öfg, . . . . alle < a^ en behooren dus tot de (eindige) hoe- 
veelheid der getallen, die ^ a^ zijn. De hoeveelheid H der 



13 

getallen a^, ög, Ö3, . . . . is dus eindig, zoodat bij het uitvoeren 
van het telproces op een gegeven oogenblik aan een getal at 
van W het rangnummer / wordt toegekend en daarmede de 
hoeveelheid H' uitgeput is. Dit beteekent dan, dat H geen getal 
bevat, dat < ai is (daar men anders de rij getallen a-^, a^, a^, . . . . 
nog verder kon vervolgen), dus dat a/ het kleinste getal van H 
is. Hiermede is bewezen: 
ledere getallenhoeveelheid bevat een kleinste getal. 

33. Is H een eindige getallenhoeveelheid, dan kan de teUing 
van H als volgt uitgevoerd worden. Aan een getal a^ van H 
kennen we het rangnummer 1 toe. Is a^ niet het grootste getal 
van H, dan kennen we aan een getal ög van /ƒ, dat > a^ is, 
het rangnummer 2 toe, enz. De hoeveelheid H' der getallen 
^1, ag, . . . . is een deel van H, dus eindig. Hieruit volgt op 
geheel soortgelijke wijze als in n^. 32, dat men zoo een getal 
üi verkrijgt, waarmede de getallenrij a^, a^^, . . . . afbreekt, welk 
getal at het grootste getal van H is. We vinden dus: 

Een eindige getallenhoeveelheid bevat een grootste getal. 

34. Is omgekeerd van een getallenhoeveelheid H gegeven, 
dat ze een grootste getal g bevat dan is H een deel van de 
(eindige) hoeveelheid der getallen, die ^ g zijn, dus eindig. De 
eigenschap van n^. 33 kan dus op de volgende wijze worden 
omgekeerd: 

Een getallenhoeveelheid, die een grootste getal bevat, is eindig. 

Dit kan met de eigenschap van n^ 33 aldus worden samen- 
gevat : 

Een getallenhoeveelheid is dan en alleen dan eindig als ze een 
grootste getal bevat. 

35. Bij een eindige getallenhoeveelheid H heeft een getal, dat 
grooter is dan het grootste getal der hoeveelheid, de eigenschap 
grooter te zijn dan ieder getal van H. 

Is omgekeerd gegeven, dat er een getal bestaat, dat grooter is 

dan ieder getal van //, dan blijkt op dezelfde wijze als in n^. 

34, dat H eindig is. De tweede eigenschap van n^. 34 kan dus 
ook zoo worden gelezen: 



14 

Een getallenhoeveelheid is dan en alleen dan eindig, als er 
een getal bestaat, dat grooter is dan ieder getal der hoeveelheid, 

86. Bij een getallenhoeveelheid //, kan men het telproces zoo 
uitvoeren, dat men aan het kleinste getal % van H het rang- 
nummer 1 toekent, aan het kleinste getal a^ der hoeveelheid, die 
ontstaat door uit H het getal a^ te verwijderen (het op een na 
het kleinste getal van H) het rangnummer 2, enz. Hierbij krijgt 
van twee getallen van H het grootste steeds het grootste rang- 
nummer. Men zegt dan, dat de getallen van H naar de grootte 
gerangschikt (of genummerd) zijn. 

Is de getallenhoeveelheid eindig en n het aantal getallen, 
waaruit ze bestaat, dan is het getal a„ met rangnummer n het 
grootste getal der hoeveelheid. 

37. Is een getallenhoeveelheid naar de grootte gerangschikt 
en at het getal der hoeveelheid met rangnummer /, dan is ai ^ /. 

Daar nl. de getallen der hoeveelheid, die ^ at zijn, behooren 
bij de rangnummers, die ^ / zijn, bevat de hoeveelheid / getallen, 
die ^ ai zijn. Deze / getallen behooren tot de at getallen, die 
^ at zijn, waaruit in verband met de eigenschap van n^. 24 
volgt, dat ai ^ / is. Hierbij geldt het teeken = alleen dan als 
de hoeveelheid der getallen van H, die ^ a/ zijn, identiek is 
met de hoeveelheid der getallen, die ^ ai zijn, dus als ieder 
getal, dat ^ ai is, tot H behoort. 



§ 2. Optelling van natuurlijke getallen. 

38. Som van twee hoeveelheden. Zijn H^ en H^ twee hoe- 
veelheden ^), dan kan men daaruit een derde hoeveelheid afleiden 
door Hl en H^ tot één hoeveelheid vereenigd te denken. Deze 
derde hoeveelheid wordt door H^ + H^ aangeduid en de som 
der hoeveelheden H^ en H., genoemd. 

De somhoeveelheid is dus daardoor gekenmerkt, dat ieder 
element van H^ + H^ tot minstens één der hoeveelheden H^ en 
H2 behoort en omgekeerd ieder element van H^ of H^ tot H^ + //g 
behoort: dit laatste drukt dus uit, dat zoowel H^ als H^ een deel 
van H^ + //g is. 

Voor de gegeven definitie is het niet noodig, dat ieder element 
van H^ verschilt van ieder element van H^, zoodat beide hoe- 
veelheden gemeenschappelijke elementen kunnen bezitten. 

39. Het afleiden van een hoeveelheid uit twee andere hoe- 
veelheden H^ en T/g wordt verbinden van H^ en Ho genoemd. 
Het vormen van de som der hoeveelheden is een bijzondere wijze 
van verbinden; deze wordt optelling genoemd. 

Bij de optelling van twee hoeveelheden H^ en H2 spelen H]^ en 
H^ dezelfde rol (iets dat bij andere verbindingen niet het geval 
behoeft te zijn); m. a. w. de hoeveelheid H^ + H^ is dezelfde 
als H2 + //i- We schrijven dit aldus: 

H, + H, = H, + H,. (5) 

Men drukt dit uit door te zeggen, dat H^ en H^ bij optellen 
verwisselbaar of commutatief zijn. Ook zegt men, dat de optel- 
ling van hoeveelheden de commutatieve eigenschap bezit, of 
kortweg, dat de optelling commutatief is. 

40. Heeft men uit twee hoeveelheden H^ en H^ de somhoe- 
veelheid H^ + Ho afgeleid, dan kan men deze somhoeveelheid 



^) Deze behoeven niet eindig te zijn; zie verder de noot van blz. 4. 



16 

met een derde hoeveelheid H^ verbinden (eveneens door som- 
vorming) waardoor de hoeveelheid 

{H, + H,) + R, (6) 

ontstaat. 

Ieder element der hoeveelheid (6) behoort tot minstens één 
der hoeveelheden H^, Ho en iJg, terwijl omgekeerd een element 
van minstens één dier drie hoeveelheden tot (6) behoort. De 
hoeveelheid (6) ontstaat dus eenvoudig door de drie hoeveel- 
heden H^, H2 en H^ tot één hoeveelheid te vereenigen. 

41. Uit het voorgaande blijkt, dat bij de vorming der hoe- 
veelheid (6) de drie hoeveelheden H^, //g en ^3 dezelfde rol 

spelen, zoodat 

H, + {E, + i?3) 

dezelfde hoeveelheid is als (6). Men schrijft dit: 

(H, + H,) + H,^H, + {E, + ^3). (7) 

Dit drukt uit, dat het bij het vormen van de som van drie hoe- 
veelheden onverschillig is welke twee hoeveelheden men eerst 
tot een somhoeveelheid vert)indt. Men noemt dit de associatieve 
eigenschap (eigenschap der samenneembaarheid) van de optel- 
ling van hoeveelheden en zegt, dat de optelling associatief is. 

42. Som van natuurlijke getallen. Zooals is opgemerkt 
kunnen in het voorgaande de beschouwde hoeveelheden ook 
gemeenschappelijke elementen bezitten. In het volgende nemen 
we echter aan, dat bij de hoeveelheden, die opgeteld worden, 
gemeenschappelijke elementen ontbreken. 

De som van twee eindige hoeveelheden E^ en E^ is eindig. 

Immers- de telling van H^ loopt af, evenals die van E^. Men 
kan dus eerst E^ tellen en daarna E^. Wanneer men nu bij de 
telling van E^ niet opnieuw met 1, 2, 3, . . . . begint, maar 
doortelt (zoodat men begint met het getal volgend op het laatste 
der bij de teUing van E^ toegekende rangnummers), krijgt men een 
telling der hoeveelheid E^ + E2, die afloopt. Dit nu beteekent, 
dat E^ + E2 eindig is ^). 



^) De eigenschap geldt ook nog als de hoeveelheden //j en //g 
gemeenschappelijke elementen hebben, hetgeen we aan den lezer over- 
laten aan te toonen. 



17 

43. Zijn a en b resp. de aantallen elementen der eindige 
hoeveelheden H^ en H^ (zonder gemeenschappelijke elementen), 
dan wordt het aantal elementen der hoeveelheid H^ -f H^ de som 
van a en b genoemd; hiervoor wordt a -^ b geschreven. De 
getallen a en b heeten de termen der som. 

Het vormen van de som van twee getallen noemt men optellen. 
De opteUing wordt ook als de eerste hoofdbewerking met getallen 
aangeduid. In plaats van „bewerking" bezigen we echter liever 
het woord „verbinding" en noemen de optelKng de eerste hoofd- 
verbinding (vergelijk n^ 39). 

De verbinding optellen kan op ieder tweetal getallen worden 
uitgevoerd, daar ieder getal als aantal elementen van een hoe- 
veelheid kan optreden (zie de opmerking aan het eind van n^. 22). 

44. Betreffende de definitie van som van twee getallen willen 
we nog aantoonen, dat het getal a ^ b alleen van a en van b 
afhangt en niet van de hoeveelheden H^ en H^, die bij de defi- 
nitie gebezigd zijn; m. a. w., dat a -r b door de getallen a en b 
ondubbelzinnig bepaald is, of nog anders gezegd, dat de optelling 
van twee getallen een ondubbelzinnige verbinding is. 

Dit nu blijkt onmiddellijk daaruit, dat, als /// en H/ twee 
andere hoeveelheden zijn resp. met a en b elementen, de hoe- 
veelheden H^ + //g en ƒƒ/ + /ƒ/ op elkaar af te beelden zijn 
(door de elementen van H^ te laten correspondeeren met de 
elementen van ///, die hetzelfde rangnummer hebben, en even- 
zoo de elementen van H^ met die van H/); uit die afbeeldbaar- 
heid volgt dan verder, dat H^ + H^ en /// + H/ hetzelfde aan- 
tal elementen bevatten (zie de eigenschap van n^. 23). 

45. We stellen ons voor, dat een persoon A eerst de hoe- 
veelheid H^ en daarna de hoeveelheid H^ telt en dat een ander 
persoon B doortelt als A tot de telHng van He, overgaat (zooals 
we ook bij het bewijs van n^ 42 hebben aangenomen). B bereikt 
dan het rangnummer a -\- b. We kunnen ons nu de hoeveelheden 
H^ en Ho wegdenken, waarbij van het tellen alleen het opnoemen 
der getallen in de behoorlijke volgorde overblijft. Bij het tweede 
deel der telling telt A tot b met 1 beginnend, terwijl B begint 
met het op a volgende getal; beide tellingen denken we ons 

FRED. SCHUH, Leerboek der Theoretische Rekenkunde. 2 



18 

gelijktijdig en in hetzelfde tempo uitgevoerd. Daarbij bereikt B 
dan het getal a + b. Ook op deze wijze blijkt, dat het getal 
a-\- b alleen van a en b afhangt. 

Het getal a + b kan dus ook gedefinieerd worden als het getal, 
dat bij het tellen bereikt wordt, beginnend met het op a volgende 
getal en medetellend met een ander, die van 1 tot en met b telt. 

Door ^ = 1 te nemen blijkt zoo, dat a + 1 het op a volgende 
getal is. 

46. Wanneer de persoon A van n^ 45 van 1 tot en met b en 
daarbij B van a + 1 tot en met a + b telt, kunnen de door A 
uitgesproken getallen beschouwd worden als de rangnummers der 
gelijktijdig door B uitgesproken getallen. Nu zijn de door B 
uitgesproken getallen de getallen, die > a zijn, en dus de door 
A uitgesproken getallen de rangnummers der getallen > a als 
men deze naar de grootte rangschikt (zie n^. 36). Hieruit blijkt: 

De som der getallen a en b is het getal met rangnummer b 
als men de getallen, die > a zijn, naar de grootte rangschikt. 

47. Men kan ook van meer dan twee getallen de som vormen 
door eerst de som van twee getallen te nemen, deze som te 
combineeren met het derde getal, enz. Die getallen heeten weer 
de termen der som. 

Zoo vormt men van de getallen a, b Q.n c de som 

a + b -]- c, 
waarmede bedoeld wordt, dat eerst de som a + ^ gevormd wordt; 
onder a -{■ b -\- c is dus te verstaan: 

{a-\-b)-\- c. 
Evenzoo is met a + Z? + c + (i bedoeld: 

{{a + b)-\-c] + d. (8) 

M. a. w. de optelling wordt van links naar rechts uitgevoerd 
gedacht. 

48. Grondeigenschappen der optelling. De in n^ 39 en 41 

besproken eigenschappen der optelling van hoeveelheden voeren 
onmiddellijk tot de overeenkomstige eigenschappen voor de 
optelling van getallen. Daarvoor geldt dus de commutatieve 

eigenschap 

ai-b = b + a (9) 



19 

en de associatieve eigenscfiap 

{a + b) + c = a-\-{b ^c). (10) 

Deze laatste eigenschap maakt, dat het voor het vervolg 
onnoodig is in het oog te houden of onder a + ^ + c het eerste 
dan wel het laatste lid van (10) te verstaan is, dus of de optelling 
van links naar rechts dan wel van rechts naar links is uit te 
voeren. 

De commutatieve en de associatieve eigenschap der optelling 
zijn grondelgenschappen (zie n°. 7). 

49. Een andere grondeigenschap (waarbij de begrippen „som" 

en „grooter" gecombineerd voorkomen) is de volgende: 

Is a> b, dan is: 

a ^r O b -\- c. 

Zijn nl. T/i, T/g en //g hoeveelheden resp. met a, b en c 
elementen ^), dan volgt uit a > b, dat H^ op een echt deel D 
van Hj af te beelden is (zie de eigenschap van n^. 25). De 
hoeveelheid H^ + H^ is dus af te beelden op de hoeveelheid 
D + Hg, die een echt deel van //] + H^ is (door de correspon- 
dentie tusschen //g en D ongewijzigd te laten en de elementen 
van H^ met zich zelf te laten correspondeeren). Hieruit volgt, dat 
het aantal elementen van H^ + //g kleiner is dan dat van H^ + H^. 

50. Algemeene associatieve eigenschap der optelling. Uit 

de tot nu toe besproken grondeigenschappen kunnen weer andere 

eigenschappen worden afgeleid zonder van de definities der in 

die grondeigenschappen voorkomende begrippen gebruik te 

maken. Zoo leidt men uit de associatieve eigenschap, dus uit 

de formule (10), door tweemalige toepassing of: 

a-{-b + c + d= {{a + b) + c} + d^)= {a+{b + c)] +d = 

= a+{{b-^c) + d] =a^ib^ci-d) ^), 
dus: 

a + b + c-\-d = a + {b + c + d). (11) 

Dit is derhalve een afgeleide eigenschap. 



1) Gemeenschappelijke elementen denken we weer uitgesloten. 

2) Zie de opmerking aan het eind van n^. 47. 

^) Hetzelfde resultaat kan men ook aldus bereiken: 

{(a-^ b) + c} +d= (ai- b) i- (c-\- d) = 
= a^{b + {c + d)}= a + {(b + c) + d). 



20 

51. Uit (11) leidt men verder in verband met (10) af: 

= a-^{{b + c + d)-^e] = a^-{b-\-c + d + el 
dus: 

a-^b + c + d-\-e = a + {b + c + d + é). (12) 

Hieruit kan men verder in verband met (10) afleiden: 

a^b + c-^d^-e+f^a + {b + c + d-^e+f\ (13) 

enz., zoodat men algemeen bij een som van n termen heeft: 

^1 + ^0 + «3 + .... + a^z = ö^i + («2 + öig + .... + a,^. (14) 

Hierin liggen de formules (10), (11), (12) en (13) resp. als de 

gevallen /z = 3, 4, 5, 6 opgesloten. Voor n = 2 gaat (14) over in 

^1 "^ 02 = ^1+ ^2 ^), dus in een tautologie ^). 

52. In de formule (14) ligt, zooals is opgemerkt,- de grond- 
eigenschap (10) als bijzonder geval opgesloten, zoodat (14) een 
uitbreiding dier grondeigenschap is. 

Een nog verder gaande uitbreiding kan men aldus uit (14) 
afleiden: 

üi \ Uq 'T' . • . . "T Cïfn + fi+p = 

= {(ai + a2 + .... + a,„) + a;„ + i4-a;„ + 2 + ....+ ö!,n + /z} -^ am + n^\ + •■-+am-^n+p^) 
= {(a^-\- a^^ ....-^ am)^(am + \^-ani + 2 + •- +am-,n)}+am + n + \-^ •■■•-\-am+n + p'^) 

= (21+^2 + .... + dm -\-{ani + ]^afn + 2-\- •"• -^dm + nj -^CLm + n+i + •■"~r am + n+ p^). 



dus: 



a. + Uc 



.... I lA^tn + n + p — 
= a-^ -}-.... + am+{am + l +.... +a;;z + „)+a,n + n+l+.... +^m + «4/7. (15) 

Dit drukt uit, dat men bij een som van meerdere termen een 
willekeurig aantal opvolgende termen door hun som mag ver- 
vangen, zonder dat dit op de uitkomst van invloed is. 

We merken nog op, dat in het voorgaande voor ^1 + ^2 + .... + am 
het getal a^ genomen moet worden als m = 1 is; m. a. w. een 
som met één term is gelijk aan dien term. Voor a^n + i + ö^m + 2 + 
^ am + n moet dus am + \ genomen worden als ^ = 1 is, enz. 



^) Zie de opmerking aan het eind van n^. 52. 

2) D. i. een bewering, waarvan het gestelde hetzelfde zegt als het 
onderstelde. 

^) Zie de opmerking aan het eind van n^. 47. 
^) Zie de formule (14) van n^. 51. 



21 

53. Men kan de formule (15) natuurlijk ook meerdere malen 
toepassen, waardoor men de volgende nog algemeenere eigenschap 
verkrijgt : 

Een som van meerdere termen verandert niet als men de termen 
met behoud van hun volgorde in groepen verdeelt en de termen 
van een zelfde groep door hun som vervangt. 

We zullen dit de algemeene associatieve eigenschap noemen. 
Deze drukt uit, dat men naar willekeur haakjes (of liever paren 
bijeenbehoorende haakjes) mag plaatsen of weglaten. 

Als voorbeeld noemen we: 
a-\-b-^c + d+e+f + g^-h = a + {b ^-c)-^d-^{e^-f-\-g-\-h\ 
waarbij de aantallen termen der verschillende groepen zijn: 1, 
2, 1 en 4. 

We merken nog op, dat bij de uitbreiding der associatieve 
eigenschap alleen van den grondvorm daarvan, dus van de formule 
{10), gebruik gemaakt is en niet van de commutatieve eigenschap. 

54. Algemeene commutatieve eigenschap der optelling. 

Door alleen van den grondvorm (9) der commutatieve eigenschap 
gebruik te maken kan a + ^ + c slechts in een der volgende 
vormen geschreven worden: 

(a-^b)^c^{b + a) + c = c + {a^b) = c-\-{b-^a), 
waarbij de haakjes in de beide eerste leden overtollig en slechts 
duidelijkheidshalve geplaatst zijn. Tot een volgorde, waarbij a ^n b 
ophouden opvolgende termen te zijn, kan men zoo niet geraken. 
Hieruit blijkt, dat de commutatieve eigenschap zonder meer niet 
kan worden uitgebreid. 

55. Wel kan men de commutatieve eigenschap uitbreiden door 
ook van de associatieve eigenschap gebruik te maken. Men vindt 
dan: 

^1 + ^2 + . . . . + am-l + am^- am + 1 + am + 2 -f + am + n = ^) 

^1 + ^2 + + am-l +(^m + ö^m + l)+ ^m + 2 + ...-+ am + n = 

ai + ^2 + + am-l M^m + 1 + am)+ am + 2 + + am + n = 

^1 +^2 + .... +am-l + am + 1 + am -\- am + 2 + + am-,n, 

dus: 



^) Onder m — 1 is het aan m voorafgaande getal te verstaan. 



22 

Een som van meerdere termen verandert niet als men twee 
opvolgende termen verwisselt, 

56. Door herhaalde toepassing der eigenschap van n^. 55 
krijgt men de volgende uitbreiding der commutatieve eigenschap, 
die we de algemeene commutatieve eigenschap noemen: 

Een som van meerdere termen is onafhankelijk van de volg- 
orde dier termen, 

Om dit te bewijzen heeft men slechts aan te toonen, dat men 
van iedere volgorde der termen tot iedere andere volgorde kan 
geraken door eenige malen achtereen twee opvolgende termen 
te verwisselen. Zij V de oorspronkelijke en V de nieuwe volg- 
orde en p de eerste term bij de volgorde V. Zoo p bij de 
volgorde V niet de eerste term is, verwisselen we, uitgaande 
van de volgorde V, den term p achtereenvolgens met ieder 
der voorafgaande termen tot p eerste term geworden is. Ver- 
volgens verwisselen we den term q, die bij de volgorde V' tweede 
term is, met de voorafgaande termen tot q tweede term geworden 
is; daarna brengen we den derden term op zijn plaats, enz., 
waardoor men ten slotte de volgorde V' verkrijgt. 

Om b.v. van de volgorde a + ^4-c + ö^-f^+/ + ^totde 
volgorde ü^-fö + e + c + ^ + a+/ te geraken krijgt men de 
volgende gelijkheden: 

a^b^-c^d^-e^f-\-g = 

= a + d + b + r + ^+/ + ^ = 
= d + a + Z^ + c + ^+/ + ^ = 
= flf+b + a + c + ^+/ + ^ = 
=d +b+a+^+c+f+g= 

= d ~\-b+t+2i-\-C+f + g = 

= d +^+^+c+a+/+^- 
= d +^ + ^ + c + a+g+ f = 
= d -{-b + e + c + g + a + f, 

waarin de verwisselde termen vet gedrukt zijn. 

We merken nog op, dat uit de algemeene commutatieve eigen- 
schap volgt, dat men in de algemeene associatieve eigenschap 



23 

van n^. 53 de woorden ,,met behoud van hun volgorde' kan 
weglaten. 

57. Uitbreiding der grondeigenschap van n^ 49. Uit de 

eigenschap van n^. 49 leidt men in verband met die van n^. 5 af: 

Is a > b en c > d, dan is 

a^c>b-\-d. (16) 

Uit a > b volgt nl: 

a + c> b-^c (17) 

en uit c > d: 

b + c> b^d. (18) 

Wegens de transitieve eigenschap van n^. 5 besluit men uit 

(17) en (18) tot (16). 

58. De eigenschap van n^. 57 kan aldus met die van n^ 49 
worden samengevat: 

Is a > b en c ^ d, dan is 

a ^ c > b -\- d. 
Deze eigenschap is een uitbreiding der grondeigenschap van 
n^. 49, die daarin als het geval c = d ligt opgesloten. 

59. Uit de eigenschap van n^ 57 leidt men door tweemalige 
toepassing af: 

Is a > b, c> d Qn e > f, dan is: 

a-\-c^-e> b-\- d^-f. (19) 

\]\\ a > b tn c > d volgt nl: 

a + c > b -\r d, 
waaruit men in verband met ^ > ƒ tot (19) besluit. 

Ook geldt de eigenschap als men bij een of twee der gegeven 
ongelijkheden het teeken > door = vervangt. We laten het aan 
den lezer over dit na te gaan, evenals de uitbreiding tot een som 
van een willekeurig aantal termen. 



60. Bewijs der afgeleide eigenschappen door middel van 
hoeveelheden. De in n^. 50—59 besproken afgeleide eigen- 
schappen zijn aangetoond door uitsluitend van de grondeigen- 
schappen (die van n^ 5, 48 en 49) gebruik te maken. Die 



24 

afgeleide eigenschappen kunnen echter ook rechtstreeks uit de 
beschouwing van hoeveelheden worden bewezen op geheel over- 
eenkomstige wijze als dit met de grondeigenschappen, waarvan 
ze de uitbreiding zijn, geschied is. 

Heeft men nl. een som van n termen 

a^ + 02 -f- . . . . -h a« (20) 

en zijn H^, He,, . . . ., Hn hoeveelheden i), waarvan de aantallen 
elementen resp. a^ öo, , . . ., Un zijn, dan is (20) het aantal 
elementen van de hoeveelheid T/j + //g ^- . . . . + //«, die ont- 
staat door de hoeveelheden H^, H^, . . , , Hn tot één hoeveelheid 
te vereenigen. Daar voor dit optellen van hoeveelheden ten 
duidelijkste de algemeene associatieve en commutatieve eigen- 
schap (zie n^ 53 en 56) geldt, zijn deze ook voor optelling van 
getallen van toepassing. 

Öp soortgelijke wijze toont men de eigenschappen van n^. 57 
en 59 rechtstreeks (d. w. z. niet via de grondeigenschappen) aan. 

61. De bewijzen der afgeleide eigenschappen uit de grond- 
eigenschappen, zooals we die in n^ 50—59 geleverd hebben, 
bieden echter boven de in n^. 60 besproken bewijsvoering het 
voordeel, dat ze onveranderd van toepassing blijven als later 
het getalbegrip met andere soorten getallen is uitgebreid. Voor 
die nieuwe getallen behoeft men dan slechts de juistheid der 
grondeigenschappen aan te toonen om verzekerd te zijn, dat ook 
de afgeleide eigenschappen blijven doorgaan (vergelijk n°. 10). 

Ook levert de bewijsvoering van n^ 50—59 het voordeel, dat 
ze met verandering van enkele woorden en teekens ook voor de 
vermenigvuldiging doorgaat (zie n^. 96). 

62. Bewijsvoering door volledige inductie. Deze berust 
op het volgende: 

Een eigenschap, die op een getal n betrekking heeft, geldt voor 
ieder getal als de volgende twee dingen waar zijn: 

P. de eigenschap geldt voor het getal I, 

2^. geldt de eigenschap voor een getal n {onverschillig welk), 
dan geldt ze ook steeds voor het daarop volgende getal n + 1. 



^) Zonder gemeenschappelijke elementen. 



25 

Uit het gegevene volgt nl., dat de eigenschap geldt voor n -= 2, 
3, enz., dus steeds geldig blijft bij overgang op het volgende 
getal. Daar men nu door telkens op het volgende getal over 
te gaan ieder getal bereiken kan, is inderdaad de eigenschap 
voor ieder getal geldig. 

63. Wanneer men een eigenschap betreffende een natuurlijk 
getal met behulp van de eigenschap van n^. 62 bewijst wordt 
dit een bewijs door volledige inductie genoemd; ook spreekt 
men van een bewijs van n op n ^ I of (naar Jacob Bernoulli) 
van een Bennoulliaansch bewijs ^). 

Voor het bewijs is noodig aan te toonen, dat het in n^ 62 
onder P. en 2^. gezegde vervuld is. We noemen dit resp. den 
eersten en tweeden eisch voor volledige inductie. 

64. De eigenschap van n^. 62 kan ten duidelijkste ook aldus 
gewijzigd worden: 

Een eigenschap, die betrekking heeft op een getal n, geldt voor 
ieder getal, dat ^ a is, als de volgende twee dingen waar zijn: 

P. de eigenschap is juist voor n = a, 

2^. voor ieder getal n, dat ^ a is, geldt, dat de eigenschap 
juist is voor het getal n+ 1 als ze dat voor het getal n is. 

De eigenschap geldt dan nl. voor a + 1, a + 2, enz. ^). 

65. Definitie der optelling door volledige inductie. Een 

bijzonder geval der formule (10) van n^ 48 is 

a + {b + \) = {a + b)-\-\. (21) 

Deze formule kan nu ook als definitie der optelling van 



^) Deze bewijsmethode is reeds voor Bernoulli (1686) door Blaise 
Pascal (omstreeks 1650) gevonden. 

^) Opgemerkt zij, dat we reeds enkele malen de gelegenheid gehad 
hebben de bewijsvoering door volledige inductie toe te passen, b.v. 
bij de formule (14) van n^. 51. Deze toch geldt voor n = 2. Neemt 
men verder de juistheid van (14) aan voor een som van n termen, dan 
blijkt de juistheid voor een som van n + 1 termen aldus (gebruik 
makend van de formule (10) van n^. 48): 

«1 + ^2 + •••• + «/2+1 =(% + «2 +.... + a«) + ^/2 + l = 

= {«l + (^2+"--+fl/2)} -\-an^l = fli + {(«2 + ... . + «/z) -h «n+l} = 

= «1 + (^2 + . ■ . . -f- fl/z + «n+l). 



26 

getallen gebezigd worden in verband daarmede, dat a-\- 1 het op 
a volgende getal is (zie het aan het eind van n^. 45 opgemerkte). 

Door volledige inductie naar b i) blijkt nl., dat daardoor de 
som a + b voor ieder getal b gedefinieerd is. Het omtrent a + 1 
opgemerkte doet nl. zien, dat aan den eersten eisch, en in ver- 
band met de betrekking (21), dat aan den tweeden eisch voor 
volledige inductie voldaan is. 

In een zoodanig geval, waarbij nog een bewijs door volledige 
inductie noodig is om te doen inzien, dat we inderdaad met een 
definitie te maken hebben, spreken we van een definitie door 
volledige inductie. 

66. De grondeigenschappen van n^. 48 kunnen nu, bij de in 
n^ 65 gegeven definitie van optelling, door volledige inductie 
worden aangetoond. 

We beginnen met het bewijs der associatieve eigenschap, dus 
van de formule (10) van n^ 48. We doen dit door volledige 
inductie naar c ^). Voor c = \ gaat (10) in (21) over, zoodat 
aan den eersten eisch voor volledige inductie voldaan is. Om 
het voldaan zijn aan den tweeden eisch voor volledige inductie 
aan te toonen nemen we de juistheid van (10) aan en bewijzen 
daaruit de gelijkheid: 

(a + ^) + (c + 1) = a -f {^ + (c + 1)}, 
die uit (10) ontstaat door c door c + 1 te vervangen. Dit bewijs 
loopt aldus: 

{a + b) + {c-^- \)= {[a + b) + c] ^ \^) = {a -\- (b ^ c)] + \ ') = 
= a + {{b-\~c)-^\]^) = a + {b-\-{c^\)) % 

67. Voor het bewijs der commutatieve eigenschap, dus van 

de formule (9) van n^ 48, beginnen we met het bewijs van het 

bijzondere geval 

a + 1 = 1 + a. (22) 

Dit geldt voor a =p \. Aangetoond moet dus nog worden, dat 



^) De toevoeging „naar ^" duidt aan, dat de te bewijzen eigenschap 
als een eigenschap betreffende het getal b wordt opgevat. 
^) Zie noot 1. 
3) Volgens (21). 
^) Volgens (10). 



27 

als (22) geldt ook voldaan is aan: 

(a + 1) + 1 = 1 + (a + 1). 
Dit bewijs loopt aldus: 

(a + 1) + 1 = (1 + a) + 1 ^) = 1 + (a + 1) '). 
De formule (9) bewijzen we dan verder door volledige inductie 
naar b. Voor b = l gaat (9) in (22) over en is dus juist. Aan- 
getoond moet dus nog worden, dat, als aan (9) voldaan is, ook 
voldaan is aan: 

a + (/b + 1) = (ö + 1) + a, 
welk bewijs als volgt geleverd wordt: 

a-^{b-hl) = {a + b)-{-\'') = (b + a)^\^) = 
= b -i- (a + \)') = b + {l -\- a)^) = (b + \) + a. 
Bij den laatsten stap van dit bewijs wordt de (in n^ 66) bewe- 
zen associatieve eigenschap toegepast, zoodat bij deze bewijs- 
methode de associatieve eigenschap aan de commutatieve vooraf 
behoort te gaan. 



1) Volgens (22). 
^) Volgens (21). 
3) Volgens (9). 



§ 3. Aftrekking van natuurlijke getallen. 

68. Definitie der aftrekking. De tweede hoofdverbinding 

(of -bewerking) van twee getallen is de aftrekking. Deze wordt, 
ook bij alle volgende uitbreidingen van het getalbegrip, als de 
omkeering van de optelling gedefinieerd. Bij de aftrekking is het 
nl. de vraag het getal x zoo te bepalen, dat 

x + b = a (23) 

is, waarin a en ö gegeven getallen zijn; deze worden resp. 
aftrekta/ en aftrekker genoemd. 

Een gelijkheid als (23), die een eisch uitdrukt aan een voorloopig 
nog onbekend gelal x opgelegd en das dient om, zoo mogelijk, 
daaruit het getal x te bepalen, wordt een vergelijking genoemd. 

Wegens de commutatieve eigenschap der optelling kan men 
voor (23) even goed schrijven 

b^-xr=a. (24) 

Dit beteekent, dat bij de optelling slechts één omgekeerde verbin- 
ding behoort, dus dat er slechts één soort van aftrekking bestaat. 

69. Aan de vergelijking (23), of (24) wat op hetzelfde neerkomt, 
kan niet door twee verschillende getallen x voldaan zijn. Immers 
was aan (23) voldaan door x = x-^^n ook door x = x^ en was b.v. 
Xi > Xg, dan zou men volgens de eigenschap van n^. 49 hebben 

Xi -f ^ > ^2 + b, 
dus a> a, hetgeen een ongerijmdheid is (nl. in strijd met de 
eigenschap van n^. 3). 

Het blijkt dus, dat de aftrekking, zoo ze mogelijk is, ondubbel- 
zinnig is, d. w. z. dat aan de vergelijking (23) door hoogstens één 
getal X kan worden voldaan. Dit is, zooals gebleken is, een 
onmiddellijk uitvloeisel der grondeigenschap van n^. 49. 

We merken nog op, dat de ondubbelzinnigheid der aftrekking 
ook zoo kan worden uitgedrukt, dat uit 

x-\- b = y + b 
tot X =y kan worden besloten. 



29 . 

70. Geval, waarin de aftrekking mogelijk is. Zijn a en b 

de aantallen elementen der hoeveelheden H^ en H^ ^), dan is H^ 

een echt deel der somhoeveelheid H^ -\- H^, die a + ^ elementen 

bevat. In verband met de eigenschap van n^ 24 volgt hieruit: 

a + b> a, (25) 

m. a. w. : 

De som van twee getallen is grooter dan ieder der heide termen. 

71. Uit deze eigenschap volgt onmiddellijk, dat aan de ver- 
gelijking (23) niet kan worden voldaan als b ^ a is. 

Immers voor ieder getal x geldt volgens (25): 

x + b > b, 
waaruit in verband met ^ ^ a en de transitieve eigenschap van 

n^. 5 volgt: 

X -]r b > a. 
Het getal x voldoet dus niet aan (23). 

72. Is a > b en zijn H^ en H^ hoeveelheden ^), die resp. a 
en b tot aantal hebben, dan is H^ volgens de eigenschap van 
n^. 25 op een echt deel D van H^ af te beelden. Is nu //g de 
hoeveelheid der elementen van Hj, die niet tot D behooren, dan is: 

H^ = D + H^. (26) 

Het aantal elementen van D bedraagt b (zie de eigenschap van 

n*^. 23). Is c het aantal elementen van //g, dan is blijkens (26): 

a = b + c, 

waaruit blijkt, dat voor x = c aan de vergelijking (23) van n^ 68 

voldaan is. De aftrekking is nu dus mogelijk. 

Het bewijs neemt een eenvoudiger vorm aan door voor //g de 

hoeveelheid D zelf te nemen, waarbij men D kan laten bestaan 

uit de elementen van H^, die bij de telling van H^ rangnummers 

^ b verkrijgen; T/g bestaat dan uit de elementen van H^ met 

rangnummers > b. 
In verband met het in n^. 71 gevondene blijkt dus: 
De aftrekking is dan en alleen dan mogelijk als het aftrektal 

grooter is dan de aftrekker. 

73. Ander bewijs der eigenschap van n^. 72. Is x een wille- 
keurig aangenomen getal, dan vormt men het getal b ^ x door. 



^) Zonder gemeenschappelijke elementen. 



30 

met b + 1 beginnend, in hetzelfde tempo te tellen als een ander, 
die van 1 tot en met x telt (zie n^ 45). De vraag naar de 
mogelijkheid der aftrekking is dus dezelfde als de vraag of men 
met b + 1 beginnend te tellen, het getal a kan bereiken. Dit nu 
is dan en alleen dan mogelijk als a > ö is. 

Ook op deze wijze blijkt dus onmiddellijk de juistheid der 
eigenschap van n^. 72. Tevens blijkt zoo, dat men voor a > b 
het getal x, dat aan (23) of {24) voldoet, vindt door met 1 
beginnend in hetzelfde tempo mede te tellen met een ander, die 
van b -\- 1 tot en met a telt. 

74. Is bij de laatste uitkomst A de persoon, die van ö + 1 tot 
en met a, en B de persoon, die van 1 tot en met x telt, dan zijn 
de door B uitgesproken getallen te beschouwen als de rangnum- 
mers der door A uitgesproken getallen (vergelijk n^. 46), dus als 
de rangnummers der getallen >b als men deze naar de grootte 
rangschikt. Hieruit volgt: 

Is a> b, dan is het getal x, dat aan de vergelijking {23) 
van n^. 68 voldoet, hei rangnummer, dat aan a toekomt, als men 
de getallen, die > b zijn, naar de grootte rangschikt. 

Deze eigenschap is ook als een gevolg van die van n^. 46 voor 
den dag te brengen. 

75. Eigenschappen der aftrekking. \s a> b, dan wordt het 
getal X, dat aan de vergelijking (23) voldoet, door a — b voor- 
gesteld. Een uitdrukking als a — b wordt een verschil genoemd. 

Daar echter (steeds voor a > b) aan de vergelijking 

X -\- a = b 
niet kan worden voldaan (zie de eigenschap van n^. 72), heeft 
dan de verbinding b — a geen zin (d. w. z. zoolang geen andere 
dan de natuurlijke getallen zijn ingevoerd), zoodat de aftrekking 
niet de commutatieve eigenschap bezit. 

76. Daar de oplossing der vergelijking (23) a — b genoemd 

is, heeft men: 

{a — b)-\-b = a. (27) 

Daar x = a de oplossing der vergelijking 

X + b = a + b 
is, heeft men ook: 

{a-{-b) — b = a. ■ (28) 



31 

Uit de formules (27) en (28) en de eigenschappen der optel- 
ling kunnen de overige regels, volgens welke men met verschil- 
len rekent, worden afgeleid. 

We merken nog op, dat bij (27) ondersteld wordt, dai a > b 
is, terwijl (28) altijd geldig is. Hieruit blijkt, dat men het getal 
a steeds door het eerste lid van {28) kan vervangen, maar door 
het eerste lid van (27) alleen dan als a > b is. 

77. Is b > c en stelt men 

b — c = p, 
dan is: 

b = p + c, 

a -\- b = a i- ip ^ c) = {a -\- p) + c, 

a -\- p = {a -{- b) — c. 

Men heeft dus: 

a+ib — c) = ia-\-h) — c, (29) 

of in woorden uitgedrukt (als we van het eerste lid, dus van 
b — c, uitgaan): 

Een verschil wordt met een getal vermeerderd door het aftrek- 
tal met dat getal te vermeerderen. 

Bij het bewijs der formule (29) kan men natuurlijk het invoeren 
van de letter p vermijden door daarvoor steeds b — c te schrijven. 
Het bewijs wordt dan korter, maar misschien iets minder over- 
zichtelijk, en wel als volgt: 

a^ {b — c)^{{a^ {b - €)] ^ c\- c =^ 

= {a-\-{{b — c)-\-c]\ — c = {a-^b) — c, ^ ^ 

78. Zoowel bij het eene als bij het andere bewijs van n*^. 77 
zijn we van het eerste lid van (29) uitgegaan en hebben dit lid, 
zoo het beteekenis heeft (dus zoo-^ > c is) tot het tweede lid 
van (29) herleid. Daaruit blijkt tevens, dat dan ook de aftrek- 
king genoemd in het tweede lid van (29) mogelijk is. Dit 
ziet men trouwens ook direct daaruit, dat a + ^ > Z? is (zie 
n°.' 70), zoodat uit b > c volgt a^ b > c (zie de eigenschap 
van n*^. 5). 

Omgekeerd is het tweede lid van (29), zoo dit beteekenis heeft 
(dus als a^b> c is), niet steeds door het eerste hd te vervan- 



32 

gen. Dit is nl. alleen mogelijk a\s b > c is, daar slechts dan het 
eerste lid van (29) zin heeft ^). 

Door nu van het tweede lid der formule (29) (dus van a -\- b) 
uit te gaan kan deze aldus in woorden gebracht worden: 

Een som van twee getallen wordt met een getal verminderd 
door een der termen van de som met dat getal te verminderen, 
zoo dit laatste mogelijk is. 

79. Stelt men: 

{a — b)—c =p, 
dan is: 

a — b = c -\- p, 

a = b + {c-{-p) = {b + c)+p, 

a — (b ^ c) = p, 
We vinden dus: 

(a — b) — c = a — {b + c). (31) 

Uit het gegeven bewijs blijkt tevens, dat zoowel het eerste als 
het tweede lid dan en alleen dan zin heeft als a > b + c is; is 
hieraan voldaan, dan is de formule (31) juist. 
In woorden uitgedrukt luidt (31): 

Een verschil wordt met een getal verminderd door den aftrek- 
ker met dat getal te vermeerderen. 

Men kan het bewijs ook aldus inkleeden: 

a~[b + c) = {{a — b)^b) — (b + c) = 

= {[{[a — b) — c] + c]^- b) — {b ^ c) = 

= [{{a — b) — c]-\-(b-{- c)] — (bi-c) = (a — b)-c. 

80. Stelt men in (31): 

a = d ^ b, c = e — b, 
dus: 

a — b = d, b + c = e 

(zoodat b < e < a is), dan vindt men: 

d — {e—b) = {d + b) — e, 
of met andere letters: 

a — (b — c) = {a + c) — b. (32) 



1) Men kan natuurlijk ook het tweede lid van (29) tot het eerste 
hedeiden door de aaneengeschakelde gelijkheden (30) in tegengestelden 
zin te lezen. 



33 

Dit geldt voor c < b < a -\- c 

Het eerste lid van (32) kan, zoo dit zin heeft (dus als c < b <a-{-c 
is), steeds door het tweede lid worden vervangen. Omgekeerd is 
het echter wel mogelijk, dat het tweede lid van (32) zin heeft, 
maar het eerste niet (nl. als c^ b is). 

81. De formules {29), {31) en {32) stellen ons in staat bij de 
uitdrukkingen 

a + {b — c), {a — b) — c en a — (b — c) 
het aftrekteeken buiten de haakjes te brengen. Door herhaalde 
toepassing dier formules kan men dan hetzelfde voor gecompli- 
ceerdere vormen bereiken. 

Zoo vindt men door tweemalige toepassing van (29): 

{a — b)-i-{c — d) = {a + {c — d)} —b = {{a + c) — d] — b, 
waaruit in verband met (31) volgt: 

{a — b)-\-{c — d)={a + c) — {b-\- d). (33) 

In woorden luidt dit: 

De som van twee verschillen is gelijk aan het verschil van 
de som der aftrektallen en de som der aftrekkers. 

Door achtereenvolgens (31), (29) en (32) toe te passen, of (32), 
(29) en (31), vindt men evenzoo: 

{a — b) — {c — d) = (a + d) — {b^- c\ (34) 

hetgeen we aan den lezer overlaten na te gaan. 

82. Uit (29), (31) en (32) kunnen nog allerlei andere formules, 
waarin drie getallen voorkomen, worden afgeleid. Zoo volgt uit 
(29) en (32): 

{a — b) + c = a — {b — c), (35) 

hetgeen geldt voor a> b > c. In woorden luidt dit: 

Een verschil wordt met een getal vermeerderd door den aftrek- 
ker met dit getal te verminderen, zoo dit laatste mogelijk is. 

We merken nog op, dat uit (35) blijkt, dat a — (b — c) niet 
gelijk is aan {a — b) — c, zoodat de aftrekking niet associatief 
is. Ten overvloede ziet men dit aan het volgende voorbeeld: 
4 ~ (2 — 1) = 4 — 1 = 3, (4 — 2) — 1 = 2 — 1 = 1. 

83. Verder volgt uit de formule (31) door daarin b qu c 

te verwisselen: 

{a — c) — b = a — {b^c), 

FRED. SCHUH, Leerboek der Theoretische Rekenkunde. 3 



34 

waaruit in verband met (31) volgt: 

(a — b) — c = (a-c) — b, (36) 

hetgeen geldt voor a > b + c. In woorden luidt dit : 

Een verschil wordt met een getal verminderd door het aftrek- 
tal met dat getal te verminderen. 

Op dezelfde wijze leidt men uit (29) af: 

a-\-{b — c) = b + {a — c), (37) 

hetgeen geldt voor c < a en < b, en uit (32): 

a — {b — c) = c — {b — a), (38) 

hetgeen geldt voor b > a, > c en < a + c. 

84. Uit de eigenschap van n^ 49 leidt men zonder moeite af: 
Is a > b en c < a en < b, dan is: 

a — c > b — c. 
Was nl. a — c < b — c, dan zou daaruit in verband met de 
eigenschap van n^ 49 volgen: 

{a — c)+c^{b — c) + c, 
dus a ^ b, in strijd met het onderstelde. 

85. Het vergelijken van verschillen. Uit de gevonden for- 
mules is gemakkelijk af te leiden: 

Is a > b en c > d, dan geldt dan en alleen dan: 

a — b = c — d (39) 

als voldaan is aan: 

a-\-d = c + b. (40) 

Uit (39) volgt nl.: 

a = b + {c — d) = {b-\-c)-rd^), 

waaruit men tot (40) besluit. Langs den omgekeerden weg leidt 

men (39) uit (40) af. 

86. De eigenschap van n^. 85 is ook gemakkelijk rechtstreeks 
aan te toonen door 

a — b = p, c — d = q 

te stellen. Dan is nl.: 

a = b ^ p, c = d+ q, 
dus: 

a + {d-^q) = {b+p) + c, 

{a + d) + q = (b-^c)+p. (41) 



1) Volgens (29). 



35 

Blijkens de ondubbelzinnigheid der aftrekking (zie de opmer- 
king aan het eind van n^. 69) kan men met behulp van (41) 
uit (40) tot p = q, dus tot (39), besluiten en omgekeerd. 

87. Uit 

a + {b + c) = b + {a + c) 

volgt in verband met de eigenschap van n^. 85: 

a—b = (a^-c) — {b-\-c), (42) 

In woorden luidt dit: 

Een verschil verandert niet als men aftrektal en aftrekker 
beide met een zelfde getal vermeerdert of vermindert. 

Deze eigenschap voert onmiddellijk tot de formules (31) en (32) 
van n^. 79 en 80. 

88. Is a > b en O d, dan heeft men dan en alleen dan: 

a — b>c — d (43) 

als voldaan is aan: 

a + d> c + b, (44) 

Uit (43) volgt nl. in verband met de eigenschap van n^ 49: 
a = {a — b) + b>(c — d)'^b = (b + c) — d, 
a + d > {{b + c) — d] -^ d = c + b, 
waarmede (44) verkregen is. 

Omgekeerd volgt uit (44) in verband met de eigenschap van 
n\ 84: 

a = {a + d) — d>{b^-c) — d = {c — d) + b, 
a — b>{(c — d)-^b] — b = c — d. 



§ 4. Vermenigvuldiging van natuurlijke getallen. 

89. Product van twee natuurlijke getaUen. Vormen we de 
som van a gelijke getallen b, dus 

b + b^ b + + b {a termen), (45) 

dan wordt dit het product der getallen a en b genoemd en als 
a . b (ook wel aX b of a b) geschreven. De getallen a en b 
heeten de factoren van het product, terwijl men a in het bijzonder 
vermenigvuldiger en b vermenigvuldigtal noemt ^). 

Het vormen van het product van twee getallen, dat vermenig- 
vuldigen heet, is de derde hoofdverbinding. 

90. We kunnen ons de a termen b der som (45) voorstellen 
als aantallen elementen van a hoeveelheden (zonder gemeen- 
schappelijke elementen), waarvan dus ieder b elementen bevat. 
Het product a ^ is bijgevolg ook te definiëeren als het aantal 
elementen der hoeveelheid, die ontstaat door a hoeveelheden ieder 
van b elementen tot één hoeveelheid vereenigd te denken. 

Ook kan men zeggen, dat a b het aantal elementen is van de 



^) Evenzoo zou men bij de optelling, dus bij de vorming van het 
getal a + b, den term a (dus het getal, waarvan men uitgaat) het 
opteltal en den term b den optellen kunnen noemen. Deze onderschei- 
ding wordt echter gewoonHjk niet gemaakt omdat bij de in n^. 43 van 
a -\- b gegeven definitie onmiddelHjk blijkt, dat a en b dezelfde rol 
spelen, terwijl de verwisselbaarheid der factoren a tn b van het product 
a b (zie n°. 94) niet zoo onmiddellijk in het 002: valt en die getallen 
in elk geval bij de gegeven definitie een verschillende rol spelen. Bij 
de aan het eind van n^. 45 van a ^ b gegeven definitie zou de onder- 
scheiding tusschen opteltal en optelier meer reden van bestaan hebben; 
is dan a het opteltal, dan wil dit zeggen, dat men met a + 1 begin- 
nend telt en ^getallen opnoemt. 



37 

hoeveelheid, die ontstaat door ieder der a elementen van een 
hoeveelheid in b elementen gesplitst te denken. 

91. Moduluseigenschap der vermenigvuldiging. Neemt men 
in de in n^. 89 van vermenigvuldiging gegeven definitie b = \, 
dan vindt men: 

a .1 = a. (46) 

Nog duidelijker blijkt dit uit de definitie van rv^. 90. Door 
nl. a hoeveelheden, die ieder één enkel element bevatten, tot 
één hoeveelheid te vereenigen krijgt men een hoeveelheid met a 
elementen. 

Neemt men in de definitie van n^. 89 a=\, dan vindt men, 
in verband met de opmerking aan het eind van n^. 52: 

l .b = b. ' (47) 

Tot hetzelfde resultaat voert de definitie van n^ 90; één enkele 
hoeveelheid met b elementen voert nl. door toepassing dier 
definitie tot een hoeveelheid met b elementen (diezelfde hoe- 
veelheid). 

92. De gelijkheden (46) en (47) drukken uit, dat een pro- 
duct van twee factoren, waarbij een der factoren {onverschillig 
welke) 1 is, gelijk is aan den anderen factor. 

Deze eigenschap, die een grondeigenschap is, heet de modulus- 
eigenschap der vermenigvuldiging. 

Ook zegt men, dat hei getal 1 de modulus der vermenigvuldiging 
is, hetgeen beteekent, dat verbinding door vermenigvuldiging 
van een getal met 1 (onverschillig of 1 daarbij als vermenigvul- 
digtal dan wel als vermenigvuldiger optreedt) dat getal onver- 
anderd laat. 

93. Commutatieve eigenschap der vermenigvuldiging. De 

a in n^ 90 genoemde hoeveelheden, die ieder b elementen 
bevatten, zijn af te beelden op de getallen, die ^ a zijn, waar- 
door die hoeveelheden rangnummers verkrijgen. De hoeveelheid 
met rangnummer j noemen we Hj. 

Verder beelden we ieder der a hoeveelheden 

ƒƒ„ H„... ., Ha (48) 



38 

af op de getallen, die ^ b zijn. We kunnen dan de elementen 
der somhoeveelheid 

H, + H,^ +Ha (49) 

aanwijzen door twee indices, waarvan de eerste aangeeft tot welke 
der hoeveelheden (48) het element behoort en de tweede welk 
rangnummer in die hoeveelheid aan dat element toekomt; m. a. w. 
Ejk ^) is het k'^^ element van Hj. 

De hoeveelheid (49), die a b tot aantal heeft, wordt nu gevormd 
door de elementen Eju, waarin j de waarden 1, 2, . . . ., a en 
k de waarden 1, 2, . . . ., Z? kan aannemen. 

94. We kunnen nu d^ elementen Ejk , die denzelfden tweeden 
index hebben, dus de a elementen 

El k-, E^ki ' ' ' -i Eak^ 

tot een hoeveelheid vereenigd denken, die we /// noemen. Deze 
wordt dus verkregen door van ieder der hoeveelheden (48) het 
k^^ element te nemen. Men krijgt zoo b hoeveelheden 

ieder van a elementen, die vereenigd eveneens de hoeveelheid 
(49) opleveren. Hieruit blijkt, dat het aantal elementen van (49) 
even goed door b a kan worden voorgesteld, zoodat men heeft: 

ab = ba. (50) 

Ook bij de vermenigvuldiging geldt derhalve de commu- 
tatieve eigenschap, of anders gezegd de vermenigvuldiging van 
twee getallen is commutatief. Vermenigvuldiger en vermenig- 
vuldigtal zijn dus verwisselbaar, zoodat deze benamingen verder 
gemist kunnen worden. 

In n^. 91 hebben we reeds een bijzonder geval der commuta- 
tieve eigenschap ontmoet; uit (46) en (47) blijkt nl.: a . 1 = \ . a. 

95. Associatieve eigenschap der vermenigvuldiging. We 

stellen ons voor, dat ieder der in n^. 94 beschouwde elementen 
Ejk zelf weer een hoeveelheid met c elementen is; deze elementen 
wijzen we aan door de letter e met drie indices, zoodat ejki het 
l^^ element der hoeveelheid Ejk is. 
Daar ieder der ab hoeveelheden E in het bezit is van c elemen- 



^) Hierbij moet natuurlijk op de volgorde der indices gelet worden. 



39 

ten e, krijgt de hoeveelheid (49) {a . b) . c elementen als we de e's 
als elementen daarvan beschouwen (dus als we de e's tellen). 

Anderzijds wordt ieder der a hoeveelheden (48) gevormd door 
b hoeveelheden E, ieder met c elementen e, te vereenigen, zoo- 
dat ieder der a hoeveelheden (48) b c elementen e bevat. Het 
aantal elementen e der hoeveelheid (49) bedraagt dus ook a.{b . c), 

zoodat men heeft: 

{a . b) , c = a . {b . c). (51) 

Dit is de associatieve eigenschap der vermenigvuldiging, 

96. Gevolgen der voorgaande eigenschappen. De associa- 
tieve en de commutatieve eigenschap van n^. 94 resp. 95 zijn 
grondeigenschappen (zie n*^. 7). Deze kunnen, op geheel dezelfde 
wijze als in n^. 50 — 56 voor de optelling geschied is, tot een 
product van meerdere factoren worden uitgebreid. Men heeft 
slechts overal de woorden „som" en „termen" door „product" 
resp. „factoren" (en het teeken -f door X) te vervangen. Men 
mag das eenige factoren van een product door hun product 
vervangen en de volgorde der f actoren veranderen, zonder dat dit 
op de uitkomst van invloed is, 

We merken nog op, dat onder een product van meerdere 
factoren, zooals b.v. a b c d, te verstaan is: 

a,{b ,{c , d)), 
zoodat de vermenigvuldiging, in tegenstelling met de opteUing 
(zie n^. 47), van rechts naar links uitgevoerd gedacht wordt. De 
associatieve eigenschap maakt echter, dat men hiervan naar 
willekeur mag afwijken. 

97. Distributieve eigenschap der vermenigvuldiging. Vol- 
gens de definitie van n^ 89 is onder {a-{- b) c de som van a + b 
termen c te verstaan, waarvoor wegens de algemeene associatieve 
eigenschap der opteUing ook 

(c + c + .... + c) + (^ + c + .... + r) 
geschreven kan worden, waarbij de eerste uitdrukking tusschen 
haakjes een som van a termen c, de tweede een som van b 
termen c is. Die uitdrukkingen tusschen haakjes zijn dus gelijk 
aan a c en b c, waardoor men vindt: 

{a + b)c = ac + bc. (52) 



40 

Volgens de commutatieve eigenschap der vermenigvuldiging 

volgt uit (52): 

a{b^- c) = ab + ac. (53) 

Deze formule kan men ook rechtstreeks uit de definitie van 

product afleiden, volgens welke a{b + c) een som van a termen 

b + c is, dus (volgens de eigenschappen der optelling) een som 

van 2a termen, a termen b en a termen c. Door de a termen 

b tot a b en de a termen c tot a c samen te nemen geraakt 

men tot (53). 

In formule luidt dit bewijs: 

a(b + c) = {b^c) + {b + c) + . .. .-\-{b + c) = 

= {b-{-b-i-.... + b) + (c + c + ....-\-c) = ab-\-ac. 

98. De formules (52) en (53) drukken uit, dat men bij de 
vorming van een product, waarvan een der factoren een iweeterm 
is, de vermenigvuldiging over de termen van de som mag 
verdeelen (of distribueeren). Deze eigenschap wordt de distributieve 
eigenschap der vermenigvuldiging genoemd. 

Ook zegt men, dat de vermenigvuldiging distributief is ten 
opzichte van de optelling. Dit is een grondeigenschap. 

99. Algemeene distributieve eigenschap. Uit de grondvormen 
(52) en (53) der distributieve eigenschap kan men weer alge- 
meenere eigenschappen afleiden zonder van de beteekenis der 
begrippen „optellen" en „vermenigvuldigen" gebruik te behoeven 
te maken. 

Zoo vindt men door tweemalige toepassing van (52): 
{a + b + c) d = {(a ^ b) + c] d = 
= (a -\- b) d -r cd = ad -\- bd -\- cd. 
Algemeener heeft men: 

{a^ + a, + . . .+an)b = a^b + a,b-\-... + ünb ^). (54) 



1) Uit deze formule, die zonder gebruik te maken van de associatieve 
eigenschap der vermenigvuldiging is aangetoond, kan men een bewijs 
van laatstgenoemde eigenschap afleiden door 

a^ = a2 = . . . = Un = a 
te nemen. Daardoor gaat (54) nl. over in: 

(na) b = n (ab). 



41 

Hierin ligt de grondvorm (52) als het bijzondere geval n = 2 
opgesloten. 

Men kan de formule (54) door volledige inductie (zie n^ 62—64} 
aantoonen. Ze geldt nl. voor /z = 1, daar ze dan in a^h = a^h 
overgaat (zie de opmerking aan het eind van n^ 52), dus in een 
tautologie; aan den eersten eisch voor volledige inductie is dus 
voldaan. Om het voldaan zijn aan den tweeden eisch aan te 
toonen nemen we de juistheid van (54) aan en leiden daaruit in 
verband met (52) af: 
(a^ + 0^2 + . . . -\- an-\- an^\) b = {(a^ + ag + . . . -f- a„) + a„ + i}ö = 

= (^1 + ^2 + . . . + ö«) ^ + a« + 1 Z? = öi ^ + Ö2 ^ + . . . + ön ^ + ö« + 1 ^. 

Hiermede is dan de gelijkheid verkregen, waarin (54) overgaat 
door daarin n door n -\- l te vervangen. 

Voor (54) kan men wegens de commutatieve eigenschap der 
vermenigvuldiging ook schrijven, daarbij de letters ö en ^ 
verwisselend: 

a{b^ -h b^ + . . . + bn) = ab^ + ab^ + . . . ^ ab^. (55) 

Deze formule kan men natuurlijk ook zonder de commutatieve 
eigenschap door volledige inductie uit (53) afleiden ^). 

100. Met behulp van de formules (52) en (53) vindt men: 
(a + b){c -{-d)=^a{c-^d) + b {c + d) = ac + ad + bc^ bd, 
dus: 

{a + b){c^d) = ac + ad + bc -f bd. (56) 

Evenzoo vindt men: 

(a-\- b) {c + d + e) = ac -^ ad+ ae i- bc + bdi- be. 
Algemeener heeft men: 

(öi + «2 + . . . + üm) (Z^i + ^2 + • • • + bn) = 

= a^b^ + 01^2 + » . . + a^bn + a^b^ + . . . + ambn- (57) 

Door nl. op het eerste lid van (57) eerst de formule (54) toe 

te passen krijgt men een som van m termen. Door vervolgens 



^) Omgekeerd kan men dan uit (55) een bewijs der commutatieve 
eigenschap afleiden door 

b^ = 02 = . . . = bn = b 
te stellen. Men vindt dan a(nb) = n{ab), dus b = \ nemend en lettend 
op de formule (46) van n°. 91: 

an = na. 



42 

de formule (55) toe te passen valt ieder dier m termen in n 
termen uiteen, waardoor men in het geheel mn termen verkrijgt. 
Deze termen ontstaan door ieder der m termen van den eersten 
factor (vermenigvuldiger) met ieder der n termen van den tweeden 
factor (vermenigvaldigtal) door vermenigvuldiging te verbinden. 
In (57) liggen de formules (54) en (55) als bijzonder geval 
opgesloten en wel (54) als het geval n=\, (55) als het geval m = \. 

101. De distributieve eigenschap is natuurlijk ook tot een 
product van meerdere factoren uit te breiden. Zoo heeft men: 

{a ^b)(c + d) {e-\-f) = ace -f acf^- ade + adf-^- bce + bcf+ bde + bdf, 
waarbij dus iedere term van den eersten factor met lederen term 
van den tweeden en lederen term van den derden factor tot een 
product van drie factoren verbonden wordt. 
Algemeener is 

(ai 4 Ö2 + . . . . + a;n) (^1 + ^2 + + <b„) (^1 + ^2 + + Cp) 

te herleiden tot een som van m n p termen aj bk Cu waarbij j 
ieder der waarden 1, 2, . . . ., m kan aannemen, k ieder der 
waarden 1, 2, . . . ., n en l ieder der waarden 1, 2, . . . ., /?. 

102. Het voorgaande is verder weer tot een product van meer 
dan drie factoren uit te breiden, waardoor men vindt: 

Een product van u factoren 

waarbij Ai een som van nt termen V is, is gelijk aan een som 
van n-^ . n^ . . . . nu termen, waarvan ieder een product is van 
u factoren, en wel zoodanig, dat uit ieder der u oorspronkelijke 
factoren {58) één en slechts één term als factor optreedt. 

Dit is de algemeene distributieve eigenschap der vermenig- 
vuldiging. 

We merken nog op, dat bij de uitbreiding der distributieve 
eigenschap slechts van de beide in n^. 97 voorkomende grond- 
vormen (52) en (53) dier eigenschap, en niet van de commutatieve 
en associatieve eigenschap der vermenigvuldiging, gebruik behoeft 
te worden gemaakt. 



^) Het getal m kan natuurlijk ook 1 zijn. 



43 

103» Distributieve eigenschap der vermenigvuldiging ten 

opzichte van de aftrekking. Is a > ^, dan heeft men volgens 

de distributieve eigenschap der vermenigvuldiging: 

ac = {{a — b) -^ b] c = {a — b) c+ bc, 

ac — bc = (a— b) c. (59) 

Wegens de commutatieve eigenschap der vermenigvuldiging 

heeft men ook: 

ab — ac = a(b — c). (60) 

De formules (59) en (60) drukken uit, dat de vermenigvuldiging 

ten opzichte van de aftrekking distributief is. 

104. Door (59) en (60) te combineeren kan men nog andere 
eigenschappen afleiden. Zoo vindt men 2i\s a > b ^n c > d is: 

[a - b) (c — d) = a {c — d) — b {c — d) = 
= (ac — ad) — {bc — bd), 
waaruit men in verband met de formule (34) van n°. 81 afleidt: 
(a — b){c — d) = {ac + bd) — {ad + bc). (61) 

105. Uit de formule (59), die geldt als ö > /? is, leest men af: 
Is a> b, dan is ca > eb. 

Voor het bewijs hiervan kan men zich ook op de aan het 

eind van n^ 59 bedoelde eigenschap beroepen door van de c 

ongelijkheden 

ai > bi {i - 1, 2, . . . ., c) 

de eerste leden aan elkaar gelijk te nemen, evenals de tweede 

leden. 

106. Op geheel dezelfde wijze als in n^ 57 is uit de eigenschap 
van n°. 105 af te leiden: 

Is a > b en c > d, dan is ac > bd. 

Dit is met de eigenschap van n^. 105 aldus samen te vatten: 

Is a > b, en c ^ d, dan is ac > bd. 

Evenzoo heeft men (vergelijk de eigenschap van n^. 59): 

Is a > b, c > d en e > f, dan is ace > bdf. 

Dit is verder tot meerdere ongelijkheden uit te breiden. 



44 

107. Definitie der vermenigvuldiging door volledige inductie. 

Op soortgelijke wijze als de optelling (zie n^. 65) kan men 
de vermenigvuldiging definieer en door de formule (47) van n^, 
91 en 

{a + 1) c = ac + c, 

welke laatste formule in verband met (47) als bijzonder geval in 
de formule (52) van n^. 97 ligt opgesloten. 

Door volledige inductie naar a (dus van a op a + 1) blijkt dan, 
dat daardoor het product ah voor ieder getal a gedefinieerd is. 

Het bewijs b.v. dat 2.2 = 4 is, loopt bij deze definitie (in 
verband met die van n°. 65) aldus: 
2.2 = (l + l)2 = 1.2+2 = 2+2 = 2+(l + l) = (2+l)+l=3-]-l-4. 

108. De distributieve eigenschap (52) (zie n^ 97) bewijst men 
uit de definitie van n^. 107 door volledige inductie naar b. Voor 
b = l is (52) nl. een onmiddelijk uitvloeisel der definitie, terwijl 
men den stap van b op Z? + 1 aldus uitvoert: 

{a + ib + l)] c= {{a-\-b)^ 1} c = (a + b)c -{- c = 
= {ac -\- bc) -]- c = ac + (bc -h c) = ac + [b -{- 1) c. 
De distributieve eigenschap in den vorm (53) bewijst men door 
volledige inductie naar a. Voor a = 1 blijkt de juistheid van (53) 
onmiddellijk uit (47), terwijl de stap van ö op a + 1 aldus gaat: 

{a+ l){b ^ c) = a{b + c)-]- {b + c) = 
= ab + ac -^ b + c = (ab + b) -^ (ac + c) = [a -i- l) b -{- (a + l)c. 

109. Met behulp van de distributieve eigenschap (52) bewijst 
men nu verder de associatieve eigenschap (51) door volledige 
inductie naar a. Voor a = 1 volgt (51) onmiddellijk uit (47), 
terwijl de overgang van a op a + 1 aldus verloopt: 

{(a +\)b} c = (ab + b)c = (ab) c + bc = 
= a (bc) ^ bc = (a+ \) (bc). 

110. Voor het bewijs der commutatieve eigenschap (50) (zie 
n^ 94) beschouwen we eerst het geval b = \. Daarvoor verloopt 
het bewijs door volledige inductie aldus: 

(fl + 1) . 1 = ö . 1 + 1 = 1 . a + 1 = ö + 1 - 1 . (ö + 1). 
De formule (50) geldt dus voor b = \, terwijl dan verder de 



45 

stap van b op b -\- l aldus te verrichten is (gebruik makend van 
de distributieve eigenschap (53) voor het geval c = \): 
a{b -]- \) = ab + a .1 =ba-\- a = (b + \)a. 

111. Product van twee hoeveelheden. We keeren terug tot 
de in n^. 93 beschouwde hoeveelheden (48), waarvan ieder b 
elementen bevat, en de som (49) dier hoeveelheden, waarvan het 
aantal elementen a b bedraagt. Zij verder H een hoeveelheid van 
a elementen 

en H' een hoeveelheid van b elementen, die met H geen element 
gemeen heeft; de elementen van H' noemen we 

Zooals in n^ 93 is opgemerkt kan een element der hoeveelheid 
(49) door twee indices j en k worden aangewezen, waarvan j 
een der getallen 1, 2, . . ., a en y^ een der getallen 1, 2, . . ., b 
is. In plaats van door J en k kan men dit element ook door het 
element Ej van H en het element Ek van H' aanwijzen. Hierdoor 
krijgt men de hoeveelheid (49) afgebeeld op de hoeveelheid der 
elementenparen 

waarvan het eene tot H en het andere tot H' behoort i). 

112. De in n^ 111 beschouwde hoeveelheid, die ontstaat door 
ieder element van H met leder element van H' tot een paar te 
vereenigen, wordt het product der hoeveelheden H en H' genoemd 
en door H . H' aangeduid. Daar de producthoeveelheid (evenals 
de hoeveelheid (49), waarop ze af te beelden is) ab elementen 
bevat, kan het product ab der getallen a en b ook gedefinieerd 
worden als het aantal elementen van het product H . H' van een 
hoeveelheid H met a en een hoeveelheid H' met b elementen. 

We merken nog op, dat de hoeveelheid H . H' als een som 



M Neemt men voor H de hoeveelheid der getallen 1, 2, . . ., a en 
voor H' die der getallen \, 2, . . ., b (waarbij men, wat de gemeen- 
schappelijke getallen betreft, onderscheid m.oet maken tusschen een getal 
als behoorend tot H en datzelfde getal als behoorend tot tï), dan is 
de in den tekst genoemde hoeveelheid niets anders dan die der 
indexparen van de elementen Ejk der hoeveelheid (49). 



46 

van a hoeveelheden ^) ieder met b elementen te beschouwen is, 
waarbij de f^ dier hoeveelheden gevormd wordt door de 
elementenparen 

hierdoor geraakt men van de nieuwe definitie van het product 
ab tot de oorspronkelijke terug (zie n^ 90). 

113. Evenals dat bij een som van twee hoeveelheden het 
geval was (zie de noot van blz. 15) is het begrip „product" van 
twee hoeveelheden natuurlijk niet tot eindige hoeveelheden 
beperkt. 

Het vormen van het product H . H' wordt vermenigvuldiging der 
hoeveelheden H en H' genoemd. 

Bij de van H . H' gegeven definitie spelen beide hoeveelheden 
dezelfde rol, zoodat onmiddellijk te zien is, dat de vermenig- 
vuldiging van twee hoeveelheden commutatief is. M. a. w. : 

H . H' = H' . H. (62) 

114. Ook is de vermenigvuldiging van hoeveelheden assoc/a- 
tief, d. w. z. : 

(ƒƒ . //O .H'' = H. (H' , H''). (63) 

Immers zoowel de in het eerste lid als de in het tweede lid 
van (63) genoemde hoeveelheid wordt gevormd door de elemen- 
ten, die men verkrijgt door een element van H met een element 
van ƒƒ' en een element van /ƒ'" tot een drietal (dat verder als 
één enkel element beschouwd wordt) vereenigd te denken (ver- 
gelijk no. 41). 

115. In verband met de optelling van hoeveelheden (zie n°. 
38 en 39) heeft de vermenigvuldiging van hoeveelheden nog de 
distributieve eigenschap, die in formule luidt: 

(ƒ/ + H') .H'' = H. H'' + H' . H'\ (64) 

Immers een element van de in het eerste Hd van (64) genoemde 



^) Zonder gemeenschappelijke elementen. 

2) Ook is de hoeveelheid H.H' te beschouwen als een som van 
b hoeveelheden ieder met a elementen, waarbij de k^^ dier hoeveelheden 
gevormd wordt door de elementenparen 

(E„ Ek'), (E,, E^\ . . ., (Ea, Ek'). 



47 

hoeveelheid is een paar, dat ontstaat door een element van 
H + ƒƒ' (dus een element van H of van H') met een element 
van ƒƒ'' te combineeren. Dit elementenpaar is dus een element 
van H . H" of van H' , H'\ dus een element van de in het tweede 
lid van (64) genoemde hoeveelheid. Evenzoo bewijst men, dat 
omgekeerd een element van laatstgenoemde hoeveelheid ook 
behoort tot de hoeveelheid genoemd in het eerste lid van (64). 

116. Wanneer we de vermenigvuldiging van getallen op de 
in n^. 112 aangegeven wijze definiëeren, dus met behulp van ver- 
menigvuldiging van hoeveelheden, is de moduluseigenschap (zie 
n°. 91 en 92) onmiddellijk in te zien, terwijl de grondvormen 
(50), (51) en (52) resp. van de commutatieve, associatieve en 
distributieve eigenschap der vermenigvuldiging van getallen 
onmiddellijk uit de overeenkomstige, door (62), (63) en (64) uit- 
gedrukte, eigenschappen van hoeveelheden volgen. Ook de uit- 
breidingen dier grondeigenschappen, dus de algemeene commu- 
tatieve, associatieve en distributieve eigenschap (zie n°. 96 en 
102), zijn uit de definitie van n^ 112 door beschouwing van 
hoeveelheden aan te toonen, op soortgelijke wijze als dit in n^. 
60 voor de optelling geschied is. Het bewijzen der afgeleide 
eigenschappen uit de grondeigenschappen verdient echter de 
voorkeur (zie n^ 61). 



§ 5. Machtsverheffing van natuurlijke getalle"* 

117. Definitie der machtsverheffing. Vormi men hei prodaci 
van b gelijke factoren a, dus 

a . a . a . . . . a {b factoren), 

dan schrijft men daarvoor 

aK 

Deze uitdrukking wordt een macht genoemd en wel a tot de 
macht b. Het getal a heet gnondtal en het getal b de exponent 
van de macht. Het vormen van de macht heet machtsverheffing; 
deze wordt niet tot de hoofdverbindingen gerekend, daar ze, 
zooals blijken zal, niet rechtstreeks bij de vorming der verschillende 
uitbreidingen van het getalbegrip betrokken is. 

Voor b = 2 wordt de macht ook het vierkant of l(wadraat van a 
genoemd. 

118. Uit de definitie der machtsverheffing volgt onmiddellijk, 
door te bedenken, dat een product met één factor gelijk aan 
dien factor is (vergelijk n^. 52): 

a' = a, (65) 

terwijl men in verband met de moduluseigenschap der vermenig- 
vuldiging (zie n^. 91 en 92) heeft: 

P=:l. (66) 

Uit (65) en (66) blijkt, dat a^ en 1^ alleen dan gelijk zijn als 
a = l is; a^ en b^ zijn dus niet altijd gelijk, zoodat de machtsver- 
heffing een niet- commutatieve verbinding is. Echter kan het wel 
voorkomen, dat a^ en ö^ gelijk zijn zonder dat a en b gelijk 
zijn, zooals 2^ = 4^ doet zien ^). 

119. Distributieve eigenschap der machtsverheffing. Volgens 
de in n^. 117 gegeven definitie is (a by een product van c gelijke 
factoren a b, dus een product van 2c factoren, c factoren a en c 



1) Aangetoond kan worden, dat dit het eenige geval is, waarbij 
a^ = ^ö en a ^ b is; zie n^. 213. 



49 

factoren b. Door de c factoren a tot ö^ en de c factoren b tot 
b'^ samen te nemen vindt men: 

{aby = a'b'. (67) 

Hieruit leest men af, dat men bij de vorming van een macht 
waarvan het grondtal een product van twee factoren is, de machts- 
verheffing over de factoren van het product mag verdeden. 
Men drukt dit uit door te zeggen, dat de machtsverheffing, wat 
het grondtal betreft, distributief is ten opzichte van de vermenig- 
vuldiging ^). 

Men kan de eigenschap ook zoo formuleeren, dat het product 
van twee gelijknamige machten gevonden wordt door de gelijk- 
namige macht van het product der grondtallen te vormen. Hierbij 
zijn onder gelijknamige mactiten machten met denzelfden exponent 
te verstaan. 

120. Het van de formule (67) gegeven bewijs is geheel gelijk 
aan het in n^ 97 gegeven bewijs der formule (53) als men in 
laatstgenoemd bewijs de optelling door vermenigvuldiging en de 
vermenigvuldiging door machtsverheffing vervangt. 

Dit staat hiermede in verband, dat de machtsverheffing op 
dezelfde wijze uit de vermenigvuldiging wordt afgeleid (nl. als 
herhaalde vermenigvuldiging) als de vermenigvuldiging uit de 
optelling (nl. als herhaalde optelling). Bij de machtsverheffing 
spelen grondtal en exponent resp. dezelfde rol als vermenigvul- 
digtal en vermenigvuldiger bij de vermenigvuldiging. Daardoor 
is de distributieve eigenschap der vermenigvuldiging, wat het 
vermenigvuldigtal betreft, d. i. de formule (53), onmiddellijk om 
te zetten tot de distributieve eigenschap der machtsverheffing, wat 
het grondtal betreft ^). 



1) Dit geldt niet wat den exponent betreft, daar a*^ niet steeds 
gelijk is aan a^W^, zooals uit de formule (69) van n^. 122 blijkt, 
maar ook met behulp van een voorbeeld kan worden aangetoond. Hier- 
voor kan men nemen: 

21-2 = 4, 21 .22 = 8. 

2) De lezer geve zich rekenschap waarom de distributieve eigenschap der 
vermenigvuldiging wat den vermenigvuldiger betreft, dus de formule (52), 
niet is om te zetten tot distributiviteit der machtsverheffing ten opzichte 
van de vermenigvuldiging wat den exponent betreft; vergelijk n^. 122. 

FRED. SCHUH, Leerboek der Theoretische Rekenkunde. 4 



50 

121. Op dezelfde wijze als waarop (53) uit te breiden is tot 
het geval, dat het vermenigvuldigtal een som van n termen is, 
hetgeen door volledige inductie geschieden kan (zie n^. 99, waar 
op deze wijze de formule (52) is uitgebreid), is de formule (67) 
uit te breiden tot het geval, dat het grondtal een product van 
n factoren is. Men vindt zoo: 

(öi 02 . . . . anY = öi* . ö/ . . . . a/. (68) 

Dit is de algemeene distributieve eigensc/iap der machtsver- 
heffing. 

122. Verdere eigenschappen der machts verheffing. Een 

verdere eigenschap der machtsverheffing is: 

ab^' = a^a'. (69) 

Het bewijs hiervan verloopt op geheel soortgelijke wijze als 
dat van de formule (52) van n^. 97. Het eerste lid van (69) is 
nl. het product van b -[- c factoren a. Door b dier factoren tot 
a^ en de overige c factoren tot a'^ samen te nemen geraakt men 
tot (69). 

De formule (69) is verder weer door volledige inductie uit te 
breiden tot: 

a^*''^*--*''^ = a''Ka'\...a\ (70) 

123. Door in de formule (70) de getallen b^, b^, . , . ., bn alle 
gelijk te nemen vindt men (n door c vervangend): 

a^' = (a^y. (71) 

Hieruit blijkt, dat 

{a^y en d''^ (72) 

niet gelijk zijn, daar toch bc en b^ niet gelijk behoeven te zijn, 
zooals het geval b = \ doet zien. De machtsverheffing bezit dus 
niet de associatieve eigenschap. Men moet dus door haakjes aan- 
geven welke der beide uitdrukkingen (72) bedoeld is. Laat men 
de haakjes weg, schrijft men dus 

a'' , (73) 

dan is daarmede de tweede der uitdrukkingen (72) bedoeld. Dit 
vindt zijn reden daarin, dat men voor de eerste der uitdrukkingen 
(72) eenvoudiger a*^ schrijven kan, terwijl de tweede uitdruking 
niet verder te vereenvoudigen is. 



51 

Uit (71) leiden we verder nog af: 

zoodat de exponenten b en c verwisseld mogen worden. Dit is 
(wegens het niet-commutatieve karakter der machtsverheffing) bij 
de uitdrukking (73) niet geoorloofd. 

124. Is a > b, dan is 

a' > b'. (74) 

Dit is door volledige inductie naar c zonder moeite aan te 
toonen. De ongelijkheid (74) is nl. juist voor c = \, terwijl men 
uit (74) in verband met de eerste eigenschap van n^. 106 afleidt: 

a' . a > b' . b, 

Dit nu is de ongelijkheid, waarin (74) overgaat door c te vervan- 
gen door c i- l (zie ook de aan het eind van n^. 106 bedoelde 
uitbreiding der daar voorkomende eigenschappen). 

Omgekeerd kan men natuurlijk uit (74) tot a > b besluiten, 
daar uit a ^ ^ zou volgen a^ ^ K 

Door ^ = 1 te nemen vindt men in het bijzonder (lettend op 
de formule (66) van n^ 118): 

Voor a > I is 

a'>\, (75) 

125. Verder heeft men: 

Is a > 1 en b > c, dan is: 

a^ > a'. (76) 



Volgens (75) is nl. 
dus: 



,b-c 



> 1, 



a^-' . a' > l .a', 

^{b-c) ^ c -^ ^c^ 

waaruit men tot (76) besluit. 

Omgekeerd kan uit {76) tot b > c besloten worden, evenals uit 
a^ = a^ en a > 1 tot b = c, zooals zonder moeite blijkt. 

126. Uit de formule (56) van n^. 100 vindt men: 

(1 + a)2 = 1 + 2fl + ö^ 
waaruit volgt: 

(\ +ay> \ + 2a. (77) 

Door volledige inductie leiden we daaruit af: 



52 

Voor n ^ 2 is 

(1 + ar > 1 + na, (78) 

Voor n = 2 gaat (78) nl. in (77) over. Om den stap van n 
op /z + 1 te doen leiden we uit (78) in verband met de eigen- 
schap van n^. 105 af: 

(1 +ay^' > (1 + na)il + a) = 
= 1 + (n-}- l)a + na^> \ +(n + \)a, 
dus volgens de eigenschap van n^. 5: 

(1 +0)'^-^! >\+(n+ l)a, 
hetgeen de ongelijkheid is, waarin (78) overgaat door n door 
/z -h 1 te vervangen. 

127. Gevallen, waarin de machtsverheffing associatief is. 

We willen nu nagaan in welke gevallen de gelijkheid 

{a^)' = a^' (79) 

bestaat, das de machtsverheffing associatief is. 
Uit (79) volgt: 

a^' = a^'. (80) 

Hieraan is voldaan voor a = \. 
Is a > 1, dan geldt (80) dan en alleen dan als 

bc = b' (81) 

is (zie de opmerking aan het eind van n^ 125). Hieraan is 
voldaan voor c = \. 

Is c > 1, dan volgt uit (81) als men c = d -\- \ stelt: 

b{d+\) = b. b<^, 
waaruit men afleidt: 

d+\ =b^^), (82) 

Hieraan is niet voldaan als è = 1 is, waaruit volgt ^ > 1. We 

kunnen dus b = \ -\- e stellen, waardoor (82) overgaat in: 

öf + 1 = (1 + ey. (83) 

Voor d = 1 (dus c = 2) volgt hieruit e = 1 (dus b = 2). Is 

d > \, dan volgt uit (83) in verband met de eigenschap van n^. 126: 

d-\-l> \ +de, 

d > de, 

hetgeen voor geen enkele waarde van d en e het geval is. 



M Uit ö? + 1 < of > ^^ zou nl. volgen b{d + 1) < resp. > b.b^. Zie 
ook n^. 133, waar de ondubbelzinnigheid der deeling besproken wordt. 



53 

Resumeerend vinden we dus: 

Aan de vergelijking (79) wordt alleen in de volgende drie 
gevallen voldaan: 

P, als a = 1 is, 2^. als c = 1 is, 3^. als b = c = 2 is. 



128. Definitie der machtsverheffing door volledige inductie. 

Ook de machtsverheffing kan door volledige inductie gedefinieerd 
worden, nl. door de formule (65) van n^. 118 gecombineerd met 

ab^^=:a,a\ (84) 

Deze definitie stemt geheel met de in n^. 107 van vermenig- 
vuldiging gegeven definitie overeen als men de daarin voorkomende 
optelling en vermenigvuldiging resp. door vermenigvuldiging en 
machtsverheffing vervangt; daarbij moet men vermenigvuldiger 
door exponent vervangen, waardoor de formule (47) van n^. 91 
in (65) overgaat. 

129. De distributieve eigenschap (67) der machtsverheffing (zie 
n^. 119) kan nu door volledige inductie naar c bewezen worden. 
Voor c = 1 volgt (67) onmiddellijk uit (65), terwijl men aldus 
den stap van c op c -\- \ kan doen: 

(aby^^ = (ab) . (aby = aba'b' = 

= {a . a')(b . b') = a'^^ b'^K 

De formule (69) van n^. 122 bewijzen we door volledige inductie 

naar c. Voor c = 1 volgt de juistheid van (69) onmiddellijk uit 

(84) en (65), terwijl de stap van c op r + 1 aldus gedaan wordt: 

^ö+(c+i) _ ^(ö+c) + i ^ ^ ^ ^b+c = a[aK a') = 

= a^(a . a') = a^a'^K 
Evenzoo kan de formule (71) van n^ 123 door volledige inductie 
naar c bewezen worden, hetgeen we aan den lezer overlaten. 

130. Definitie der machtsverheffing met behulp van hoe- 
veelheden. Blijkens de definitie van n^ 117 is het getal a^ ook 
op te vatten als het aantal elementen der hoeveelheid H, die 
ontstaat door het product te vormen . van b hoeveelheden 

H^y //g, . . . ., Hb (85) 

ieder van a elementen (zie n^ 112). 



54 

Een element der hoeveelheid H ontstaat door van ieder der 
hoeveelheden (85) een element te nemen en deze b elementen 
tot één enkel element vereenigd te denken. Is Hk een der hoe- 
veelheden (85), dan noemen we de elementen van Hk : 

Een element der producthoeveelheid H is dan een b-ial elementen 

^1/ ' 2/ ' sA J . . . ., ^bj^, (86) 

waarvan het eerste tot H^ behoort, het tweede tot //g, enz. De 
verschillende elementen van H verkrijgt men door in (86) aan 
Ji> J2y • • • •, Jb waarden toe te kennen, die voorkomen onder de 
getallen 1,2, — , a; daarbij mogen ook sommige dery's gelijk zijn. 

131. Zij H' een hoeveelheid met a elementen 

Ejy E^, . . . ., Ea- (87) 

Het element Ekj (het J^^ element der hoeveelheid Hk) kan worden 
aangewezen door de combinatie Hk , Ej, zoodat het element 
(86) van H aangewezen wordt door 

(ƒƒ„ EjJ, (ƒƒ„ EjJ, . . . ., (ƒƒ„ Ej^). (88) 

Het aantal elementen, waarvan (88) er één is, is gelijk aan dat 
der hoeveelheid //, dus a^. 

De b hoeveelheden (85) vatten we op als elementen van een 
hoeveelheid /ƒ'". Het element (88) is nu te beschouwen als een 
manier om aan ieder element van H^\ das aan ieder der hoe- 
veelheden {85), een der elementen (87) van de hoeveelheid H' toe 
te voegen, waarbij ook aan verschillende elementen van H" het- 
zelfde element van H' kan worden toegevoegd. Zulk een toe- 
voeging wordt een belegging der elementen van H" met elementen 
van H' ^) genoemd. Het aantal dier beleggingen is gelijk aan a^. 

Het blijkt dus, dat a^ ook gedefinieerd kan worden als het 
aantal manieren, waarop de elementen van een hoeveelheid met 
b elementen belegd kannen worden met elementen van een hoe- 
veelheid met a elementen. 

Deze definitie voert onmiddellijk tot de formules (65) en (66) 
van n^. 118, terwijl ook de overige eigenschappen der machtsver- 
heffing daaruit zijn af te leiden (vergelijk n°. 241 en 242). 



^) Ook wel kortweg belegging van H" met elementen van H'. 



§ 6. Deeling van natuurlijke getallen. 

132. Definitie der deeling. Op geheel dezelfde wijze als in 
n^. 68 de aftrekking als de omkeering der optelling gedefinieerd 
is, wordt (ook bij alle volgende uitbreidingen van het getalbegrip) 
de deeling gedefinieerd als de omkeering der vermenigvuldiging. 
De deeling wordt als de vierde hoofdverbinding (of -bewerking) 
aangeduid. 

Bij de deeling is het de vraag het getal x zoo te bepalen, dat 

bx = a (89) 

is, waarin a en b gegeven getallen zijn, die resp. deeltal en deeler 
genoemd worden. 
Voor de vergelijking (89) kan men ook schrijven 

xb = a, (90) 

zoodai de vermenigvuldiging slechts één omgekeerde verbinding 
toelaat en er das slechts één soort van deeling bestaat. 

133. Op geheel soortgelijke wijze als in n^ 69 toont men 
aan, dat de deeiing, zoo ze mogelijk is, ondubbelzinnig is, d. w. z. 
dat aan de vergelijking (89), of (90), door hoogstens één waarde 
van X kan worden voldaan. Was nl. aan (89) voldaan door 
x = Xi en door x ^ x^ en was b.v. x^ > x^, dan zou uit de 
eigenschap van n^. 105 volgen bx^ > bx^, dus a > a. 

De ondubbelzinnigheid der deeling kan ook zoo worden uitge- 
drukt, dat uit 

bx = by 
volgt X =y. 

134. Verdeelings- en verhoudingsdeeling. Aan het eind van 
n°. 132 is opgemerkt, dat er slechts één soort van deeling bestaat, 
daar een getal x, dat aan (89) voldoet, ook aan (90) voldoet en 
omgekeerd. Soms echter maakt men onderscheid tusschen de 



56 

deeling, waarbij een getal x gevraagd wordt, dat aan (89) vol- 
doet, en deeling, waarbij een getal x gevraagd wordt, dat aan 
(90) voldoet; deze worden resp. vendeelingsdeeling en verhou- 
dingsdeeling genoemd ^). 

135. Bij de verdeelingsdeeling moet men x zoo bepalen, dat aan 

X + X + .... + X (ö termen) = a 
voldaan is. Gevraagd is dan dus het getal a als som van b 
gelijke getallen te schrijven of, zooals men ook zeggen kan, het 
getal a in b gelijke deelen te verdeelen. 

Bij de verhoüdingsdeeling daarentegen moet men x zoo bepalen, 
dat aan 

^ + Z? + .... + ^ [x termen) = a 
voldaan is. Gevraagd is dan a als som van gelijke getallen b 
te schrijven, dus het aantal getallen b te vinden, wier som a 
bedraagt. 

136. Wanneer men bij de producten bx of xb vermenigvul- 
digtal en product als aantallen elementen van een hoeveelheid 
beschouwt, stelt men bij de verdeelingsdeeling de vraag een 
hoeveelheid van a elementen in b hoeveelheden te verdeelen, die 
alle hetzelfde aantal elementen bevatten. Bij de verhoüdings- 
deeling daarentegen is het de vraag een hoeveelheid van a elementen 
in hoeveelheden ieder van b elementen te verdeelen. 

In het eerste geval is het aantal elementen van ieder deel, in 
het tweede geval het aantal deelen gevraagd. 

137. Daar, wat het gevraagde getal x betreft, beide soorten 
van deeling op hetzelfde neerkomen en we bij producten de 
beide factoren als gelijkwaardig behandelen zonder daarbij steeds 
onderscheid te maken tusschen vermenigvuldigtal en vermenig- 
vuldiger, hebben we in het volgende geen behoefte de onder- 
scheiding tusschen verdeelingsdeeHng en verhoüdingsdeeling in 
het oog te houden. Beide deelingen zijn als rekenkundige vraag 



^) Dat men bij de aftrekking een dergelijk onderscheid niet maakt, 
vindt zijn grond daarin, dat bij de optelling de commutatieve eigenschap 
meer onmiddellijk in het oog valt dan bij de vermenigvuldiging (zie 
de noot van blz. 36). 



57 

geheel dezelfde. Dat twee verschillende vragen betreffende hoeveel- 
heden tot die rekenkundige vraag voeren, verandert daaraan niets. 
We vatten dan ook de deeling uitsluitend als een verbinding van 
getallen op ^); voor welk der twee in n^ 136 genoemde doel- 
einden dit dient is daarbij onverschillig. 

138. Definitie van deelbaarlieid. Wanneer aan de vergelijking, 
(89) van 132 (of (90), wat op hetzelfde neerkomt) kan worden 
voldaan wordt a deelbaar door b en b deelbaar op a genoemd. 
Ook zegt men dan, dat b een deel er van a en a een veelvoud 
van b is. 

In geval van deelbaarheid wordt het getal x, dat aan (89) 

voldoet, het quotiënt van a en b genoemd en als a : Z? of -^ 

geschreven. Dit quotiënt is eveneens een deeler van a. 

De deelers b en x, wier product het getal a is, worden 
complementaire deelers van a genoemd; de getallen b en x 
spelen daarbij dezelfde rol, hetgeen men uitdrukt door te zeggen, 
dat de betrekking tusschen b en x wederkeerig of reciprook is. 
We merken nog op, dat een getal even of oneven genoemd wordt 
al naar gelang het wel of niet door 2 deelbaar is, dus al naar 
gelang het wel of niet in den vorm 2v geschreven kan worden. 

139. Aan de vergelijking (89) is steeds te voldoen als b = a 
oi b = \ is, in welk geval x = 1 resp. x = a is. Dit beteekent, 
dat ieder getal zich zelf en het getal 1 tot deelers heeft en wel 
tot complementaire deelers. 

Is b een deeler van a, die van a en 1 verschilt, dan wordt b 
een echte deeler van a genoemd. De bij een echten deeler van 
a behoorende complementaire deeler is eveneens van a en 1 
verschillend, dus eveneens een echte deeler van a. 

140. Uit de eigenschap van n^. 105 volgt, in verband met de 
formule (46) van n^ 91, dat men voor x > 1 heeft: 

bx> b. 



^) Dit wil dus zeggen, dat we ons bepalen tot wat wel onbenoemde 
getallen genoemd worden; de onderscheiding tusschen benoemde en 
onbenoemde getallen lijkt ons echter bij een wetenschappelijke behan- 
deling der rekenkunde niet dienstig. 



58 

In elk geval geldt dus: 

bx ^ b. 

Hieruit blijkt, dat aan de vergelijking (89) niet kan worden 
voldaan als b > a is (waarmede natuurlijk niet gezegd is, dat aan 
(89) wel kan worden voldaan als b < a is). Dit wil dus zeggen, 
dat een getal, dat > a is, geen deeler van a is, hetgeen men 
ook op een der volgende wijze kan uitdrukken: 

ledere deeler van het getal a is ^ a. 

Ieder veelvoud van het getal a is ^ a. 

Dit beteekent, dat a de grootste deeler van a en het kleinste 
veelvoud van a is. 

We merken nog op, dat uit het voorgaande onmiddellijk volgt, 
dat 1 het eenige getal is, dat op ieder getal deelbaar is. 

141. Transitieve eigenschap der deelbaarheid. Deze luidt: 
Is het getal a deelbaar door b en b deelbaar door c, dan is 

ook a deelbaar door c. 

Uit de deelbaarheid van a door b en van b door c volgt nl., 
dat men de getallen a' en b' zoo kan bepalen, dat 

a = ba', b = eb' 
is. Daaruit volgt dan: 

a = ba' = (eb') a' = c{b'a'), 
zoodat a door c deelbaar is. 

We vestigen nog de aandacht op de overeenstemming der 
eigenschap met de transitieve eigenschap van het begrip „grooter" 
(zie n\ 5) i). 

142. Men kan de eigenschap van n*^. 141, die blijkbaar een 
onmiddellijk uitvloeisel van de associatieve eigenschap der ver- 
menigvuldiging is, ook op een der volgende wijze formuleeren: 

Een deeler van een getal is ook een deeler van een veelvoud 
van dat getal. 

Een veelvoud van een veelvoud van een getal is zelf ook een 
veelvoud van dat getal. 



1) Laatstgenoemde eigenschap kan men nl. ook zoo formuleeren: 
Zijn de aftrekkingen a — b en b — c mogelijk is, dan is ook de 
aftrekking a — c mogelijk. 



59 

Een deeler van een deeler van een getal is zelf ook een deeler 
van dat getaL 

143. Eigenschappen der deeling. Uit de eigenschap van 
n°. 140 blijkt onmiddelijk, dat, als de deeling a : b mogelijk en 
b < a is, de deeling b : a onmogelijk is. In het bijzonder is a 
niet op een echten deeler van a deelbaar. 

Hieruit ziet men, dat de deeling niet commutatief is (vergelijk 
n^. 75), behalve als a = b is, in welk geval zoowel a : b a\s b :a 
gelijk aan 1 is. 

144. De in n^. 76—88 voorkomende eigenschappen der aftrek- 
king, die uit eigenschappen der optelling volgen, zijn onmiddellijk 
om te zetten tot eigenschappen der deeling, daar de eigenschappen 
der optelling ook voor de vermenigvuldiging gelden. Men heeft 
daarbij in de beschouwingen van n°. 76—88 slechts overal de 
teekens + en — resp. door X en : te vervangen. 

Een afwijking krijgt men echter ten aanzien van de voorwaar- 
den, die vervuld moeten zijn om de verschillende aftrekkingen 
mogelijk te maken. Die voorwaarden zijn nl. anders dan bij 
de deeling en zijn hier door voorwaarden van deelbaarheid te 
vervangen. 

145. De formules (27) en (28) van n^ 76 zijn op de aange- 
geven wijze om te zetten tot: 

!"•* = «, (91) 

'^ = a. (92) 

Bij de eerste dezer formules wordt ondersteld, dat a door b 
deelbaar is (hetgeen in de plaats komt van de voorwaarde a> b, 
die voor de geldigheid van (27) noodig is), terwijl de tweede 
altijd geldt. Ook dit is geheel analoog met het in n^ 76 opge- 
merkte. 

146. De formule (29) van n^ 77 gaat door de in n^ 144 
besproken omvorming over in: 



60 

In woorden luidt dit: 

Een quotiënt wordt met een getal vermenigvuldigd door het 
deeltal met dat getal te vermenigvuldigen. 

Of ook zoo (vergelijk n^. 78): 

Een product van twee getallen wordt door een getal gedeeld 
door, zoo mogelijk, een der factoren van het product door dat 
getal te deelen. 

147. Aangaande de formule (93) gelden geheel soortgelijke 
opmerkingen als de in n^. 78 aangaande de formule (29) gemaakte. 
Heeft het eerste lid van (93) beteekenis, dan kan dit tot het 
tweede lid herleid worden, dat dan dus ook beteekenis heeft; 
m. a. w. ab is deelbaar door c als b dit is, hetgeen niets anders 
is dan de eigenschap van n^. 141 i). 

Omgekeerd kan echter het tweede lid van (93) beteekenis heb- 
ben en het eerste lid niet. 



148. De formule (31) van n°. 79 is om te zetten tot: 

a\ b a 



(94) 



c bc 

Of in woorden: 

Een quotiënt wordt door een getal gedeeld door den deeler 
met dat getal te vermenigvuldigen. 

Heeft het eerste lid van (94) beteekenis, dan geldt dit ook 
voor het tweede lid en omgekeerd, geheel analoog met het aan- 
gaande de formule (31) opgemerkte. 

Evenzoo vormt men de formule (32) van n^. 80 om tot: 

^ ^" (95) 



b:c b' 

Heeft het eerste lid hiervan beteekenis, dan geldt dit ook voor 
het tweede Hd, maar niet omgekeerd. 



^) Evenals uit de transitieve eigenschap van het begrip „grooter" 
(zie n^ 5) volgt, dat {a ^ b) — c beteekenis heeft als a ^ {b — c) dat 
heeft (zie n^. 78), zoo volgt uit de transitieve eigenschap der deelbaar- 
heid (zie n^. 141), dat — beteekenis heeft als dit met a . — het geval is. 



61 

149. De formule (33) van n^ 81 gaat over in: 
a c ac 

hetgeen in woorden luidt: 

Het product van twee quotiënten is het quotiënt, dat men ver- 
krijgt door het product der deeltallen als nieuw deeltal en het 
product der deelers als nieuwen deeler aan te nemen. 

Door volledige inductie kan de formule (96) aldus tot een 
product van n quotiënten worden uitgebreid: 



a^ a^ an a^a^ . . . . a^ 



(97) 



h ^2 On b^b^ . . . . bn 

Verder gaat de formule (34) van n^. 81 over in: 

De tweede leden van (96), (97) en (98) hebben beteekenis zoo 
dit resp. met de eerste leden het geval is, maar niet omgekeerd. 

150. De formules (35) en (36) van n^. 82 en 83 gaan over in: 
' c-é-. (99) 



b b'.c 

a : b a : c 



(100) 



c b ' 

of in woorden: 

Een quotiënt wordt met een getal vermenigvuldigd door, zoo 
mogelijk, den deeler door dat getal te deelen. 

Een quotiënt wordt door een getal gedeeld door het deeltal 
door dat getal te deelen. 

Uit (99) ziet men, dat a \ (b \ c) niet gelijk is aan {a: b) : c 
(tenminste als c > 1 is), zoodat de deeling niet associatief is. 

Uit de formules (37) en (38) van n*^. 83 volgt verder nog: 

b \c b \ a ^ ^ 

151. Met de eigenschap van n^ 84 komt overeen: 

Is a> b, dan is: 

a b 
c c ' 



62 

Voor het bewijs hiervan heeft men zich op de eigenschap van 
n^. 105 (die met die van n°. 49 overeenkomt) te beroepen. Het 

bewijs komt dus hierop neer, dat uit — ^ — zou volgen: 

a ^ b 
c . — ^ c . — , 

c c 

dus a ^ b, in strijd met het onderstelde. 

De in de eigenschap van n*^. 84 genoemde voorwaarde c < a 
en < b, die dient om de aftrekkingen a — c en b — c mogelijk 
te maken, is nu natuurlijk te vervangen door de voorwaarde, 
dat c zoowel op a als op b deelbaar is. 

152. Het vergelijken van quotiënten. De omzetting der 
eigenschap van n*^. 85 tot quotiënten luidt: 

Zijn b en d resp. deelbaar op a en c, dan geldt dan en 
alleen dan: 

a _ c 

als voldaan is aan: 

ad = bc. 

Hieruit leidt men de volgende formule af (die met de formule 
(42) van n^ 87 overeenkomt): 

f=- (103) 

In woorden luidt dit: 

Een quotiënt verandert niet als men deeltal en deeler met een 
zelfde getal vermenigvuldigt of door een zelfde getal deelt. 

153. Eindelijk komt met de eigenschap van n^. 88 overeen: 
Men heeft dan en alleen dan: 

a c 
1 cl 
als voldaan is aan: 

ad > bc. 
De voorwaarde a > b en c > d uit de eigenschap van n°. 88 
is nu natuurlijk door de voorwaarde van deelbaarheid van a door 
b en van c door d te vervangen. 



63 

154. Distributieve eigenschap der deeling. Zijn a en ^ beide 
door c deelbaar, dan heeft men volgens de distributieve eigen- 
schap der vermenigvuldiging: 

'^+^).. = ^.c + *.. = a + ö. (104) 

CJ c c 

Hieruit volgt: 

a_^b^a+^^ (105) 

c c c 

Dit drukt uit, dat de deeling, wat het deeltal betreft, distributief 
is ten opzichte van de optelling. 

De distributieve eigenschap geldt echter niet wat den deeler 
betreft, zooals b.v. kan blijken uit: 

2 2_ 2 _ 

l"^l ~ ' 1 +1 
De formule (105) kan worden uitgebreid tot: 

b b b b ' ^ ' 

155. Onderstel a en b deelbaar door c. Is a > b, dan is 
/i 

- > - (zie de eigenschap van n^. 151) en volgens de distributieve 



eigenschap der ^ 


vermenigvuldiging 


ten 


opzichte van 


de 


aftrekking 


(dus volgens de formule (59) van 


n\ 


103): 






(" 


cj' 


a 
c = - . c — 
c 


b 
c 


c = a — b. 




(107) 


Hieruit volgt: 


















a b ( 
c c~~ 


a — 
c 


b 




(108) 



hetgeen uitdrukt, dat de deeling, wat het deeltal betreft, distri- 
butief is ten opzichte van de aftrekking. Dit geldt echter weer 
niet voor den deeler. 

156. Eenige eigenschappen betreffende deelbaarheid. Bij 

het bewijs van n^ 154 is slechts aangenomen, dat a en b door 
c deelbaar zijn. Dit voert tot (104), waaruit men afleidt, dat a + ^ 
door c deelbaar is. Men heeft dus: 

Zijn de getallen a en b beide deelbaar door c, dan is ook 
a -{- b deelbaar door c. 



64 

Het is duidelijk, dat deze eigenschap tot een som van n termen 
is uit te breiden. 

Opgemerkt zij nog, dat uit de deelbaarheid van a-\- h door c 
niet tot de deelbaarheid van a en b door c kan worden besloten, 
zoodat het tweede lid van (105) zin kan hebben zonder dat dit 
met het eerste lid het geval is. 

157. Op geheel soortgelijke wijze volgt uit het bewijs van 
no. 155, dus uit (107): 

/s a > b en zijn a en b beide deelbaar door c, dan is ook 
a — b deelbaar door c. 

Heeft het eerste lid der formule (108) zin, dan geldt dus 
hetzelfde voor het tweede lid, maar niet omgekeerd. Het eerste 
lid van (108) kan dus steeds door het tweede lid vervangen 
worden, terwijl het omgekeerde alleen mogelijk is als a en b 
door c deelbaar zijn. 

158. Een onmiddellijk gevolg der eigenschap van n°. 157 is. 
Zijn a en a + b beide deelbaar door c, dan is ook b deelbaar door c. 
Voor b kan nl. (a -}- b) — a worden geschreven. 

Een andere formuleering van dit gevolg der eigenschap van 
no. 157 is: 

Is a wel en b niet deelbaar door c, dan is a + b niet deelbaar 
door c. 

Immers waren a en a^ b beide deelbaar door c, dan was 
(volgens de vorige formuleering) ook b deelbaar door c, in strijd 
met het onderstelde. 

159. Op soortgelijke wijze volgt uit de eigenschap van n^ 156: 
Is a > b en zijn b en a — b beide deelbaar door c, dan is 

ook a deelbaar door c. 

Is a niet en b wel deelbaar door c, dan is a — b (a> b 
ondersteld) niet deelbaar door c. 

Verder volgt uit de eigenschap van n^. 157 nog: 

Is a wel en b niet deelbaar door c, dan is a — b (a > b onder- 
steld) niet deelbaar door c. 

Is a> b en zijn a en a — b beide door c deelbaar, dan is ook 
b door c deelbaar. 



65 

160. Is a deelbaar door b, dan kan men een getal q bepalen, 
waarvoor a = bq is. Is verder aan ad = bc voldaan, dan is: 

bqd = bc, 

waaruit in verband met de ondubbelzinnigheid der deeling (zie 

n^ 133) volgt, dat c = ^öf, dus c door ö? deelbaar is. Hiermede is de 

volgende aanvulling der eerste eigenschap van n^. 152 verkregen: 

Is het getal a deelbaar door b en is voldaan aan 

ad = bc, 
dan is c deelbaar door d. 

Daar 

a{bé) = biae) 

is, Hgt hierin als bijzonder geval opgesloten: 

Is a deelbaar door b, dan is ae deelbaar door be en omgekeerd. 

Hieruit ziet men, dat de deelingen voorkomende in de formule 
(103) van n*'. 152 óf beide mogelijk óf beide onmogelijk zijn. 

161. Eigenschappen der deeling in verband met de machts- 
verheffing. Uit de formule (69) van n^ 122 volgt: 

ab-cac = a^b-c)^c ^ ^b^ 

waaruit men afleidt: 

a»-=^. (109) 

Hierbij wordt natuurlijk b > c ondersteld. Is hieraan voldaan, 
dan is de aftrekking b — c mogelijk en daardoor ook de dee- 
ling a^ \ a^, 

162. Is a deelbaar door b, dan volgt uit de distributieve eigen- 
schap der machtsverheffing, dus uit de formule (67) van n^, 119: 

©'■'•= e ■')■-■ 

dus: 

aV a" 



(f= 



W-*.^ (110) 

Dit drukt uit, dat de machtsverheffing, wat het grondtal 
betreft, distributief is ten opzichte van de deeling. 

De formule (110) is ook te verkrijgen door in de formule (97) 
van n^. 149 de deeltallen ^i, a^, enz. alle onderHng gelijk te nemen, 
evenals de deelers b^, b^, enz. 

FRED. SCHUH, Leerboek der Theoretische Rekenkunde. 5 



66 

Blijkens de van (110) gegeven afleiding hebben beide leden 
dier formule zin als a door b deelbaar is. Is dus de deeling a:b 
mogelijk, dan geldt hetzelfde voor de deeling a^ : b^. Dat ook het 
omgekeerde waar is, dus dat uit de deelbaarheid van a^ door 
b^ de deelbaarheid van a door b volgt, za\ in n°. 212 blijken. 

163. Merkwaardige producten en quotiënten. Is a> ^, dan is: 

(a — b) (a^-i + a«-2 b + a^-^b^ + .... + ab^-'^ + b^-"^) = 
= (a^ + a^-^b + a^-'^b^ +.... + a^b^-^ + ab^-^) — 
—{a^-^b + a^-^b' +.... + ab^-^ + b^) = 
={a« + (a"-i^ + a^-^b^ +.... + ab"-'^) ] — 
—{(a"-^b + a"-^b' + .... + ab^~^) + ^« } . 
Volgens de eigenschap van n°. 87 heeft men dus: 
(a _ t) (a^-^ + a"-^b + a^-^b^ -f .... + ^«-i) = a'' — b". (111) 
Het eerste lid van deze formule wordt een merkwaardig product 
genoemd. Voor n = 2 luidt de formule: 

{a — b){a + b)=^a^ — bK (112) 

164. Men kan de formule (111) ook in den volgenden vorm 
brengen: 

— ^^ = a"-i + a"-2^ + a^-^b^ + .... + ab^-'^ + Z?"-i. (113) 
a — b ^ ^ 

Het tweede lid hiervan is een som van n termen. 

De formule (113) drukt uit, dat a" — Z?" door a — b deelbaar 
is. Het tweede lid van (113) is het quotiënt dier deeling. Men 
noemt dit een merkwaard/g quotiënt 

165. Uit (113) leidt men af door a en ^ resp. door a^ en b^ 
te vervangen en van de formule (71) van n^. 123 gebruik te maken: 

^'" ~ ^r = a2'^-2 + a'^^-'^b' + a^^-^b' + .... + a'b^^-' + b^"-\ 
a^ — b^ 

Door beide leden met a — b ie vermenigvuldigen vindt men, 

lettend op (99) en (112), het volgende merkwaardige quotiënt: 

^'" ~ f "" =.{a — b) (a2"-2 + a^^-'b^ + a'^-^b^ + .... + ^2"-2) = 

= (a2"-l + a2"-3^2 _)_ ^2n-5^4 _^ _ _ _]_ ^^2«-2) _ 

— (a2"-2Z; + a2"-4Z;'5 + a^'^-^b' +.... + ^2"-i). (114) 

Deze formule geldt als a > ^ is. Blijkens de afleiding is dan 

de aftrekking voorkomend in het laatste Hd van (114) mogelijk. 



67 



166. h a > b, dan is 



daar de deeling voorkomende in het eerste lid mogelijk is, geldt 
hetzelfde voor die in het derde lid. 

Volgens (114) heeft men dus het volgende merkwaardige 
quotiënt: 

^2n + 1 -L. Uln + 1 

~\ = (a2n + a2n-2^2 + ^2n-4^4 + .... + a2^2n-2 _|_ ^2«) _ 

— (g2"-iZ? + g2«-3^8 + a^n-^h"^ + ....+ g3^2«-3 4-aZ?2"-i). (1 15) 
Beide leden hiervan blijven onveranderd als men a en h ver- 
wisselt, zoodat (115) ook voor a <b geldig is. Dit is eveneens 
het geval voor a = h, daar dan zoowel het eerste als het tweede 
lid van (115) tot g^" te herleiden is. 

De formule (115) is natuurlijk ook rechtstreeks op soortgelijke 
wijze als (113) aan te toonen, nl. door het tweede Hd van (115) 
met g + Z? te vermenigvuldigen en het product tot g2" + i + ^2« + i 
te herleiden, hetgeen we aan den lezer overlaten. De onder- 
scheiding der gevallen a> b, < b oi = b is dan niet noodig ^). 



^) In n^. 631 en 632 zullen de merkwaardige quotiënten (114) en 
(115) op eenvoudiger wijze uit (113) worden afgeleid. 



§ 7. Verdere eigenschappen betreffende deelbaarheid. 



167. Opgaande en niet-opgaande deelingen. Is a niet deel- 
baar door ^ en > b, dan is /? > 1 (zie n^ 139), dus volgens de 

eigenschap van n^. 105: 

ab>a. (116) 

Van de a getallen 

b, 2b, Sb, . . .., ab (117) 

is dus het eerste < a en het laatste > a. Zij qb het grootste der 
getallen (117), dat nog < a is; volgens de eigenschap van n^ 33 
is zulk een grootste getal aanwezig. Blijkens (116) is dan q < a, 
zoodat het getal (q -\r l)b ook tot de getallen (117) behoort en 
dus > a is; wegens het niet deelbaar zijn van a door b is nl. 
{q -\- l)b = a uitgesloten. 

We vinden dus: 

Is a niet deelbaar door b en > b, dan kan men steeds een 
zoodanig getal q bepalen, dat voldaan is aan: 

qb < a<(q+\)b. (118) 

Door deze ongelijkheden is het getal q ondubbelzinnig bepaald, 
daar (118) uitdrukt, dat q het grootste getal is, waarvoor qb < a is. 

168. Hoewel de deeling van a door b, zooals die in n^ 132 
gedefinieerd is, in het in n^ 167 beschouwde geval niet mogelijk 
is en er dus van geen quotiënt, gedefinieerd op de wijze van 
n^,138, sprake is, wordt toch ook het door (118) bepaalde getal 
q het quotiënt der deeling van a door b genoemd. Waar dit ter 
voorkoming van misverstand noodig is zullen we het getal q (ter 
onderscheiding van het quotiënt- volgens n^ 138) het pantiëele 
(of gedeeltelijke) quotiënt noemen. 

Men spreekt in het nu beschouwde geval, waarbij de deeler 
niet op het deeltal deelbaar is, van een niet-opgaande deeling, 
terwijl in tegenstelling daarmede de deeling, zooals die oorspronke- 
lijk gedefinieerd is, een opgaande deeling heet. 



69 

169. Bij een niet opgaande deeling volgt uit (118) (zie n^. 167), 
dat de aftrekking a — qb mogelijk is. Is 

a — qb = r, 
dus: 

a = qb + r, (119) 

dan wordt r de rest der (niet-opgaande) deelitig genoemd. 
Uit (118) en (119) volgt verder: 

qb + r <{q-\-\)b = qb^ b, 
dus: 

r <b, 

zoodat de rest der deeling kleiner dan het deeltal is. 

Is omgekeerd aan {119) voldaan voor r < b, dan kan men 
daaruit in verband met de tweede eigenschap van n^. 158 be- 
sluiten, dat a niet door b deelbaar is; immers uit r < ^ volgt, 
dat r niet door/? deelbaar is (zie n^. 140). 

Verder besluit men uit (119) en r < b, dat aan (118) voldaan 
is, dus dat q het (partiëele) quotiënt en r de rest der (niet- 
opgaande) deeling is. Quotiënt en rest kunnen dus ook gedefi- 
nieerd worden als het getal q en het getal r < b, waarvoor aan 
(119) voldaan is. 

Is b = 2, dan volgt uit r < b, dat r = 1 is. Volgens (119) is 
dus een oneven getal, dat > 2 is, steeds in den vorm 2q + 1 te 
schrijven. We merken nog op, dat ieder oneven getal, ook 1, 
in den vorm 2v — \ te schrijven is. 

170. Gemeene deelers van twee getallen. Onder een ge- 
meen en deel er van twee getallen a en b wordt een getal verstaan, 
dat zoowel op a als op b deelbaar is. Voor ieder tweetal getallen 
is 1 een gemeene deeler. Is 1 de eenige gemeene deeler van a 
en b, dan v/orden a en b onder/ing ondeelbaar of relatief 
priem genoemd; hebben a en b echter een gemeenen deeler, die 
> 1 is, dan heeten deze getallen onder/ing deelbaar. 

Uit deze definitie volgt, dat 1 met ieder getal onderling ondeel- 
baar is. 

171. Is a een veelvoud van b en b > 1, dan zijn a en b 
onderling deelbaar, daar dan b een gemeene deeler van a en b 



70 

is ^). ledere deeler van b is dan volgens de eigenschap van n^. 
141 ook een deeler van a. Men heeft dus: 

Is b een deeler van a, dan zijn de gemeene deelers van a en 
b de deelers van b. 

Dit geldt natuurlijk ook voor b = l. 

172. Bepaling der gemeene deelers. Is g een gemeene 
deeler van a en ^ en is aan de gelijkheid (119) van n^ 169 vol- 
daan, dan is g volgens de eigenschap van n^. 141 een deeler 
van qb, dus volgens de eigenschap van n^. 157 een deeler van 
r = a — gb ^), dus een gemeene deeler van b en r. 

Is omgekeerd g een gemeene deeler van b en r, dan is g 
volgens de eigenschap van n*'. 156 ook een deeler van a, dus 
een gemeene deeler van a en b. 

We vinden dus: 

Is aan de gelijkheid {119) van n^. 169 voldaan, dan zijn de 
gemeene deelers van a en b dezelfde als de gemeene deelers van 
b en r. 

173. De eigenschap van n^. 172 is natuurlijk alleen van belang 
als b geen deeler van a is (daar men anders de eigenschap van 
n^ 171 kan toepassen). Verder geeft die eigenschap de grootste 
vereenvoudiging als men voor q het (partiëele) quotiënt der dee- 
ling van a door b neemt, daar r dan zoo klein mogelijk is, nl. 
de rest der deeling. 

De eigenschap van n^ 172 drukt dan uit, dat men bij de 
bepaling der gemeene deelers van twee getallen^ waarvan het 
kleinste geen deeler van hei grootste is, het grootste door de rest 
der deeling van het kleinste op het grootste {dus door een getal 
kleiner dan het kleinste) kan vervangen. 

174. Door de eigenschap van n^. 172 bij herhaling toe te 
passen kan men de getallen, wier gemeene deelers men zoekt, 
voortdurend verkleinen zoolang het kleinste niet deelbaar is op 
het grootste. Daar deze verkleining niet onbepaald voortgezet 



^) Het deelbaar zijn van b op a en het ondeding ondeelbaar zijn 
met a is dus alleen dan met elkaar te rijmen als ^ = 1 is. 
*) Zie ook de eerste eigenschap van n^. 158. 



71 

kan worden (daar dit zeker niet meer mogelijk is als het kleinste 
getal 1 geworden is ^)), zal men eindelijk op het geval stuiten, 
dat het kleinste getal deelbaar is op het grootste, waarna dan de 
gemeene deelers de deelers van het kleinste zijn. 

Wanneer men na /-malige toepassing der eigenschap van n^ 
172 op het in n^ 171 beschouwde geval stuit krijgt men het 
volgende schema (waarbij we q-^ en r-^ in de plaats van ^ en r 
schrijven) : 

a = q^b -h r^ (r^ < b), 

b =q,r^ -\-r, {r, < r^), 

fl =^3^2 +^-3 (^3 < f2l 



/'/_2 = qtri^i -f rt (n < r/_i), 

ri-i = qi^iri. 
Het getallenpaar a, b, waarvan we uitgaan, wordt zoo achter- 
eenvolgens door de getallenparen 

(b, r^\ {r^, r,), (r„ r^), . . . ., (/•/_!, n) 
vervangen. De gemeene deelers van a en b zijn dus dezelfde als 
die van r/_i en r^, dus (daar r/_i een deeler van n is) de deelers 
van /•/. We vinden zoo: 

De gemeene deelers der getallen a en b zijn de deelers van 
de laatste rest rt uit bovenstaand schema. 

175. Grootste gemeene deeler van twee getallen. Daar de 
grootste deeler van een getal dat getal zelf is (zie n°. 140) is het 
in de eigenschap van n^. 174 genoemde getal n de grootste der 
gemeene deelers van de getallen a en b, waarom rt de grootste 
gemeene deeler (waarvoor de gebruikelijke afkorting G.G.D.) 
van a en b genoemd wordt. 

Het in n^. 174 voorkomende schema wordt de algorithmus 
(rekenwijze) van Euclides *) ter bepaling van den G.G.D. genoemd, 
waarbij dus die G.G.D als laatste rest optreedt. 



^) Het is echter niet gezegd, dat dit geval bereikt wordt. 

^) Van Euclides is niet veel meer bekend dan dat hij omstreeks 300 
V. Chr. in Alexandrië leefde. Zijn hoofdwerk vormen de (in 13 boeken 
ingedeelde) „Elementen". 



72 

176. De eigenschap van n^ 174 kan nu ook aldus geformuleerd 
worden: 

De gemeene deelers van twee getallen zijn de deelers van hun 
grootsten gemeenen deeler. 

Dit drukt dus uit, dat de Q.G.D. niet alleen de grootste der ge- 
meene deelers is, maar ook een veelvoud van alle gemeene deelers. 

Opgemerkt zij nog, dat het onderling ondeelbaar zijn van twee 
getallen ook zoo kan worden uitgedrukt, dat hun grootste gemeene 
deeler 1 is. 

177. Eigenschappen betreffende den grootsten gemeenen 
deeler. Men heeft vooreerst: 

Is G de grootste gemeene deeler van a en b en 

a = Ga\ b = Gb\ (120) 

dan zijn a' en h' onderling ondeelbaar. 

Hadden nl. a' en b' een gemeenen deeler g, die > 1 is, dan was 

a' = ga", b' = gb", 
dus: 

a = G{ga") = {Gg)a", b = (Gg)b" 
en dus Gg een gemeene deeler van a en b. Daar nu G^ > G 
is (zie n^. 140), komt men in strijd met het gegeven, dat G de 
G.G.D. van a en b is. 

178. Is aan de gelijkheden (120) voldaan, terwijl a' en b' 
onderling ondeelbaar zijn, dan is G de grootste gemeene deeler 
der getallen a en b. 

Uit (120) blijkt nl, dat G een gemeene deeler van a en b is. 
Is G' de G.G.D. van a en b, dan is (volgens de eigenschap van 
n^. 176) G' een -veelvoud dan G, dus G' = kG. Men heeft nu: 

a= G'a" = G{ka"), b = G{kb"), 
waaruit in verband met (120) volgt (zie n^ 133): 

a' = ka", b' = kb". 
Het getal k is dus een gemeene deeler van a' en b', waaruit 
in verband met de onderlinge ondeelbaarheid van a' en b' volgt, 
dat ^ = 1, dus G' = G is; bijgevolg is G de G.G.D. van a en b. 

179. Is G de grootste gemeene deeler van a en b, dan is Ge 
de grootste gemeene deeler van ac en bc. 

Of anders uitgedrukt: 



73 

Worden twee getallen met een zelfde getal vermenigvuldigd, 
dan wordt ook hun G.G.D. met dat getal vermenigvuldigd. 

Uit de gelijkheden (120) van n^. 177 volgt nl.: 

ac = (Gc)a\ bc = (Gc)b\ (121) 

Daar a' en b' volgens de eigenschap van n^ 177 onderling 
ondeelbaar zijn, volgt uit (121) in verband met de eigenschap 
van n*^. 178, dat Ge de G.G.D. van ac en bc is. 

180. De eigenschap van n^. 179 kan ook worden aangetoond 
door van de getallen ac en bc den G.G.D. volgens het schema 
van n^. 174 te bepalen. Men krijgt dan een schema, dat 
van het schema van n^ 174 alleen daarin verschilt, dat alle 
getallen, met uitzondering van de quotiënten q^, ^2» • • • •> ^^+1 ^)' 
met c vermenigvuldigd zijn. De laalste rest r,-, dus de G.G.D., 
wordt bijgevolg eveneens met c vermenigvuldigd als men den 
algorithmus van Euclides op ac en bc in plaats van op a en ^ 
toepast. 

We merken verder nog op, dat de eigenschap van n^. 178 als 
bijzonder geval in die van n^. 179 ligt opgesloten. Zijn nl. a' 
en b' onderling ondeelbaar, dan is hun G.G.D. 1 ; de G.G.D. van 
Ga' en Gb' is bijgevolg G. \ = G. 

181. Hoofdeigenschap der deelbaarheid. De bedoelde eigen- 
sjchap, die voor de rekenkunde van het grootste belang is en 
herhaaldelijk wordt toegepast, luidt: 

Is het product ab deelbaar door het getal c en zijn a en c 
onderling ondeelbaar, dan is b deelbaar door c. 

Uit de onderlinge ondeelbaarheid van a en c volgt nl., in ver- 
band met de eigenschap van n^ 178, dat b de G.G.D. van ab 
en eb is. Daar nu (wegens de deelbaarheid van ab door c) het 
getal c een gemeene deeler van ab en eb is, is c een deeler van 
b (zie de eigenschap van n^. 176). 

182. Ander bewijs der hoofdeigenschap. Zonder gebruik te 
maken van de theorie van den G.G.D. kan de eigenschap van 
n^. 181 op de volgende wijze worden aangetoond. 

De eigenschap is onmiddellijk duidelijk voor c = l,. zoodat aan 



^) Vergelijk de eigenschap van n^ 456. 



74 

het onderstelde nog c > 1 kan worden toegevoegd. Zij m het 
kleinste der getallen x, waarvoor ax door c deelbaar is; daar c 
zulk een getal x is, heeft men m ^ c. 

Neem eerst aan, dat m < c en een deeler van c is. Men heeft 
dan c = qm, waarin q > l is. Uit de deelbaarheid van am door 
c of qm volgt verder, dat a door q deelbaar is (zie de tweede 
eigenschap van n^. 160), zoodat q een gemeene deeler van a en 
c is, in strijd met de onderlinge ondeelbaarheid van a en c. 

Vervolgens nemen we aan, dat /tz < c en geen deeler van c is. 
Dan kunnen ^ en r zoo bepaald worden, dat 

c = qm-\- r 
eu r < m is. Men heeft dan: 

ar = ac — qam, 
zoodat (wegens de deelbaarheid van am door c) ar door c deel- 
baar is. Dit is echter in strijd daarmede, dat m het kleinste getal 
is, dat bij vermenigvuldiging met a een door c deelbaar getal 
oplevert. 

Daar m ^ c \s, blijft dus m = c als eenige mogelijkheid over, 
zoodat we vinden: 

Is a onderling ondeelbaar met c, dan is ac het kleinste veel- 
voud van a, dat door c deelbaar is ^). 

Hieruit nu volgt onmiddellijk de eigenschap van n^ 181. Is nl. 
c onderling ondeelbaar met a en deelbaar op ab, dan is b stelHg 
niet < c. Was nu b niet deelbaar door c (dus > c), dan zou, 
zooals zonder moeite is aan te toonen, as deelbaar door c zijn, 
waarin 5 de rest der deeling van b door c is. Daar s < c \% 
komt men hierdoor in strijd met de zoo juist bewezen eigenschap. 

183. Omgekeerd kan men ook met behulp van de eigenschap 
van n^. 181 de theorie van den G.G.D. ontwikkelen zonder 
daarbij den algorithmus van Euclides ter bepaling van dien 
G.G.D, noodig te hebben. Om dit te doen zien zullen we de 
eigenschap van n^ 176 uit die van n^ 181 afleiden. 

Voor de getallen a en b kan steeds a'G resp. b'G geschreven 



^) Dit geldt blijkbaar ook voor c = l. 



75 

worden, waarin Q de G.G.D. van a en ^ is en dus a' en b' onderling 
ondeelbaar zijn. Zij g een gemeene deeler van a en b. We stellen: 

g = g% G = G'h, 
waarin g^ en O' onderling ondeelbaar zijn. Dan is: 
a = a'G'h, b = b'G'h. 

Nu zijn a en b beide deelbaar door g'h, dus a'G' en b'G' 
deelbaar door g^ (zie de tweede eigenschap van n^. 160). Daar 
g" en G' onderling ondeelbaar zijn, zijn dus a' en b' beide door 
g^ deelbaar, zoodat (wegens de onderlinge ondeelbaarheid van 
a' en b') g' = l, dus g = h, dus G = G'g is; bijgevolg is g 
een deeler van G. 

Omgekeerd is iedere deeler van G een gemeene deeler van a 
en b, zoodat de gemeene deelers van a en ^ de deelers van G zijn. 

184. Gevolgtrekkingen uit de hoofdeigenschap der deel- 
baarheid. Uit de eigenschap van n^. 181 volgt: 

Zijn de getallen a en b beide onderling ondeelbaar met c, dan 
is ook het product ab onderling ondeelbaar met c. 

Zij g een gemeene deeler van ab en c. De getallen a en ^ 
zijn onderling ondeelbaar, daar een gemeene deeler van a en g 
volgens de eigenschap van n*^. 141 ook een gemeene deeler van 
a en c is, dus (wegens de onderlinge ondeelbaarheid van a en c) 
gelijk aan 1. Uit de onderlinge ondeelbaarheid van a en ^ en 
de deelbaarheid van ab door g volgt verder, dat b door g deel- 
baar is (zie n^. 181). Het getal g is dus een gemeene deeler van 
b en c, dus (wegens de onderlinge ondeelbaarheid van b en c) 
gelijk aan 1, waaruit de onderlinge ondeelbaarheid van ab en 
c volgt. ■ 

185. De eigenschap van n*^. 184 is door volledige inductie 
aldus uit te breiden: 

Is ieder der getallen a^, a^, . . . .j an onderling ondeelbaar 
met c, dan is ook het product a^a^ a« onderling ondeel- 
baar met c. 

Voor « = 1 is dit een tautologie. Neemt men de juistheid voor 
een product van n factoren aan, dan blijkt verder uit de eigen- 
schap van n^ 184, dat 

a^ac^ . . , . an+i = [a^a^ . . . . a„) a„+i 



76 

met c onderling ondeelbaar is als a^, ag, . . . ., a„ + i met c 
onderling ondeelbaar zijn. 

186. Uit de eigenschap van n^ 181 is verder nog af te leiden: 
Zijn de getallen a en b onderling ondeelbaar en beide deelbaar 

op c, dan is ook het product ab deelbaar op c. 
Uit het onderstelde volgt nl. : 

c = va = wb. (122) 

Het product va is dus door b deelbaar, terwijl a en ^ onderling 
ondeelbaar zijn. Hieruit volgt, dat v door b deelbaar is, dus: 

V = tb, 
waaruit in verband met (122) volgt: 

c = t(ab). 
Dit drukt uit, dat c door ab deelbaar is. 

187. Door volledige inductie is de eigenschap van n*^. 186 
aldus uit te breiden: 

Zijn de getallen 

a^, ^2, . . . ., ün (123) 

alle deelbaar op c, terwijl iedere twee der getallen (123) onder- 
ling ondeelbaar zijn, dan is ook het product a^a^ . . . . a„ deel- 
baar op c. 

Voor « = 1 is dit weer een tautologie. We nemen nu de 
eigenschap voor een product van n factoren aan en beschouwen 
het product 

a^ao . . . . an + i = {a^a^ .... a„)a„ + i 
(iedere twee der getallen a^, a^, . . . ., fl« + i onderling ondeelbaar 
en ieder dier getallen deelbaar op c ondersteld). De beide getallen 
a^a^ . . . . an en a„ + i zijn dan deelbaar op c en (volgens de eigen- 
schap van n^ 185) onderling ondeelbaar. Volgens de eigenschap 
van n^. 186 is dus a^^g . . . . a„ + i deelbaar op c. 

188. Kleinste gemeene veelvoud van twee getallen. Onder 
een gemeen veelvoud van twee getallen a en b verstaat men een 
getal, dat zoowel door a als door b deelbaar is. Zulk een gemeen 
veelvoud is als va en ook als wb te schrijven, zoodat men heeft: 

va = wb, (124) 



77 

Volgens de gelijkheden (120) van n^ 177, waarin G de G.G.D. 
van a en b is, kan voor (124) geschreven worden: 

G{va') = G{wb% 
waaruit volgt (zie n^ 133): 

va' =^wb'. (125) 

Daar a' en b' onderling ondeelbaar zijn volgt uit (125) (zie het 
bewijs van n^. 186): 

V = tb\ 
va'= t{ab'). 
Ieder gemeen veelvoud van a en b is das een veelvoud van 
ab\ Nu is volgens (120): 

ab' = Ga'b' = a'b, (126) 

zoodat ab' een veelvoud van a en van b is. Het blijkt dus, dat 
ieder veelvoud van ab' een gemeen veelvoud van a en b is. 
We vinden dus; 

Is G de grootste gemeene deeler van a en b en verder b = Gb', 
dan zijn de gemeene veelvouden van a en b de veelvouden van ab\ 

189. Uit de eigenschap van n^ 188 blijkt, dat ab' van alle 
gemeene veelvouden van a en b het kleinste is. Het getal ab' 
wordt daarom het kleinste gemeene veelvoud (waarvoor de ge- 
bruikelijke afkorting K.GV.) der getallen a en b genoemd. De 
eigenschap van n°. 188 drukt nu uit: 

De gemeene veelvouden van twee getallen zijn de veelvouden 
van hun kleinste gemeene veelvoud ^). 

Het K.G.V. is dus niet alleen het kleinste der gemeene veel- 
vouden, maar ook een deeler van alle gemeene veelvouden, 

190. Is K het K.G.V. der getallen a en b, dus het getal ab' 
van n^ 188, dan heeft men volgens de gelijkheden (120) van n^ 177. 

r, ba ah /iotn 

Hieruit leest men af: 

Het kleinste gemeene veelvoud van twee getallen wordt ge- 



^) Men kan dit ook zoo formuleeren: 

Is een getal deelbaar door a en door b, dan is het ook deelbaar 
door het kleinste gemeene veelvoud van a en b. 



78 

vonden door hun product door hun grootsten gemeenen dealer te 
deelen. 

Voor (127) kan ook geschreven worden: 

GK = ab, (128) 

hetgeen in woorden luidt: 

Het product van den grootsten gemeenen deeler en het kleinste 
gemeene veelvoud van twee getallen is gelijk aan het product 
dier getallen. 

191. Zijn de getallen a >n b onderling ondeelbaar, dan is 
G = 1, zoodat (128) dan overgaat in: 

K=ab. 

Als bijzonder geval ligt dus in de eigenschap van n^. 190 op- 
gesloten: 

Het kleinste gemeene veelvoud van twee onderling ondeelbare 
getallen is het product dier getallen. 

Dit is slechts een andere formuleering der eigenschap van 
n». 186 1). 

Een ander bijzonder geval der eigenschap van n^. 190 heeft 
men als b een deeler van a is. Dan is G = b, dus volgens (128) 
K = a, iets dat ook rechtstreeks onmiddellijk is in te zien. Het 
K'G.V. van a en een deeler van a is dus a. 

192. Kleinste gemeene veelvoud van meerdere getallen. 

Ook bij n getallen 

%, ^2, . . . ., an (123) 

spreekt men van een gemeen veelvoud, waaronder te verstaan is 
een getal, dat door ieder der getallen (123) deelbaar is. 

Zij Ki het K.G.V. van a-^ en ^2, K^ dat van K^ en ^g, enz., 
dus ten slotte Kn het K.G.V. van Kn-\ en a„. Een gemeen veel- 
voud V der getallen (123) is een veelvoud van % en a^, dus 
(volgens de eigenschap van n^. 189) een veelvoud van K^. Daar 
V ook een veelvoud van a^ (dus een gemeen veelvoud van i^Q en 
a^ is, is V een veelvoud van K^,. Evenzoo is V een veelvoud 



1) Men kan die eigenschap nl. ook zoo uitspreken: 
Een gemeen veelvoud der onderling ondeelbare getallen a en b is 
een veelvoud van het product ab. 



79 

van A'4, enz., zoodat V een veelvoud van K„ is. Omgekeerd is een 
veelvoud van Ku een veelvoud van a„ en K„-i, dus van a„_i, enz., 
dus een gemeen veelvoud der getallen (123). 

De gemeene veelvouden der getallen (123) zijn dus de veel- 
vouden van K„, waaruit blijkt, dat Kn het kleinste dier gemeene 
veelvouden is en door de getallen (123) ondubbelzinnig bepaald, 
d.w.z. onafhankelijk van de volgorde, die men ter bepaling van 
Kn aanneemt. Dit getal Kn wordt het kleinste gemeene veelvoud 
der getallen (123) genoemd. 

Blijkens het voorgaande is de eigenschap van n^. 189 ook voor 
meer dan twee getallen geldig. Daar het product der getallen (123) 
een gemeen veelvoud dier getallen is, is het K.GV. van eenige 
getallen een deeler van hun product. 

193. De eigenschap van n^. 187 drukt uit, dat een gemeen 
veelvoud der getallen (123), zoo deze twee aan twee onderling 
ondeelbaar zijn, een veelvoud van a^a^ . . . . an is, dus dat 
«lög ' ' ' ' CLn dan het K.G.V. dier getallen is. 

Zijn twee der getallen (123) onderling deelbaar, b.v. a^ en ög, 
dan is het K.G.V. K^ van a^ en ^g kleiner dan a^a^ (zie de 
eigenschap van n^ 190). Het in n°. 192 bepaalde getal /G wordt 
dan kleiner dan a^a^ . . . . a„. 

We vinden dus: 

Het kleinste gemeene veelvoud van n getallen is dan en alleen 
dan gelijk aan het product dier getallen als iedere twee daarvan 
onderling ondeelbaar zijn. 



194. Deelbare getallen en priemgetallen. Een van 1 ver- 
schillend getal wordt een ondeelbaar getal of priemgetal ^) 
genoemd als het geen enkelen echten deeler (zie n^ 139) heeft, 
dus geen andere deelers dan 1 en het getal zelf. Heeft het getal 
minstens één echten deeler, dan spreekt men van een deelbaar 
getal: een deelbaar getal heeft dus minstens drie deelers. 

Het getal 1 wordt noch tot de priemgetallen, noch tot de deel- 



Ook zegt men dan, dat het getal priem is. 



80 

bare getallen gerekend ^), zoodat de getallen naar hun deelbaarheid 
in drie soorten verdeeld worden, nl.: 

7^. het getal 1 ; dit bezit slechts één deeler; 

2^. de priemgetallen : deze bevatten twee deeler s; 

3^. de deelbare getallen; deze hebben meer dan twee deeler s, 

195. Ieder van 1 verschillend getal is door minstens één 
prlemgetal deelbaar. 

Dit is onmiddellijk duidelijk als het beschouwde getal, dat we 
a noemen, een priemgetal is, zoodat we verder a deelbaar kunnen 
onderstellen. Zij p de kleinste echte deeler van a (zie de eigen- 
schap van n^. 32). Het getal p is stellig een priemgetal, daar 
het anders een echten deeler had, die < /? en een echte deeler 
van a zou zijn, in strijd met de onderstelling, dat p de kleinste 
echte deeler van a is. 

Een priemgetal, dat op het getal a deelbaar is, wordt een 
priemdeelen of pniemfactor van a genoemd. 

196. Een deelbaar getal a bevat minstens één priemfactor p, 
waarvoor p^ ^ a is. 

Het getal a is als een product van twee factoren 6 en r te 
schrijven, die beide < a, dus > 1 zijn. Is nu 6 ^ c, dan is 
volgens de eigenschap van n^. 105: 

b^ ^ bc = a. 
Is p een priemfactor van b, dan is p ^ b, dus: 

p^ ^h^ ^ a. 
Het deelbare getal a bevat een priemfactor p, waarvoor p^ < a 
is, behalve als voor den kleinsten priemfactor van a geldt: p^ = a, 
dus als a het kwadraat van een priemgetal p is ^). 

197. Bij het onderzoek of een gegeven getal a een priemgetal 
is heeft men volgens de eigenschap van n^. 196 slechts na te 



^) Op het eerste gezicht lijkt het aangewezen het getal 1 een priem- 
getal te noemen. Voor de formuleering van verschillende eigenschappen 
is het echter doelmatig de indeeling te maken zooals in het volgende 
is aangegeven (zie n^. 204). 

. ^) Dit is het eenige geval, waarin a juist drie deelers bezit (nl. 
1, p en p^). 



81 

gaan of a door een priemgetal deelbaar is en kan men zich 
daarbij beperken tot de priemgetallen /?, waarvoor p^ ^ a is. 

Zoo besluit men, dat 953 een priemgetal is, daar het door geen 
der priemgetallen 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 en 29 deelbaar 
is en 312 = 951 > 953 js i). 

198. Eigenschappen betreffende priemgetallen. Neemt men 
in de eigenschap van n°. 181 voor c een priemgetal, dan betee- 
kent de onderlinge ondeelbaarheid van a en c, dat a niet door c 
deelbaar is. De eigenschap luidt dan: 

Is het product ab deelbaar door het priemgetal c, maar a niet 
deelbaar door c, dan is b deelbaar door c. 

Men kan dit ook zoo formuleeren: 

Is het product ab door het priemgetal c deelbaar, dan is min- 
stens één der beide factoren door c deelbaar. 

199. De eigenschap van n^. 185 gaat als c priem is over in: 
Is geen der getallen a^, a^, , a„ door het priemgetal c deel- 
baar, dan is ook het product a-^a^ a„ niet door c deelbaar is. 

Door een redeneering uit het ongerijmde volgt hieruit: 

Is het product a^a^ a^ door het priemgetal c deelbaar, 

dan is minstens één der f actoren van het product door c deelbaar. 

200. Neemt men voor de getallen (123) van n^ 187 verschil- 
lende priemgetallen, dan zijn iedere twee dier getallen onderling 
ondeelbaar. Voor dit geval luidt de eigenschap van n". 187: 

Is een getal door n verschillende priemgetallen deelbaar, dan 
is het ook door het product dier priemgetallen deelbaar. 

201. Ontbinding van een getal in priemf actoren. Is a een 

deelbaar getal, dan is dit door minstens één priemgetal p^ deel- 
baar (zie n^ 195) en dus te schrijven als p^a^, waarin: 

1 < a^ < a 
is. Is a-^ een deelbaar getal, dan is evenzoo a^ te schrijven als 
Pa^g, waarin p^ priem is en 
1 < «2 < a^. 

^) We loopen hier vooruit op de later te bespreken schrijfwijze der 
getallen in het tientallig stelsel (zie § 5 en 6 van Hoofdst. II), iets dat, 
waar het slechts een voorbeeld betreft, geen bezwaar kan opleveren. 

FRED. SCHUH, Leerboek der Theoretische Rekenkunde. 6 



A/05'^S' 



82 
Men heeft dan: 

Is a^ deelbaar, dan schrijven we dit getal als p^a^y waardoor 

wordt, enz. Daar de getallen a^, a^, a^, enz. voortdurend kleiner 
worden, breekt de rij dier getallen af; het laatste getal dier rij is 
dan een priemgetal. 

Op deze wijze blijkt, dat het getal a als een product van 
priemgetallen te schrijven is of, zooals men ook zegt, in priem- 
f actoren te ontbinden. Dit geldt ook nog als a priem is; het 
aantal factoren van het product bedraagt dan nl. 1. 

202. Bij de in n^ 201 besproken ontbinding van het getal a 
in priemfactoren kunnen gelijke factoren voorkomen. Deze nemen 
we samen tot een macht, waardoor een ontbinding van den vorm 

a=p'^^pp.....p''k (129) 

ontstaat. Hierin zijn dan p^, A» • • • •> Pk alle verschillend. 

Zoo dit voordeel oplevert kan men de priemgetallen /?i, /?2, , 

pk naar de grootte gerangschikt denken (zie n^. 36), in welk geval 

Pi<P2<Ps< <Pk (130) 

is. 

203. Fundamentaalstelling der rekenkunde. De in n^ 201 

besproken ontbinding van het getal a in priemfactoren is op 
verschillende manieren te verkrijgen, daar men het priemgetal 
/7,, waardoor men begint te deelen, op verschillende manieren 
kan kiezen (tenminste als a door meerdere priemgetallen deel- 
baar is), terwijl het getal a ook van dien aard kan zijn, dat dit 
als een product van twee deelbare getallen te schrijven is, die dan 
verder ontbonden worden. De vraag is nu of men in al die ge- 
vallen tot dezelfde ontbinding in priemfactoren geraakt. 

We willen nu aantoonen, dat het antwoord hierop bevestigend 
luidt. Zij het getal a op de een of andere wijze in priemfactoren 
ontbonden, dus in den door (129) aangegeven vorm geschreven. 
Dan is a deelbaar door p^. Bij een tweede ontbinding van a in 
priemfactoren zal dus (volgens de tweede formuleering der eigen- 
schap van n^. 199) minstens één dier priemfactoren doorp^ deelbaar. 



83 

dus /?! zelf zijn ^), Daar hetzelfde voor p^^, p^, . . . . geldt, zullen 
bij die tweede ontbinding de priemgetallen p^, Ps, • • • -, Pk alle 
minstens éénmaal als factor optreden. Om dezelfde reden zullen de 
verschillende priemfactoren der tweede ontbinding ook alle bij de 
ontbinding (129) voorkomen, zoodat die tweede ontbinding luidt: 
a = pf^pl^ . . . „ pf ^ 

Aangetoond moet nu nog worden, dat de exponenten, waarmede 
de priemfactoren zijn aangedaan, bij de tweede ontbinding dezelfde 
zijn als bij de eerste. Daartoe nemen we aan, dat oc^ en (3^ on- 
gelijk waren, b.v. a^ > /B^. Uit 

p'1^p^2'.-^'P? = pM'-'"PI' 

volgt dan door beide leden door p^^ te deelen: 

Het eerste lid van deze gelijkheid is door p^ deelbaar en het 
tweede Hd niet (zie de eerste formuleering der eigenschap van 
n^. 199), zoodat men tot een ongerijmdheid geraakt. Hieruit besluit 
men tot a^ = jS^, terwijl men natuurlijk evenzoo vindt oc^ = /3g, enz. 

Hiermede is aangetoond: 

Een getal > 7 is op één en slechts één manier als een product 
van priemgetallen te schrijven ^), waarbij producten, die slechts 
in de volgorde der factoren verschillen, als dezelfde beschouwd 
worden. 

Deze stelling is voor de rekenkunde van de grootste beteekenis, 
waarom ze wel de fundamentaalstelling den rekenkunde ge- 
noemd wordt. 

204. Voor de geldigheid der eigenschap van n^ 203 is het 
noodig het getal 1 niet tot de priemgetallen te rekenen (vergelijk 
n^ 194). Immers was bij de door (129) aangegeven ontbinding 
p^ = \, dan zou de exponent a^ geheel willekeurig te kiezen en 
dus niet meer door het te ontbinden getal a bepaald zijn. Door 
1 onder de priemgetallen op te nemen moet men dus in de for- 



^) Zie de opmerking aan het eind van n^. 204. 
^) Het aantal factoren van dit product kan ook 1 zijn, nl. als het 
getal zelf een priemgetal is. 



84 

muleering der eigenschap van n^. 203 het woord „priemgetallen" 
door „priemgetallen grooter dan 1" vervangen. Daar men dan 
ook bij verschillende andere eigenschappen van priemgetallen > 1 
zou moeten spreken, is het voordeeliger 1 niet tot de priem- 
getallen te rekenen. 

Bij het bewijs van n^. 203 is van de omstandigheid, dat 1 geen 
priemgetal is, gebruik gemaakt door op te merken, dat een priem- 
getal, dat door een priemgetal p^ deelbaar is, aan p-^^ gelijk is, 
iets dat niet meer juist zou zijn als A = 1 kon zijn. 

205. Toepassing der eigenschap van n^. 203 op de bepaling 
van G.G.D. en K.G.V. Is a deelbaar door b, dus als bc te schrijven, 
dan is uit de ontbindingen van ^ en r in priemfactoren onmid- 
dellijk de ontbinding van a af te leiden; bij de gemeenschappelijke 
priemfactoren van ^ en c heeft men dan de exponenten op te 
tellen. Hieruit blijkt, dat de priemfactoren van b ook alle in a 
voorkomen en wel met denzelfden of grooteren exponent. 

Is omgekeerd gegeven, dat de priemfactoren van b met den- 
zelfden of grooteren exponent in a voorkomen, dan blijkt onmid- 
dellijk, dat a door b deelbaar is, zoodat men heeft: 

Het getal a is dan en alleen dan door b deelbaar als, bij de 
ontbinding van a en b in priemfactoren, de priemfactoren van b 
alle in a voorkomen met denzelfden of grooteren exponent ^). 

Zoo is het getal 2^ . 3^ . 5 . 7^ deelbaar door 3^ . 5 . 7, maar 
niet door 2* . 3 . 7 en niet door 3^ . 7 . 11. 

Opgemerkt zij evenwel, dat voor het onderzoek naar de deel- 
baarheid van a door b de ontbinding in priemfactoren niet de 
aangewezen weg is, daar die ontbinding vaak zeer tijdroovend is 
(vooral als het getal meerdere groote priemfactoren bevat). 

206. Uit de eigenschap van n^. 205 volgt onmiddellijk: 

De grootste gemeene deeler van twee getallen a en b wordt 
gevonden als het product der gemeenschappelijke priemfactoren 
van a en b, ieder dier priemfactoren voorzien van een exponent 



1) In n^. 391 zullen we het bewijs hiervan een meer overzichtelijken 
vorm geven, hetgeen door invoering van het getal nul mogelijk wordt. 



85 

gelijk aan den kleinsten der exponenten ^), waarmede die factor in 
a en b voorkomt. Zijn geen gemeenschappelijke priem/actoren 
aanwezig, dan is de grootste gemeene deeler 1. 

Zoo is de G.G.D. van 2 . 3^ . 7 . ll^ en 3 . 5 . 11^ gelijk aan 
3 . IP. Indien echter de ontbinding van a en 6 in priemfactoren 
nog niet is uitgevoerd, en a en ^ groot zijn, is dit niet de aan- 
gewezen weg om den G.G.D. te bepalen, maar is de algorithmus 
van EucLiDES (zie n^ 174 en 175) ver te verkiezen (zie de opmer- 
king aan het eind van n^ 205). 

207. Natuurlijk kan men ook bij meer dan twee getallen van 
een grootsten gemeeneh deeler spreken. Deze kan worden ver- 
kregen door de getallen, die we a^, a^, . . . ., an noemen, in priem- 
factoren te ontbinden en de priemfactoren, die al deze getallen 
gemeen hebben, voorzien van den kleinsten exponent waarmede 
deze in de getallen a-^,aci,..., an voorkomen, te vermenigvuldigen. 

Eenvoudiger evenwel is de G.G.D. te bepalen door eerst den 
G.G.D. Gg van a^ en a^ te vormen, daarna den G.G.D. G3 van 
G2 en a^, enz., waarbij Gn de gezochte G.G.D. is. Op geheel 
soortgelijke wijze als in n^. 192 blijkt dan, dat iedere gemeene 
deeler van a^, a^, . . . ., an een deeler van Gn is, waaruit verder 
volgt, dat Gn onafhankelijk is van de volgorde der getallen 
«1, . . . ., an. Bij deze beschouwing wordt niet van de fundamen- 
taalstelling van n^ 203 gebruik gemaakt. 

208. Overeenkomstige opmerkingen gelden voor het K.G.V. 
Zoo heeft men : 

Het kleinste gemeene veelvoud der getallen a^, a^, . . . ., an wordt 
gevonden als het product der priemfactoren, die in minstens één 
dier getallen voorkomen, ieder dier priemfactoren voorzien van 
een exponent gelijk aan den grootsten der exponenten ^), waarmede 
die factor in de getallen a^, a^ . . . ., an ^) voorkomt. 



^) Onder het kleinste van eenige (al of niet verschillende) getallen 
wordt verstaan een dier getallen, dat <, ieder der overige getallen is. 
Een analoge definitie geldt voor het grootste van eenige getallen. 

^) Hiervan heeft men natuurlijk alleen diegene te nemen, die den 
beschouwden priemfactor bevatten. 



86 

De aangewezen weg om het K.G.V. te bepalen (tenminste zoo 
de getallen niet reeds in priemfactoren ontbonden zijn) is dit 
echter niet; dezen vindt men in n^. 190 en 192. 

209. Verdere toepassingen der eigenschap van n^ 203. De 

eigenschappen der deelbaarheid, die in het voorgaande met be- 
hulp van den algorithmus van Euclides zijn aangetoond, zijn 
onmiddellijk uit de fundamentaalstelling van n^. 203 af te leiden. 
Men verkrijgt echter op deze wijze geen ander bewijs dier eigen- 
schappen ^), daar deze omgekeerd juist gediend hebben om tot 
de fundamentaalstelHng te geraken. De bedoeling is dus slechts 
te laten zien, dat deze eigenschappen in de fundamentaalstelling 
liggen opgesloten, om daarmede de groote draagwijdte dier fun- 
damentaalstelling te doen uitkomen. 

210. Zoo blijkt de juistheid der eigenschap van n^. 176 onmid- 
dellijk uit die van n^. 205 (welke eigenschap weer een uitvloeisel 
van die van n^. 203 is). Met behulp daarvan kan men nl. uit de 
ontbindingen van a en ö in priemfactoren alle gemeene deelers 
van <2 en ^ afleiden (zie ook de eigenschap van n^. 206). We 
laten het verder aan den lezer over dit na te gaan. 

Evenzoo vloeit de eigenschap van n^. 189 (en de uitbreiding 
daarvan tot n getallen) uit de ontbinding in priemfactoren voort, 
terwijl de eigenschap van n^. 190 gemakkelijk uit de eigen- 
schappen van n^. 206 en 208 is af te leiden. Wat het laatste betreft, 
heeft men slechts aan te toonen, dat in het product van G.G.D. 
en K.G.V. van a en b iedere priemfactor van a oi b voorkomt 
en wel met denzelfden exponent als in het product ab ^). 

211. Om de hoofdeigenschap der deelbaarheid (zie n^. 181) 
uit de ontbinding in priemfactoren terug te vinden merken we 
op, dat uit de onderlinge ondeelbaarheid van a en c volgt, dat 
geen enkele priemfactor van c 'm a voorkomt. Een priemfactor 



^) Tenminste niet van al die eigenschappen. De deelbaarheidseigen- 
schappen, die voor het bewijs der fundamentaalstelling niet gebruikt zijn 
(zooals de eigenschap van n^. 187 en de eigenschappen betreffende het 
K.G.V.), kunnen echter op deze wijze als opnieuw bewezen worden 
beschouwd. 

^) Zie nader hierover n^. 403. 



87 

/7, die a-maal (d.w.z. met den exponent a) in c voorkomt, komt 
nu, wegens de deelbaarheid van ab door c, minstens a-maal in 
ab, dus in b voor. Volgens de eigenschap van n°. 205 is b dus 
door c deelbaar. 

We laten het aan den lezer over de eigenschappen van n^ 185 
en 187 rechtstreeks uit de ontbinding der daarin voorkomende 
getallen in priemfactoren af te leiden. 

212. Met behulp van de fundamentaalstelling bewijzen we nog 
de volgende eigenschap: 

Is a" deelbaar door b", dan is a deelbaar door b. 

Zij p een priemfactor van b, die daarin met den exponent j3 
voorkomt; in ^" is p dan met den exponent /z|3 aangedaan. Daar 
a"^ een veelvoud van ^" is, bevat ook a" den priemfactor /?, het- 
geen alleen mogelijk is als a dien priemfactor bevat. Komt nu 
p met den exponent <x \n a voor, dus met den exponent noc in 
a" , dan is blijkens de eigenschap van n^ 205 (gezien de deel- 
baarheid van a" door b""): 

na > n[i, 
dus a ^ jS. ledere priemfactor van b komt dus met denzelfden 
of grooteren exponent in a voor, waaruit men (weer volgens de 
eigenschap van n^ 205) besluit, dat a door b deelbaar is. 

We merken verder nog op, dat men voor m < n uit de deel- 
baarheid van a"^ door b"" eveneens tot de deelbaarheid van a 
door b kan besluiten-, dan is nl. b"^ = b"^b'^-^, dus a"^ deelbaar 
door b"^. 

213. Gevallen, waarin de machtsverheffing commutatief 

is. Als toepassing bespreken we nog de vraag na te gaan in 

welke gevallen 

a^ = b\ (131) 

dus de machtsverheffing commutatief is. 

Aan (131) is zeker voldaan als a = b is, zoodat we in het 

volgende a en b ongelijk, b.v. a > b, kunnen onderstellen. Dan 

is b"" door b^ deelbaar, zoodat als aan (131) voldaan is ook a^ door 

b^ deelbaar is, dus a door b (zie de eigenschap van n^ 212). 

Men kan dus a = bc stellen, waardoor (131) overgaat in: 

(bcy = b^' = (b'f. 



88 

Daaruit besluit men tot: 

bc = b<= 1). 

Aan deze vergelijking (waarin c > 1 is, daar anders a = b was) 
is, blijkens het in n*^. 127 gevondene, alleen voldaan dAs b = c = 2 
is; in dat geval \s a = bc = A. 

We vinden dus: 

Aan de vergelijking {131) is, behalve door a = b, slechts vol- 
daan als a = 4 en b = 2 is of omgekeerd a = 2 en b = 4. 



^) Uit bc ^ b'^ zou nl. volgen : 

{bc)b^{bcy; 

zie de eerste eigenschap van n^. 124. 



§ 8. Oneindige hoeveelheden en cardinaalgetallen. 

214. Gelijkwaardigheid van hoeveelheden. Een natuurlijk 
getal treedt op als aantal elementen van een eindige hoeveelheid. 
We willen hier het een en ander mededeelen aangaande de uit- 
breiding, die het begrip „natuurlijk getal" ondergaan heeft door 
de voorwaarde van eindigheid der hoeveelheid los te laten; de 
beschouwingen daaromtrent zijn voor een groot deel afkomstig 
van Georg Cantor (1872 en volgende jaren). 

Genoemde uitbreiding van het getalbegrip neemt in dit leer- 
boek een op zich zelf staande plaats in doordat voor de getallen, 
waartoe men door de beschouwing van oneindige hoeveelheden 
gevoerd wordt, niet alle rekenregels gelden, die men bij de 
natuurlijke getallen heeft i), terwijl we ons overigens juist bepalen 
tot die uitbreidingen van het getalbegrip, waarvoor genoemde 
rekenregels van kracht blijven. 

215. Twee (eindige of oneindige) hoeveelheden A en B, ook 
wel verzamelingen genoemd, heeten gelijkwaardig of aequivalent 
als ze op elkaar kunnen worden afgebeeld (zie n^. 14), dus als 
een een-eenduidige correspondentie tusschen de elementen van A 
en die van B kan worden vastgelegd. Men schrijft dit: 

A<^B. 
Een voorbeeld van twee gelijkwaardige hoeveelheden wordt 
opgeleverd door twee eindige hoeveelheden met hetzelfde aantal 
elementen (zie de eigenschap van n^ 23). 

216. Voor het begrip „gelijkwaardig" geldt de volgende tran- 
sitieve eigenschap: 



^) NI. niet die betreffende de omgekeerde verbindingen (aftrekken 
en deelen) en die betreffende grooter en kleiner; zie n^ 249—252. 



90 

Zijn A, B en C drie hoeveelheden en is 
Ao-B en Bc^C, 
dan is ook A (^ C '^). 

Immers is B zoowel op A als op C afgebeeld, dan verkrijgt 
men een afbeelding van .4 op C door elementen van A en C, 
die met hetzelfde element van B correspondeeren als correspon- 
deerend te beschouwen. 

Om de eigenschap ook te doen doorgaan als de hoeveelheden 
A en C dezelfde zijn is het noodig iedere hoeveelheid met zich 
zelf gelijkwaardig te noemen, zoodat dus 

A<si A 
is. Bij de afbeelding van .4 op ^ kan men ieder element met 
zich zelf laten correspondeeren. 

217. Cardinaalgetal van een hoeveelheid. Vormt men eenige 
hoeveelheden, die alle met een zelfde hoeveelheid A gelijkwaardig 
zijn, dan zijn, volgens de eigenschap van 216, iedere twee dier 
hoeveelheden gelijkwaardig. Men kan nu een bepaald teeken 
kiezen om deze hoeveelheden te onderscheiden van hoeveelheden, 
die daarmede niet gelijkwaardig zijn. Dit teeken wordt het 
cardinaalgetal of de machtigheid der hoeveelheid genoemd. 

Om een cardinaalgetal te definiëeren heeft men dus slechts 
één hoeveelheid te noemen, die dat cardinaalgetal bezit. 

218. De cardinaalgetallen der eindige hoeveelheden (zie n^ 26) 
wordig eindig, die der oneindige hoeveelheden oneindig of trans- 
finiet genoemd. De eindige cardinaalgetallen zijn niets anders 
dan de natuurlijke getallen. 

Een voorbeeld van een transfiniet cardinaalgetal levert het 
cardinaalgetal der hoeveelheid van alle natuurlijke getallen (die 
volgens n^ 28 oneindig is). Dit cardinaalgetal wordt aftelbaar 
oneindig, of kortweg aftelbaar, genoemd. 

Een hoeveelheid, waarvan het cardinaalgetal aftelbaar oneindig is, 
wordt eveneens aftelbaar oneindig of aftelbaar genoemd. Een aftel- 
bare hoeveelheid kan dus gedefinieerd worden als een hoeveelheid, 
die op de hoeveelheid der natuurlijke getallen is af te beelden. 



^) Deze eigenschap is reeds enkele malen toegepast zonder haar 
uitdrukkelijk te formuleeren zie; n^. 23 en 27. 



91 

219. Grooter en kleiner bij cardinaalgetallen. Zijn A en 
B twee ongelijkwaardige hoeveelheden en is B gelijkwaardig met 
een deel ^) van A, dan wordt het cardinaalgetal van A grooter 
dan dat van B genoemd en dat van B kleiner dan dat van A. 
Zijn a en b die cardinaalgetallen, dan wordt dit als a > ^ of 
b < a geschreven. 

Daar voor a > b vereischt wordt, dat de hoeveelheden A en B 
ongelijkwaardig zijn, dus niet hetzelfde cardinaalgetal hebben, 
blijkt onmiddellijk, dat grooter of kleiner de gelijkheid der car- 
dinaalgetallen uitsluit. Dat ook grooter en kleiner elkaar uitsluiten 
zal eerst later blijken (zie n^ 228). 

220. We merken nog op, dat men niet tot a > b kan besluiten 
als men slechts weet, dat de hoeveelheid B op een echt deel van 
A is af te beelden. Wel is dit geoorloofd als B eindig is, maar 
niet als B, en dus ook Ay oneindig is. Dan is nl. A op een echt 
deel D van zich zelf af te beelden (zie de eigenschap van n^ 30); 
is nu de hoeveelheid B met D gelijkwaardig, dan is ze dat ook 
met A, zoodat A en B dan hetzelfde cardinaalgetal bezitten. 
Daarom wordt voor a > b nog uitdrukkelijk verlangd, dat A en 
B ongelijkwaardig zijn. 

221. De definitie van n^ 219 is voor eindige hoeveelheden, 
in welk geval (zooals reeds is opgemerkt) de cardinaalgetallen 
natuurlijke getallen zijn, met het begrip „grooter" voor natuurlijke 
getallen^ in overeenstemming (zie de eigenschap van n^ 25). 

Past men de in n*^. 219 gegeven definitie toe op een eindige 
en een oneindige hoeveelheid, dan blijkt onmiddellijk, dat een 
transfiniet cardinaalgetal grooter is dan ieder natuurlijk getal 
Bij een oneindige hoeveelheid kan men nl. de telling onbepaald 
voortzetten en is dus voor ieder natuurlijk getal n een echt deel 
der hoeveelheid te vormen, dat n elementen bevat. 

222. Kleinste transfiniete cardinaalgetal. In n^ 30 is gebleken: 
ledere oneindige hoeveelheid heeft een aftelbaar oneindig deel. 
Dit kan ook zoo worden uitgedrukt: 



^) Wegens de ongelijkwaardigheid van ^ en B is dit uit den aard 
der zaak een echt deel. 



92 

Ieder transfiniet cardlnaalgetal, dat niet aftelbaar oneindig is, 
is grooter dan aftelbaar oneindig. 

De hoeveelheid der natuurlijke getallen is dan nl. niet af te 
beelden op een hoeveelheid, waarbij het transfiniete cardlnaalgetal 
behoort, maar wel op een echt deel daarvan. 

223. Heeft men een oneindige hoeveelheid van natuurlijke 
getallen, dan kan men deze op de in n^. 36 aangegeven wijze 
naar de grootte rangschikken, waardoor ieder getal der hoeveel- 
heid een rangnummer verkrijgt en (wegens de oneindigheid der 
hoeveelheid) ook omgekeerd ieder natuurlijk getal als rangnum- 
mer optreedt. Op deze wijze krijgt men de hoeveelheid op die 
van alle natuurlijke getallen afgebeeld. Men heeft dus: 

Een oneindige getallenhoeveelheid is aftelbaar. 

224. Hieruit volgt onmiddellijk: 

Ieder oneindig deel van een aftelbaar oneindige hoeveelheid is 
aftelbaar. 

Volgens de eigenschap van n°. 223 geldt dit nl. voor de hoe- 
veelheid der natuurlijke getallen, dus ook voor een hoeveelheid, 
die daarop is af te beelden, dus voor een aftelbaar oneindige 
hoeveelheid. 

225. De eigenschap van n^ 224 kan ook zoo geformuleerd 
worden : 

Er is geen transfiniet cardlnaalgetal, dat kleiner is dan aftel- 
baar oneindig. 

Immers een hoeveelheid met een transfiniet cardlnaalgetal, dat 
kleiner is dan aftelbaar oneindig, zou af te beelden moeten zijn 
op een oneindig deel van de hoeveelheid der natuurlijke getallen, 
dus volgens de eigenschap van n^. 223 aftelbaar zijn, in strijd 
daarmede, dat het cardlnaalgetal der hoeveelheid kleiner dan 
aftelbaar oneindig is. 

226. De eigenschap van n^. 225 drukt, gecombineerd met die 
van n^. 222 (tweede formuleering) uit, dat aftelbaar oneindig het 
kleinste transfiniete cardlnaalgetal is. 

Opgemerkt zij nog, dat beide eigenschappen niet hetzelfde 
uitdrukken, daar nog niet is aangetoond, dat de begrippen grooter 



93 

en kleiner elkaar uitsluiten. Zoolang dit nl. nog niet bewezen 
is (hetgeen in n°. 228 algemeen geschieden zal) volgt uit de 
omstandigheid, dat een niet-aftelbaar transfiniet cardinaalgetal 
grooter dan aftelbaar oneindig is, nog niet, dat het niet kleiner 
dan aftelbaar oneindig is. 

227. Gelijkwaardigheidsstelling van Schröder en Bernstein. 

Deze onafhankelijk van elkaar omstreeks 1896 door E. Schröder 
en F. Bernstein gevonden stelling luidt: 

Is de hoeveelheid A gelijkwaardig met een deel der hoeveel- 
heid B en omgekeerd B gelijkwaardig met een deel van A, dan 
zijn A en B gelijkwaardig. 

Dit is natuurlijk alleen van belang voor het geval, dat de deelen 

van B en A, die resp. met A tn B gelijkwaardig zijn, echte deelen 

zijn, daar de eigenschap anders een tautologie is. 

Ondersteld is 

Ac^B' (132) 

en 

Bo^A', (133) 

waarin B' een deel van B en A' een deel van A is. Met een 

element a-^ van A correspondeert, zoo dit tot A' behoort, volgens 

(133) een element b^ van B. Behoort b-^ ook tot B\ dan 

correspondeert daarmede volgens (132) een element a^ van A. 

Behoort a^ tot A\ dan correspondeert daarmede een element bc^ 

van B, enz. Men krijgt zoo de rij 

«1, ^1, «2, b^, «3, ^3, . . . ., (134) 

die óf onbepaald voortloopt, of afbreekt doordat een element van 

A bereikt wordt, dat niet tot A behoort, of een element van B, 

dat niet tot B' behoort. 

We construeeren op de volgende wijze een correspondentie, 

die we C noemen. Eindigt de rij (134) met een element bn van 

B, dat niet tot B' behoort, dan laten we met het element a^ 

van A het element b^ van B correspondeeren ^). In de overige 

gevallen laten we met a^ het element b van B correspondeeren, 

dat daarmede volgens (132) correspondeert. 



^) -Het element b-^ is dan aanwezig, daar anders de rij (134) met een 
element van A (nl. aj eindigde. 



94 

Bij de zoo gevormde correspondentie C correspondeert met 
ieder element van A één en slechts één element van B. Ook is 
het omgekeerde het geval. Men kan nl. bij de vorming van de 
rij (134) ook van een willekeurig element b^ van B uitgaan 
(waarbij dan a-^ het element van A is, dat volgens (133) met b^ 
correspondeert); bij de correspondentie C zal nu één en slechts 
één der elementen a^ en a^ (en stellig geen ander element van 
A) met b^ correspondeeren ^). 

De correspondentie C levert dus een afbeelding der hoeveelheden 
.4 en ^ op elkaar. 

228. Uit de eigenschap van n^ 227 volgt: 

Het is onmogelijk, dat het cardinaalgetal van een hoeveelheid 
A zoowel grooter als kleiner is dan dat van een hoeveelheid B. 

Was nl. het cardinaalgetal van A zoowel grooter als kleiner 
dan dat van B, dan was (volgens de definitie van n^ 219) A 
met een deel van B en B met een deel van A gelijkwaardig, dus 
A met B. Dit is echter in strijd met de definitie van „grooter". 

De eigenschap drukt uit, dat ook bij cardinaalgetallen de be- 
grippen y grooter'' en „kleine f' elkaar uitsluiten. 

229. Een verder gevolg der gelijkwaardigheidsstelHng is de 
transitieve eigenschap voor cardinaalgetallen van het praedicaat 
^^grootef'. Deze eigenschap, waarin die van n^ 5 voor natuur- 
lijke getallen ligt opgesloten, luidt: 

Voldoen de cardinaalgetallen a, b en c aan 
a > b en b > c, 
dan is a > c. 

Zijn nl. A, B en C hoeveelheden, die resp. a, b en c tot 
cardinaalgetal hebben, dan is volgens het onderstelde: 

A^B,B'cs,C, (135) 

waarin A' een deel van A en B' een deel van B is. Door de 
afbeelding van B op A is nu ook B' op een deel A" van A' 
afgebeeld; hierin is A' ook een deel van A. Uit 

A' co B', B'o^C 



^) Ontbreekt het element ag, doordat reeds b^ niet tot B' behoort, 
dan correspondeert a^ volgens den gegeven regel met b^. 



95 

volgt nu (blijkens de eigenschap Van n^ 216): 

A' CS. C 

Verder zijn ^4 en C ongelijkwaardig, daar men uit A^ C in 
verband met (135) tot 

A' c^B, B'^A, 

dus (in verband met de eigenschap van n^ 227) tot A <^ B zou 
kunnen besluiten, in strijd met het onderstelde a > b. 

230. Vergelijkbaarheid van hoeveelheden. Een vraag, die 
zich ten aanzien van de begrippen „grooter" en „kleiner" verder 
nog voordoet, is deze: 

Is bij twee verschillende c ar dinaalget allen steeds het eene 
grooter dan het andere? 

Was dit bij de cardinaalgetallen der hoeveelheden A ^n B niet 
het geval, dan was A niet met een deel van B gelijkwaardig en 
B niet met een deel van A, Is omgekeerd A niet met een deel 
van B en B niet met een deel van A gelijkwaardig, waarin opge- 
sloten ligt dat .4 en ^ ongelijkwaardig zijn (daar B ook een 
deel van B is), dan bestaat tusschen de cardinaalgetallen a en ^ 
dier hoeveelheden geen der betrekkingen a = b, a > b, a < b. 
De gestelde vraag kan dus ook zoo worden ingekleed: 

Kan het bij twee hoeveelheden A en B voorkomen dat A met 
geen enkel deel van B en B met geen enkel deel van A gelijk- 
waardig is? 

231. Twee hoeveelheden A en B, tusschen wier cardinaal- 
getallen a en b een der betrekkingen a = b, a>bya<b bestaat, 
dus waarbij A op een deel van B oi B op een deel van A is 
af te beelden, worden vergelijkbaar genoemd. Men is geneigd 
die vergelijkbaarheid voor ieder tweetal hoeveelheden als iets van 
zelf sprekends aan te nemen. Evenwel is zonder de een of andere 
axiomatische onderstelling omtrent de beschouwde hoeveelheden 
de vergelijkbaarheid niet algemeen aan te toonen. Het zou ons 
te ver voeren hierop nader in te gaan. 

232. De verschillende gevallen, die bij twee hoeveelheden A 
en B denkbaar zijn, kunnen ook aldus worden geformuleerd: 



96 

/. A is met een deel van B en B met een deel van A gelijk- 
waardig. 

II. A is niet met een deel van B, maar B wel met een deel 
van A gelijkwaardig. 

III. A is met een deel van B, maar B niet met een deel van 
A gelijkwaardig. 

IV. A is niet met een deel van B en B niet met een deel van 
A gelijkwaardig. 

Aan deze indeeling ziet men direct, dat de vier gevallen elkaar 
logisch uitsluiten en dat geen andere gevallen denkbaar zijn. 

Volgens de gelijkwaardigheidsstelling van n^. 227 is in het 
geval I A gelijkwaardig met B, dus a = ^ als a en ^ de cardinaal- 
getallen van A ^n B zijn. De gevallen II en III komen overeen 
met a> b resp. a < b^ terwijl IV het geval van onvergelijkbaar- 
heid vertegenwoordigt (zie n^. 231). 



233. Optelling van cardinaalgetallen. De beschouwingen 
van n^ 38 — 41 gaan ook voor oneindige hoeveelheden door. Zijn 
a en ö de cardinaalgetallen der hoeveelheden A en B, die we 
zonder gemeenschappelijke elementen onderstellen, dan verstaat 
men (geheel in overeenstemming met de in n^. 43 gegeven defi- 
nitie) onder a + b het cardinaalgetal der somhoeveelheid A-\- B, 
die ontstaat door A tn B tot één enkele hoeveelheid te ver- 
eenigen. 

De door de formules (5) en (7) van n°. 39 en 41 uitgedrukte 
eigenschappen van hoeveelheden doen zien, dat ook voor cardi- 
naalgetallen de commutatieve en 'de associatieve eigenschap der 
optelling gelden, dus de formules (9) en (10) van n^. 48. 

234* Daar men ook oneindig veel hoeveelheden tot één enkele 
hoeveelheid vereenigen kan, is de optelling van cardinaalgetallen 
niet tot een eindig aantal termen beperkt. 

Het is onmiddellijk in te zien, dat ook bij een som van on- 
eindig veel cardinaalgetallen de algemeene associatieve en commu- 
tatieve eigenschap gelden (zie n^ 53 en 56). 



97 

Opgemerkt zij nog, dat zulk een som niet te verkrijgen is 
door eerst de som van twee cardinaalgetallen te vormen, daarna 
deze som te vermeerderen met een derde cardinaalgetal, enz., 
daar men zoo steeds een eindig aantal termen behoudt. Ook is een 
som van oneindig veel cardinaalgetallen niet te vergelijken met 
de som van. een oneindig voortloopende reeks ^); bij laatst- 
genoemde som heeft men nl. niet met een som in de gewone 
beteekenis, maar met de limiet van een som te doen; bovendien 
is het aantal termen van zulk een reeks aftelbaar oneindig, hetgeen 
bij een som van oneindig veel cardinaalgetallen niet het geval 
behoeft te zijn. 

235. Vermenigvuldiging van cardinaalgetallen. Op de in 

n^. 112 aangegeven wijze kan men uit twee hoeveelheden A en 
B de prodacthoeveelheid A . B vormen, door nl. telkens een 
element van A met een element van B tot een paar te vereenigen 
en de hoeveelheid van alle zoo te vormen paren te beschouwen. 
Onder het product ab der cardinaalgetallen a en b van A resp. B 
wordt nu het cardinaalgetal der hoeveelheid A . B verstaan. 

Uit de beschouwingen van n^. 112 — 116 blijkt onmiddellijk, 
dat de commutatieve, associatieve en distributieve eigenschap 
der vermenigvuldiging, dus de formules (50), (51) en (52) van 
n^ 94, 95 en 97, ook voor cardinaalgetallen gelden. 

236. Op soortgelijke wijze als in n^. 112 (waar de hoeveel- 
heden eindig ondersteld zijn) blijkt verder, dat de product- 
hoeveelheid A . B ook op te vatten is als een som van a hoeveel- 
heden, die alle het cardinaalgetal b bezitten ^). Ieder dier a 
hoeveelheden wordt gevormd door diegene der in n^ 235 ge- 
noemde paren, waarin een zelfde element van A voorkomt, als 
elementen van een hoeveelheid te beschouwen. 

Ook bij cardinaalgetallen is dus het product ab als som van a 
gelijke termen b (of b gelijke termen a) te beschouwen. Dit 



^) Met deze opmerking loopen we op bekende, maar hier nog niet 
besproken zaken vooruit. 

^) En natuurlijk ook als een som van b hoeveelheden, die alle het 
cardinaalgetal a hebben. 

FRED. SCHUH, Leerboek der Theoretische Rekenkunde. 7 



98 

maakt, dat de in n^. 97 gegeven bewijzen der beide grondvormen 
(52) en (53) van de distributieve eigenschap ook voor cardinaal- 
getallen doorgaan. 

237. De vermenigvuldiging van hoeveelheden, zooals die in 
n°. 235 is beschreven, is tot meerdere hoeveelheden, ook 
oneindig veel hoeveelheden, uit te breiden. Een element der 
producthoeveelheid ontstaat door van ieder der oorspronkelijke 
hoeveelheden een element te nemen en deze elementen tot een 
hoeveelheid vereenigd te denken; die hoeveelheid is dan een 
element der producthoeveelheid. 

Het is nu weer gemakkelijk in te zien, dat voor de bijbehoorende 
cardinaalgetalLen de algemeene commutatieve, associatieve en 
distributieve eigenschap der vermenigvuldiging geldig zijn. 

238. Machtsverheffing van cardinaalgetallen. De beschou- 
wingen van n^. 130 en 131 zijn zonder moeite op oneindige 
hoeveelheden over te dragen. Zijn A ^n B twee hoeveelheden 
met cardinaalgetallen a en /?, dan kan men de hoeveelheid A^ 
vormen, waarvan de elementen de beleggingen der hoeveelheid 
B met elementen van A zijn (zie n^ 131). Onder a* verstaat men 
nu het c ar dinaal getal der hoeveelheid A^. 

239. V/anneer men een element van B met de verschillende 
elementen van A tot paren vereenigt, krijgt men een hoeveelheid 
van a elementen (de zoo juist genoemde paren). Daar ieder element 
van B tot zulk een hoeveelheid voert, krijgt men b hoeveelheden 
ieder van a elementen. Deze b hoeveelheden duiden we door 
C aan. 

Door nu van ieder der hoeveelheden C een element te nemen 
verkrijgt men alle elementen van B, ieder gepaard aan een element 
van A, dus een belegging van B met elementen van A, terwijl 
men ook iedere zoodanige belegging op deze wijze kan laten 
ontstaan. Hieruit blijkt, dat de hoeveelheid A^ het product der b 
hoeveelheden C is. Dit beteekent, dat ook bij cardinaalgetallen 
a^ als het product van b gelijke cardinaalgetallen a te beschouwen is. 

240. Op geheel dezelfde wijze als bij natuurlijke getallen is 
dus de machtsverheffing tot vermenigvuldiging terug te brengen. 



99 

De daaruit in n^. 118 — 123 afgeleide eigenschappen der machts- 
verheffing, die door de formules (65), (66) i), (67), (69) en (71) 
zijn uitgedrukt, gelden dus ook voor cardinaalgetallen. We laten 
het aan den lezer over zich er van te overtuigen, dat de bewijs- 
voeringen geldig gebleven zijn; bij de uitbreiding der formules 
(67) en (69) heeft men zich dan echter niet op volledige inductie 
te beroepen, maar op de eigenschappen der vermenigvuldiging 
voor een willekeurig (eindig of oneindig) aantal factoren. 

241. Men kan de formule (67) van n^. 119 ook bewijzen 
door op te merken, dat a'^ b^ het cardinaalgetal der hoeveelheid 

is (waarbij /l, 5 en C resp. hoeveelheden met de cardinaal- 
getallen a, ^ en c zijn). Wanneer men de hoeveelheid C met 
elementen van A belegt en vervolgens met elementen van B (ten 
einde de hoeveelheden A^ en B^ te vormen) en beide beleggingen 
tot een paar vereenigt, is dit te beschouwen als een belegging 
van C met elementen van A . B\ immers aan ieder element van 
C is dan een element van A en een element van B toegevoegd, 
hetgeen als een toevoeging van een element van .4 . 5 is op te 
vatten. Men vindt zoo: 

A^ .B^ = (A.B)c, (136) 

hetgeen onmiddellijk tot (67) voert. 

242. Om op deze wijze de formule (69) van n^ 122 aan 
te toonen gaan we er van uit, dat a^ a^ het cardinaalgetal der 

hoeveelheid 

A^ . A"^ 

is. Een element dier hoeveelheid krijgt men door B zoowel als 
C met elementen van A te beleggen en beide beleggingen te 
zamen te beschouwen; dit voert dan tot een belegging der 
hoeveelheid 5 + C met elementen van A. Men vindt zoo: 

AB .A^ = A^^c, (137) 

hetgeen tot (69) voert. 
We laten het aan den lezer over aan te toonen: 

(A^f = A^c, (138) 



Omtrent de formule (66j zie nader n^. 255. 



100 

waarmede dan een ander bewijs der formule (71) van n°. 123 
verkregen is. 

243. Som van aftelbaar oneindig veel aftelbare hoeveel- 
heden. We denken ons een aftelbaar oneindig aantal aftelbaar 
oneindige hoeveelheden 

Al, /Ig, A^f .... (1'^") 

De elementen van een willekeurige dezer hoeveelheden, b.v. 
An, noemen we 

Cln\, CLn2, (^n3, . . . ., 

zoodat dus Unp het p^"^ element der /z^^ hoeveelheid is. 

We denken ons nu de hoeveelheden (139) tot één enkele 
hoeveelheid A vereenigd en toonen aan, dat ook A aftelbaar 
oneindig is. Daartoe moet bewezen worden, dat men de hoe- 
veelheid der elementen Unp op de hoeveelheid der natuurlijke 
getallen kan afbeelden, dus die elementen van rangnummers kan 
voorzien. Dit nu kan op de volgende wijze geschieden: 

^11' ^12' ^21' ^13» ^2Ï' ^31> ^14' ^23» ^32» ^41' ^15» • • • • 

1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... . 
We vereenigen dus de elementen in groepen van elementen met 
gelijke indexsom, aldus: 

^12 ^21 

^13 ^22 ^31 

^14 ^23 ^32 ^41 

enz. 

De elementen van een zelfde groep worden naar den eersten 
index gerangschikt, terwijl men op iedere groep de groep laat 
volgen, waarvoor de indexsom 1 grooter is. Het is duidelijk, dat 
zoo ieder element anp een rangnummer krijgt. We vinden dus: 

Door een aftelbaar oneindig aantal aftelbaar oneindige hoeveel- 
heden tot één enkele hoeveelheid te vereenigen ontstaat weer een 
aftelbaar oneindige hoeveelheid. 

244. Bij de in n^. 243 beschouwde rangschikking der elementen 
ünp is zonder moeite het rangnummer van een willekeurig element 
ünp aan te geven. Het element anp is nl. het n^^ element van de 



101 

groep met indexsom n^p. Aan die groep gaan n+p — 2 
groepen vooraf resp. met indexsom 2, 3, 4, . . . ., /z +/? — 1; 
de aantallen elementen dier groepen zijn resp. 1, 2, 3, ... ., 
n+p — 2. Het rangnummer van het element anp is dus: 

l+2+3 + .... + («+/;-2) + n= ("+^-^y"+^-'^ + n'). 

Voor het bewijs van n^ 243 is deze uitdrukking voor het 
rangnummer echter zonder belang. 

245. Uit de eigenschap van n^. 243 volgt: 

De som van een eindig aantal aftelbaar oneindige hoeveel- 
heden is aftelbaar oneindig ^). Hetzelfde geldt voor de som van 
een aftelbaar oneindig aantal eindige hoeveelheden. 

Het is nl. onmiddellijk te zien, dat de genoemde som een 
oneindige hoeveelheid is. Verder is die som door weglating van 
elementen uit de in n^. 243 beschouwde somhoeveelheid af te 
leiden, zoodat men met een oneindig deel van een aftelbaar 
oneindige hoeveelheid te doen heeft; zulk een deel nu is aftel- 
baar oneindig (zie de eigenschap van n^. 224). 

246. Volgens het in n^ 236 gevondene is de eigenschap van 
n°. 243 ook aldus te formuleeren: 

Het product van twee aftelbaar oneindige hoeveelheden is 
aftelbaar oneindig. 

Door volledige inductie kan dit aldus worden uitgebreid: 
Het product van een eindig aantal aftelbaar oneindige hoe- 
veelheden is aftelbaar oneindig. 

247. Formules, waarin het cardinaalgetal „aftelbaar onein- 



1) Men heeft nl.: 

2(1+2 + 3 + .... + ^) = {1 +2 + 3 + .... + (^- 1) + ^} + 
+ {^ + (^_l) + (^_2) + .... + 2 + 1} = 

= (l+^) + {2 + (^-l)} + {3 + (^-2)} + .... + {(^-l)+2}+(^fl) = 

= (^ + U + (^ + 1) -h . . . . + (^ + 1) (^ termen) = k(k + 1). 

Zie overigens n^. 640. 

2) Dit drukt uit, dat het product van een eindige en een aftelbaar 
oneindige hoeveelheid aftelbaar oneindig is (zie n°. 236). 



102 

dig" voorkomt. Stelt men het aftelbaar oneindige cardinaalgetal 
door a voor, dan volgt uit de eigenschap van n^ 245: 

na = a, (140) 

waarin n een eindig cardinaalgetal, dus een natuurlijk getal is. 
In hel bijzonder heeft men: 

2a= a-{-a = a. (141) 

Evenzoo heeft men natuurlijk: 

a + n = a, (142) 

waarin n weer een natuurlijk getal is. 
Verder volgt uit de tweede eigenschap van n^. 246: 

a" = a. (143) 

248. Uit de eerste eigenschap van n^ 222 volgt, dat ieder 

transfiniet cardinaalgetal a als a + Z? te schrijven is ^). Volgens 

de eigenschap van n^. 224 geldt dit nl. ook nog voor a = a; men 

kan zich hiervoor ook op (141) of (142) beroepen. Men heeft dus: 

a = a -h b, 
of in verband met (141): 

a-\-a = a + (a-i-b) = {a-\-a) + b = a + b = a. 
Voor ieder transfiniet cardinaalgetal a geldt dus: 

a + a = a (144) 

en evenzoo (wegens a-{-n = (a-\-b)-\-n = (a + n) + b = a + b = a): 

a-^ n = a, (145) 

waarin n een natuurlijk getal is. In het bijzonder geldt: 

a + l =a. (146) 

Door deze laatste formule onderscheiden zich de oneindige 
cardinaalgetallen van de eindige. 

249. Onbepaaldheid der omgekeerde verbindingen. Terwijl 
de eigenschappen der optelling, vermenigvuldiging en machts- 
verheffing voor cardinaalgetallen onveranderd bleken door te 
gaan, hebben we in n^ 247 en 248 formules verkregen, die bij 
natuurlijke getallen niet gelden. Deze formules doen zien, dat 
men in verschillende gevallen bij transfiniete cardinaalgetallen 



^) Opgemerkt zij, dat, als a niet-aftelbaar oneindig is, hetzelfde voor 
b geldt, daar anders uit (141) zou volgen: 

a = a -\- b = a, 
in strijd met het gegeven, dat a niet-aftelbaar is. 



103 

gelijkheid krijgt, waar men bij natuurlijke getallen ongelijkheid 
aantreft. 

250. Dit maakt, dat bij transfiniete cardinaalgetallen de omge- 
keerde verbindingen „aftrekken" en „deelen" tot onbepaaldheid 
kunnen voeren. Zoo doen de formules (144) en (145) zien, dat, 
als a een oneindig cardinaalgetal is, aan de vergelijking 

a-\- X = a 
voldaan wordt door ieder natuurlijk getal en ook door x = a. 
Evenzoo ziet men aan de formules (140) en (143), dat aan 

xa = a 
door ieder natuurlijk getal en door x = a wordt voldaan. 

De eigenschappen der aftrekking en deeling, die toch op de 
ondubbelzinnigheid van deze verbindingen steunen, vervallen dus 
voor transfiniete cardinaalgetallen. 

251. Het rekenen met cardinaalgetallen is dus tot de recht- 

streeksche verbindingen beperkt. De omstandigheid, dat hiervoor 

nog dezelfde rekenregels gelden als bij de natuurlijke getallen, 

verliest echter een groot deel van haar belang tengevolge van 

de in n*^. 247 en 248 verkregen formules. Zoo is het b.v. weinig 

interessant, dat 

2(3 + a) = 2 . 3 + 2a 

is, daar zoowel het eerste als het tweede lid hiervan a is. Men 

had even goed 

2(3 + a) = 2 + 3 + a 
of 

2(3 + a) = 2 . 3 + a 

kunnen schrijven, zonder dat de formule ophoudt juist te zijn. 

252. Ook bij ongelijkheden kan men met transfiniete cardinaal- 
getallen niet op de gewone wijze rekenen. De eigenschappen van 
n^. 49 en 105 zijn nl. niet op transfiniete cardinaalgetallen van 
toepassing ^). 

Immers zijn m en n natuurlijke getallen en is m > n, dan 



^) Dit volgt ook daaruit, dat als genoemde eigenschappen van toe- 
passing bleven de aftrekking en de deeling ondubbelzinnig waren (^zie 
n^ 69 en 133), hetgeen in n^. 250 gebleken is niet het geval te zijn. 



104 

heeft men niet (zooals de eigenschap van n^. 49 dat zou eischen) 
m -}- a > n -{- a, maar volgens de formule (142) van n^ 247: 

m + a = n -h a. 
Ook heeft men dan niet ma > na, maar volgens (140): 

ma = na. 



253. Vergrooting van cardinaalgetallen. De omstandigheid, 
dat a" (n een natuurlijk getal) nog hetzelfde cardinaalgetal is als 
a ^) doel de vraag rijzen of er, behalve aftelbaar oneindig, nog 
andere transfiniete cardinaalgetallen bestaan. Dit is hetzelfde als 
de vraag of er niet- aftelbaar oneindige hoeveelheden bestaan. 

Deze vraag moet bevestigend beantwoord worden. Men kan 
nl. uit ieder cardinaalgetal een ander afleiden, dat grooier is, 
zooals uit een in n^ 254 te bespreken eigenschap blijkt. Tevens 
ziet men zoo, dat er geen grootste cardinaalgetal bestaat, 

254. Zijn a en b cardinaalgetallen en is a> 1, dan is: 

a^> b. 

Laten nl. A ^n B hoeveelheden zijn, die a resp. b tot cardinaal- 
getal hebben, zoodat a^ het cardinaalgetal van de hoeveelheid 
A^ is (zie n°. 238). Aangetoond moet dan worden, dat B met 
een deel van A^ , maar niet met A^ zelf gelijkwaardig is. 

Zijn e^ en e^ twee bepaalde elementen van A', deze zijn wegens 
a > 1 te vinden. Men kan nu een belegging van B met elementen 
van A vormen door aan een bepaald element E van B het element 
^2 en aan alle overige elementen van B het element e^ toe te 
voegen. Het aantal beleggingen van deze soort bedraagt b, daar 
men voor E ieder der b elementen van B kiezen kan. De hoe- 
veelheid dier bijzondere beleggingen is een deel van A^ en gelijk- 
waardig met B. 

Om te bewijzen, dat A^ en B niet gelijkwaardig zijn, nemen 
we aan, dat dit wel het geval was en men dus een afbeelding 
C van A^ op B kon vormen. Met een element E van B 



^) Zie de formule (143) van n^. 247. 



105 

correspondeert dan een element van A^ , dus een belegging F 
van B; bij deze belegging is aan E een element e van A toe- 
gevoegd. Onder e' verstaan we nu het element e^ of eg ^1 n^ar 
gelang e niet of wel het element e^ is; in beide gevallen is e' 
van e verschillend. We beschouwen thans de belegging F, waarbij 
aan ieder element E van B op de boven aangegeven wijze een 
element e' van A is toegevoegd. Deze belegging F verschilt van 
de belegging F, die bij de afbeelding C met E correspondeert, 
daar bij de belegging F aan E het element e en bij de belegging 
F aan E het (van e verschillende) element e' van A is toegevoegd. 
Daar dit voor ieder element E van B geldt, is er geen element 
van B, dat bij de afbeelding C met de belegging F correspon- 
deert, hetgeen in strijd is met de omstandigheid, dat C een af- 
beelding van A^ op B is. 

255. De eigenschap van n^ 254 geldt niet voor a = 1, daar 
(ook als h oneindig is) P= 1 is. In dat geval is er nl. slechts 
één belegging van de hoeveelheid B met elementen van A 
mogelijk, waarbij dan aan ieder element van B het eenige element 
van A is toegevoegd. 

Voor a = 2 is echter (zooals uit het bewijs blijkt) de eigenschap 
van n^ 254 reeds van kracht, zoodat men voor ieder (eindig of 
oneindig) cardinaalgetal b heeft'. 

T>>b. (147) 

256. Rijen van cardinaalgetallen. De ongelijkheid (147) stelt 
ons in staat, uitgaande van het aftelbaar oneindige cardinaalgetal 
a, steeds grootere cardinaalgetallen te vormen, nl.: 

a, = 2^ Qg = t\ a3 = 2^2^ o, - t\ . . . ., (148) 

waarbij dan: 

a < a^ < Qg < Qg < . . . . 
is. 

257. Echter is men tot de rij (148) van cardinaalgetallen niet 
beperkt. Zijn nl. A, A^, Ac^, A^, . . . . hoeveelheden, wier cardi- 
naalgetallen a, a^, Qg, Qg, . . . . zijn, dan verkrijgt men, door de 
som van al deze hoeveelheden te vormen, een hoeveelheid Aca, 
waarvan het cardinaalgetal minstens a„ + i {n een natuurlijk getal), 



106 

dus > a^ is. Het cardinaalgetal van Aa,, dat we a^ noemen, is 
dus grooter dan ieder der cardinaalgetallen (148). 

258. Uit a^ kan men nu verder weer een rij van steeds 
grooter wordende cardinaalgetallen 

a _^_,=2^-, a _^ =2'-+S a _^ -2^«+2 .... (149) 

afleiden, waaruit men (door de bijbehoorende hoeveelheden 
>l^+i, A^_^2^ ^ft,+3' .... te vereenigen) een cardinaalgetal a<2^ 
afleidt, dat grooter dan ieder der cardinaalgetallen (149) is. Uit 
a2^ kan men verder weer een rij grooter wordende cardinaal- 
getallen as^+i, a2^+2. • • • • afleiden, enz. 

259. Zoo kan men de cardinaalgetallen a^^, 04^, as^, .... 
verkrijgen, waaruit men, door vereeniging der bijbehoorende 
hoeveelheden A^, A2^, A^^, A^^, . . . ., een hoeveelheid A^2 
verkrijgt, waarvan het cardinaalgetal q^s grooter is dan ieder der 
cardinaalgetallen 

^c«' ^2wy ^Sw' ^4«» . • . . 
Steeds kan men zoo uit iedere oneindig voortloopende rij van 
cardinaalgetallen een cardinaalgetal afleiden, dat grooter is dan 
alle cardinaalgetallen dier rij, en daarna met de vorming van 
grootere cardinaalgetallen doorgaan. 

260. Ordinaalgetallen. De indices der in n^. 256—259 ge- 
vonden cardinaalgetallen worden ordinaalgetallen genoemd. Deze 
zijn de volgende, waarbij we de vormingswijze verder voortzetten 
dan in het voorgaande geschied is: 

1,2,3,4,5,.... 

O), co + 1 , r.) + 2, &) + 3, . . . . 

2go, 2&)+ 1, 2« + 2, 2« + 3, . . . . 
3&), . . . ., 4&), . . . ., 5«, .... 

0)2, «2+ 1, «2 + 2, 6)2 + 3, ... . 

0)2 + o, &)2 + O) + 1, 0)2 + o + 2, . . . . 

&)2 + 2w, . . . ., &)2 J_ 3^3^ _ _^ ^^2 _|_ 4cö^ _ , 

2w2, . . . ., 3&)2, . . . ., 4&)2, .... 
W», . . . ., W^ . . . ., O^ .... 
W'", . . . ., &)2«, . . . ., rj<^, .... 

a)^' a)'«l . . . ., of\ .... 



107 



0) , . 


• • •> 




. . ., w 


, . , 


«1, • • 


• ., ^-^] 


1 , . . . 


, «1^1 , . . . 




Wg, . . 


• •? 


W3, . . 


. •, W4, . . 


, . . 


««. • 


• • •> 


^2co^ ' ' 


«3a,' • 




^^^2, . 


• • •) 


^^w3, . 


. . ., c-V, . 


. . . 


W^W, . 


. . ., 


w^««, . 




.... 




• • •) 




. • ., «.3' • 


. . . 




. . . .) 






.... 


n, . . 


. . 









261. De eindige ordinaalgetallen zijn weer de natuurlijke 
getallen. Deze komen in alle eigenschappen met de eindige 
cardinaalgetallen overeen, zoodat bij eindige getallen nog geen 
behoefte aan onderscheiding tusschen cardinaalgetallen en ordinaal- 
getallen bestaat. 

Voor de oneindige ordinaalgetallen geldt echter niet hetzelfde 
als voor de oneindige cardinaalgetallen. Dit blijkt direct daaruit, 
dat voor een oneindig cardinaalgetal a de formule (146) van 
n°. 248 geldt, terwijl dit voor een oneindig ordinaalgetal niet het 
geval is. Is nl. a een oneindig ordinaalgetal en 

Ufl + i — ^ , 
dan is, volgens de ongelijkheid (147) van n^ 255, üa+i een grooter 
cardinaalgetal dan a^, zoodat de indices a en a+ 1 niet als gelijk 
te beschouwen zijn; wel is dit met a en 1 + a het geval ^), waaruit 
men ziet, dat voor oneindige ordinaalgetallen de commutatieve 
eigenschap der optelling niet geldt. Overigens gaan we echter op 
de rekenregels voor ordinaalgetallen niet in. 

262. Ook in andere gevallen treden de in n^ 260 genoemde 
ordinaalgetallen als rangnummers op, zoodat ze niet noodzakelijk 



^) Voor a = w beteekent dit, dat, als men, op dezelfde wijze als 
waarop a^ uit a is afgeleid, uit a^ een cardinaalgetal afleidt, dit even- 
eens a^ is, iets dat zonder moeite is in te zien. Daaruit volgt dan verder 
de juistheid voor de overige oneindige ordinaalgetallen. 



108 

rangnummers van cardinaalgetallen zijn. De ordinaalgetallen treden 
nl. steeds op bij zoogenaamde welgeordende hoeveelheden. 

Een hoeveelheid heet geordend als een wet gegeven is, waar- 
door voor ieder tweetal harer elementen uitgemaakt is welk het 
voorafgaande en welk het volgende is en wel zoodanig, dat 
daarvoor de transitieve eigenschap (volgt E-^ op £3 ^"^ ^2 op ^8> 
dan volgt E^ op E^) geldt. De hoeveelheid heet welgeordend als 
bovendien ieder deel der hoeveelheid (dus ook de hoeveelheid 
zelf) een eerste element bezit, d.w.z. een element, dat aan ieder 
ander element van dat deel voorafgaat. De in n^. 256 — 259 be- 
sproken cardinaalgetallen vormen, naar de grootte gerangschikt, 
zulk een welgeordende hoeveelheid. 

Men kan nu aan het eerste element van een welgeordende 
hoeveelheid A het rangnummer 1 toekennen, aan het eerste element 
van de hoeveelheid, die uit A ontstaat door het element met 
rangnummer 1 te verwijderen, het rangnummer 2, enz. De hoe- 
veelheid, die overblijft door alle elementen met eindige rangnum- 
mers te verwijderen, heeft weer een eerste element; hieraan wordt 
het rangnummer o toegekend, dat dus het kleinste oneindige 
ordinaalgetal is. Het eerste element der hoeveelheid, die overblijft 
door ook het element met rangnummer w te verwijderen, krijgt 
het rangnummer w + L Verwijdert men alle elementen met rang- 
nummers w + /2 (az eindig), dan is 2&) het rangnummer van het 
eerste element der overblijvende hoeveelheid. Zoo doorgaande 
ziet men de in n^. 260 genoemde ordinaalgetallen verschijnen. 

Met deze korte aanduiding omtrent de beteekenis der ordinaal- 
getallen moeten we hier volstaan. 

263. Betrekkingen tusschen de cardinaalgetallen a„. Uit de 

in n^. 247 gevonden formules kan men, in verband met de gelijk- 
heden (148) van n^. 256, enkele betrekkingen tusschen de cardi- 
naalgetallen a, ai, Qg, .... afleiden. 
Zoo volgt uit 2^ = ai : 

dus volgens de formule (143) van n°. 247 als men daarin n = 2 
stelt: 

af = 2^^ = ai. 



109 

Men vindt zoo de formule: 

aj=ai. (150) 

264. Voor het volgende leiden we eerst deze hulpstelling af: 
Zijn a, b en c cardinaa [getallen en a > b, dan is: 

a' > b' en c^ ^ c^ (151) 

Zijn nl. i4, 5 en C hoeveelheden met resp. a, b ^xs. c als 
cardinaalgetal/ terwijl B een deel van A is, dan is de hoeveel- 
heid B^ een deel van A^ , waaruit de eerste der betrekkingen 
(151) volgt. 

Neemt men van de hoeveelheid C^ die elementen (beleggingen 
van A), waarbij aan de niet tot B behoorende elementen van A 
een bepaald aangewezen element van C is toegevoegd, dan krijgt 
men een deel van C^, dat met C^ gelijkwaardig is. Hieruit volgt 
de tweede der betrekkingen (151). 

265. Is a een cardinaalgetal, dat aan 

2 ^ a < ai 

voldoet, dan is volgens de eigenschap van n^, 264: 

ai = 2^^ ^ a^ ^ ai^, 
dus volgens (150): 



waaru; 


it volgt: 


(x^^a^^ ai. 


dus: 




/z^ï = aa = a, , 



(152) 

waarin n een natuurlijk getal > 1 is. 
Verder volgt uit de eigenschap van n°. 264: 

a^^al^ af, 

waaruit irj verband met (150) volgt: 

aï = ai. (153) 

266. Door volledige inductie toonen we aan: 

a^"-i = a„. (154) 

Deze formule is nl. juist voor n = 1 (als men ai_i als a inter- 
preteert), daar ze dan in (150) overgaat. 

Verder leidt men uit (154) in verband met de eigenschap van 
n'. 264 af: 

ön= a„ 



110 



voor a < a„_i, dus in het bijzonder: 

al = dn. (155) 

Nu is: 

dus in verband met (155): 

Hiermede is de formule verkregen, die uit (154) ontstaat 
door n door n + \ te vervangen, waarmede het bewijs door 
volledige inductie geleverd is. 

267. We vestigen nog de aandacht op het volgende probleem, 
waarvan de oplossing nog niet gevonden is: 

Liggen tasschen de cardinaalgetallen a, a^, Qg, van n^. 

256 nog andere cardinaalgetallen? 

In het bijzonder is het dus de vraag of er een cardinaalgetal 
a bestaat, waarvoor geldt: 

a< a < a^. 

Een andere onopgeloste vraag betreffende cardinaalgetallen is 
deze of voor een transfiniet cardinaalgetal a steeds 2a = a is. 
Het vermoeden ligt voor de hand, dat deze vraag bevestigend 
moet worden beantwoord. 

268. Hoeveelheid van alle deelen eener hoeveelheid. Zij 

D een deel van een hoeveelheid A. Aan een element van A 
voegen we het getal 1 of 2 toe al naar gelang het al of niet 
tot D behoort. Hierdoor wordt de hoeveelheid A belegd met de 
elementen der hoeveelheid, die uit de beide getallen 1 en 2 bestaat. 

Omgekeerd voert iedere zoodanige belegging tot een deel van 
A, behalve als aan ieder element van A het getal 2 is toegevoegd. 
Men heeft dus: 

Is a het cardinaalgetal van een hoeveelheid, dan bedraagt het 
aantal deelen dier hoeveelheid 2"^ — / ^). 



^) Is h het cardinaalgetal eener hoeveelheid B, dan is onder h — 1 te 
verstaan het cardinaalgetal der hoeveelheid, die uit B door weglating van 
één element ontstaat. Het is gemakkelijk aan te toonen, dat de keus van 
dit element op het cardinaalgetal der overblijvende hoeveelheid geen invloed 
heeft. Men heeft hier dus een geval, waarin de aftrekking ondubbelzinnig is. 



111 

Wegens de formule (146) van n^ 248 kan, als a transfiniet 
is, voor het aantal deelen der hoeveelheid ook T geschreven 
worden. 

269. Is A een hoeveelheid, die uit meer dan 1 element bestaat, 
dan heeft de hoeveelheid der deelen van A een grooter cardinaal- 
getal dan A zelf. 

Is het cardinaalgetal a van A transfiniet, dan volgt dit onmiddel- 
lijk uit het aan het eind van n^. 268 opgemerkte in verband met 
de eigenschap van n^ 254. 

Is a eindig, dan is het cardinaalgetal van de hoeveelheid der 
deelen van A gelijk aan 2"" — 1. Hiervoor geldt volgens de 
eigenschap van n^. 126 (daar a > 1 ondersteld wordt): 
2^ — 1 - (1 + 1)^ — 1 > (1 + a) — 1 = a. 

270. De eigenschap van n^. 269 kan ook aldus, zoowel voor 
eindige als oneindige hoeveelheden, worden aangetoond. Zij B 
de hoeveelheid der deelen van A. De elementen van A zijn ook 
als deelen van A op te vatten (deelen met 1 element) en vormen 
dus een deel van B, dat met A gelijkwaardig is. Aangetoond 
moet dus nog worden, dat A niet met B gelijkwaardig is. 

Onderstel, dat A op B was afgebeeld. Met een element E van 
A correspondeert dan een deel D van A; we noemen nu E een 
element van de eerste of van de tweede soort al naar gelang het 
wel of niet tot D behoort. 

Zij D het deel van A gevormd door de elementen van de 
tweede soort en E het met D correspondeerende element van 
A. Neemt men nu aan, dat E een element van de eerste soort 
is, dan behoort het (volgens de definitie van eerste soort) tot D 
en is dus (volgens de definitie van D) van de tweede soort. 
Neemt men aan, dat E van de tweede soort is, dan behoort het 
niet tot D en is dus van de eerste soort. In beide gevallen komt 
men tot een ongerijmdheid, zoodat een afbeelding van .4 op ^ 
niet mogelijk is. 

271. Aan het bewijs van n^ 270 moet nog toegevoegd worden 
het betoog, dat D bestaat, dus dat A elementen van de tweede 
soort bevat (altijd in de onderstelling, dat A op B is afgebeeld). 



112 

Daartoe merken we op, dat de elementen van A, als deelen van 
A opgevat, met elementen van A correspondeeren. Correspondeert 
zoo het element E-^, als deel van A opgevat, met het element 
E^ en is E^ van E-^ verschillend, dan is E^ een element van de 
tweede soort. Op deze wijze zou men alleen dan geen element 
van de tweede soort vinden als steeds E^ en E^ hetzelfde waren, 
dus als ieder element van ^4, als deel van A opgevat, m.et zich 
zelf correspondeerde. Dan zou echter voor een deel van A, dat 
twee elementen bevat, geen element meer overblijven om mede 
te correspondeeren; we maken er hier gebruik van, dat A een 
deel met twee elementen bezit (welk deel ook A zelf zijn kan), 
dus dat A minstens twee elementen bevat. 

272. We merken nog op, dat het bewijs van n°. 270 (afgezien 
van de gebezigde terminologie) slechts daarin van dat van n^. 254 
verschilt, dat de in n^. 271 gegeven aanvulling noodig is dienende 
om het bestaan van elementen van de tweede soort aan te toonen. 
De noodzakelijkheid dier aanvulling komt daar vandaan, dat de 
belegging, waarbij aan ieder element van A het getal 2 wordt 
toegevoegd, tot geen deel van A voert (zie n^ 268). 

Wanneer we zeggen, dat in n^. 271 het bestaan van elementen 
van de tweede soort is aangetoond, is dit natuurlijk zoo op te 
vatten, dat dit geschied is uitgaande van de onderstelling, dat 
een afbeelding van A op de hoeveelheid B der deelen van A 
mogelijk is. Doordat echter die afbeelding onmogelijk blijkt, ver- 
valt daarmede de geheele indeeling der elementen van A in die 
van de eerste en die van de tweede soort. Aangetoond is dus, 
dat elementen van de tweede soort zouden bestaan als een 
afbeelding van A o^ B mogelijk was, waaruit dan juist (volgens 
de redeneering van n^. 270) afgeleid wordt, dat zulk een afbeelding 
niet mogelijk is. 

273. Hoeveelheden, wier elementen getallenhoeveelheden 
zijn. Past men de eigenschappen van n^. 268 en 269 toe op een 
aftelbaar oneindige hoeveelheid, waarvan we het cardinaalgetal 
door a hebben voorgesteld, dan kan men voor die hoeveelheid 
zonder beperking de hoeveelheid der natuurlijke getallen nemen, 



113 

waarop ze is af te beelden. Men vindt dan (lettend op de 
opmerking aan het eind van n^ 268): 

Het aantal (eindige > of oneindige) getallenhoeveelheden bedraagt 
2^. De hoeveelheid dier getallenhoeveelheden is niet aftelbaar. 

274. Het cardinaalgetal 2^, dat we in n^ 256 a^ genoemd 
hebben, wordt (om een reden, waarop we hier niet ingaan) de 
machtigheid van het continuüm genoemd en gewoonlijk door c 
voorgesteld. Voor de formules (150) en (152) van n^. 263 en 265 
kan men dus ook schrijven: 

n^ = a'' = e = c, (156) 

waarin n een natuurlijk getal > 1 is. 

De eigenschap van n^. 273 zegt dus, dat de hoeveelheid der 
getallenhoeveelheden de machtigheid van het continuüm heeft. 

275. Het aantal eindige getallenhoeveelheden bedraagt a. 
Men kan dit ook zoo formuleeren: 

De hoeveelheid der eindige getallenhoeveelheden is aftelbaar 
oneindig. 

Dit blijkt onmiddellijk daaruit, dat de getallenhoeveelheden, 
wier getallen alle ^ n zijn, de deelen der (uit n getallen bestaande) 
hoeveelheid 1, 2, 3, . . . ., /z zijn en dus ten getale van 2" — 1 
aanwezig (zie de eigenschap van n^. 268). Het aantal getallen- 
hoeveelheden, die n tot grootste getal hebben, bedraagt das 2"~ ; 
dit aantal is nl.: 

(2" _ 1) _ (2"-^ __ 1) ^ 2" - 2"-^ = 2"-\ 

De hoeveelheid An der getallenhoeveelheden, die n tot grootste 
getal hebben, is dus eindig. Daar iedere eindige getallenhoeveel- 
heid een grootste getal bezit (zie de eigenschap van n^. 33), 
verkrijgt men de hoeveelheid van alle eindige getallenhoeveelheden 
door de hoeveelheden A~^, A^, A^, . . . . (wier aantal aftelbaar 
oneindig is) tot één enkele hoeveelheid te vereenigen. Volgens 
het tweede deel der eigenschap van n^ 245 is die hoeveelheid 
dus aftelbaar oneindig. 

276. Men verkrijgt een afbeelding van de hoeveelheid der 
eindige getallenhoeveelheden op de hoeveelheid der natuurlijke 

FRED. SCHUH, Leerboek der Theoretische Rekenkunde. 8 



114 

getallen door de eindige getallenhoeveelheden naar hun grootste 
getal te rangschikken, de getallenhoeveelheden, die hetzelfde 
grootste getal bezitten, naar het op een na het grootste getal 
(daarbij beginnend met de getallenhoeveelheid, waarbij dit op een 
na het grootste getal ontbreekt en die dus uit één enkel getal 
bestaat), enz. Deze rangschikking wordt door het volgende schema 
verduidelijkt: 



(1); 








grootste getal 1, 


(2), 




2); 




grootste getal 2, 


(3), 




3), 


(2, 3), 


(1, 2, 3); grootste getal 3, 


(4), 
(3, 4), 




4), 
3, 4), 


(2, 4), 
(2, 3, 4), 


!!' o' ?'.. ( grootste getal 4, 
(1, z, O, 4); y 


(5), 




5), 


(2, 5), 


(1, 2, 5), j 


(3, 5), 




3, 5), 


(2, 3, 5), 


(1, 2, 3, 5), f grootste 


(4, 5), 




4, 5), 


(2, 4, 5), 


(1, 2, 4, 5), ( getal 5. 



(3, 4, 5), (1, 3, 4, 5), (2, 3, 4, 5), (1, 2, 3, 4, 5). 

Men ziet hoe dit voort te zetten is. 

We laten het aan den lezer over aan te toonen, dat bij deze 
rangschikking het rangnummer van een eindige getallenhoeveelheid 

2^1-1 + 2^2-1 + 2'3-' + .... + 2^^"' 
bedraagt, waarin a^, ag, «3, . . . . ., ak de tot die hoeveelheid 
behoor ende getallen zijn\ hierin is voor 2''^" het getal 1 te nemen 
als a^ = \ is (zie n^. 315 en 321). 

277. Uit de eigenschappen van n^ 273 en 275 volgt: 

De hoeveelheid der oneindige getallenhoeveelheden heeft de 
machtigheid c van het continam. 

Door nl. deze hoeveelheid met de in n^. 275 en 276 beschouwde 
hoeveelheid der eindige getallenhoeveelheden (waarvan het car- 
dinaalgetal a is) te vereenigen ontstaat de in n°. 273 en 274 
beschouwde hoeveelheid der getallenhoeveelheden (waarvan het 
cardinaalgetal c is). Is a het cardinaalgetal van de hoeveelheid 
der oneindige getallenhoeveelheden, dan is dus: 

a + a = c. 

Hieruit wordt (daar a ten duidelijkste transfiniet is) in verband 
met de formule (144) van n^. 248 tot a = c besloten. 



115 

278. Hoeveelheden, die tot paradoxen voeren. Het in n^'. 
253—255 verkregen resultaat, dat er geen grootste cardin aalgetal 
bestaat, doet zien, dat men hoeveelheden kan beschouwen, die 
tot onoverkomelijke paradoxen voeren. Daarvoor denken we ons 
de hoeveelheid van alle dingen. Een grooter cardin aalgetal dan 
van deze hoeveelheid is natuurlijk niet mogelijk, daar toch iedere 
hoeveelheid een deel van de hoeveelheid van alle dingen is. Toch 
zou met behulp van de ongelijkheid (147) van n^. 255 een grooter 
cardinaalgetal te vormen zijn. 

279. Een ander zeer frappant voorbeeld van een hoeveelheid, 
die tot een paradox voert, is door B. Russell gegeven; het opmer- 
kelijke daarvan is, dat het geen bijzondere kennis van de theorie 
der hoeveelheden vereischt en dus voor ieder begrijpelijk is. 

Een hoeveelheid kan de eigenschap hebben zich zelf als element 
te bevatten. Zoo is b.v. de hoeveelheid van alle hoeveelheden 
(of dingen) zelf ook een hoeveelheid (of ding) en dus zelf een 
element dier hoeveelheid. De hoeveelheid van alle dingen, die 
niet leven, leeft zelf ook niet en behoort dus als element tot die 
hoeveelheid. 

Hoeveelheden, die de genoemde eigenaardigheid vertoonen, 
zullen we als hoeveelheden van de tweede soort aanduiden om 
dan van een hoeveelheid van de eerste soort te spreken in het 
meer gewone geval, dat de hoeveelheid zich zelf niet als element 
bevat. Een voorbeeld van een hoeveelheid van de eerste soort 
krijgt men door vijf stoelen te beschouwen; geen dier stoelen is 
hetzelfde als het vijftal stoelen, zoodat de hoeveelheid zelf geen 
element der hoeveelheid is. Hetzelfde geldt blijkbaar voor iedere 
eindige hoeveelheid. 

We vormen nu de hoeveelheid A van alle hoeveelheden van 
de eerste soort, das van alle hoeveelheden, die zich zelf niet als 
element bevatten, en vragen ons af of A een hoeveelheid van de 
eerste dan wel van de tweede soort is. 

Neemt men aan, dat A van de eerste soort is, dan behoort A 
als element tot A (volgens de definitie van A) en is dus een 
hoeveelheid van de tweede soort (volgens de definitie van „tweede 
soorf' ). Neemt men aan, dat A een hoeveelheid van de tweede 



116 

soort is, dan behoort A niet tot A (volgens de definitie van A) 
en is dus van de eerste soort (volgens de definitie van „eerste 
soort"). Door aan te nemen, dat A van de eerste of tweede 
soort is, kan men dus aantoonen, dat A van de tweede resp. 
eerste soort is, zoodat men in ieder geval tot een ongerijmdheid 
geraakt. 

280. De in het voorgaande besproken paradox van Russell 
is geheel te vergelijken met de bekende paradox van Epimenides, 
den steeds liegenden Cretenzer. Laatstgenoemde paradox formu- 
leeren we zoo, dat een man, die nog nooit waarheid gesproken 
heeft, zegt: „alles wat ik ooit gezegd heb, wat ik nu zeg mede- 
gerekend, is een leugen". 

Neemt men aan, dat de man nu waarheid spreekt, dan liegt 
hij nu (volgens hetgeen hij nu zegt). Neemt men aan, dat de 
man nu liegt, dan heeft hij niet altijd gelogen (daar het anders 
waar zou zijn wat hij nu zegt) en spreekt dus nu waarheid, daar 
hij vroeger altijd gelogen heeft. Evenals bij de paradox van 
RussELL voert dus iedere denkbare onderstelHng tot het tegendeel 
daarvan. 

281. Discussie der uit hoeveelheden voortvloeiende para- 
doxen. De in n*^. 278 en 279 besproken paradoxen vloeien voort 
uit de beschouwing der hoeveelheden, die daartoe aanleiding 
gegeven hebben. Dit voert er toe de aan die hoeveelheden ver- 
bonden begrippen als ontoelaatbaar te beschouwen. 

Dat men de hoeveelheid van alle dingen niet als een begrip, 
dat zin heeft, kan aanvaarden, blijkt uit den eisch, die men uit 
den aard der zaak aan het vormen van begrippen stellen moet, 
dat deze een vaste en onveranderlijke beteekenis dienen te heb- 
ben en dat de begrippen, waarover men spreekt, niet onder het 
spreken mogen veranderen. Wanneer men echter alle dingen 
tot een hoeveelheid vereenigd denkt, wordt daarmede een nieuw 
ding, het begrip dier hoeveelheid, geschapen, waardoor het begrip 
„alle dingen" een wijziging ondergaat. Door de vorming van 
het eene begrip (dat der hoeveelheid van alle dingen) wijzigt zich 
dus een ander begrip (dat van alle dingen), dat juist bij de 
definitie van eerstgenoemd begrip gebruikt wordt; het is dus niet 



117 

te verwonderen, dat men, door met zulk een zich wijzigend begrip 
te werken, tot paradoxen kan geraken. De eenige manier om 
zoodanige paradoxen te ontgaan, is het begrip, dat er aanleiding 
toe gegeven heeft, niet als bestaande, of in elk geval niet als 
toelaatbaar, te erkennen. 

282. Men drukt den in n^ 281 gestelden eisch zoo uit, dat 
de gegeven definities praedicatie f moeten zijn, d. w. z. niets mogen 
bevatten, waardoor de bij de definitie voorkomende begrippen na 
het geven der definities anders kunnen worden dan daarvoor. 
Intusschen is bezwaarlijk algemeen aan te geven hoe geconsta- 
teerd kan worden, dat hieraan voldaan is (vergelijk n^. 286). 

Wanneer men een hoeveelheid praedicatief definieert moeten 
eerst de dingen, die als elementen der hoeveelheid in aan- 
merking kunnen komen, gedefinieerd worden (natuurlijk even- 
eens praedicatief), terwijl pas daarna gedefinieerd kan worden 
welke dier dingen als elementen der hoeveelheid zullen worden 
beschouwd. Bij een niet-praedicatieve definitie van een hoeveel- 
heid daarentegen worden door het vormen der hoeveelheid tevens 
nieuwe dingen gevormd, die mogelijk als element der hoeveel- 
heid kunnen optreden. Zoo wordt, bij het in beschouwing nemen 
van de hoeveelheid van alle dingen, met dezelfde woorden die 
hoeveelheid en een element dier hoeveelheid (nl. de hoeveelheid 
zelf) gedefinieerd, terwijl het definiëeren van een element afge- 
loopen behoort te zijn als het definiëeren der hoeveelheid begint. 
Ook bij het vormen van de in n^ 279 besproken hoeveelheid^ 
wordt daardoor tevens iets gevormd (nl. die hoeveelheid), waar- 
van nog uitgemaakt moet worden of het als element tot die 
hoeveelheid behoort. 

283. Het is duidelijk, dat een praedicatief gedefinieerde hoe- 
veelheid nooit zich zelf als element kan bevatten, daar de te 
definiëeren hoeveelheid gedurende het geven der definitie als 
object nog niet in aanmerking komt. De in n^. 279 gemaakte 
onderscheiding der hoeveelheden in twee soorten heeft dan dus 
geen zin, daar hoeveelheden van de tweede soort niet voorkomen. 

284. Het in den aanvang van n°. 283 opgemerkte wil echter 



118 

nog niet zeggen, dat de definitie van een hoeveelheid praedicatief 
is als die hoeveelheid maar zich zelf niet als element bevat; 
bovendien is nl. noodig, dat het vormen der hoeveelheid op 
geen enkele wijze tot nieuwe elementen der hoeveelheid kan 
voeren. Vormt men b.v. het begrip van de hoeveelheid van alle 
cardinaalgetallen, dan is dit een niet-praedicatieve definitie; die 
hoeveelheid is wel is waar zelf geen cardinaalgetal (dus geen 
element van zich zelf), maar bezit een cardinaalgetal, dat eerst 
door het vormen der hoeveelheid gedefinieerd wordt en daar- 
mede tevens als tot die hoeveelheid behoorend verklaard. Zonder 
een bepaalde paradox voor zich te hebben kan men dus reeds 
van te voren verwachten, dat de hoeveelheid van alle cardinaal- 
getallen tot paradoxen zal voeren, hetgeen dan ook inderdaad 
het geval is. 

285. Een niet-praedicatief gedefinieerde hoeveelheid kan steeds 
door een wijziging tot een praedicatief gedefinieerde gemaakt 
worden, door nl. uitdrukkelijk uit te sluiten, dat die hoeveelheid 
zelf een element der hoeveelheid is of op welke andere manier 
ook tot elementen der hoeveelheid aanleiding geeft. Daardoor 
verdwijnen tevens de beschouwde paradoxen. 

Bij de hoeveelheid van alle dingen moet dan die hoeveelheid 
zelf buiten beschouwing blijven. Wel kan men dan een nieuwe 
hoeveelheid vormen door aan de eerst gevormde hoeveelheid die 
hoeveelheid zelf als element toe te voegen, maar dan blijft de 
nieuw gevormde hoeveelheid buiten beschouwing. Door deze 
laatste als element toe te voegen kan men weer een andere hoe- 
veelheid vormen, enz. Op deze wijze vervalt alle aanleiding tot 
de paradox van n^ 278. 

Hetzelfde geldt ten aanzien van de paradox van Russell. Door 
bij de in n°. 279 besproken hoeveelheid A die hoeveelheid als 
element buiten beschouwing te laten, wordt A, evenals iedere 
andere hoeveelheid, een hoeveelheid van de eerste soort. 

286. De paradoxen, die uit de beschouwing van sommige 
hoeveelheden zijn voortgevloeid, hebben geleerd met het invoeren 
van hoeveelheden en het daarop voortbouwen uiterst voorzichtig 
te moeten zijn en de vraag doen rijzen hoe ver men met de 



119 

vorming van het begrip eener hoeveelheid kan gaan zonder den 
vasten grond onder de voeten te verliezen. In elk geval moet 
natuurlijk de hoeveelheid praedicatief gedefinieerd zijn; de vraag 
blijft dan echter hoe men dat aan de gegeven definitie constateert 
en in welke gevallen het praedicatief zijn der gegeven definitie 
verzekerd is. 

Hieromtrent bestaat geen eenstemmigheid. Men kan van meening 
zijn, dat wanneer een aandachtige beschouwing der definitie daarin 
geen niet-praedicatieve bestanddeelen doet ontdekken men ver- 
zekerd kan zijn, dat men, met de gedefinieerde hoeveelheid 
werkend, nooit tot een tegenstrijdigheid zal geraken. Men kan 
echter ook de meening zijn toegedaan, dat de begripsvormingen, 
waartoe de beschouwde hoeveelheid aanleiding geeft, niet zijn te 
overzien en men dus van het praedicatief zijn der gegeven definitie 
slechts verzekerd kan zijn als men de hoeveelheid volledig uit 
haar elementen heeft opgebouwd. Een uiterste standpunt in deze 
richting zou zijn, dat men slechts gerechtigd is eindige hoeveel- 
heden in de beschouwing te betrekken. 

287. Discussie van de paradox van den Cretenzer. Ter 

verduidelijking willen we de uit hoeveelheden voortvloeiende 
paradoxen nog eens vergelijken met de in n^. 280 besproken 
paradox van den liegenden Cretenzer, waarbij het niet-praedica- 
tieve karakter al zeer sterk uitkomt. De paradox ontstaat daar 
nl. doordat de man een waarheidsoordeel uitspreekt, dat mede 
slaat op het oordeel zelf, dat hij bezig is uit te spreken, dus een 
oordeel over dat oordeel zelf. Bestaat nu een oordeel A daarin, 
dat gezegd wordt: „het oordeel B is onwaar", dan is het oor- 
deel A waar of onwaar al naar gelang B onwaar of waar is. Is 
echter B het oordeel A zelf, dan zou dus het oordeel A waar of 
onwaar zijn al naar gelang het onwaar of waar is. 

Een waarheidsoordeel over dat oordeel zelf kan dus niet worden 
uitgesproken of liever zulk een waarheidsoordeel kan niet op zijn 
waarheid onderzocht worden (en is dus eigenlijk geen oordeel). Om 
nl. te kunnen beoordeelen of het waarheidsoordeel waar is, zou 
men moeten weten of de oordeelen, waarop het slaat, dus in het 
geval van den liegenden Cretenzer het waarheidsoordeel zelf, waar is. 



120 

Bij de beschouwde paradox brengt dus de appreciatie (als 
waar of onwaar) van het uitgesproken waarheidsoordeel verande- 
ring in het subject, waarop dat oordeel betrekking heeft. Men 
heeft dus niet met een oordeel over een onveranderUjk iets te 
maken; dat „iets" verandert juist in die qualiteiten, waarover het 
oordeel zich uitspreekt. Geen wonder dat men zoo tot een 
paradox geraakt. 

In een geval als dit, waarbij het subject van het oordeel niet 
praedicatief gedefinieerd is, zullen we van een niet-praedicatief 
oordeel spreken. Men heeft dan te doen met iets, dat feitelijk 
geen oordeel is (zooals boven reeds werd opgemerkt), maar alleen 
met een gezegde, dat den uiterlijken vorm van een oordeel heeft. 
Bij een uitspraak van den vorm „v4 is 5" spreekt men nl. eerst 
dan van een oordeel indien zoowel A als B praedicatief gedefi- 
nieerd is. Gemakshalve gebruiken we echter in het volgende het 
woord „oordeel" ook als het om een niet-praedicatief oordeel 
handelt en stellen daar praedicatieve oordeelen -) tegenover. 

288. De oorzaak van het paradoxale in het verhaal van den 
Cretenzer zou men daarin kunnen zoeken, dat het subject, waar- 
over een oordeel uitgesproken wordt, nl. alles wat de man tot 
op het oogenbHk gezegd heeft, zich wijzigt onder het uitspreken 
van het oordeel („alles wat ik ooit gezegd heb enz.") doordat 
zich dat oordeel aan het door hem gesprokene toevoegt. 

Hiermede is echter de oorzaak van de paradox niet geheel 
juist weergegeven, daar de paradox blijft bestaan als men den 
man laat zeggen: „alles wat ik ooit gezegd heb en zeggen zal 
is een leugen" en hij sterft zonder verder ooit waarheid gespro- 
ken te hebben; toch is dan het subject van het oordeel (alles 
wat de man gezegd heeft en zeggen zal) onveranderlijk als men 
voor een oogenblik als subject alleen het complex der gesproken 
of nog te spreken woorden beschouwt en niet op de daaraan te 
hechten beteekenis, dus op de daaraan verbonden begrippen, let. 

Let men daarop echter wel, zooals hier behoort te geschieden, 
dan is de onveranderlijkheid van het subject verdwenen. Was dit 



^) Het woord „praedicatief oordeel" wordt hier in andere beteekenis 
gebruikt dan waarin het in de formeele of theoretische logica voorkomt. 



121 

nl. onveranderlijk, dan zou het oordeel („alles wat ik ooit gezegd 
heb enz.") praedicatief, dus óf waar óf onwaar zijn. Daar echter 
de waarheidsqualiteit van dit oordeel tevens deel uitmaakt van 
het subject van het oordeel, zou dit subject van de waarheids- 
qualiteit van het daarover uitgesproken oordeel afhangen. Het 
subject staat dus niet onveranderlijk vast alvorens het oordeel 
daarover wordt uitgesproken. Dit oordeel is bijgevolg niet 
praedicatief. 

289. De paradox van den Cretenzer vertoont groote overeen- 
stemming met de uit hoeveelheden voortvloeiende paradoxen, in 
het bijzonder met die van Russell (vergelijk het aan het eind 
van n^. 280 opgemerkte). Alleen is er dit verschil, dat het bij 
de paradoxen betreffende hoeveelheden gaat om de vorming van 
begrippen (de elementen der hoeveelheden), bij de paradox van 
den Cretenzer om waarheidsoordeelen. Een vermeerdering van 
de beschouwde elementen door het vormen van een hoeveelheid 
is dus voor de paradoxen uit de hoeveelhedentheorie wat voor 
de paradox van den Cretenzer een verandering in waarheids- 
qualiteit is van het subject, waarover het oordeel wordt uitge- 
sproken (gesteld voor een oogenblik, dat men bij een zoodanig 
niet-praedicatief oordeel nog van waar of onwaar kan spreken), 
dus een verandering van het subject van het oordeel. 

290. Evenals een praedicatief gedefinieerde hoeveelheid zich 
zelf niet als element bevat (zie n^. 283), zal een praedicatief 
oordeel niet op dat oordeel zelf terugslaan. Met de omstandig- 
heid, dat een praedicatief gedefinieerde hoeveelheid op geenerlei 
wijze tot dingen voert, die als elementen der hoeveelheid in 
aanmerking komen, komt overeen, dat een praedicatief oordeel 
ook niet indirect, dus langs een omweg, op zich zelf betrekking 
heeft. 

Als voorbeeld van zulk een indirect op zich zelf betrekking 
hebben denken we ons het geval, dat de Cretenzer zegt: „alles 
wat ik gisteren gezegd heb is een leugen". Op het eerste gezicht 
lijkt het, dat dit gezegde, dat we door I aanduiden, per se praedica- 
tief is. Dit is echter niet het geval als diezelfde Cretenzer gisteren 
gezegd heeft: „alles wat ik morgen zeggen zal is waar" (welk 



122 

gezegde we II noemen) en overigens gisteren uitsluitend onwaar- 
heid en heden uitsluitend waarheid gesproken heeft. 

Neemt men nl. aan, dat het gezegde I waar is, dan is het 
gezegde II, wegens den inhoud van I, onwaar en, wegens den 
inhoud van II, waar (daar hij, als I waar is, heden uitsluitend 
waarheid gesproken heeft). Neemt men echter aan, dat het 
gezegde I onwaar is, dan is het gezegde II, wegens den inhoud 
van I, waar (daar hij anders gisteren enkel onwaarheid gesproken 
zou hebben en dus het gezegde I waar zou zijn) en, wegens den 
inhoud van II, onwaar. In ieder geval komt men dus tot een 
ongerijmdheid ^). 

De eigenlijke oorzaak der genoemde paradox is daarin te 
zoeken, dat men het gezegde I niet kan beschouwen en ontleden 
zonder dat daarbij van zelf het gezegde II in de beschouwing 
wordt betrokken en omgekeerd, zoodat men het onderzoek dier 
oordeelen niet beginnen kan. Bij het beoordeelen dier oordeelen 
wordt men als het ware van het kastje naar den muur gestuurd 
zonder ergens houvast te krijgen. Alle besproken paradoxen 
bezitten een zoodanig karakter. 



1) Had de man gisteren gezegd: „alles wal ik morgen zeggen zal 
is een leugen" (gezegde II), dan komt men tot geen tegenstrijdigheid 
door aan te nemen, dat I waar en II onwaar is, terwijl men evenmin 
een tegenstrijdigheid verkrijgt door juist het omgekeerde aan te nemen. 
In deze onbepaaldheid komt nu het niet-praedicatieve karakter der uitge- 
sproken oordeelen tot uiting. 



HOOFDSTUK IL 
HET GETAL NUL. 



§ L De rekenregels met het getal nul. 

291. Nulhoeveelheid. Wanneer in het voorgaande van hoe- 
veelheden sprake was werd steeds ondersteld, dat de hoeveelheid 
minstens één element bevat (zie de noot van blz. 4). Voor ver- 
schillende beschouwingen is het echter voordeelig ook het geval 
toe te laten, dat de hoeveelheid geen enkel element bevat. 

Het is duidelijk, dat er slechts één zulk een hoeveelheid moet 
geacht worden te zijn. Deze hoeveelheid, die een deel van iedere 
andere hoeveelheid is, noemen we de nulhoeveelheid. 

Ook aan de nulhoeveelheid wordt een aantal (aantal elementen) 
toegekend, dat nul genoemd en door het teeken O wordt aan- 
geduid. Men noemt nu ook O een getal, waardoor het begrip 
„getal" een verruiming ondergaat. Aan de natuurlijke getallen 
wordt nl. het getal nul (dat geen natuurlijk getal is) toegevoegd. 
De zoo verkregen getallen zullen we aantallen noemen. 

292. Is H een hoeveelheid ^) en D een deel van //, dan 
maakt de invoering der nulhoeveelheid, dat men altijd kan spreken 
van de hoeveelheid H — D, die gevormd wordt door de elemen- 
ten van H, die niet tot D behooren. Is nl. D de hoeveelheid 
H zelf, dan is H — D de nulhoeveelheid. 

De betrekking tusschen de deelen D en H — D is wederkeerig, 



^) Hoewel verschillende der volgende beschouwingen ook voor 
oneindige hoeveelheden doorgaan, denken we nu weer steeds in het 
bijzonder aan eindige hoeveelheden. 



124 

d. w. z. beide deelen spelen daarbij dezelfde rol. Dit wordt door 

de formule 

H -{H - D) = D (157) 

tot uitdrukking gebracht. De deelen D en H — D worden 
complementaire deelen van H genoemd. 

293. De hoeveelheid H zelf en de nulhoeveelheld zijn comple- 
mentaire deelen van H. Spreekt men van een echt deel D van 
ƒƒ, dan wordt daarmede niet alleen uitgesloten, dat D de hoe- 
veelheid H zelf is (zie n^. 15), maar ook dat D de nulhoeveel- 
held is. Hieruit volgt dan, dat het bij een echt deel van H 
behoorende complementaire deel eveneens een echt deel van H is. 

We wijzen nog op de analogie, die bestaat tusschen de deelen 
van een hoeveelheid en de deelers van een getal, waarbij men 
eveneens van complementaire deelers en echte deelers spreekt 
(zie n^ 138 en 139); met de deelers 1 en a van een natuurlijk 
getal a komen als deelen der hoeveelheid H overeen de nul- 
hoeveelheld en ƒƒ zelf; evenals 1 een deeler van ieder natuurlijk 
getal is, is de nulhoeveelheld een deel van iedere hoeveelheid. 

294. Door invoering van de nulhoeveelheld wordt aan de 
hoeveelheid van alle deelen eener hoeveelheid H nog een element 
toegevoegd, nl. de nulhoeveelheld. 

Voegt men aan ieder der elementen van een deel D van H 
het getal 1 en aan de overige elementen van H het getal 2 toe, 
dan wordt door invoering der nulhoeveelheld bereikt, dat niet 
alleen ieder deel van fi tot een belegging van M (zie n^. 131) 
met de elementen der getallenhoeveelheid 1, 2 voert, maar ook 
omgekeerd iedere zoodanige belegging een deel van H aanwijst 
(vergelijk n\ 268). 

In verband met het in n°. 131 gevondene blijkt dus: 

Het aantal deelen eener uit a elementen bestaande hoeveelheid, 
de nulhoeveelheld als deel rnedegerekend, bedraagt 2^^. 

We merken nog op, dat invoering van de nulhoeveelheld 
maakt, dat de eigenschap van n^. 269 ook nog geldt als de 
beschouwde hoeveelheid slechts één element bevat. Zelfs geldt 
die eigenschap dan nog als de hoeveelheid de nulhoeveelheld 
is (zie n\ 298). 



125 

295. Optellen met het getal nul. De in n^. 43 van optel- 
ling gegeven definitie blijft onveranderd van toepassing als een 
der beide daar genoemde hoeveelheden H^ en H^ de nulhoe- 
veelheid is of als dit met H^ en H^ beide het geval is. Daar nu 
een hoeveelheid door samenvoeging met de nulhoeveelheid niet 
verandert, heeft men: 

a-|-0 = + a = a, (158) 

hetgeen ook nog geldt als a = O is. 

Wanneer men het getal nul zuiver formeel invoert, dus alleen 
als een symbool, waarmede men op een voorgeschreven wijze 
rekent, zonder in nul een aantal elementen eener hoeveelheid te 
zien, is (158) als een definitie op te vatten. 

296. Uit de beide 'eerste leden van (158) ziet men, dat de 
commutatieve eigenschap der optelling (zie n*'. 48) geldig gebleven 
is als men aan de natuurlijke getallen het getal nul toevoegt. 

Hetzelfde geldt voor de associatieve eigenschap. Dit blijkt 
onmiddellijk daaruit, dat de beschouwingen van n^ 41, die tot 
de associatieve eigenschap der optelling gevoerd hebben, onver- 
anderd blijven doorgaan als een (of meer) der beschouwde hoe- 
veelheden de nulhoeveelheid is. 

Ook kan men de geldigheid der formule (10) van n^. 48 gemak- 
kelijk met behulp van (158) controleeren ^). Zoo heeft men b.v. : 
(a-^b)-\-0 = a + b = a-^(b-\-0). 

Het is duidelijk, dat ook de afgeleide eigenschappen der optelling 
(zie n^ 50—56) blijven doorgaan. 

297. Uit de gelijkheden (158) leest men nog een grondeigen- 
schap af, die de moduluseigenschap der optelling genoemd wordt. 
Deze drukt uit, dat een som van twee termen, waarvan er een 
nul is, gelijk is aan den anderen term. 

Ook zegt men, dat het getal O de modulus der optelling is, 
hetgeen beteekent, dat verbinding door optelling van een getal ^) 
met O dat getal onveranderd laat. 



^) Dit is het bewijs der associatieve eigenschap als men het getal 
O op de aan het eind van n*^. 295 bedoelde wijze formeel invoert. 
2) Met „getal" is hier en in het volgende steeds bedoeld een der tot 



126 

We vestigen de aandacht op de overeenstemming met de in 
n^. 91 en 92 besproken moduluseigenschap der vermenigvuldiging. 
Het getal O speelt dan ook ten aanzien van de optelling dezelfde 
rol als het getal 1 ten aanzien van de vermenigvuldiging, zo o als 
nog herhaaldelijk zal uitkomen. 

298. Grooter en kleiner in verband met het getal nul. 

Daar iedere hoeveelheid een deel met nul elementen bevat (nl. 
de nulhoeveelheid) /5 het getal O als kleiner dan ieder natuurlijk 
getal te beschouwen ^). Dit is met de in n^. 2 gegeven definitie 
van grooter en kleiner in overeenstemming als men de rij (1) 
van n^ 1 met O laat beginnen. 

Wanneer men het getal O op de aan het eind van n°. 295 
besproken formeele wijze invoert is ,,0 < n voor ieder natuurlijk 
getal n' als een definitie op te vatten. 

Uit het voorgaande blijkt onmiddellijk, dat de transitieve eigen- 
schap van n^. 5 na invoering van het getal O geldig gebleven is. 

299. De eigenschap van n^. 70, dus de ongelijkheid (25), blijft 
geldig, mits daarin b een natuurlijk getal, dus niet O is. 

De ongelijkheid (25) geldt nl. ook voor a = O en b > O, daar 

men dan heeft: 

a-^b = 0-\-b = b>0 = a. 

Dit met de gelijkheid (158) van n^. 295 samenvattend vindt men: 

a-\-b^a. (159) 

300. Uit het in n^. 299 gevondene leiden we verder af: 

De grondeigenschap van n^. 49 is na invoering van het getal 
O geldig gebleven. 



op het gegeven oogenblik ingevoerde getallen (afgezien van de transfi- 
niete cardinaalgetallen, tenzij het tegendeel gezegd wordt). Thans is dus 
onder een getal een natuurlijk getal of O, dus een aantal te verstaan. 

^) Men wil nl, dat de eigenschap van n^. 25 in de volgende for- 
muleering blijft doorgaan: 

Is H een hoeveelheid met n elementen, dan bevat de hoeveelheid H' 
dan en alleen dan een aantal elementen, dat < n is, als H' op een 
deel van H, maar niet op H zelf is af te beelden. 

Deze wijziging staat daarmede in verband, dat de nulhoeveelheid geen 
echt deel van H is (zie n<^. 293). 



127 
Is nl. a > ^ en c = O, dan is: 

terwijl men voor a > b = O in verband met (25) heeft: 
ai-c>c = 0-{-c = b-^c. 
In de eigenschap van n*^. 49 ligt die van n^ 299 als bijzonder 
geval opgesloten. Uit a > O volgt nl. in verband met de eigen- 
schap van n^. 49 en de gelijkheden (158): 
a^b>0^b = b. 

301. Aftrekking na invoering van het getal nul. Uit het 

in n^. 300 gevondene is af te leiden, dat de aftrekking, ook na 
invoering van het getal O, ondubbelzinnig is, zoo ze mogelijk is. 
Doordat de eigenschap van n^. 49 blijft doorgaan, geldt nl. het- 
zelfde voor het in n*^. 69 gegeven betoog, dat uitsluitend op die 
eigenschap berust. 
Men kan dus nog steeds mix -{- b = y -^ b ioi x == y besluiten. 

302. Aan het geval a > b, waarin de aftrekking a — b mo- 
gelijk is, wordt nu echter nog het geval a = b toegevoegd. Uit 
de gelijkheden (158) van n^. 295 volgt nl. : 

a — a = 0. (160) 

Verder volgt uit (158) nog: 

a — O = a, 
zoodat ook voor b = O (dus in ieder geval, waarbij a > b is) 
de aftrekking a — b mogelijk is. 

Voor b > a blijft echter de aftrekking a — b onmogelijk, daar 
men dan volgens (159) voor iedere waarde van x heeft: 

b + x^ b> a. 
We vinden dus: 

De aftrekking a — b is, na invoering van het getal O, dan en 
alleen dan mogelijk als a ^ b is. 

303. Opgemerkt zij nog, dat de in n^ 75—88 gevonden eigen- 
schappen der aftrekking, blijkens de daarvan gegeven afleiding, 
onveranderd geldig blijven. Immers de bij die afleiding gebruikte 
eigenschappen zijn alle geldig gebleven. 

Alleen is er dit verschil, dat de voorwaarden, die vervuld moeten 



128 

zijn om de in de eigenschappen voorkomende aftrekkingen mogelijk 
te maken, iets ruimer genomen kunnen worden. 

304. Vermenigvuldiging met het getal nul. Past men de 
in n*^. 89 van tiet product ab gegeven definitie toe op liet geval, 
dat b = O is, dan vindt men, in verband met de moduluseigen- 
schap der optelling (zie n^ 297): 

a.0=:0 + + .... + {a termen) = 0. 

Daar men aan de commutatieve eigenschap der vermenigvul- 
diging wil vasthouden, stelt men bij definitie O . a = O, zoodat 
men heeft (ook voor a = 0): 

0.a = a.O = 0. (161) 

In woorden luidt dit: 

Een product is nul als een der factoren nul is. 

Dit geldt natuurlijk ook voor meer dan twee factoren, evenals 
de eigenschap, dat een product slechts dan nul is als een der 
factoren van het product nul is. 

305. Tot de gelijkheden (161) wordt men ook door de definitie 
van n°. 90 gevoerd. Neemt men nl. geen enkele hoeveelheid 
met a elementen of a hoeveelheden, waarvan ieder geen enkel 
element bevat ^), dan krijgt men in beide gevallen de nulhoeveel- 
heid, dus een hoeveelheid met nul elementen. 

Tot hetzelfde resultaat voert de in n^ 112 van ab gegeven 
definitie. Is nl. de daar genoemde hoeveelheid H de nulhoe- 
veelheid, dan kan men geen enkel elementenpaar vormen en is 
dus ook H.H' de nulhoeveelheid. 

Bij de formeele invoering van het getal O is (161) natuurlijk 
weer een definitie. 

306. Dat de commutatieve eigenschap der vermenigvuldiging 
geldig gebleven is, blijkt onmiddellijk uit (161). Dat ook de 
associatieve eigenschap blijft gelden, blijkt onmiddellijk daaruit, 



^) Hoewel die a hoeveelheden alle dezelfde zijn, nl. de nulhoeveel- 
heid, voldoen ze toch aan den eisch geen gemeenschappelijke elementen 
te bezitten, daar ze in het geheel geen elementen bezitten. 



129 

dat zoowel a{bc) als {ab)c nul is als minstens één der getallen 
a, b, c nul is (zie de eigenschap van n^ 304). 

Dat de distributieve eigenschap geldig gebleven is, blijkt aldus: 

(a-\-b).0 = = + = a.O + b.O, 
(a + 0) . c = ac = ac + O = ac + O . r. 

Ook zou men zich voor de associatieve en distributieve eigen- 
schap op de beschouwingen van n^. 111 — 116 kunnen blijven 
beroepen. 

De moduluseigenschap der vermenigvuldiging (zie n°. 91 en 
92) is eveneens geldig gebleven blijkens 

1.0 = 0. 

307. De eigenschap van n^. 105 geldt na invoering van het 
getal O alleen als r > O is. Ze wordt dan: 

Is a > b en c > O, dan is ca > eb. 

De geldigheid hiervan voor b = O blijkt nl. onmiddellijk uit: 

ca> O = c . O = eb. 

Den vorm, dien de eigenschap nu verkregen heeft, blijft ze bij 
verdere uitbreidingen van het getalbegrip behouden; ze speelt 
daarbij de rol van grondeigenschap. 

Het is verder duidelijk, dat ook weer de afgeleide eigenschappen 
en de eigenschappen van de vermenigvuldiging ten opzichte van 
de aftrekking geldig blijven. 

308. Deeling in verband met het getal nul. De eigenschap 
van n^. 304 doet zien, dat aan de vergelijking {89) van n^. 132 
niet kan worden voldaan als b = O en a > O is. 

Is echter b = O en tevens a = O, dan is aan (89) door ieder 
getal X voldaan, zoodat de deeling dan geheel onbepaald is. 

Het blijkt dus, dat deeling met deeler nul (deeling door nul) 
óf onmogelijk of onbepaald is. Daarom wordt deelen door nul 
niet toegelaten, ó.\xs de deeler altijd van nul verschillend onder- 
steld. 

309. Is b > O, dan volgt op geheel dezelfde wijze als in n^ 
133, dat de deeling, zoo ze mogelijk is, ondubbelzinnig /s; men 
heeft zich daarbij op de eigenschap van n^ 307 te beroepen. 

FRED. SCHUH, Leerboek der Theoretische Rekenkunde. 9 



130 

Is ^ > O en a = O, dan is volgens (161) aan de vergelijking 
(89) van n^ 132 voldaan door x = 0. Hieruit blijkt, dat een 
quotiënt nul is, als het deeltal nul is, waarbij de deeler als 
steeds van nul verschillend ondersteld is. 

De omstandigheid, dat als a = O is aan (89) kan worden vol- 
daan, onverschillig wat b is, kan zoo worden uitgedrukt, dat 
ieder getal een deeler van nul en nul een veelvoud van ieder 
getal is (zie n^. 138). Hieruit ziet men, dat de eigenschap van 
n^. 157 ook voor a = b doorgaat. 

In het bijzonder is het getal O ook door 2 deelbaar, zoodat 
nul een even getal is (zie n°. 138). 



310. Som van nul termen of product van nul factoren. 

We beschouwen de rij getallen 

ö^i, ar,, «3, (162) 

en stellen 

01+02 + ^3 + -\r an = Sn. 

Voor n = \ heeft men dan (zie de opmerking aan het eind 
van n\ 52): 

5, = a,. (163) 

Verder is: 

Sn-l=Sn — an. (164) 

We willen deze formule ook voor n = 1 volhouden. Men vindt 
dan, in verband met de formule (160) van n^. 302: 
Sq = Si — ö^i = ^1 — ö^i = 0. 
Men heeft dus: 
Een som van nul termen is gelijk aan nul. 

311. We beschouwen weer de rij getallen (162) en stellen 

a^a.^ an = Pn- 

Analoog met (163) en (164) heeft men: 

Pi = CLi, 

P 1 - ^ 

dn 



131 

Houdt men de laatste betrekking ook voor n = 1 vol, dan 
vindt men: 

M. a. w.: 

Een product van nul factoren is gelijk aan 1. 

312. De eigenschappen van n^. 310 en 311 staan in onmid- 
dellijk verband met de moduluseigenschappen van optelling en 
vermenigvuldiging (zie resp. n°. 297 en 92), die ook in den vorm 

a — (2 = 0, — =1 
a 

geschreven kunnen worden. De eigenschappen van n^. 310 en 

311 kunnen dan ook aldus worden samengevat: 

Een som van nul termen of een product van nul factoren is 

gelijk aan den modulus der optelling resp. vermenigvuldiging. 

313. Het product der natuurlijke getallen, die ^ n zijn, wordt 

door n\ (lees: n faculteit) voorgesteld, dus: 

ni = 1 . 2 . 3. . . . A?. (165) 

Hieruit volgt. 

n\ = {n — 1)! n, 
dus: 

(n - 1)! = '^. (166) 

Wil men dit voor n = O volhouden, dan vindt men: 

0! = 1. (167) 

Dit is in overeenstemming met de eigenschap van n°. 311, 
daar het aantal factoren uit het tweede lid van (165) n bedraagt, 
dus nul voor n = 0. 

314. Machtsverheffing met grondtal nul. Uit de eigenschap 
van n^. 304 volgt: 

O'' = O, (168) 

of in woorden: 

Een macht is nul als het grondtal nul is. 

Daar de eigenschappen der machtsverheffing uit die der ver- 
menigvuldiging voortvloeien, blijven deze gelden als men een of 
meer grondtallen nul toelaat. 

Tot de formule (168) wordt men ook gevoerd door de in n^. 



132 

131 van machtsverheffing gegeven definitie. Een belegging van 
een hoeveelheid met de elementen der nulhoeveelheid is nl. niet 
mogelijk, of anders gezegd het aantal mogelijke beleggingen is nul. 

315. Machtsverheffing met exponent nul. Om aan a^, waarin 
a > O is, een beteekenis te hechten gaan we uit van de formule: 

a 
(zie de formule (109) van n^ 161). "Wil men dit voor n = O vol- 
houden, dan stelt men bij definitie: 

a?=\. (169) 

Ook had men zich hiervoor zonder meer op de eigenschap 
van n^. 311 kunnen beroepen, daar we eigenlijk niets anders 
gedaan hebben dan de redeneering van n^. 311 voor een bijzonder 
geval te herhalen. 

De in (169) voorkomende exponent nul wordt wel een oneigen- 
lijke exponent en oP een oneigenlijl(e macht genoemd. 

316. Men overtuigt zich gemakkelijk, dat met de door (169) 
aangegeven afspraak de in n^ 119 — 123 genoemde eigenschappen 
der machtsverheffing alle geldig blijven. Hetzelfde geldt voor de 
formule (109) van n^. 161 (die feitelijk de aanleiding tot de 
definitie (169) geweest is). Deze formule heeft nu een ruimere 
geldigheid gekregen, daar ze ook voor b =^ c doorgaat. Tevens 
wordt zoo bereikt, dat als het eerste lid van (109) beteekenis 
heeft hetzelfde voor het tweede lid geldt en omgekeerd. 

De eigenschap van n*^. 124 gaat echter niet meer door als de 
daarin voorkomende exponent nul is ^). 

317. De formules (168) en (169) van n^. 314 en 315 kunnen 
niet beide bij definitie als geldig beschouwd worden voor a = O, 
daar de eerste tot 0^ = O, de tweede tot 0^ = 1 zou voeren. Men 
kan hierin aanleiding vinden om aan 0° geen beteekenis toe te 
kennen, dus bij de beschouwing van de macht a* steeds uit te 
sluiten, dat a en b beide nul zijn. 



^) Wel blijft die eigenschap geldig als c > O en b = O is. De 
eigenschap van n°. 125 is voor c = O geldig gebleven. 



133 

In verschillende opzichten is het echter doelmatig de formule 

(168) slechts te laten gelden als a> O is en aan de formule 

(169) zonder uitzondering vast te houden. Bij definitie stellen 

we dus vast: 

00=1. (170) 

In n^. 323 zullen we een voorbeeld van de doelmatigheid dier 

definitie ontmoeten (zie ook n^ 356). 

318. Door de afspraak (170) blijven de eigenschappen der 
machtsverheffing, voor zoover deze gelijkheden betreffen, geldig. 
Hetzelfde zou echter het geval geweest zijn als we 0^ bij definitie 
gelijk aan O gesteld hadden. De vraag doet zich dus voor of 
men aan 0^ nog andere waarden had kunnen toekennen zonder 
dat genoemde eigenschappen verloren gaan. 

Deze vraag moet ontkennend beantwoord worden. Blijft nl. 
de formule (71) van n^. 123 geldig, dan is: 

(0°)' = O^-^ :- 00. 

Het getal 0° voldoet dus voor ieder getal c aan de vergelijking 

waaruit volgt x = oi x = \. De laatste keus zal echter blijken 
de meest voordeelige te zijn (zie n^. 323 en 356). 

319. Tot de formule (169) van n*^. 315 geraakt men ook door 
de definitie van een macht als aantal beleggingen (zie n^ 131). 
Om a^ te vormen moet men dan een hoeveelheid B met b 
elementen beleggen met de elementen eener hoeveelheid A met 
a elementen. Zulk een belegging bestaat uit b elementenparen, 
m. a. w. is zelf als een hoeveelheid met b elementen op te vatten. 

Is nu ^ = O, dus B de nulhoeveelheid, dan is ook de beschouwde 
belegging een hoeveelheid met nul elementen, dus de nulhoe- 
veelheid. De eenige belegging van de nulhoeveelheid met de 
elementen van een andere hoeveelheid is dus de nulhoeveelheid 
zelf: dit geldt blijkbaar ook nog als die andere hoeveelheid even- 
eens de nulhoeveelheid is. 

Daar er nu, zooals in n^. 291 is opgemerkt, slechts één nul- 
hoeveelheid is, bedraagt in het geval ^ = O het aantal beleggingen 
1 en is dus a^ = 1, ook nog als a = O is. 



134 

320. Voordeel verbonden aan het invoeren van het getal 
nul. De invoering van het getal nul levert reeds aanstonds het 
voordeel, dat de aftrekking mogelijk geworden is in een geval, 
waarin ze aanvankelijk niet mogelijk was, nl. de aftrekking a — a. 
Daardoor verkrijgen, zooals reeds is opgemerkt, de formules, 
waarin verschillen voorkomen, een ruimere geldigheid. 

Aan de in n^. 244 uitgevoerde berekening van een rangnum- 
mer is een voorbeeld te ontleenen van het voordeel, dat het 
invoeren van nul oplevert. Daardoor wordt nl. de voor het rang- 
nummer gevonden uitdrukking 

(n+p- l)(n+p-2) 

2 "^ (171) 

ook geldig voor n = p = \. Naar behooren geeft (171) dan voor 
het rangnummer de waarde 1. 

Verder wijzen we er nog op, dat invoering van het getal nul 
maakt, dat ieder oneven getal a in den vorm 2q -\- 1 te schrijven 
is (zie n^ 169); voor a = 1 is dan ^ = 0. 

321. Zooals in n^. 294 gebleken is, is het aantal deelen eener 
hoeveelheid met a elementen, de nulhoeveelheid als deel mede- 
gerekend, gelijk aan 2^. Dit resultaat blijft ten gevolge van de 
formule (169) van n^. 315 juist voor a = 0. Uit 2^ vindt men 
dan voor het aantal deelen 1, in overeenstemming daarmede, dat 
de hoeveelheid dan de nulhoeveelheid is en dus slechts één deel 
bezit, nl. zich zelf. 

Ook het in n^ 275 verkregen resuhaat omtrent het aantal hoe- 
veelheden van natuurlijke getallen, die n tot grootste getal hebben, 
blijft door de formule (169) juist voor n = \. Hetzelfde geldt 
voor de in n^. 276 opgegeven uitdrukking voor het rangnummer 
van een eindige getallenhoeveelheid a^, ac,, ... ., au als men 
zulke hoeveelheden op de daar aangegeven wijze nummert; die 
uitdrukking blijft nl. juist voor öj = 1, daar dan 2''i~^ in 1 
overgaat ^). 

322. Toepassing op het merkwaardige quotiënt van n^ 164. 

Het in n°. 164 gevonden merkwaardige quotiënt (113) kan door 



1) Een ander voordeel van de invoering van het getal nul bestaat 



135 

invoering van den exponent nul regelmatiger aldus geschreven 
worden: 

^"~f = aP-^W + oP-W + aP-W f + a>¥-'' + o?h^-\ 

a — b 

Dit wordt korter zoo geschreven: 

aP — b"" " 



= L a"-^^*- 



a-Z; £r ' (172) 

waarmede bedoeld wordt, dat men in de uitdrukking onder (d. 
w. z. achter) het somteeken z (sigma) aan k achtereenvolgens 
de waarden 1, 2, 3, . . . ., /z toekent en de zoo verkregen getallen 
optelt. 

Zonder invoering van den exponent nul zou men (113) niet 
in den compacten vorm (172) kunnen neerschrijven. 

Voor n = 1 wordt het tweede lid van (172) een som van één 
term, daar k dan alleen 1 zijn kan; die term is dan aPW, dus 1, 
zoodat de formule juist blijft. 

Ook is de formule nog juist voor n = 0. Het tweede lid van 
(172) is dan nl. een som van nul termen, dus nul (zie n^. 310), 
terwijl ook het eerste lid nul wordt. 

323. De formule (113) blijft geldig voor b = O, daar dan alle 
termen van het tweede lid, behalve de eerste, nul zijn, terv/ijl 
de eerste term a"-i is; ook het eerste lid is dan echter a"~^ 

De formule (172) van n\ 322 voe^t voor ^ - O tot 

hetgeen volgens (170) juist is. Dit doet de doelmatigheid van 
de in n^ 317 gegeven definitie 0° = 1 uitkomen. 



daarin, dat men in de formuleering der eigenschap van n^. 203 de beper- 
king > 1 los kan laten en deze eigenschap aldus uitspreken: 

Een natuurlijk getal is op één en slechts één manier als een product 
van priemgetallen te schrijven. 

Voor het getal 1 wordt dit nl. een product van nul factoren (zie 
n». 311). 



§ 2. Permutaties en combinaties. 

324. Variaties en permutaties. We denken ons een hoe- 
veelheid van n elementen en vragen naar het aantal manieren, 
waarop men in bepaalde volgorde p dier elementen kan aanwijzen 
(waarin p ^ n is), dus het aantal manieren, waarop men een 
niet nader aangewezen /7-tal dier elementen op de getallen 1, 2, 
3, . . . ., /? kan afbeelden. 

Het genoemde aantal wordt het aantal variaties van n elementen 
p aan p (of in groepen van p) genoemd en als Vn geschreven. 

325. Om het aantal V^ te bepalen merken we op, dat het 
eerste element (element met rangnummer 1) op n manieren kan 
worden gekozen. Is dit geschied, dan kan het element met rang- 
nummer 2 nog op n — 1 manieren worden aangenomen, daar 
men daarvoor ieder der n — 1 overige elementen nemen kan; 
de elementen met de rangnummers 1 en 2 kunnen dus op n(n — 1) 
manieren worden aangenomen. Verder kan dan het element met 
rangnummer 3 op /2 — 2 manieren gekozen worden, enz. en ten 
slotte het element met rangnummer p o^ n + \ — p manieren. 
In het geheel kunnen dus de p elementen, met inachtneming 
van de volgorde, op n{n — \) {n — 2) .... (n + 1 — p) manieren 
worden aangewezen, zoodat men heeft: 

V^ = n{n-\){n — 2) {n+\ — p). (173) 

Hiervoor kan ook geschreven worden : 

yp - _J^__ 
" {n-py: (174) 

326. Is p -^ q ^ n, dan volgt uit de formule (173) onmiddellijk: 

Vr' = l/S . VLp = VI . Vf-,. (175) 

Dit volgt ook direct uit de van variaties gegeven definitie, daar 

men, om uit n elementen er /? + ^ aan te wijzen, beginnen kan 



137 

met p elementen aan te wijzen (hetgeen op V? manieren geschie- 
den kan), waarna men nog q elementen uit de overblijvende n — p 
elementen heeft aan te wijzen (hetgeen op Vn~p manieren ge- 
schieden kan). 
Voor q = 1 gaat de formule (175) over in: 

Vr' = in-p)V'n=nVS^,. (176) 

327. Is in V? het getal p gelijk aan n, dan spreekt men van 
het aantal permutaties van n elementen en schrijft daarvoor Pn. 
Dit is het aantal manieren, waarop een hoeveelheid van n elementen 
op de getallen I, 2, . . . ., n kan worden afgebeeld, dus het aantal 
manieren, waarop men die elementen van rangnummers voor- 
zien kan. 

Volgens (173) (waarin nu /? = az te stellen is) heeft men: 

P,, = n(n—\)(n — 2) 2.1 = ^! (177) 

Hieruit blijkt, dat de formule (114) ook voor p = n geldig is. 
Men moet daartoe O! = 1 nemen, waaruit de doelmatigheid der 
in n®. 313 gegeven definitie (167) duidelijk blijkt. 

328. Combinaties. Onder het aantal combinaties van n 
elementen p aan p (p ^ n) verstaat men het aantal manieren, 
waarop men uit een hoeveelheid van n elementen p elementen 
uitkiezen kan, dus het aantal deelen van p elementen, die een 
hoeveelheid van n elementen bezit. Dit aantal wordt door C^ 
voorgesteld. 

329. Het verschil tusschen variaties (zie n^. 324) en combina- 
ties bestaat daarin, dat bij een combinatie uitsluitend het deel 
van p elementen beschouwd wordt, terwijl bij een variatie dit 
deel ook nog genummerd (afgebeeld op de getallen 1, 2, . . . ., 
p) gedacht wordt. Dit maakt, dat iedere combinatie tot Pp varia- 
ties voert, daar de p tot die combinatie behoorende elementen 
op Pp manieren genummerd kunnen worden. Men heeft dus: 

; VS = Pp. CS. (178) 

330. Uit (178) volgt in verband met de formules (174) en 
(177) van n^. 325 en 327: 

^" p\{n-p)\' (179) 



138 

Daar het tweede lid van (179) niet verandert als men p door 
n — p vervangt, heeft men : 

c = c:-'. (180) 

Van deze formule is de juistheid ook onmiddellijk uit de betee- 
kenis van Cn in te zien; het vormen van een deel van /? elemen- 
ten is nl. ook te beschouwen als vorming van het complemen- 
taire deel (zie n^. 292), dat n — p elementen bevat. 

We merken nog op, dat de formule (179) ten gevolge van 
O! = 1 ook voor p = O of p = n geldig is. Men heeft nl.: 

C=Cn= 1. (181) 

De juistheid hiervan blijkt hieruit, dat een hoeveelheid van n 
elementen slechts één deel van nul elementen (de nulhoeveel- 
heid) en één deel van n elementen (de hoeveelheid zelf) bezit. 

Blijkbaar geldt (181) ook nog voor n == O, m. a. w.: 

Co»=l. 

331. De formule (179) kan omgevormd worden tot: 

^p _ n{n — \)(n- 2) {n + l — p) _ 

^" - p\ - 

^ njn— l){n — 2) (/? + 1) 

{n-p)\ ' (182) 

De eerste dezer uitdrukkingen voor C^ vloeit ook, in verband 

met de formule (173), onmiddellijk uit (178) voort. Voor de 

berekening van CS is de eerste uitdrukking te verkiezen als 

p < n — p, dus 2p < n is, de tweede uitdrukking als 2p > n is. 

332. Betrekkingen tusschen aantallen combinaties. Uit de 

formule (179) volgt: 

pCS = (n-{-\-p)Cr\ (183) 

Hieruit leidt men gemakkelijk af, dat CS >, < of = Cl~^ is 
al naar gelang 2p <y > of = n-\- 1 is. 

De getallen 

C2m C2n, C2n, . . • ., C2n, C2T1 j • • • ., Qn (^84) 

beginnen dus met toe te nemen; het grootste is CL, terwijl ver- 
volgens de getallen weer afnemen (en wel blijkens (180) op 
dezelfde wijze als waarop ze eerst zijn toegenomen, daar de 
getallen (184) van Hnks naar rechts dezelfde zijn als van rechts 
naar Unks). 



139 

De getallen 

2n + l) ^2n + h ^2/2 + 1, . . • ., (-2n + l, ^2n + h ^2r7 + 1 • • . -, C2n + 1 K^-OO) 

nemen toe tot CL + i; het volgende getal CL^i is aan CL + i gelijk, 
terwijl de getallen vervolgens weer afnemen. 

333. Uit de formule (179) van n^. 330 volgt: 

r^-i A-CP - (^-^^^ _(n-\)\ _ 

_ ^A^-^!^ (/z-l)!(/z- yp) ^ Az!__ _ p 

p\{n-p)r p\{n-p)\ p\(n-p)\ 

Men heeft dus: 

c'n = az\ + a-i, (186) 

Deze formule volgt ook onmiddellijk uit de beteekenis van 
Cn- Men kan nl. de combinaties van n elementen p aan p split- 
sen in de Cn~\ combinaties, die een bepaald aangewezen element 
bevatten (welke combinaties gevormd worden door dat element 
te vereenigen met de combinaties van p — 1 elementen uit de 
n — 1 overige elementen), en de Cn-\ combinaties, die dat element 
niet bevatten. 

In het voorgaande wordt p < n ondersteld; voor het geval 
/7 ^ /2 zie no. 359. 

334. Uit (186) volgt door n door n — 1 te vervangen: 

Cn—\ = Cn-2 ~\~ Cn—2, 

hetgeen met (186) gecombineerd geeft: 

a = az\ + cr2 + a-2. 

Evenzoo vindt men (door Cn-2 met behulp van (186) in twee 
termen te splitsen): 

c'n = az\ H- cpi + azi + c^3. 

Zoo doorgaande vindt men: 

Cn = Cn-l + Cn-2 "f" Cn-3 +.... + Cp + 2 + Cp+] + C^+i, 
C'n = C'nZl + C'nZl + C^S + . • • • + C^7l + C^' + C'.Zl 

In deze laatste formule is voor de regelmaat CpZ\ in plaats 
van Cp geschreven, hetgeen wegens (181) geoorloofd is. Daar- 
door kan de formule korter zoo geschreven worden: 

n—p + 1 

^n- y. (^n-k> (137) 

*=1 . ^ 



140 

335. Volgens de eigenschap van n^ 294 bedraagt het aantal 
deelen (de nulhoeveelheid medegerekend) van een hoeveelheid, 
die uit n elementen bestaat, 2". Daar er onder die deelen Cn 
voorkomen, die p elementen bevatten, is het aantal deelen der 
hoeveelheid ook gelijk aan: 

c2 + ci + C^ + . . . . + Cl 
Men heeft dus: 

Cl+C\^Cl + ...-\-Cl = 2\ (188) 

336. Herhalingscombinaties. Men spreekt van herhalings- 
combinaties van n elementen p aan p als men op verschillende 
manieren uit de n elementen een groep van p elementen neemt 
(zonder op de volgorde te letten) en daarbij een zelfde element 
een willekeurig aantal malen mag herhalen. Het aantal dier her- 
halingscombinaties wordt door Cn voorgesteld. Nu kan p > n 
zijn, hetgeen bij gewone combinaties uitgesloten is. 

Om een voorbeeld te geven zijn de herhalingscombinaties 4 

aan 4 van de getallen 1, 2, 3: 

(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 2), (1, 1, 2, 2), (1, 2, 2, 2), (2, 2, 2, 2), 

(1, 1, 1, 3), (1, 1, 2, 3), (1, 2, 2, 3), (2, 2, 2, 3), (1, 1, 3, 3), 

(1, 2, 3, 3), (2, 2, 3, 3), (1, 3, 3, 3), (2, 3, 3, 3), (3, 3, 3, 3). 

337. Om het getal Cn te bepalen stellen we ons voor, dat de 
n elementen de getallen 1, 2, 3, . . . ., az zijn. De getallen, die 
in de verschillende herhahngscombinaties optreden, denken we 
(als in het voorbeeld van n^. 336) naar de grootte gerangschikt. 
We vermeerderen nu in ieder dier herhalingscombinaties het 
tweede getal met 1, het derde met 2, enz., zoodat het p^^ (en 
laatste) getal met p — 1 vermeerderd wordt. Op deze wijze ont- 
staan uitsluitend ongelijke getallen, waarvan het grootste hoogstens 
n-]r p — 1 is, dus gewone combinaties p aan p van /z +/> — 1 
elementen (de getallen 1, 2, 3, . . . ., /z +/? — 1) ^). 



^) De herhalingscombinaties uit het voorbeeld van n^. 336 gaan 

daarbij over in: 

(1, 2, 3, 4), (1, 2, 3, 5), (1, 2, 4, 5), (1, 3, 4, 5), (2, 3, 4, 5), 

(1, 2, 3, 6), (1, 2, 4, 6), (1, 3, 4, 6), (2, 3, 4, 6), (1, 2, 5, 6), 

(1, 3, 5, 6), (2, 3, 5, 6), (1, 4, 5, 6), (2, 4, 5, 6), (3, 4, 5, 6). 

Deze rangschikking is dezelfde als die van n^ 276. 



141 

Op de aangegeven wijze verkrijgt men alle combinaties p aan 
p van de n -^ p — 1 elementen 1, 2, . . . ., az +/? — 1, daar men, 
van een willekeurige naar de grootte gerangschikte combinatie 
uitgaande, langs den omgekeerden weg (dus door het tweede 
getal met 1 te verminderen, het derde met 2, enz.) een herha- 
lingscombinatie der elementen 1, 2, . . . ., n verkrijgt. 

Daar verder geen enkele combinatie uit twee verschillende her- 
halingscombinaties ontstaat, heeft men: 

CS = CLp-u (189) 

dus in verband met (179) en (182): 

^ (/z+p- l)! _ 
^" p\{n-\)\ 

^ n{n+ l)(^ + 2) (n+p~\ ) ^ 

p\ (190) 

^ (/7+l)(/7 + 2)....(n+/7-l) 

(n-l)! 

338. Door de Cn herhalingscombinaties van n elementen p 
aan p te verdeelen in de Cn"^ herhalingscombinaties, die een 
bepaald aangewezen element bevatten, en de C^-i, herhalings- 
combinaties, die dat element niet bevatten, vindt men: 

CS = Cr' + C^i 1). (191) 

Op geheel soortgelijke wijze als in n°. 334 leidt men hieruit 
door herhaalde toepassing af: 

CS = C'n~' + CSll + CSI2 + . . . . + Cr' + C'{-'- (192) 

als laatsten term krijgt men eigenlijk C^ maar deze is gelijk aan 
1 en dus door C\~^ te vervangen. 

339. Uit de formule (191) vloeit een bewijs van (190) voort, 
nl. door volledige inductie naar n + /? toe te passen. Voor /z + /? = 2 
is (190) juist. Neemt men de juistheid van (190) aan voor CS~^ 
en CS-i, waarbij de som van bovensten en ondersten index 
n -\- p — 1 is, dan vindt men volgens (191): 

p,p ^ {n+p-2 )\ (n+p -2 )1 _ 

" (p_l)i(«_i)!^ p\{n-2y. 



■) Dit is natuurlijk ook uit (190) af te leiden. 



142 

_ (/2+/7- 2)!/7 {n^- p — 2)\{n- \) ^ n -^ p - 1! 
/7!(/z— 1)! "^ p\^n—\)\ p\{n — \)\ ^' 

Hiermede is dan de juistheid van (190) voor een indexsom 
/z 4-/7 aangetoond, dus de stap van n -]- p — lop/zH-/? verricht. 

340. Permutaties van elementen, die niet alle verschillen. 

We denken ons n elementen 

^1' ^2? • • • • , tLn-, \iy^) 

die niet alle verschillend gedacht worden, zoodat die elementen 
in k groepen van onderling gelijke elementen te verdeelen zijn; 
de aantallen elementen dier groepen noemen we p^, pc^, . . . . , pk, 
waarbij sommige dier getallen ook 1 kunnen zijn. Men kan nu 
de vraag stellen op hoeveel manieren de elementen (193) gerang- 
schikt (dus genummerd) kunnen worden, indien rangschikkingen, 
die door verwisseling van gelijke elementen ontstaan, als dezelfde 
beschouwd worden. 

Een voorbeeld van zulke rangschikkingen is het volgende, 
waarbij k = ?>, p-^ = 2, p^ = 2, p^ = \ is: 

(1, 1, 2, 2, 3), (1, 1, 2, 3, 2), (1, 1, 3, 2, 2). 

(1, 2, 1, 2, 3), (1, 2, 1, 3, 2), (1, 2, 2, 1, 3), 

(1, 2, 2, 3, 1), (1, 2, 3. 1, 2), (1, 2, 3, 2, 1), 

(1, 3, 1, 2, 2), (1, 3, 2, 1, 2), (1, 3, 2, 2, 1), 

(2, 1, 1, 2, 3), (2, 1, 1, 3, 2), (2, 1, 2, 1, 3), 

(2, 1, 2, 3, 1), (2, 1, 3, 1, 2), (2, 1, 3, 2, 1), 

(2, 2, 1, 1, 3), (2, 2, 1, 3, 1), (2, 2, 3, 1, 1), 

(2, 3, 1, 1, 2), (2, 3, 1, 2, Ij, (2, 3, 2, 1, 1), 

(3, 1, 1, 2, 2), (3, 1, 2, 1, 2), (3, 1, 2, 2, 1), 

(3, 2, 1, 1, 2), (3, 2, 1, 2, 1), (3, 2, 2, 1, 1). 

341. De in n^. 340 genoemde rangschikkingen blijven dezelfde 
als men de daarin voorkomende gelijke elementen verwisselt. 
Hierdoor voert ieder dier rangschikkingen tot 

Pi\ A? Pk\ 

permutaties der n elementen (193) zoo men deze als verschillend 



^) We hadden bij deze herleiding ook van de formule (186) van 
n". 333 gebruik kunnen maken. 



143 

beschouwt; immers door de p^ gelijke elementen van de eerste 
groep te verwisselen krijgt men p^\ permutaties, waarvan ieder 
weer tot p^ ! permutaties voert door de p^^ elementen van de 
tweede groep te verwisselen, enz. 

Daar er in het geheel n\ permutaties zijn als men alle elementen 
als verschillend beschouwt (zie n^ 327), krijgt men 

—, r^ , (194) 

Pi\ p,\ . ... Pk\ 

permutaties van n eiementen als daaronder p-^, p^, . . . . , pk gelijke 
elementen voorkomen. 

342. Met het in n°. 341 verkregen resultaat is tevens opgelost 
de vraag naar het aantal manieren, waarop men n elementen in 
groepen A^, A^, . . . ., Au resp. van p^, p^, . . . . , pk elementen kan 
verdeelen als men niet op de volgorde der elementen van een 
zelfde groep let. Dit is nl. het door (194) aangegeven aantal, 
daar die vraag tot die van n^. 340 is terug te brengen Dit kan 
geschieden door p^ getallen 1, p^ getallen 2, enz. op de verschil- 
lende manieren, die mogelijk zijn, over de n elementen te ver- 
deelen en daarbij de elementen, waaraan het getal 1 is toege- 
voegd, in de groep A^ te plaatsen, die met het getal 2 in de 
groep /lo, enz. Hierbij moet men, als b.v. p^ en p^ gelijk zijn, 
toch de groepen A^ en A^ uit elkaar gehouden denken; m. a. w. 
bij overbrenging van de elementen der groep A-^ naar /Ig ^^^ 
omgekeerd moet dit als een andere verdeeling in groepen worden 
opgevat, zoodat op de individualiteit der groepen gelet wordt. 

Neemt men k = 2, dan vindt men voor het aantal maniereny 

waarop de n elementen in een eerste groep van p elementen 

en een tweede groep van n — p elementen te verdeelen zijn, 

n\ 
—r~, -T. Dit aantal is echter (blijkens de beteekenis) ook 

p\{n-p)\ : J 

het aantal combinaties p aan p van n elementen, waarmede de 
formule (179) van n^. 330 opnieuw bewezen is. 

343. Vraagt men naar het aantal manieren, waarop n elementen 
in groepen van p^, /?2, . . . . , pk elementen verdeeld kunnen 
worden zonder op de individualiteit der groepen te letten, dan 
wordt dit aantal nog steeds door (194) aangegeven als de getallen 



144 

/?!, /72, . , . . , pk alle verschillen. Komen echter onder die getallen 
i gelijke voor, dan voert iedere verdeeling in groepen, door ver- 
wisseling der / groepen met hetzelfde aantal elementen, tot i\ 
verdeelingen in groepen met inachtneming der individualiteit van 
de groepen ^). Om het nu gevraagde aantal te vinden moet dus 
het aantal (194) nog door i\ gedeeld worden. Komen onder de 
getallen Pi, pc^, . . . . , pk nOg andere gelijke voor, ten getale van 
j b.v., dan moet (194) ook nog door j\ gedeeld worden om het 
gevraagde aantal op te leveren, enz. 

Zoo vindt men b.v. voor het aantal' manieren, waarop een 
spel van 32 kaarten in 4 hoopen ieder van 8 kaarten verdeeld 
kan worden: 

-n^,-7 = 3^5MlM3M7.19 . 23 . 29 . 31 = 4 148 378 852 099 625. 
4 ! (8 !)* 

Algemeener vindt men voor het aantal manieren, waarop kp 

elementen in k groepen ieder van p elementen verdeeld kunnen 

worden: 

{kp)\ 

k\{p^)^' 



344. Aantal manieren, waarop een product van n factoren 
met haakjes geschreven kan worden. We stellen de vraag: 

Op hoeveel manieren kan het product 

a^ac^ . . . . an (195) 

met haakjes worden neergeschreven, daarbij enkel de associatieve 
eigenschap der vermenigvuldiging toepassend? 

Hierbij is bedoeld, dat de haakjes volledig aangeven welke 
vermenigvuldigingen moeten worden uitgevoerd. Hiervoor zijn 
n — 2 paren haakjes noodig ^). Men heeft nl. n — 1 vermenig- 



^) Hierbij wordt ondersteld, dat de i gelijke getallen p niet nul zijn. 
Immers anders is ieder der / groepen de nulhoeveelheid en zijn die / 
groepen dus alle dezelfde (zie n^. 291); een verwisseling dier groepen 
geeft dan geen andere permutatie der n elementen. 

*) Hier wordt n > \ ondersteld. 



145 

vuldigingen te verrichten, die ieder een paar haakjes vereischen, 
behalve de laatste vermenigvuldiging; immers heeft men (door 
het uitvoeren van n — 2 vermenigvuldigingen) nog slechts twee 
getallen over gehouden, dan moeten die nog met elkaar ver- 
menigvuldigd worden. 

Is b.v. n = b, dan kan het product op de volgende 14 manieren 
geschreven worden : 

^1 . [(«2^3) K^ö)]. [(^1^2) fe^J] • ^5. 
a^ . [\a^{a^a,)\a,l [a^\iac,a^)aj,] . a,, 

Bij ieder tweetal naast elkaar geplaatste vormen is de plaatsing 
der haakjes dezelfde als men die in den eenen vorm van links 
naar rechts en in den anderen vorm van rechts naar Hnks leest. 

345. Stellen we het gevraagde aantal vormen, waarin het 
product (195) kan worden gebracht, door An voor, dan is 
A^ = A^ = l; voor n = \ of 2 behoeven nog geen haakjes ge- 
plaatst te worden. De haakjes wijzen aan welke vermenigvuldiging 
het laatst moet worden uitgevoerd. De twee factoren bij die 
laatste vermenigvuldiging zijn zelf weer ontstaan de eene als 
product van k factoren, de andere als product van n — k factoren 
en kunnen dus in Ak resp. An-k vormen gebracht worden. Er 
zijn dus nog AkAn-k vormen, die bij^ dezelfde laatste vermenig- 
vuldiging behooren; deze laatste vermenigvuldiging is in het 
voorbeeld van n^ 344 door een stip aangewezen. 

Daar k ieder der waarden 1, 2, 3, . . . . , n — 1 hebben kan, 
vindt men zoo: 

An = A^An-l + A,An-2 + A^An-Z +....+ ^„-2^^ + ^-1^1 \ (1 96) 

of korter geschreven: 

n—\ 

^n ^^ ^ AkA.n—k' 

346. In de gelijkheid (196) zijn in het tweede lid de termen 



1) Hierin wordt n > \ ondersteld. 

FRED. SCHUH, Leerboek der Theoretische Rekenkunde. 10 



146 

van links naar rechts dezelfde als van rechts naar links. Is n 
oneven, dan krijgt men zoo paren gelijke termen, terwijl voor n 
even de middelste term na paring der gelijke termen overblijft. 
De gelijkheid (196) wordt in het eerste geval (als men n door 
2n + \ vervangt) : 

A2n^l== 2(A,A2n + .42^2/z-l + • • • . + An-lAn^2 + AnAn^ l\ (197) 

in het laatste geval (als men n door 2n vervangt): 

A2n = 2(A^A2n-l + A,A2n-2 + ....+ ^-l^^l) + AI (198) 

347. De betrekkingen (197) en (198) stellen ons in staat, 
uitgaande Ai = \, achtereenvolgens A^, A^, A^, enz te berekenen. 
Men vindt zoo: 

4 = P = 1, 

A, = 2(1 . 1) = 2, 

A, =2(1 .2)+l«=:5, 

5 -f 1 . 2) = 14, 
14+ 1 . 5) + 22 = 42, 
42+ 1 . 14 + 2.5)= 132, 
132 + 1 . 42 + 2 . 14) + 52 = 429, 
429 + 1 . 132 + 2 . 42 + 5 . 14) = 1 430, 
1430 + 1 . 429 + 2 . 132 + 5 . 42) + 142 = 4 862, 
4862 + 1 . 1430 + 2 . 429 + 5 . 132 + 14 . 42) = 16 796. 
In n^. 351 zullen we een algemeene formule voor het aantal 

An vinden. 

348. Aantal manieren, waarop een product van n factoren 
berekend kan worden. We stellen vervolgens de vraag: 

Op hoeveel manieren kan het product (195) van n^. 344 door 
vermenigvuldigen van telkens twee getallen berekend worden? 

Hierbij wordt geen onderscheid gemaakt tusschen de berekening 
van ab en die van ba, terwijl ook niet gelet wordt op de volgorde, 
waarin de vermenigvuldigingen worden uitgevoerd. Twee be- 
rekeningen van het product (195) worden dus dan en alleen dan 
als verschillend beschouwd wanneer de gedeeltelijke vermenig- 
v^uldigingen, die uitgevoerd moeten worden, niet alle dezelfde 
zijn; zoo geven b.v. 

(ai^g) {a^a^), (a^a^) (a^a^), (a^a^) {a^a;), (a^a^) {a^a^\ 
(a^a^) (a^a.^), {a^a^) {a^a^), {a^a^) (a^a^), (a^a^) (a^a^) 
alle dezelfde wijze van berekenen van a^a^a^a^. 



A, 


= 2(1 


A, 


= 2(1 


An 


= 2n 


A, 


= 2(1 


A, 


= 2(1 


^10 


= 2(1 


^n 


= 2(1 



147 

De verschillende wijzen, waarop dit product kan worden bepaald, 
worden aangegeven door : 

ai\a2{a^a^)\, ailagCagajJ, aj)a^(aciaz)l 

ai\ai(asa^)\, a^\as{a^a^)l a2\a^{a^a^)\, 

a^)aj{a2a^)l a^\a^{a^a^)l a^\a^{a-ia^)l 

^4l^i(^2^3)(' ^4!^2K^3)l a^\a-^{a^a2)l 

349. Wanneer de berekening van een product ab verschillend 
beschouwd wordt van de berekening van ba is het aantal manieren, 
waarop de berekening van het product (195) kan worden uitge- 
voerd, gelijk aan het aantal vormen, waarin dit door plaatsing 
van haakjes gebracht kan worden (zie n^. 344) als ook nog met 
de commutatieve eigenschap der vermenigvuldiging rekening 
wordt gehouden, dus als de volgorde der factoren op alle moge- 
lijke manieren veranderd wordt. Het aantal berekeningswijzen 
van het product wordt dan n\An, waarin An de in n^. 345 aan- 
gegeven beteekenis heeft. 

Maakt men geen verschil tusschen de berekening van ab en 
die van ba, dan worden (daar in het geheel n — 1 vermenig- 
vuldigingen zijn uit te voeren) telkens 2"~^ berekeningswijzen 
dezelfde, zoodat men dan 

Bn = -p (199) 

mogelijke berekeningswijzen van het product vindt. 

In verband met de in n^. 347 gevonden waarden voor A^, A^^ 
A^, .... heeft men dus: 

B, = B, = l, B, = 3, B, = 15, B, = 105, B, = 945, 
Br, = 10 395, B, = 135 135, B, = 2 027 025, ^^o = 34 459 425. 

350. Voor het in n^ 348 en 349 beschouwde aantal Bn der 
berekeningswijzen van a^a^ .... an kan men een eenvoudige 
uitdrukking vinden door Bn in Bn-i uit te drukken ^). 

Uit een berekeningswijze van a^a^ . , . . an kan men één be- 



1) Hierbij wordt n > 1 ondersteld. 



148 

paalde berekeningswijze van a^a^ .... Un-i afleiden door den 
factor Un te schrappen, dus door de vermenigvuldiging met an 
achterwege te laten. 

Om.gekeerd voert zoo iedere berekeningswijze van a^ag .... a„_i 
tot 2/2 — 3 berekeningswijzen van a^a^ . , , . an. Bij de bereke- 
ning van a^ög .... ün-i (bestaande uit n — 2 vermenigvuldigin- 
gen) worden nl. n — 2 producten berekend; deze vormen, te 
zamen met de getallen a^, a^, . . . ., an-u waarvan wordt uitge- 
gaan, 2n — 3 producten van één of meer factoren. Een dezer 
2n — 3 producten wordt nu met a« vermenigvuldigd. 

Zoo voert b.v. 

tot de volgende 2.6 — 3 = 9 berekeningswijzen van a-^a^a^a^a^UQ : 

\[a^a,)a^\ \{a^a,)a^\^ \a^{ao,a,)\ \{a^a,)a^\, \{a,a^)a^\ \{a^a,)a^\. 

{a^a^)\[{a^a^)a,]aX (a^a^)\[a^(a^a^)]aji^, (a^a^)\[{ac,a^)a^]a}^, 

(a^a^)\{a^a,) (a^a,% {a^a^)^{ac,a,)a^\a^l [(ciiaz)\{ac,a,)a^\]a^. 

Uit de voorgaande beschouwingen volgt: 

Bn = (2n — 3)Bn-i. 
Daar ^^ = 1 is, vindt men achtereenvolgens: 

^2 = 1, ^3 = 1 . 3, ^4 = 1 . 3 . 5, enz., 
dus in het algemeen: 

Bn=l .3.5 (2n — 3). (200) 

Hiermede is een algemeene formule gevonden voor de getallen, 
die in n°. 349 stuk voor stuk berekend zijn. 

351. Uit (200) vindt men in verband met de betrekking (199) 
van no. 349: 

An 

of: 

Hiervoor kan ook geschreven worden: 

A„ = ^''-'=^^, = ^k (201) 

(n — 1)! «! n 



1.3.5 (2/2 - 


— 3)2""^ 


n\ 


» 


2 . 6 . 10. 14 . . . 


. (4/1 — 6) 



of ook: 



149 



_ 1.3 .5.7 (2az — 3) . 4" -^ 

" ~ 2 . 4 . 6 . 8 {2n — 2).n ^' 



352. Bewijs der gevonden formules door volledige inductie. 

Daar door (201) aan de betrekking (196) van n^ 345 voldaan 
is, heeft men: 

Cn—\ f>n—1 ^\ j-yn—Z x^2/^n—A > ^n—2 

In— 2 _ ^2n-4 i ^2^2n-6 . ^A^2n-8 i i ^2n-4 (9m\ 

n ~ n — \~^ 2(ri — 2y '^{n — ?>y ""^ n — \' ^^^^^ 

Deze formule kan ook rechtstreeks worden aangetoond, waar- 
mede tevens een ander bewijs der resultaten van n^. 351 (en dus 
ook van die van n^. 350) verkregdi wordt. Is Dn een afkorting 
voor het tweede of derde lid van (201), dan is: 

2(2n~l)D„ = (/z + l)D,.i. (203) 



^) Voor den lezer, die met de formule van John Wallis (Arithmetica 
Infinitorum, 1655), nl.: 

_!L_AAAAAAA 
2 ~ 1 • 3* 3' 5* 5' 7' 7 ' 

2 
bekend is, maken we nog de opmerkiiig, dat — ongeveer midden 

tusschen 

1 3 3 5 5 2/2 — 3 2/2 — 3 



2' 2" 4- 4* 6 2/2 — 4-2/z — 2 

en 

1 3 3 5 5 2/z — 3 2/z - 3 2/2 — 1 



2 • 2 • 4 • 4 • 6 • • • • 2/2 — 4 ' 2/2 — 2 • 2/2 — 2 
gelegen is en men dus bij benadering heeft: 

2 1 3 35 5 2/2-3 2/2-3 4/2- 



71 2" 2" 4' 4' 6 2/2 — 4' 2/2 — 2' 4/2 — 4' 

1.3.5.7 (2/2- 3) 2_ 

2-4.6.8 (2/2 - 2) - i/,,(4^r=r3)- 

Hierdoor vindt men bij benadering: 



An = 



^2n-l 



nVj:(4n — 3) 

Dit geeft de volgende benaderde waarden voor A^, A2, A^, enz.: 
A^ = 1,1284 , A2 = 1,0080 , A^ = 2,0060 , A, = 5,0073 , 
A^ = 14,0120, A^ ■= 42,0237, A, = 132,053, A^ = 429,127, 
A^ = 1430,34, /4io - 4862,89, A,^ = 16798,5. 
De afwijking van de juiste waarden (zie n^. 347) is dus slechts zeer 
gering. 



150 

'We bewijzen nu door volledige inductie naar n, dat voldaan 
is aan: 

Dn=Y.DkDn-k. (204) 

Hieraan is (blijkens D^ = Dc^ = 1) voldaan voor /z = 2. De 
juistheid van (204) voor een zekere waarde van n aannemend 
vindt men: 

4(/z - \)Dn = 4{n - 1) s' D,Dn-k ="£ 4{n - \)DkDn-k ') = 

k=i k=\ 

= % 2[2k — l)l\Dn-k + 2(2n - 2k - l)D,D«_, } = 

= Z2{2k - \)DkDn-k +"12(2/2 — 2k- \)DkDn-k % 

k=\ k=\ 

Volgens (203) heeft men dus: 

4(/2 - \)Dn =^ï:(k + \)Dk.lDn-k +"S (n-k+ \)DkDn-k.l = 
= i kDkDn-k.l ') + S\^ -k + \)DkDn-k.l = 

= J:(n + \)DkDn.i-k-2DiDn. 



^) Dit komt neer op toepassing van de distributieve eigenschap der 
vermenigvuldiging. De formule (55) van n^ 99 kan nl. ook in den 
volgenden vorm geschreven worden: 

n n 

a . X bk = S abk. 

^) Dit is een toepassing van de commutatieve en associatieve eigen- 
schap der optelling, volgens welke men heeft: 

S (ük -\- bk) = 'x ak -{- X bk. 

^) Deze term ontstaat uit den eersten term van het vorige lid door 
A; + 1 = / te stellen en te bedenken, dat dan / de waarden 2, 3, . . . ., 
n kan aannemen. Vervolgens kan de letter / dan weer door k worden 
vervangen. 



151 
Daar D^ = 1 is, volgt hieruit, weer in verband met (203): 
2{2n — \)Dn = (« + !) ^DkDn^i-k. 
(n + l)Dn.i = {n+\)E DkDn.i-k, 

n 
Dn + l = ^ DkDfi + \—k- 

Dit nu is de gelijlcheid, waarin (204) overgaat door daarin n 
door n -\- \ te vervangen, waarmede de stap van n op n n- l 
uitgevoerd is. 



§ 3. Binomium van Newton en toepassingen daarvan. 

353. Formule voor de n^^ macht van een binomium. Onder 
een binomium of tweeterm verstaat men een som van twee ter- 
men. We beschouwen nu de n^^ macht van zulk een tweeterm 
a + b. Deze kan men volgens de algemeene distributieve eigen- 
schap der vermenigvuldiging (zie n^. 102) ontwikkelen, d. w. z. 
schrijven als een som van termen, waarvan ieder een product is 
van n factoren; uit ieder der n factoren a-\-b treedt daarbij de 
term a of de term b als factor op. Men krijgt op deze wijze 
2^^ termen van de gedaante a"--^b'^, waarin k een der getallen 
O, 1, 2, . . . ., Az is. 

Verschillende dier termen zijn echter aan elkaar gelijk. Zoo 
ontstaat b.v. de term a'^-^h in het geheel /2-maal, daar de factor 
b aan ieder der n factoren a -{- b van het volledige product kan 
worden ontleend; deze n gelijke termen schrijven we als één 
enkelen term, nl. na'^-^b. 

Men vindt zoo: 

n 

(a -\-bY=y, Aka^-^bK (205) 

Het getal Ak, dat gelijk is aan het aantal manieren, waarop 
een term a^-^b'^ ontstaat, en dus uitsluitend van k en niet van 
de getallen a en b afhangt, wordt de coëfficiënt van den term 
Aka^'-^b^ , of de coëfficiënt van W'-^b^, genoemd. 

354. Om den coëfficiënt Ak te berekenen beschouwen we 
algemeener het product 

(a + b,) (a^b,) (a + bn). (206) 

Bij de ontwikkeling daarvan krijgt men termen met n — k 
factoren a en ^ factoren, die men op alle mogelijke wijzen uit 
de getallen b^, ^2> ♦ • • •> ^n kiezen kan. Men krijgt dus a"-^ 



153 

vermenigvuldigd met de som der producten van alle /j-tallen der 
getallen b^, ^2, • • . ., bn\ het aantal termen dier som bedraagt 
Cn. Door vervolgens 

b^ = bc^ = ,... = bn = b 
te stellen gaat de genoemde som van producten in 

C'nb' 
over, waardoor een term 

C^na^-^b^ 
ontstaat. Het getal Au der formule (205) van n^. 353 is dus 
C^, zoodat men heeft: 

n 

(a + bY=y Cna^-f^bK (207) 

355. Volgens de formule (182) van n^. 331 kan voor (207) 
geschreven worden: 

{a + by = a^i- ^a^-'b + '^^^-^ ^ -^^^-'^^ + 

+ ^(^-m^- j)^.- 3^3 + .... + ^^^.-1 + ^.. (208) 

Deze formule wordt het binomium van Newton genoemd ^). 
De daarin voorkomende coëfficiënten heeten binomiaalcoëfficiënten. 

Voor den binomiaalcoëfficiënt van a"--^b^ schrijft men l , 1 of kort- 
weg rik. Men heeft dus: 

(«) = «. = d. 

Voor a = 1 gaat (208) over in: 

(1 + ^)'^ - 1 + n^ + -^b\ 

In n> 1, dan bestaat het tweede lid uit meer dan twee termen, 
waardoor men de eigenschap van n^ 126 terugvindt. 



^) IsAAC Newton (1643—1727) heeft in 1676 uitbreidingen der for- 
mule (208) (tot zoogenaamde gebroken en negatieve exponenten) mede- 
gedeeld en daarbij ook de uitdrukking voor de binomiaalcoëfficiënten 
als quotiënt van twee producten. Deze uitdrukking was echter reeds 
aan Pascal bekend (zie de noot van blz. 158), maar bij hem treedt 
de formule voor (a + by minder uitdrukkelijk op den voorgrond. 



154 

356. Lettend op de formule (179) van n». 330 kan voor (207) 
ook geschreven worden: 

(« + ^)'-=i^!(;^,-)T«"-*^^- (209) 

Deze compacte vorm, waarin zoo het binomium van Newton 
gebracht is, wordt slechts mogelijk door de definities (167) en 
(169) van n*^. 313 en 315. Om de formule ook voor a = O of 
^ = O te laten doorgaan is dan verder de definitie (170) van 
n^ 317 noodig. 

De formule (209) geldt ook voor n = 0. Het tweede lid, dat in 
het algemeen n+ 1 termen bevat, bestaat dan uit één enkelen term 

O' 

gOhO 

0!0! ' 
die gelijk is aan 1, evenals het eerste Ud. 

357. De formule (180) van n^ 330 drukt uit, dat de binomiaal- 
coëfficiënten van links naar rechts gelezen dezelfde zijn als van 
rechts naar links, iets dat ook onmiddellijk daaruit blijkt, dat a 
en b bij de ontwikkeling van {a + by dezelfde rol spelen. 

Verder volgt uit het in n^ 332 gevondene nog, dat de bino- 
miaalcoëfficiënten van n (d. w. z. die, welke behooren bij de n^^ 
macht van a-\- b) beginnen met toe te nemen, een grootste waarde 
bereiken, om vervolgens weer af te nemen, hetzij direct (als n 
even is), hetzij na nog eens die grootste waarde te hebben aange- 
nomen (als n oneven is). Is n even, dan is één enkele bino- 
miaalcoëfficiënt de grootste; is n oneven, dan zijn twee opvolgende 
binomiaalcoëfficiënten gelijk en grooter dan alle overige. Aan 
den grootsten binomiaalcoëfficiënt of de beide grootste binomiaal- 
coëfficiënten gaan evenveel binomiaalcoëfficiënten vooraf als er 
op volgen. 

358. Betrekkingen tusschen binomiaalcoëfficiënten. Uit het 

binomium van Newton zijn verschillende betrekkingen tusschen 

binomiaalcoëfficiënten (of aantallen combinaties) af te leiden. Zoo 

vindt men uit de formule (207) door daarin a = b = \ te nemen 

de formule (188) van n^. 335 terug. 

Door in 

{a + bY^"^ = (a + bY {a + b)" (210) 



155 

de drie machten van a -^ b volgens het binomium van Newton 
te ontwikkelen en vervolgens de ontwikkelingen van {a + b)"^ en 
(a -f by met elkaar te vermenigvuldigen, daarbij termen met 
dezelfde macht van a samennemend, zal men in beide leden 
dezelfde ontwikkeling in termen van den vorm Aka"^^'^-^b^ ver- 
krijgen. Immers hoe men het product 

{a + b^) (a + b^) (a + /bg) . . . . (a + b^^n) 
ook ontwikkelt, steeds krijgt men alle mogelijke termen, die 
m-\- n — k factoren a en b factoren uit de getallen b^, b^, . . . . , 
bm+n bevatten, zoodat, na gelijkstelling der getallen b^, b^, enz., 
de coëfficiënt Ak steeds dezelfde waarde, nl. C^+n, verkrijgt, hoe 
men de ontwikkeling ook uitvoert ^). 

Door nu de coëffiënten van a"^ + n-ki)k [^ beide leden van (210) 
gelijk te stellen vindt men: 

C^ -^ r^ r^ A- r^ ^^— i _i ^2 z-»^— 2 i 1 ^k ^0 /o 1 1 \ 

Of: 

Hierin wordt k ^ m en ^. n ondersteld. 

359. Is k> m of > n, dan gaat de formule (211) door als 
men de termen, waarin een C voorkomt, waarvan de bovenste 
index grooter dan de onderste is, weglaat. Men kan ook zeggen, 
dat de formule (211) zonder de aan het eind van n^. 358 ge- 
maakte beperking doorgaat als men afspreekt, dat Cn = is 
voor p > n. 

Deze afspraak is trouwens ook geheel met de beteekenis van 
Cn in overeenstemming, daar men uit n elementen geen enkele 
groep van meer dan n elementen vormen kan ^). 

Ook blijft bij de gemaakte afspraak de formule (183) van n^. 332 
geldig als/7 = n+1 is, iets waarvan men zich zonder moeite overtuigt. 
Verder wordt daardoor bereikt, dat de formule (186) van n^ 333 
voor p = n blijft doorgaan; evenzoo voor p > n, in welk geval het 
eerste lid en de beide termen van het tweede lid nul zijn. 



^) In § 2 van Hoofdst. VI komen we hierop terug. 
2) Zie verder n^. 630. 



156 

360. De formule (211) kan ook rechtstreeks door volledige 
inductie naar k worden aangetoond, waardoor het bewijs onaf- 
hankelijk wordt van de omstandigheid, dat {a + bY slechts op 
één manier in een som van termen van den vorm Aka"~''b^ te 
ontwikkelen is. 

Voor ^ = O is (211) juist. Om den stap van ^ op ^ + 1 te 
doen leiden we uit (211), in verband met de formule (183) van 

no. 332, af: 

k 

(m + n-k)CLn=l\{m- i)C,n CT' + (n + / - A)C Cj-' j ') = 
k k 



= 2 (/ + i)a*'c*-'+ 2 (^ + 1 - i)cLci:'-'= 

i=0 i=0 

= 1 iCmC^'-' ^) + 2 (A + 1 - ()ci,cr'-' = 

i=\ /=0 



Door ook op het eerste lid de formule (183) toe te passen 
vindt men verder: 

- (^+i)c*:U(-fe + i)2c4cr'-'; 

C/s+1 __ '^ /^i j^k+l—i 
m + n — J^ ^m^n > 

Dit nu is de formule (211) als men daarin k door k + 1 vervangt. 

361. Ander bewijs der formule van n^. 358, Uitsluitend ge- 
bruik makend van de beteekenis van C« ^) kan de formule (211) 
aldus worden aangetoond. We vormen een rij elementen met 
twee indices, beginnend met «oo, waarbij ieder volgend element 



1) De termen, waarvoor / > w of k — i ^ n is, moeten worden 
weggelaten. 

2) Vergelijk noot 3 van blz. 149. 

2) Dus niet van de door (179) of (182) daarvoor opgegeven uit- 
drukking. 



157 

uit het vorige ontstaat door een der beide indices met 1 te ver- 
meerderen (zoodat dus op aij óf ai^ij of atj^i volgt); als voor- 
beeld geven we: 

^00> ^01' ^02> ^^12' ^13» ^^23» ^83» ^43' ^53' ^54» 

We vragen nu naar het aantal zoodanige rijen, die met ak,m+n-k 
eindigen. 

Zulk een rij bestaat uit m + n + 1 elementen. In het geheel 
is {m + /2)-maal een index verhoogd en wel ^-maal de eerste en 
{m -V n — ^)-maal de tweede index. Daar men de k verhoogingen 
van den eersten index op C^ + « manieren uit de /tz + n indexver- 
hoogingen kan uitkiezen, bedraagt het gevraagde aantal: 

Nu komt in ieder der Cm-^n rijen één en slechts één element 
voor, waarvan de indexsom m bedraagt. Is a/,;;z_/ dit element, dan 
kan men (blijkens het boven gevondene) de daaraan voorafgaande 
elementen op Cm en de daarop volgende elementen op Cn~'' 
manieren kiezen; van ai,m-i tot ak,m+n-k heeft men nl. n index- 
verhoogingen, waaronder k — / verhoogingen van den eersten 
index. Onder de Cm+n rijen zijn er dus 

die het element at^m-i bevatten. Daar men aan / ieder der waarden 
O, 1, 2, ... ., k geven kan ^), krijgt men zoo de formule (211). 

362. Men kan het betoog van n^. 361 meer meetkundig 
inkleeden door de daar beschouwde elementen voor te stellen 
door in verticale en horizontale lijnen gerangschikte stippen, 
waarvan het geheel een rechthoek vormt met k-\- \ rijen en 
m-\-n+\ — k kolommen; het element a/y is dan de stip uit 
de / + P*^ rij en de j + P^^ kolom. Gevraagd wordt nu het 
aantal zigzaglijnen, waardoor men twee overstaande hoekpunten 
van den rechthoek, links-b oven en rechts- onder, met elkaar kan 
verbinden ; hierbij is onder een zigzaglijn een gebroken lijn te 
verstaan, die telkens van een stip naar de daaronder of naar de 



^) Zie het in n^. 359 opgemerkte. 



158 

rechts daarvan geplaatste stip loopt, zooals nevenstaand figuurtje 

aangeeft. 

o — o — o o o o o o Het gevraagde aantal bedraagt C^+„, 

o o o o o o o • daar ieder der zigzaglijnen uit m -\- n 

Pooooo#o lijnsegmenten ^) bestaat, waaronder k, die 



o— o # 



naar beneden loopen. 



1 



Van ieder der zigzaglijnen bevindt 

— o o 

I zich het uiteinde van het m^^ lijnseg- 

O u o ^ o o o O 

I ment op een lijn, die onder een hoek 
van 45° van rechts-boven naar links- 
onder verloopt. In de figuur (waar m = 8, n = 5 en k = 6 geno- 
men is) zijn de zich op die schuine lijn bevindende stippen 
zwaarder geteekend. Het aantal zigzaglijnen, die over een bepaalde 
dezer stippen loopen, wordt gevonden als het product van het 
aantal zigzaglijnen, waardoor die stip met het t)eginpunt, en het 
aantal zigzaglijnen, waardoor die stip met het eindpunt der zig- 
zaglijnen kan worden verbonden ; het aantal zigzaglijnen loopende 
over de stip uit de /+ 1^^^ rij en de atz + 1 — /^^ kolom bedraagt 
dus ClnCn~\ waaruit men door sommeering over de verschillende 
waarden van / het getal C^ + n verkrijgt. 

363. Driehoek van Pascal. Zonder van de beschouwingen 
van n^ 354 gebruik te maken kan men de binomiaalcoëf- 
ficiënten bepalen door achtereenvolgens 

{a + by, {a + by, (a -f by, (a + ^)^ .... 
te ontwikkelen, waarbij men steeds de reeds gevonden ontwikke- 
ling met a -\- b ie vermenigvuldigen heeft en dit product volgens 
de distributieve eigenschap uit te werken. Daarbij ontstaan de 
coëfficiënten van iedere ontwikkeling door van de coëfficiënten der 
voorafgaande ontwikkeling telkens twee opvolgende op te tellen. 
Het volgende voorbeeld diene om dit duidelijk te maken: 
(a + by = a^ + Aa^b + ^a^b^ -h Aab^ + b^ 

. a + b 

a' -H 4a*/b -f 6a^b^ + 4a^b^ + ab^ 

a^b+ 4a'b^+ 6a^b^ + 4ab' + b' 
{a -f- by = a' + 5a'b + iOa^b' + lOa'b^ + 5ab' + bK 



^) D. w. z. lijntjes, die van een stip naar de daaronder of de rechts 
daarvan geplaatste stip loopen. 



159 

Daar het alleen om de coëfficiënten te doen is, kan de be- 
rekening tot het volgende schema teruggebracht worden: 

1 

1 1 

1 2 1 

13 3 1 

14 6 4 1 

1 5 10 10 5 1 

1 6 15 20 15 6 1 

1 7 21 35 35 21 7 1 

1 8 28 56 70 56 28 8 1 

enz. 

Dit schema, waarbij de van 1 verschillende getallen gevonden^ 

worden door de beide daar schuins-Hnks en -rechts boven staande 

getallen op te tellen, wordt de driehoek van Pascal genoemd ^). 

De binomiaalcoëfficiënten van n zijn de getallen in de /z + 1^^^ 

rij van het schema. 



^) Blaise Pascal (1623—1662) geeft in zijn „Traite du triangle 

arithmétique" van 1662 het schema in den volgenden vorm : 

1111 1 11111 

1234 5 6789 

1 3 6 10 15 21 28 36 

1 4 10 20 35 56 84 

1 5 15 35 70 126 

1 6 21 56 126 

1 7 28 84 

1 8' 36 

1 9 

1 
Voor het j^^ getal der k^^ rij geeft Pascal de uitdrukking 

^^^ l" 2 r — n~ ^^ ' ^°°^^^ ^^J ^^ formule (208) van n». 355 

kende, zij het ook dat hij deze niet uitdrukkelijk heeft uitgesproken. 

We merken verder nog op, dat men een soortgelijke groepeering der 
binomiaalcoëfficiënten als in den driehoek van Pascal reeds bij Michael 
Stifel (1486—1567) in zijn „Arithmetica integra" van 1544 aantreft. 

Ook in een Chineesch geschrift van Tschu schi kih uit het jaar 1303 
treft men de berekening der binomiaalcoëfficiënten (tot en met de 8ste 
macht) uit den driehoek van Pascal aan. 



160 

364. Uit den driehoek van Pascal kan men ook de formule 
voor een willekeurigen binomiaalcoëfficiënt Up, den coëfficiënt van 
a^-PbP in de ontwikkeling van {a-\-bY, afleiden; hierin is /Z;, dus 
het p + 1^^^ getal van de /z + P^^ rij van het schema. 

Men kan nl. den driehoek van Pascal vormen door te be- 
ginnen met het getal 1 in den top van den driehoek, dit getal 
links- en rechts-onder over te schrijven, vervolgens deze getallen 
1 weer links- en rechts-onder over te schrijven, enz., waarbij dan 
meerdere getallen 1 in een zelfde vakje komen te staan, aldus: 

1 

1 1 

1 1,1 1 

1 1,1,1 1,1,1 1 

Door de getallen 1 uit een zelfde vakje op te tellen ontstaat 
de driehoek van Pascal. 

Wanneer men ieder getal 1 uit bovenstaand schema door een 
lijntje verbindt met het getal 1, waaruit het door overschrijven 
ontstaan is, verkrijgt men een zigzaglijn, die in het getal 1 in 
den top van den driehoek begint en uit schuin naar beneden 
(naar links of naar rechts) loopende lijnsegmentjes bestaat. Ieder 
getal 1 uit het schema behoort dus bij zulk een zigzaglijn, terwijl 
omgekeerd ook iedere zigzaglijn van de genoemde soort voorkomt. 

Hieruit blijkt, dat ieder getal uit het schema gelijk is aan het 
aantal zigzaglijnen van de beschouwde' soort, waarmede het met 
het getal 1 in den top van den driehoek kan worden verbonden. 

Dit aantal nu is voor het getal np gelijk aan C?. De zigzag- 
lijnen, die van het bovenste getal 1 (of Oq) naar np loopen, be- 
staan nl. uit n lijnsegmenten, waarvan er (van boven naar beneden 
gaande) p naar rechts en /z — p naar Hnks loopen. Nummert 
men die n lijnsegmentjes (weer van boven naar beneden), dan 
kan men de rangnummers der p naar rechts loopende willekeurig 
uit de getallen 1, 2, 3, . . . . , /z kiezen, hetgeen op C^ manieren 
geschieden kan. 



161 

365. Formule voor de macht van een polynomium. Onder 
een polynomium of veelterm verstaat men een som van een 
willekeurig aantal termen, dus een uitdrukking van den vorm: 

01 + ^2 + + am. (212) 

We zullen nu de n'^^ macht van dezen m-iexm ontwikkelen op 
soortgelijke wijze als dit in n°. 353—356 voor de n^^ macht van 
a-^ b geschied is. Daar men bij het uitwerken een som van 
termen verkrijgt, waarvan ieder een product is van n factoren 
(waarbij uit ieder der n gelijke factoren (212) een term als factor 
optreedt), en dezelfde term meermalen optreedt, is reeds aan- 
stonds te zien, dat men door volledige ontwikkeling en rang- 
schikking geraakt tot een som van termen van den vorm: 

^x^Xo a^"l "2 " "'m ' 

Hierin kunnen a^, «g, , a^ alle mogelijke waarden {nul 

inbegrepen) aannemen, waarvoor aan 

«1 + «2 + + ^m = n (213) 

voldaan is. De coëfficiënt Aa^a^ . . . . xm hangt uitsluitend van de expo- 
nenten a^, «g, , ccm en niet van de getallen a^, a^, , am af. 

366. De in n^ 365 besproken ontwikkeling kan worden 
verkregen door herhaalde (m — 1-malige) toepassing van het 
binomium van Newton, dat we in den eenvoudigsten vorm (209) 
geschreven denken (zie n°. 356). Men vindt zoo eerst {a^^ a^^ a^Y 
door dit te ontwikkelen als 

{(^1 + a^) + flg}", 
vervolgens {a^ + ög -f «3 + aj" door dit te ontwikkelen als 

{(^1 + ^2 + a^) + a^}", 
enz., waarna dan in het eerste geval de machten van a^ + ög en 
in het tweede geval de machten van a-^ + a^-^ a^ verder ont- 
wikkeld moeten worden ^). Op deze wijze komt de volgende 
coëfficiënt van den algemeenen term der ontwikkeling van 
(a^ + «2 + . . . . + amY voor den dag: 

n\ 



^- a,\ a,\....ocj: 



(214) 



waarin natuurlijk weer O! = 1 te nemen is (zie n°. 313). 



^) We laten déze ontwikkelingen hier weg, daar ze in n^. 368 bij 
het bewijs van m op m -\- l in meer algemeenen vorm gegeven worden. 

FRED. SCHUH, Leerboek der Theoretische Rekenkunde. 11 



162 
Men vindt zoo: 
(ai + a2+. . .. + amr =2 ~i i^ . V^a^^^ . . ..^m^'", (215) 

«1 ! «2 • • • • • ^m • 

waarbij men onder het ^-teeken alle termen van den aangegeven 
vorm opnemen moet, waarvoor aan de betrekking (213) voldaan is. 

367. De formule (215) is blijkbaar juist voor n = \. Aan (213) 

is dan nl. alleen te voldoen door een der getallen a^, a^, , «;„ 

gelijk aan 1 te nemen en de overige nul. Door b.v. a^ = \ te 
nemen (dus oc^ = oc^ . . . . = ^m = 0) gaat de term onder het 
2-teeken in a-^ over. 

Ook geldt (215) voor n = (vergelijk n^. 356). Dan is aan 
(213) alleen voldaan door 

<Xl = OC^ =•■'' = ^m = O, 

zoodat de som in het tweede lid van (215) slechts uit één term 
bestaat, nl.: 

O' 

Deze term is 1, dus naar behooren gelijk aan het eerste lid. 

368. De in n°. 366 aangeduide afleiding der formule (215) 
komt neer op voortdurende vergrooting van het aantal termen 
van het grondtal (212), dus op volledige inductie naar m (zie 
n^. 62 en 63). Het bewijs loopt nu aldus. 

Neemt men de juistheid van (215) voor de n'^^ macht van een 
m-i^ïm aan, dan vindt men de n^^ macht van een {m + l)-term 
aldus: 

(^1 -f ^2 + . . . . + am^iT = \(ai + «2 + -i-am) + am + i\" = 

ni /Il 1 ^n — a^ , 1 a 



= 1 /„_. \. —Xa,+a, + .... + a„) 



m+\ Q^ m + \ 1\ — 






n 









Bij het tweede (rechts staande) S-teeken is a^+i standvastig 



^) Volgens den in (209) aan het binomium van Newton gegeven vorm. 



163 

(d. w. z. voor alle termen onder dit 2-teeken dezelfde), terwijl 
aan a^, oc^, . . . , , oCfn a\ die waarden moeten worden toegekend, 
waarvoor aan 

oc^ -T ^2 -\- . . . . -\- oCfn = n — <Xm+h 

dus aan 

«1 + «2 ■+■•••• + ^m + i = n (216) 

voldaan is. Door den factor, die voor liet tweede 2-teeken staat, 
onder dit Z-teeken te brengen (d. w. z. daarachter te plaatsen) ^) 
vindt men: 



Hiervoor kan ook geschreven worden: 



1 • 2 • • • • '^m+ 1 • 



waarbij de sommeering over alle waarden van a^, «g» • • • -j^m + i 
moet worden uitgestrekt, waarvoor aan (216) voldaan is. Hier- 
mede is dan de formule (215) voor een {m + l)-term verkregen. 

Daar nu (215) juist is voor /w = 2 (daar ze dan niets anders 
is dan de formule (209) van n^. 356), is hiermede het bewijs 
geleverd. 

Ook kan men als uitgangspunt m = \ nemen, voor welk geval 
de formule (215) een tautologie is. 

369. Tweede bewijs der formule voor de macht van een 
polynomium. Een zeer eenvoudig bewijs voor de formule (215) 
van n*^. 366 verkrijgt men door het eerste lid te ontwikkelen 
zonder de commutatieve eigenschap der vermenigvuldiging toe 
te passen en alleen gebruik te maken van de beide distributieve 
eigenschappen (54) en (55) van n^. 99. Van een samenvoegen 
van gelijke termen is dan geen sprake. Zoo vindt men b.v.: 
{a, + 02 + Ö3 + a^f = 

= 01^ + 02^ + 03^ + 04^ + 01 2^2 +010201 +a2Öl^ + ö'iÖ2^ + a2ai 02 +ö'2 ^01 + 

+öi^a3+aia3Öi+a3Ö'i2+aiö'32+Ö3aia3+Ö32ai + 

+ 02^03 + 020302 + 03^2 ^ + 02^3^+ 0302^3 + Ö'3^Ö2 + 



^) Dit komt neer op toepassing van de distributieve eigenschap der 
vermenigvuldiging; zie noot 1 van blz. 149. 



164 

+ 03204 + 030403 + 04032 + 03042+040304 + 04 2^3 + 
+ 010203 + 010302 + 020103 + 020301+030102 + 030201 + 
+ 0] 0204 + 010402 + 020104 + 0204^1 +«401 02+040201 + 
+ 010304 + 010403 + 030104 + 030401 + 040103 + 040301 + 
+ 020304 + 020403 + 030304 + 030402 + 040203+040302. 

Op deze wijze ontstaan groepen van termen (zooals b.v. 
OiOg, OiOgOi, OgO?), die tengevolge van de commutatieve eigen- 
schap gelijk zijn. Het gaat er dus nog slechts om na te gaan 
hoeveel termen tot de verschillende groepen behooren; het aantal 
termen van zulk een groep wordt dan na toepassing der com- 
mutatieve eigenschap van de vermenigvuldiging een coëfficiënt. 

Om dus den coëfficiënt van a^^^aJ^^ .... ol'" in de ontwikke- 

-■- ■* m 

ling van het eerste lid van (215) te bepalen heeft men slechts 
na te gaan in hoeveel vormen die term tengevolge van de 
commutatieve eigenschap te schrijven is, dus op hoeveel manie- 
ren men de n factoren, waarvan er oc^ gelijk zijn aan Oi, a^ 
aan Og enz., rangschikken kan. Dit is echter niets anders dan 
de in n^ 340 gestelde vraag, waarop in n^. 341 het antwoord 
gegeven is. Voor het aantal rangschikkingen, dus voor den coëfficiënt 
van a^^a^'^ .... o^'", vindt men derhalve de uitdrukking in het 
tweede lid van (214). 

Bij dit bewijs behoeft het binomium van Newton niet eerst te 
worden aangetoond, maar komt dit als een bijzonder geval 
{m = 2) der algemeene formule voor den dag. 

370. Derde bewijs der formule voor de macht van een 
polynomium. Men kan de formule (215) ook geheel onafhan- 
kelijk van de theorie der permutaties en combinaties, door vol- 
ledige inductie naar den exponent n aantoonen. Ook daarbij 
behoeft het binomium van Newton niet eerst bewezen te worden. 

Men krijgt zoo wel het meest rechtstreeksche bewijs dier for- 
mule. Een nadeel van dit bewijs kan geacht worden, dat het de 
uitdrukking in het tweede lid van (215) niet van zelf doet ont- 
staan, maar daarbij die uitdrukking zonder voorafgaande moti- 
veering wordt neergeschreven. Aan de bewijskracht doet dit echter 
niets af. 



165 

371. Om nu het in n^. 370 bedoelde bewijs te leveren be- 
ginnen we met op te merken, dat (215) juist is voor n = \ (zie 
n^. 367) ^). Aangetoond moet dus nog worden, dat ze juist is 
voor den exponent n -\- \ als ze dat voor den exponent n is. 

We kunnen dus de formule (215) aannemen en hebben daaruit 
de formule af te leiden, die uit (215) ontstaat door daarin n door 
/2 -f 1 te vervangen. Daartoe vermenigvuldigen we beide leden 
van (215) met a^ + (^g + ....+ a^^. Het eerste lid gaat dan in 
(^1 + «2 + . . . . + am)"^^ over, het tweede lid in een som van 



termen van d( 


m vorm: 








^(^,(2, . . 




tn ' 


waarm : 


. 







(217) 

/3i + |32 + ....+ /3^ =:^. + l (218) 

is. Nu ontstaat de term (217) uit evenveel termen van de som 
in het tweede lid van (215) als het aantal van nul verschillende 
der exponenten jS^, ^2' • - - - y l^m bedraagt. Is b.v. jS^ > O, dan 
levert de term 



((3i-l)! ?,\ ft!...., 6^! 
door vermenigvuldiging met a^ een bijdrage tot (217), nl. 

n\ ft 



ft! ft! ^m\ 

Men vindt dus: 



^1 "i . . . . « 



fi(3A .... ^„ - 2 ,3^, is",'. ;: . ^j - 13^, ^/;_ . . ^^, Si^'-. (219) 

waarbij de sommeering over die waarden van / moet worden 
uitgestrekt, waarvoor ft- > O is. Men kan dan echter even goed 
de sommeering over de waarden 1, 2, , . . , ,m van / uitstrekken, 
daar de termen, die daardoor mogelijkerwijze aan de som worden 
toegevoegd, toch nul zijn. Volgens (218) gaat (219) dan verder 
over in: 

(n + 1)! 

^^A.-.-^.-(3,! ft! p^l- 

Hieruit blijkt, dat door vermenigvuldiging van beide leden van 



^) Ook zou men als uitgangspunt kunnen nemen het geval n 
waarvoor de formule ook reeds geldig is (zie n^. 367). 



166 

(215) met a^ + ^g + ....+ a^^^ de formule ontstaat, waarin (215) 
overgaat als men n door n + 1 vervangt; hiermede is de stap 
van « op n + 1 verricht. 



372. Aantal termen in de ontwikkeling van de macht van 
een polynomium. Wanneer men in het tweede lid van (215) 
(zie n°. 366) de gelijke termen niet tot één enkelen term (voor- 
zien van een coëfficiënt) vereenigt krijgt men m"^ termen. Door 
vereeniging van gelijke termen wordt het aantal termen kleiner. 
Dit aantal is gelijk aan dat der herhalingscombinaties van m 
elementen (nl. a-^, a^, ... ., am) in groepen van n (zie n^. 336 
en 337), daar in ieder der termen n dier m elem^enten voorkomen, 
die daarbij willekeurig vaak herhaald mogen worden. Het aantal 
termen bedraagt das C^, dus: 

_ { m-\-n— 1)! _ (/z+ l)(Az + 2). ...(^ + n-l) 

In verband met het in n^. 366 gevondene beteekent dit, dat 
aan de betrekking (213) van n^. 365 op C^+n-i manieren door 
aantallen kan worden voldaan, hetgeen men ook uitdrukt door 
te zeggen, dat de vergelijking (213) (waarin a^, «g, . , . ., af^ de 
onbekenden zijn) Cm + n-i oplossingen heeft. We laten het aan den 
lezer over dit rechtstreeks door volledige inductie naar m -\- n 
aan te toonen (vergelijk n^ 339). 

373. Men kan de termen van het tweede Hd van (215) in 
groepen verdeelen zoodanig, dat de termen van een zelfde groep 
uit een er van ontstaan door de exponenten a^, «g, . . . ., a^ op 
andere wijze over de getallen a^, a^, . . . ., am te verdeelen. Het 
aantal termen van zulk een groep bedraagt m\ als de exponenten 
a^, «2, . . . ., am alle verschillend zijn. Komen onder die exponenten 
echter / gelijke voor, terwijl de overige exponenten alle verschillen, 

dan wordt het aantal termen der groep -7^\ komen er / gelijke 

en j gelijke onder voor, terwijl de overige exponenten verschillend 



167 



ƒ7^f 
zijn, dan bevat de groep -rj-^y termen, enz. (zie n^ 340 en 341). 

Zoo krijgt men b.v. bij de ontwikkeling van 
(a + b-\-c-\-d)^ 
(waarbij w = 4 en n = 8 is) in het geheel 

11! ^9 .10.11 ^ 
8! 3! 1.2.3 

termen. Hieronder komen voor: 

4' 8 

- = A termen van den vorm a^ ^) (coëfficiënt ^ 
6\ o 



4! 



^ =12 termen van den vorm a^b ^) (coëfficiënt ^ 

4 8' 

^ =12 termen van den vorm a^b^ (coëfficiënt ^^ 

4' 8' 

^ =12 termen van den vorm a^bc (coëfficiënt ^ 

4' 8' 

^ =12 termen van den vorm a^b^ (coëfficiënt ^tttt 
2! 5! 3! 

8' 

4! = 24 termen van den vorm a%^c (coëfficiënt ^j^ 

4! 8' 

^ = 4 termen van den vorm a^bcd (coëfficiënt ^ 

4! 8' 

,^yyj = 6 termen van den vorm a^b*' (coëfficiënt jr-j- 



4! = 24 termen van den vorm a'^b^c (coëfficiënt 



3! 

4! 3! 



4! 8' 

^j =12 termen van den vorm a^b^cd (coëfficiënt jr-^ 

4! 8' 

^ = 12 termen van den vorm a^^^c^ (coëfficiënt ^y^^ 

A\ o! o! Z! 

4' 8' 
^j-^ = 6 termen van den vorm a^b^cd (coëfficiënt wri^^ 



= 1), 

= 8), 

= 28), 

= 56), 

= 56), 

= 168), 

= 336), 

= 70), 

= 280), 



4' 81 

öj = 12 termen van den vorm a*6V (coëfficiënt jp^^ = 420), 



= 840), 
= 560), 
= 1120 



') Hiermede zijn bedoeld de termen a^, b^, c* en cP. 

^) Hiermede zijn bedoeld de termen a'b, ab'', a'c, ac', enz. 



168 

4' 8' 

^ =12 termen van den vorm a^b^c^d (coëfficiënt ' , = 1680), 

jj = 1 term van den vorm a^b^c^d^ (coëfficiënt '^ = 2520). 

374. In tiet voorbeeld van n^. 373 vervallen de 165 termen 
in 15 groepen, waarbij de termen van een zelfde groep door 
verwisseling der letters a, b, c, d uit elkaar ontstaan. 

Het aantal der groepen is gelijk aan het aantal manieren, 
waarop het getal 8 als som van 4 getallen (die ook nul en 
onderling gelijk mogen zijn) geschreven kan worden. Algemeen er 
is het aantal groepen, waaruit de termen van het tweede lid der 
formule (215) van n^. 366 bestaan, gelijk aan het aantal manieren, 
waarop het getal n als som van m getallen geschreven kan 
worden. 

375. Verdeelingsprobleem. Is m ^ n, dan kan n niet als 
een som van meer dan m natuurlijke getallen geschreven worden. 
Het in n^. 374 beschouwde aantal is dan dus hetzelfde als het 
aantal manieren, waarop het getal n als som van natuurlijke 
getallen (onverschillig hoeveel) te schrijven is. 

Stellen we dit aantal door V^ (verdeeUngsgetal van n) voor, 
dan is: 

V^ = \, V, = 2, 1/3 = 3, V, = 5, V, = 7, V, = 11, 

V/ = 15, Vg = 22, Vg - 30, V30 = 42. 

Zoo zijn b.v. de 22 manieren, waarop het getal 8 als een som 
van natuurlijke getallen te schrijven is: 

8 = 7+1-6+2 = 6+1 + 1=5+3 = 5+2+1=5+1+1+1 = 4+4= 
= 4+3+1=4+2+2 = 4+2 + 1 + 1=4+1+1 + 1+1=3+3+2 = 
= 3+3+1 + 1=3+2+2+1=3+2+1 + 1 + 1=3+1+1+1 + 1 + 1 = 
= 2+2+2+2 = 2+2+2 + 1 + 1=2+2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 
= 2 -hl + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +1 + 1 + 1. 

376. Bij de vraag naar de splitsingen van het getal n in een 
som van termen kunnen die termen ieder der getallen 1, 2, 3, 
. . . ., n zijn. Er is dus een zeker aantal termen 1, een zeker 
aantal termen 2, enz. Is Xk het aantal termen k (welk aantal 
natuurlijk ook nul kan zijn), dan is dus: 

ATi + 2a:2 + 3x3 + + nx^ = n. (221) 



169 

Het in n°. 375 beschouwde verdeelingsgetal V^ is dus ook op 
te vatten als het aantal oplossingen der vergelijking (221), d. w. z. 
het aantal manieren, waarop aan die vergelijking kan worden 
voldaan door aan x^, Xg, . . . ., x^ (de onbekenden) bepaalde 
waarden toe te kennen. 

Voor n = 6 zijn de 11 oplossingen in het volgende tafeltje 
opgegeven : 



X, 


X, 


X, 


X, 


■^5 


X, 

















1 


1 











1 








1 





1 








2 








1 














2 











1 


1 


1 











3 





1 














3 














2 


2 














4 


1 














6 


















377. De vergelijking (221) is een bijzonder geval van 

CiATi + c^x^ + + c^x^ = b, (222) 

waarin c^, c^, . . . . , c„ en ^ gegeven natuurlijke getallen voor- 
stellen, terwijl Xi, ATg, . . . . , x^ onbekende aantallen zijn. De 
vraag naar het aantal oplossingen van vergelijkingen van deze 
soort wordt het verdeelings- of partitieprobleem genoemd. 

Zijn de getallen q, Cg, . . . . , c^ alle 1, dan is het aantal oplos- 
singen niets anders dan het aantal termen in de ontwikkeHng 
van (^i + ag + . . . . H- aj* (zie n^ 365), dus gelijk aan C^^^_i 
(zie n\ 372). 

Het is hier niet de plaats om op he't zeer interessante en 
moeilijke partitieprobleem verder in te gaan ^). We volstaan met 
op te merken, dat men de vraag op allerlei manieren wijzigen 
kan, waarbij vooral van belang is het geval, dat men de verge- 
lijking (222) door 



^) Zie overigens n^. 695. 



170 

CiXi^ + c^x^^ + 4- c^xl = b 

vervangt. 

378. Geheele rationale functie van x. Onder een geheele 
nationale functie van x, ook wel veelterm in x genoemd, ver- 
staat men een uitdrukking van den vorm 

Uq + a^x + ac^x^ + .... + ümX"^, (223) 

of korter geschreven: 

Hierin zijn üq, a^, . . . . , üm gegeven getallen, die de coëffi- 
ciënten van den veelterm genoemd worden, terwijl men aan x 
verschillende waarden kan toekennen. Men drukt dit uit door 
te zeggen, dat x veranderlijk is. Om aan te geven, dat men 
X willekeurig kan aannemen, noemt men x ook wel de onafhan- 
kelijk veranderlijke. 

Het getal m wordt de graad der geheele rationale functie (223) 
genoemd. Ondersteld wordt daarbij, dat am niet O is, daar anders 
de term amX"^ voor ieder getal x nul is en dus kan worden 
weggelaten; de graad van den veelterm is dan < m. De graad 
kan dus gedefinieerd worden als de grootste exponent behoorend 
bij een van nul verschillenden coëfficiënt. 

We merken nog op, dat een geheele rationale functie ook 
lineair genoemd wordt als haar graad I is, kwadratisch als haar 
graad 2 is, kubisch als haar graad 3 is en bikwadratisch als 
haar graad 4 is. 

379. De uitdrukking (223) stelt een getal y voor, dat bekend 
is zoodra x bekend is, dus een getal, dat van y afhangt. Men 
noemt y daarom de afhankelijk veranderlijke. 

Dat het getal y door het getal x bepaald is, wordt ook uitge- 
drukt door te zeggen, dat y een functie van x is. Deze uit- 
drukking bezigt men ook als y op geheel andere wijze van x 
afhangt (b.v. y = 2^). De geheele rationale functie is dan ook een 
zeer bijzonder geval van een functie van x. 

Een in nog hoogere mate bijzonder geval van een functie van 
X heeft men als bij iedere waarde van x dezelfde waarde van 



171 

y behoort. Men noemt de functie van x dan een constante. Met 
de benaming „afhankelijk veranderlijke" is dus slechts bedoeld, 
dat y in het algemeen voor verschillende waarden vatbaar is, m. a. 
w. dat y niet noodzakelijk steeds dezelfde waarde behoeft te 
hebben, echter wel kan hebben. 

Een van nul verschillende constante is als een geheele rationale 
functie van x van den nulden graad te beschouwen. Immers de 
uitdrukking (223), waarin am ^ O is, gaat voor m = O over in 
«o, waarin ^o =j= O is. 

380. Ontwikkeling van de /7^^ macht van een geheele 
rationale functie. We beschouwen de n^^ macht van den veel- 
term (223), dus 

(^o -f a^x + a^x^ + ....+ amX'^Y. (224) 

Deze kan volgens de formule (215) van n^. 366 ontwikkeld 
worden. In verband met de formules (67), (70) en (71) van n^ 
119, 122 en 123 vindt men zoo: 

(^0 + a-y^x + ac^x^ + ....+ amX'^Y = 

n\ ccq «i a^ a «^ + 2fl{2 + 3öJ3 + .... + /««/« 



2j — i — i — i \ ^0 ^1 ^ 

^ «o! a^\ a^\ . . , ,0Lm\ 



^^^^ .,,.., ,..3,......,..^^ (225) 



m 



Hierbij moet de sommeering worden uitgestrekt over alle 
waarden der exponenten, die aan 

«o + «1 + «2 + . . . . + «m = n (226) 

voldoen. 

381. Uit (225) ziet men, dat de n^^ macht van een geheele 
rationale functie, die van den graad m is, een geheele rationale 
functie van den graad mn is. De grootste waarde, die de exponent 

^1 + 2^2 + 3^3 + + moLrn i^Tl) 

kan aannemen, wordt nl. verkregen door in (226) (x^ = 0.^ = (x^ = 
. . . . = o(.fn-\ = O en «;„ = « te nemen. De eenige term van den 
graad mn is dus: 

a!lnx^^', 

hiervan is de coëfficiënt niet nul, terwijl termen van hoogeren 
graad niet voorkomen. 

382. Men kan het laatste lid van (225) naar opklimmende 



172 

machten van x rangschikken, d. w. z. alle termen samennemen, 
die dezelfde macht van x bevatten. Men vindt dan: 
(«o + a^x + a^^x^ + ..,.+ amX'^f = 

= Aq-\- A^x + A^x^ + + AmnX""^. (228) 

De hierin voorkomende coëfficiënten Aq, /l^ A^y . . . ., Amn 
hangen van de coëfficiënten a^, a^, ag, . . . ., Um der oorspronke- 
lijke geheele rationale functie af. Zoo is b.v.: 

Aj = na^'^-^a^, 

A, = na,-'a, + ^-^ a,--'^a^\ 

A, = na,"-'a, + n{n - \)a,-''a^a, + n{n-\)^{n— J) ^^n-s^^s^ 

A^ = na^^'-'^a^ + n{n — \)aQ"-^a^a^ + -^ — ^ — -^ a^'^-'^a^^ + 
n{n-X){n-2) n{n-\)(n-2){n-?>) 

A^ = nüQ^'-^a^ + n(n — 1) Uq''-'^ {a-^a^ + a^a^) + 

i- ^20 *^ ^ * 

Bij deze opgave van den coëfficiënt A^ is ondersteld, dat /z > 3 
is. Is dit niet het geval, dan moeten in de uitdrukking voor 
A^ die termen worden weggelaten, waarin aftrekkingen voorko- 
men, die niet mogelijk zijn. Zoo is b.v. voor n = ?>\ 

A^ = 3aoX + 6^0(01^4 + a^a^) + 3(^12^3 + a^a^^)] 
de volgende term wordt nul wegens den factor n — 3, die nu 
nul is, terwijl de daarop volgende term wordt weggelaten omdat 
daarin een onmogelijke aftrekking (nl. 3 — 4) voorkomt. 

Bij de formule voor A^ is de ondersteUing m > 4 niet bepaald 
noodig, daar men, als b.v. m = 4 is, slechts a^ als gelijk aan nul 
te beschouwen heeft. 

Natuurlijk gelden soortgelijke opmerkingen ook voor de overige 
coëfficiënten van het tweede lid van (228). 

383. De in (228) voorkomende coëfficiënt Ak wordt verkregen 



173 

door uit het tweede lid van (225) de termen te nemen, waarvoor aan 

a^ + 2^2 4- 3^3 + + mc^m = k (229) 

voldaan is. Door m ^ k ie onderstellen kan hiervoor geschreven 
worden: 

«1 + 2^2 + 3^3 + .... 4- koCk = k, 

daar men dan aan oc^+u «/e+2, enz. toch de waarde nul moet 
toekennen om aan (229) te kunnen voldoen. Men komt zoo dus 
weer op het in n^ 375 en 376 genoemde verdeelingsprobleem. 
Het in n^ 376 voorkomende schema kan daarbij dienen om den 
coëfficiënt A^ neer te schrijven, hetgeen we verder aan den lezer 
overlaten. 



384. Stelling van Fermat. We beschouwen de formule (215) 
van n^. 366 voor het geval, dat n een priemgetal is. Volgens 



(214) is 



n\ = aAa,\... .^m\A^^,^ ., . (230) 



Is geen der exponenten a^, «g, . . . ., am gelijk aan n, dan zijn 
de factoren van aj, «g!, . . . ., a^^! (d. w. z. de factoren 2, 3, . . . ., 
«1, 2, 3, . . . ., «2, . . . ., 2, 3, . . . ., cc^) niet door n deelbaar, 
daar ze alle < n zijn. Het eerste Hd van (230), dus ook het 
tweede lid, is echter door n deelbaar, zoodat (volgens de tweede 
formuleering der eigenschap van n^. 199) A^ ^ ^ door n 
deelbaar is. 

Hieruit blijkt, dat alle in het tweede lid van (215) voorkomende 
coëfficiënten^ met uitzondering van de coëfficiënten van aï, a", 
. . . ., am (welke coëfficiënten 1 zijn) door n deelbaar zijn ^). In 
de ontwikkeHng van 

(a.^a^^- + amY — K+ a^-^ + (C) (231) 

zijn dus alle coëfficiënten door n deelbaar, zoodat (231) door n 
deelbaar is. We vinden dus: 



^) -In het bijzonder vindt men, dat C^ door n deelbaar is als n 
priem en O < p <^ n is. Men heeft daartoe m = 2 te nemen. 



174 

Is n een priemgetal, dan is de uitdrukking (231) door n deelbaar. 

Men kan dit ook zoo uitdrukken: 

Is n een priemgetal, dan is de n^^ macht van een veelterm 
verminderd met de som van de n^^ machten der afzonderlijke 
termen door n deelbaar. 

385. Neemt men in (231) 

ai = ac^ = . . . . = am = \, 
dan gaat de eigenschap van n^. 384 over in: 
Is n een priemgetal dan is m^ — m deelbaar door n. 

Voor m"" — m kan ook 

m[m"-^ — 1) 

geschreven worden. Is nu m niet deelbaar door n (hetgeen 

insluit, dat m niet nul is), dan is dus, volgens de eigenschap van 

n^ 198, m""-^ — 1 door n deelbaar is. Men heeft dus': 

Is n een priemgetal en m niet door n deelbaar, dan is //z"-^ — / 
door n deelbaar. 

Deze zeer belangrijke eigenschap staat bekend als de stelling 
van Fermat ^). 

386. Stelling van Euler. Uit het binomium van Newton leidt 
men gemakkelijk af: 

Is a — b deelbaar door p'- , waarin p een priemgetal en l '^ I 
is, dan is aP — bp deelbaar door p^^K 
Uit het onderstelde volgt nl: 

a = b -\- vp^ j 
aP = (b + vp^)P = 

= bP-^ pbP-^vp^ + ClbP-'^vY^ + C^bP-^v^^ + + vPpP^ , 

dus: 

aP — bP = bP-'^vp^^^ + ClbP-'^vY' + + '^^P^^- 

Daar 2/ ^ / + 1 is, zijn alle termen in het tweede lid der 
laatste gelijkheid door p^-^^ deelbaar. 

387. Is p een priemgetal en a niet door p deelbaar, dan is: 

a"'"''"-" - 1 
door p^ deelbaar (1^1). 



^) Pierre de Fermat (1601 — 1665) heeft deze stelling in 1640 mede- 
gedeeld. 



175 

We bewijzen dit door volledige inductie naar /. Voor / = 1 
is de eigenschap niets anders dan de stelling van Fermat (zie 
n^. 385). Verder volgt uit de juistheid der eigenschap voor een 
zeker getal / (in verband met de eigenschap van n^. 386), dat 

door /7^-^^ deelbaar is, waarmede de stap van / op / + 1 ver- 
richt is. 

Voor p = 2 en 1^3 kan bij de in de eigenschap genoemde 
uitdrukking de exponent l — / tot l — 2 verlaagd worden, zoo- 
dat die uitdrukking dan door 

a^ — 1 

kan worden vervangen. Immers de stap van /op / + 1 kan als 
boven worden verricht, zoodat nog de juistheid voor / = 3 (dus 
de deelbaarheid van a^ — 1 door 2^ = 8 als a oneven is (moet 
worden aangetoond. Dit nu volgt uit a^ — 1 = (a — 1) (a + 1) 
in verband daarmede, dat a — \ en a + 1 beide even zijn en 
(daar ze 2 verschillen) een van beide door 4 deelbaar is. Men 
heeft dus: 
Is a oneven en 1^3, dan is 

a^'-'- 1 
door 2^ deelbaar. 

388, Is a^ — b^^ deelbaar door n^, d^ — b^^ deelbaar door n^y 
enz. en eindelijk d^ — b^^ deelbaar door Uu, dan is a — b^ , waarin 
V een gemeen veelvoud van Z^, 4, . . . ., ^ ^^^ deelbaar door het 
kleinste gemeene veelvoud van n^, n^, . . . ., n^. 

Het getal v is nl. te schrijven als i^v^. Dan is: 

a^ _ ^^ == ah^i — ^'1^1 = (d^f' — (d^f\ 

Volgens het in n^ 164 gevondene is O" — b^ dus deelbaar 
door a'i — b^^, dus door n-^ (zie de eigenschap van n^ 141). 
Evenzoo is a^ — b"" door ieder der getallen n^, n^, , . . ., nu deel- 
baar, dus ook door het K.G.V. van n-^, n^, . . . ., nk (zie n^ 192). 

389. Is 

n = p,-^p,^2 .... p,-k^ (232) 



176 

waarin p-^^ p^, . . . ., Pk verschillende prlemgetallen zijn, terwijl a 
onderling ondeelbaar is met n, dan is 

a^ — 1 
deelbaar door n, waarin v een gemeen veelvoud der getallen 

P,^'~\p, - 1), A'^~kP2 - 1), . . . ., Pk'~\pk - 1) (233) 

is. 

Dit volgt uit de eigenschappen van n^. 387 en 388 als men 
voor de getallen n^, n^, . . . ., nk van n^ 388 resp. 

A^i, p,% ...., pk^^ (234) 

neemt, voor de getallen i^, 4, . . . ., 4 de getallen (233) en 
b = 1 stelt. Men heeft dan verder nog te bedenken, dat de 
getallen (234) onderling ondeelbaar zijn, en dus hun product 
(d. i. n) tot K.G.V. hebben (zie de eigenschap van n^ 193). 

Is een der prlemgetallen p-^, p^, . . . . , pk, b.v. p^, gelijk aan 2 
en de bijbehoorende exponent ^^ ^ 3 (m. a. w. is het getal n 
door 2^ == 8 deelbaar), dan kan men (volgens de tweede eigen- 
schap van n^ 387) het eerste der getallen (233) door 2 deelen 
en dus door 2'^i~^ vervangen. Bijgevolg kan de eigenschap aldus 
worden aangevuld: 

Is 

n = 2y^^^p,''2 pj^c^k, 

waarin p^, p^, . . . . , pk verschillende oneven prlemgetallen zijn, 
a ^ 3 is en a onderling ondeelbaar met n, dan is 

deelbaar door n, waarin K het K.G.V. der getallen 

2^-2^ A^i-^A - 1), p,^^-\p, - 1), .... , Pk^^'-'iPk - 1) 
voorstelt. 

De hierin voorkomende notatie wijkt eenigszins af van die der 
vorige eigenschap, daar het aantal verschillende priemfactoren 
van n nu niet k, maar ^ + 1 is. 

390. Het product der getallen (233), waarvoor ook 

n(Pi — 1)(a — 1) (P k— 1) 

P1P2 Pk (235) 

geschreven kan worden, wordt door cp(/z) voorgesteld. Op de 
beteekenis van dit getal komen we later terug (zie Hoofdst. VII, § 2). 



177 

Door in de eerste eigenschap van n^ 389 voor het getal v het 
product der getallen (233) te nemen, vindt men in het bijzonder : 
Zijn de getallen a en n onderling ondeelbaar, dan is 

a^^(^) - / 
door n deelbaar is; hierin is cp(/z) een afkorting voor de uitdrukking 
{235), waarin p-^y p^, ,Pk de verschillende priemf actoren van n zijn. 

De toevoeging „verschillende" dient om aan te geven, dat een 
priemfactor van n, die meerdere malen (dus met een exponent 
> \) 'm n voorkomt, in de uitdrukking (235) slechts eenmaal 
moet opgenomen worden. 

De eigenschap, die een uitbreiding van de stelling van Fermat 
is (daar toch o(n) = n — 1 is als « een priemgetal is) wordt de 
stelling van Eu Ier genoemd ^). 



Leonhard Euler (1707—1783) heeft deze stelling ii^ 1760 bewezen. 



FRED. SCHUH, Leerboek der Theoretische Rekenkunde. 12 



§ 4. Eigenschappen betreffende de deelers van 

een getal. 

391. Bewijs der eigenschap van n^ 205. We beschouwen 
twee getallen b en c, die we beide in priemfactoren ontbonden 
denken. Zijn p^, p^, . . , ., pk de priemgetallen, die in minstens 
een der getallen b en c voorkomen, dan kan men schrijven: 

b = p/^p/^ . . , . Pk^^ (236) 

c = Pi'^W . • • . Pk^'- (237) 

Hierbij kunnen sommige der exponenten ook nul zijn. Komt 

b.v. het priemgetal p-^ alleen in b voor, dan is y^ = 0. Wel kan 

natuurlijk worden aangenomen, dat /S^ en y^ niet beide nul zijn, 

evenmin als jSg en /gj ^nz. 

Uit (236) en (237) volgt: 

bc = p/i+yip/2+y2 .... pj^^k+rk. 

Hieruit blijkt, dat in een veelvoud van het getal b de priem- 
factoren van b alle voorkomen met denzelfden of grooteren 
exponent. 

Heeft men omgekeerd het getal 

d = p,^^p,^2 .... p,\ (238) 

waarin: 

dan is: 

dus d deelbaar door b. 

Hieruit blijkt de juistheid der eigenschap van n^. 205. Door 
de invoering van exponenten nul heeft het nu gegeven bewijs 
een meer overzichtelijken vorm gekregen dan dat van n^. 205 
doordat het niet meer noodig is onderscheid te maken tusschen 



179 

priemfactoren, die in beide getallen, en priemfactoren, die in 
slechts één der getallen voorkomen. 

392. Men kan de eigenschap van n^ 205 ook aldus formu- 
leeren : 

Een getal is dan en alleen dan een deeler van het getal 

n = A"^A"^ . . • . /^/^ (232) 

als het geen andere priemfactoren bevat dan die van n en deze 
voorzien zijn van denzelfden of kleineren exponent. 

Hieruit blijkt, dat iedere deeler van het getal n te schrijven 
is als 

b=p/^p/^~.,..pu\ (239) 

waarin: 

Omgekeerd is het getal (239) steeds een deeler van n als aan 
(240) voldaan is. 

393. Aantal deelers van een getal. In (239) kunnen ook een 

of meer der exponenten /S^, jSg, . . . ., ^k nul zijn. Bij den deeler 

b van het door (232) aangewezen getal n heeft dus ,6^ een der 

cc-^ + 1 waarden 

O, 1, 2, 3, . . . ., «1, 

iSg een der a^ + 1 waarden 

O, 1, 2, 3, . . . ., «2, 
enz. Daar men ieder der mogelijke waarden van ^^ combineeren 
kan met ieder der mogelijke waarden van jSg, enz., heeft men: 
Het aantal t(n) der deelers van een getal n bedraagt 

t(n) = {oc, + 1) {a, + 1) . . . . (a, + 1), (241) 

waarin oc-^, a^, . . . ., a^ de exponenten zijn, waarmede de ver- 
schillende priemfactoren van n in n voorkomen ^). 

Hierbij zijn het getal 1 en het getal n zelf als deelers van n 
medegerekend. Voor den deeler 1 is: 

/3i = ^2 = . • . . = /3, = O 
en voor den deeler n\ 



^) Dit blijft juist als men priemfactoren, die niet in n voorkomen, 
beschouwt als in n voorkomend met een exponent nul. 



180 



Als voorbeeld nemen we het getal 2520 
bezit 4 . 3 . 2^ = 48 deelers. Deze zijn: 



2^ . 3^ 5 . 7. Dit 



1 


2 


22 


2^ 


5 


2. 5 


22. 5 


23. 5 


3 


2.3 


22.3 


23.3 


3 .5 


2.3 .5 


22.3 .5 


23.3 .5 


3^ 


2.32 


22.32 


23.32 


32.5 


2.32.5 


22.32.5 


23.32.5 


7 


2. 7 


22. 7 


23. 7 


5.7 


2. 5.7 


22. 5.7 


23. 5.7 


3 .7 


2.3 .7 


22.3 .7 


23.3 .7 


3 .5.7 


2.3 .5.7 


22.3 .5.7 


23.3 .5.7 


3^7 


2 . 32 . 7 


22.32.7 


23.32.7 


32 . 5 . 7 


2 . 32 . 5 . 7 


22.32.5.7 


23 . 32 . 5 . 7 



394. Uit de eigenschap van n^ 393 volgt, dat het aantal 
deelers van n steeds even is behalve als de exponenten a^, a^, 
. . . . , ocj, alle even zijn, dus als n de tweede macht van een 
zeker getal is; het getal n wordt dan een vierkant of kwadraat 
genoemd. 

Dit blijkt ook (zonder het aantal deelers te bepalen) daaruit, 
dat de deelers van n in paren complementaire deelers (zie n^. 138) 
te verdeelen zijn. Alleen als n een vierkant, dus n=- m^ is, blijft 
daarbij een deeler over, nl. m, die aan zijn complementairen deeler 
gelijk is, waardoor het aantal deelers oneven wordt. 

395. Uit de eigenschap van n*^. 393 volgt verder nog: 
Zijn m en n onderling ondeelbaar, dan is aan 

t(mn) = t{m) . t(n) (242) 

voldaan. 

De juistheid hiervan is ook" onmiddellijk daaruit in te zien, dat 
men de deelers van mn verkrijgt door telkens een deeler van m 
met een deeler van n te vermenigvuldigen en deze producten 
alle verschillend zijn. 

Zijn echter m en n onderling deelbaar, dan kan een deeler 
van mn, die een gemeenschappelijken priemfactor van m en n 
bevat, op meerdere wijzen als een product van een deeler van m 
en een deeler van n geschreven worden, zoodat dan 

t{mn) < t[m) . t{n) (243) 

is. Het blijkt dus, dat in ieder geval voldaan is aan 

t{mn) ^ t{m) . t(n), 
waarbij het gelijkteeken dan en alleen dan geldt als m en n 
onderling ondeelbaar zijn. We laten het aan den lezer over dit 
uit de formule (241) af te leiden. 



181 

396. Maakt men onderscheid tusschen het product ab en het 
product ba, dan is het getal n op t{n) manieren als een product 
van twee factoren te schrijven, daar men voor den eersten factor 
ieder der t{n) deelers van n nemen kan. Let men niet op de 
volgorde der factoren, dan wordt het aantal ontbindingen in twee 

factoren ^ of \. al naar gelang n niet of wel een kwadraat 

is; in het laatste geval zijn er -^^-^ ontbindingen in ongelijke 

en één ontbinding in gelijke factoren mogelijk. 

'a 

X 

tiènt der deehng van a door b (zie n^. 168), dan kan het verkregen 
resultaat aldus worden geformuleerd: 
Een getal n is op 

■{oc,-\-\)(a,-i- 1)... .(a,+ l)+l 



Maakt men gebruik van de notatie 



voor het partiëele quo- 



2 

manieren als een product van twee factoren te schrijven als men 
niet let op de volgorde der factoren. Hierin zijn a^, ag, . . . ., a^. 
de exponenteny waarmede de verschillende priemfactoren van n 
in n voorkomen. 

We merken verder nog op, dat een getal n met k verschillende 
priemfactoren (die echter meervoudig kunnen zijn, d.w.z. met een 
exponent > 1 in n kunnen voorkomen) voor k'^ 1, dus n > 1, 
op 2^-^ manieren als een product van twee onderling ondeelbare 
getallen te schrijven is. Dit is nl. gelijk aan het aantal manieren, 
waarop het product p-^^p^ . ... pk der verschillende priemfactoren 
van n als een product van twee factoren te schrijven is; immers 
uit zulk een ontbinding van p^p^ . ... pk vloeit één en slechts één 
ontbinding van n in twee onderHng ondeelbare factoren voort door 
de priemgetallen p^, p^, . . . . , pk in ieder der beide factoren van 
p^p2 .... pA: te voorzien van de exponenten, waarmede ze in n 
voorkomen. 

397. We vragen nu naar het aantal deelers van n, die een 
veelvoud van een gegeven deeler b van n zijn. Dit aantal bedraagt 



-(i). 



' 182 

daar de genoemde deelers ontstaan door b met de deelers van 
-T- te vermenigvuldigen. Is het getal b door (239) aangeduid, 
dan kan voor het gevraagde aantal ook geschreven worden: 

(a, + 1 — ft) (a^ + 1 — ft) . . . . (a, + 1 - ft). 

Voor b = 1 (waardoor ft = ft ==.... = ft = O wordt) gaat 
dit resultaat in de eigenschap van n". 393 over. 

398. Som der deelers van een getal. We gaan over tot de 

bepaling van de som S{n) ^) der deelers van het door (232) 

aangewezen getal n. Deze deelers vindt men door ieder der 
deelers van het getal 

^^-1 =PxP2 '••'Pk-i 

achtereenvolgens met ieder der getallen 

1, Pk, pi, . . . . , pI^ 
te vermenigvuldigen. Volgens de algemeene distributieve eigen- 
schap voor een product van twee factoren is dus: 

S{n) = 5(7V,_i) . (1 + A + /7^ + . . . , +/7?). 
Evenzoo is: 

S(Nk-i) = S{Nu-2) . (1 + A-i + Pl-i + ....+ p7s,'\ 
waarin: 

Nu-2=P,"P2 . . . ^ Pk-2- 

Zoo doorgaande vindt men: 
S{n) = (1 + A + A^ + . . . . +K0 (1 + A "rp^ + . . . . +pP).... 
(1 -f/7,_i ^pU + . . . . + a^t') (H-/7. +/, + ... . +/7?). (244) 

De juistheid hiervan is ook onmiddellijk in te zien door het 
tweede lid volgens de algemeene distributieve eigenschap van 
een product van een willekeurig aantal factoren (zie n^ 102) als 
een som van (oc^ + 1) (^2 + 1) . . . . {ccj, + 1) termen te ontwikkelen 
(waarbij men tevens de eigenschap van n^ 393 terugvindt). Men 
krijgt dan nl. als* termen alle getallen van den vorm (239), waar- 
voor aan de ongelijkheden (240) voldaan is • (zie n^ 392), dus 
juist alle deelers van het getal n. 

Volgens de formule (113) van n^. 164 kan verder voor (244) 
nog geschreven worden: 



^) Hiervoor wordt ook het teeken f{n) gebezigd. 



183 

^1 + 1 1 fl^o+l 1 «3+1 1 «fc+1 1 

^ ' Pi — ^ A - 1 /?3 — 1 Pk—l 

Is ^ een deeler van n, dan vindt men blijkens het in n^ 397 
opgemerkte voor de som der deelers van n, die een veelvoud 
van den deeler b van n zijn: 

Uit de formule (244) of (245) leest men af, dat als m en n 
onderling ondeelbaar zijn aan 

S(mn) = S(m) . S{n) (246) 

voldaan is. Dit volgt ook weer rechtstreeks uit het in n*^. 395 
omtrent het ontstaan der deelers van mn opgemerkte. 
Op laatstgenoemde wijze vindt men verder, dat 
S{mn) < S(m) . S{n) 
is als m en n onderling deelbaar zijn. We laten het aan den 
lezer over dit uit de formule (244) af te leiden. 

399. Om de som Sq{n) der q"^^ machten van de deelers van 
het getal n te vinden merken we op, dat deze machten de 
termen zijn, die bij de ontwikkeling van het product 

(1 +/7?+/7^+. . . . +/7^^)(1 +/7f+/7r + . . . .^Pl'') 

....(1+/.? + // + ....+;;?^) 

ontstaan. Hieruit blijkt, dat dit product de gevraagde som is, 
dus dat men heeft: 

SM = (1 +/7Ï+/7^+ .... +/7^^)(1 +pl+pl'+. . . . +p?') 
....(1+/^!+// + ....+/^?')- 

^^K+i) . ^^(«0+1) q{^k+^) 1 

= ^^T-^--^^^^-----^~7-~- (247) 

Pi — 1 P2 — 1 Pk — l 

Hierin liggen de formules (244) en (245) van n^ 398 als het 
bijzondere geval q = 1 opgesloten. Ook de formule (241) van 
n^. 393 ligt in (247) opgesloten, nl. als het geval q = O, daar de 
som van de nulde machten der deelers niets anders is dan het 
aantal deelers; men moet nu voor Sg{n) het tweede lid van (247) 
nemen, daar het derde lid voor q = O geen zin heeft. 

400. Product der deelers van een getal. Het product P(n) 



184 

der dealers van het getal n wordt gevonden door lederen deeler 
van n met zijn complementairen deeler te vermenigvuldigen en 
het product van al deze t(n) producten te vormen (waarin t{n) 
het aantal deelers van n voorstelt). Hierbij wordt echter ieder 
op n deelbaar getal tweemaal in rekening gebracht, nl. als deeler 
en nog eens als complementaire deeler, zoodat men zoo niet 
P(n)y maar { P{n) \ ^ verkrijgt. 

Daar nu het product van twee complementaire deelers van n 
juist n is, vindt men: 

{P{n)]^ = n^^^l (248) 

Is n geen kwadraat, dus t{n) even (zie n^ 394), dan kan hier- 
voor geschreven worden: 

P(n) = n\ 
terwijl men als n = m^ is heeft: 

P(m^) = m'^^'K 
Is a'^ = b, dan wordt a de wortel uit b genoemd en als Yb, 
geschreven ^) (iets, waarop we later nog uitvoeriger terugkomen). 
Met deze notatie kan men in ieder geval het verkregen resultaat 
aldus uitdrukken: 



P(n) = l/n""' 



401. Zijn de getallen m en n onderHng ondeelbaar, dan volgt 
uit de formule (248) in verband met de eigenschap van n^ 395: 
{ P{mn) ) 2 = {mny^^^^ = {mny^'^'» ■ ^^^^ = 
= ( m^C") 1 m { ^^(«) } ^C") = { P(m) ] 2^(") { P(n) } 2^('"). 
Hieruit volgt, dat als m en n onderling ondeelbaar zijn vol- 
daan is aan: 

P{mn) = { P(m) } ^(^) { P{n) } ^('"). 

Omgekeerd is hieraan alleen dan voldaan als m en n onder- 
ling ondeelbaar zijn. Immers zijn m en n onderling deelbaar 



^) Het getal b is dan een vierkant. Is b niet nul, dan komen in b 
alle priemfactoren met even exponenten voor. Het getal a = Vb ver- 
krijgt men door die exponenten alle door 2 te deelen. Hieruit ziet men 
tevens, dat a door b ondubbelzinnig bepaald is. Dit blijkt trouwens 
ook daaruit, dat uit a^ > a^ volgt: a-^^ > a^. 



85 



(dus > 1), dan geldt de ongelijkheid (243), waaruit men op 
dezelfde wijze als boven afleidt (lettend op mrL> 1): 
P{mn) < { P{m) ] ^(«) . | P{n) \ ^('"). 



402. Eigenschappen betreffende grootsten gemeenen deeler 
en kleinste gemeene veelvoud. Uit de beschouwingen van 
van n\ 391 en 392 blijkt: 

De getallen 



- 




a=ptV,'.. 


■ . Pt' 


en 












b=p\^p\^.. 


■ y.' 


hebben 












c = pVp\^ . . 


■ ■Pi" 


tot G.G.D. 


en 










d=p\p\-.. 


■ ■ Pi" 



tot K.G.V. Hierin zijn Pi, pz, . . . . , pk de priemf actoren, die 
in minstens één der getallen a en b voorkomen, terwijl yt het 
kleinste en ^t het grootste der getallen «/ en /3/ is {i = I, 2, . . . ., k). 

Het spreekt van zelf, dat dit tot den G.G.D. en het K.G.V. 
van meerdere getallen uit te breiden is. 

Bovenstaande formuleering der ook in n°. 206 — 208 voorko- 
mende resultaten wordt eerst door invoering van exponenten nul 
mogelijk. 

403. De eigenschap van n^. 190 (tweede formuleering) vloeit 
direct uit de eigenschap van n^ 402 voort door op te merken, dat 

7/ + ^i = ^i + ft 

is; men heeft nl. óf yi = a/, ^t = ft-, óf yi = ^ , ^i = ^i- 

Ook ziet men zoo, dat bij meer dan twee getallen het product 
dier getallen een veelvoud is van het product van den G.G.D. 
en het K.G.V. dier getallen en dat beide producten dan en alleen 
dan gelijk zijn als iedere twee der getallen onderling ondeelbaar 
zijn. Zijn nl. aj, a^, . . . ., a„ (n > 2) die getallen en e^, £o, . . . ., 



186 

En de exponenten, waarmede de priemfactor p daarin voorkomt, 
dan kan zonder beperking 

£, ^ C2 ^ £3 ^ . . . . ^ £„ (249) 

ondersteld worden. Is P het product, G de G.G.D. en K het 
K.G.V. van a^, a^, • . . ., an , dan komt p in P met den exponent 

£1 + £2 + . . . . + £/z , in G met den exponent £1, in K met den 
exponent Sn , dus in GK met den exponent £1 + £„ voor. Nu is: 

waarbij het gelijkteeken dan en alleen dan geldt als 

^2 — ^3 = • • • • ^ ^n-l = O 

is. In verband met (249) volgt hieruit, dan ook e^ = O is, zoodat 
de priemfactor p in hoogstens één der getallen a^, a^ . . . ., Un 
voorkomt. Is dit met lederen priemfactor het geval (hetgeen 
beteekent, dat de getallen a-^, a^, . . . ., ün onderling ondeelbaar 
zijn), dan is P = GK en anders niet. 

404. De eigenschap van n^ 190 is aldus tot meerdere getallen 
uit te breiden: 

Is P het product der getallen 

%, ^2, . . . ., an , (123) 

G de grootste gemeene deeler der Cn producten van telkens k 
der getallen (123) en K het kleinste gemeene veelvoud der C^ 
producten van telkens n — k der getallen {123), dan is: 

GK = P. (250) 

Is p een priemfactor, die resp. met de exponenten e^, ^, . . . ., 
£„ (waarvan eenige nul kunnen zijn) in a^, a^, . . . ., a« voor- 
komt, dan kan weer worden aangenomen, dat aan de ongelijk- 
heden (249) voldaan is. 

De factor p komt dan in G met den exponent 

£1 + £2 + ....+ £^ 

en in K met den exponent 

£A:+1 + ^k + 2 -f- . . . . + £/z, 

dus zoowel in GK als in P met den exponent 

£1 + £2 + . . . . + £/z 

voor. Bijgevolg komt iedere priemfactor in GK en in P met 
denzelfden exponent voor, waaruit men tot (250) besluit. 



187 

405. In de eigenschap van n^ 404 ligt als bijzonder geval 
{k = l of = n — 1) opgesloten, dat het product P der getallen 
a^, a^, . . . . , an gelijk is 

P. aan het product van den G.G.D. der getallen a-^^, a^, . . . . , an 

PP P 

en het K.G.V. der getallen — , — , . . . ., — ; 
^ a^ a^ ttn 

2^. aan het product van het K.G.V. van a^, a^, . . . ., an en den 

G.G.D. van — , — , . . . . , — . 

a^ a^ an 

Door /z = 2 te nemen gaat zoowel de eene als de andere dezer 
eigenschappen in die van n^. 190 over. 
Dat P = KG is, waarin K het K.G.V. van a^, a^, . . . . , a„ en 

PP P 

G de G.G.D. van — , — , . . . ., — voorstelt, blijkt ook gemak- 
a^ a^ an 

keiijk zonder van de ontbindingen der getallen in priemfactoren 
gebruik te maken. Is g de G.G.D. der getallen 

K^ K^ A 

^1 ' ac^^ ' ' ' '^ an' 

dan is — door ieder der getallen a^, a^\ . . . ., a« deelbaar, dus 
ook door K', bijgevolg is ^ = 1. De G.G.D. der getallen 

KP KP KP 

a^' a^' ' ' ' '' an 

is dus P, terwijl die G.G.D. /C-maal zoo groot is als de G.G.D. 

P P P 

van — , — , . . . ., — , dus gelijk aan KG. 
aj a^i an 

406. Als toepassing bewijzen we de eigenschap: 

De grootste gemeene deeler G der C^^^ kleinste gemeene veel- 
vouden van telkens k + 1 der getallen (123) is gelijk aan het 
kleinste gemeene veelvoud K der Cn"^ grootste gemeene deelers 
van telkens n — k der getallen {123). 

Komt nl. de priemfactor p met de exponenten e^, ic^, . . . . , in 
in ö^i, a^, . . . . , an voor en is aan de ongelijkheden (24.9) voldaan, 
dan komt p zoowel in G als in K met den exponent s^t + i voor. 



188 

407. Als verdere toepassing noemen we nog de volgende 
eigenschap: 

Is Gi het product der grootste gemeene deelers en Kt dat der 
kleinste gemeene veelvouden van de Cn producten van telkens i der 
getallen a^, a^, . . . . , a„, dan is: 

' Or'Kl = Kr'Gl (251) 

De priemfactor p, die met de exponenten Sj, 5o, . . . ., s„ in 
de getallen a^, a^, . . . ., an voorkomt (waarbij weer aan (249) 
voldaan is), komt nl. in Gi voor met den exponent 

Cn—l £i + Cn-2 -2 ~^ ^h-S^s H" • • - • "l" Q £«_ / "f C/_i £«_/+! = 

n— i + 1 

en in Ki met den exponent 

Cn-l £/j 4" Cn—2 ^n-\ ~\~ Cn-3 ^n-2 +.... + Q £/+! + C/_i 5/ = 
n—i+l n 

beide exponenten gaan in elkaar over door e^ met £« te ver- 
wisselen, £2 n^^t £„_i, enz., dus in het algemeen sj met £«-;•+ 1- 
In het eerste lid van (251) komt p dus voor met den exponent 

n — 1 n 

{n - 2) 2 Cl-jsj -h 2 2 Cj-i £y = 

7=1 7=3 

= l(n-2){n -j)ej 1) + 2 (y - 1) O" - 2)^y ^) = 
= («-!) (n - 2)^1 + 2 i(«' - 2n + 2) -y(« -/ + 1)1 v = 

= 2 H^^' — 2/z + 2) — y(« — y + l)}£y. (252) 

Hieruit vindt men den exponent van p in het tweede lid van 
(251) door Zj door £«-;+! te vervangen. Beide exponenten zijn 



^) We hebben hierbij een term met j = n toegevoegd, welke term 
toch nul is. 

2) We hebben hier een term met J = 2 toegevoegd, die nul is. Zie 
verder n». 629. 



189 

dus gelijk, daar voor (252) ook geschreven kan worden (zooals 
door vervanging van j door n — y + 1 blijkt): 

n 

2 {{n^ — 2n-\-2)—j{n—j^-\)}^n-j,i- 
Voor n = 4 besluit men uit (251) tot: 

Hierin zijn Gg en K2 de producten van de grootste gemeene 
deelers resp. kleinste gemeene veelvouden der zes getallenparen 

(^1, ag), (ai, ötg), (Ui, a^), {a^; a^), {a^, a^), {a^, aj, 
terwijl G3 en Kz de producten van de grootste gemeene deelers 
resp. kleinste gemeene veelvouden der vier getallendrietallen 

(ög, ^3, aj, {a-^, a^, a^), (a^, a^, aj, (a^, ög, a^) 
zijn. 

408. Getallenparen met gegeven G.G.D. en K.G.V. We 

vragen naar de getallenparen a, b, die een gegeven getal G tot 
G.G.D. en een gegeven getal K tot K.G.V. hebben. Voor het 
bestaan van zulke getallenparen is natuurlijk noodig, dat G een 
deeler van K is ^), hetgeen we dan ook in het volgende zullen 
onderstellen. 



Zij: 



Dan is dus 



G = p, p2 Pk\ 

K = Pl'p2 .... Pk'' 



terwijl ook sommige der exponenten y^, 73, .... , y^ nul kunnen zijn. 
Twee getallen a en b kunnen alleen dan G en AT tot G.G.D. resp. 
K.G.V. hebben als ze geen andere priemfactoren dan p^, /7g, . . . . , 
Pk bezitten, dus als ze in den vorm 

ix. Oir, aii 

a = pi p2^ p, , 



b = pi p2 /?/ 

te schrijven zijn. Die getallen voldoen dan en alleen dan aan 
de vraag als voor ieder der waarden I, 2, . . . . , k van i de ge- 



^) Het zal blijken, dat die voorwaarde ook voldoende is. 



190 

tallen «/ en jS/, afgezien van de volgorde, dezelfde zijn als 
yt en ^i, dus als men heeft: 

^i = Vi, ft- = §i of cci = ^i, [ti = 7/. 

Is nu yi < §i, dan vindt men zoo twee stellen waarden voor 
ai en jS/, terwijl men slechts één stel waarden vindt als yi = ^i is 
(nl. ai = |3/ = yi = ^/). Zijn er j priemfactoren, die in G met een 
kleineren exponent voorkomen dan in /C, m. a. w. is het quotiënt 
K'.Q 'm het bezit van j verschillende priemfactoren, dan heeft 
men bijy der exponenten c/.-^, ^g, . . . . , a^t de keus tusschen twee 
waarden, terwijl na die j keuzen gedaan te hebben de getallen 
a en ^ bepaald zijn. Men kan deze dus op 2^' manieren kiezen. 

De zoo gevonden getallen a en Z? zijn ongelijk behalve in het 
geval dat G = K is ^). Is G < K, dan leidt men uit een stel 
waarden voor a en ^ een ander stel waarden af door a en b ie 
verwisselen. Daar men zoo hetzelfde getallenpaar behoudt, be- 
draagt dan het aantal gevraagde getallenparen 2j :2 = 2J-^. We 
vinden dus: 

Is G een deeler van K en < K, dan zijn er 2J-^ getallenparen, 
die G tot G.G.D. en K tot K.G.V. hebben; hierin is j het aantal 
verschillende priemfactoren van K : G. 

We merken nog op, dat de gevraagde getallenparen als Ga\ 
Gb' te schrijven zijn, waarin a' en b' onderling ondeelbare com- 
plementaire factoren van K : G zijn. Omgekeerd voeren twee 
onderling ondeelbare complementaire factoren a' en b' van K . G 
tot een getallenpaar Ga\ Gb\ dat aan de vraag voldoet, hetgeen 
we aan den lezer overlaten na te gaan. Hierdoor is het ver- 
kregen resultaat ook uit het aan het eind van n^ 396 opgemerkte 
af te leiden. Voor G = l zijn beide resultaten geheel dezelfde. 



^j Is ö = K, dan is er slechts één getallenpaar, dat aan de vraag 
voldoet: daarvoor is a = b = G = K. 



§ 5. Talstelsels. 

409. Voorstelling van een getal door cijfers. Zij g een 

getal > 1. Volgens de ongelijkheid (78) van n^. 126 is dan 

voor n> l: 

g->\+n{g—l), 

dus g^ > n, hetgeen ook nog geldt voor n = l. Bijgevolg kan 

men voor ieder natuurlijk getal a een exponent n vinden (b.v. 

n = a), waarvoor g" > a is. 

Daar g^ < a is, kan men derhalve het getal m zoo bepalen, dat 

g^ < a < g"^^^ (253) 

is; g^ is dan het grootste der getallen 

g\ g\ g\-" o r , 
dat ^ a is (zie de eigenschap van n^ 33). Natuurlijk kan m ook 
nul zijn; dit is het geval als a < ^ is. 

410. We vormen nu de getallen 

g-^, 2g-^, 3g^, ...., g.gm = gm.l, (254) 

Het eerste dezer getallen is volgens (253) ^ a, het laatste > a. 
Is dus 

Cmg"" 

het grootste der getallen (254), dat ^ a is, dan is: 

Cmg'' ^ a < (c^ -f 1)^^. (255) 

Blijkens (253) is Cm een der getallen 

1,2,3,....,^-!. 

411. Uit (255) volgt: 

O ^ a — Cmg"" < g"". 
Van de getallen 

O, ^^-S 2g'^-\ 3g^-\ . . : ., g. g^-' = g^ . 



192 

is dus het eerste ^ a — Cmg"^, het laatste > a — Cmg^, zoodat 
men het getal Cm-\ zoodanig bepalen kan, dat 

is, dus: 

Cmg"^ + Cm-ig"^-' ^a< Cntg^ + (C;«_i + \)g'^-\ (256) 

Hierin is Cm-\ een der getallen 

O, 1, 2, 3,..,., ^—1. (257) 

, 412. Uit (256) volgt verder: 

O^a — (Cmg^ + Cm-^g^-^) < g^-\ 
waaruit men op dezelfde wijze als boven afleidt, dat onder de 
getallen (257) een getal Cm-2 voorkomt, waarvoor voldaan is aan: 

Cmg"^ -^ Cm-lg"^-^ + Cm-^g"^-^ ^a< 
< Cmg^ + Cm-lg"^-^ + {Cm-2 + l)^^-^. 

Zoo doorgaande vindt men ten slotte: 

Cmg"^ + Cm-Xg"^-^ + Cm-lg'^-'^ + + C^g'' + C^g ^ a < 

< Cmg^ + Cm-Xg"^-^ + Cm-2g'^-^ + + Cc,g^ + {C^ + 1)^. 

Hieruit volgt: 

a — {Cmg^^ + Cm-xg^-' + ....+ C.,g^ + C^g) < g, 

zoodat het eerste lid dezer ongelijkheid een der getallen (257) is. 

Noemen we dit Cq, dan is dus: 

a = Cmg"^ + Cm-xg^-' + + c^g^ + c^g + c,, (258) 

of: 

tn 

;c=o 
We vinden zoo: 

Is g> 1, . dan is ieder natuurlijk getal in den vorm {258) te 

schrijven, waarin 

tot de getallen {257) behooren, terwijl Cm niet nul is. 

Deze belangrijke eigenschap wordt eerst door invoering van 
het getal nul geldig. 

413. Is het getal g eens en vooral aangenomen, dan is een 
natuurlijk getal door de rij getallen (259) volledig aangewezen. 
Hierbij moeten ook de getallen, die nul zijn, worden opgenomen 
om te doen zien bij welke machten van g ze behooren. 

Het getal a wordt aangegeven door de getallen (259), die de 



193 
cij'fersvan het getal genoemd worden, naast elkaar te schrijven aldus: 

CmCm-lCm-2 C^C^Cq ^), (260) 

zoodat ze van links naar rechts gelezen bij steeds lagere machten 
van g behooren. 

414. Talstelsel en grondtal. Om te weten welk getal door 
(260) wordt voorgesteld moet het in de gelijkheid (258) voor- 
komende getal g gegeven zijn. Een bepaalde keus van g betee- 
kent een bepaalde wijze om een getal door cijfers voor te stellen. 
Zulk een wijze van voorstelling wordt een talstelsel genoemd, 
terwijl g het grondtal van het talstelsel heet. Het talstelsel met 
grondtal g noemt men het g-tallig stelsel. 

415. De cijfers Cq, q, Cg, . . . ., Cm van het getal (260) noemt 
men resp. het cijfer der eenheden, het cijfer der g-tallen, het 
cijfer der g^-tallen, . . . ., het cijfer der g*"" -tallen. Men zegt ook, 
dat het getal {260) c^ eenheden bevat, q g-tallen, c^ g'^-tallen, 
enz. Verder noemen we / den rang van het cijfer ci. 

De machten van het grondtal g, dus de getallen 

g' = U g, g\ g', ^^ . . . ., 
heeten de termen der schaal. Voor een term der schaal b.v. 
g"", is Cm = 1, Cm-i = Cm-2 =.... = Cc^ = c^ = 0. Het getal g 
wordt dus als 10 (niet uit te spreken als „tien") geschreven, het 
getal g^ als 100 (niet uit te spreken als „honderd"), enz.; g"^ 
wordt dus geschreven als 1 gevolgd door m nullen. 

416. Ondubbelzinnigheid der ontwikkeling in den vorm (258). 

Onderstel, dat in het tweede lid van (258) de getallen Cm, 
€m-h . . . ., Cq willekeurig uit de getallen (257) gekozen zijn en 
wel zoodanig, dat Cm niet nul is. Uit (258) volgt dan in verband 
met Cq < g: 

a < Cmg"^ + Cm-ig"^-^ -f + c^g^ + (^1 + 1)^. 



^) Hiervoor wordt, om verwarring met het product der getallen 
Cm, Cm-i, . . . ., t'i, Cq te voorkomen, ook wel 



CmCm—lCtn—2 • . . . C2C1CQ 



geschreven. We zullen echter het teeken ' ', dat ilatieieeken 

genoemd wordt, niet gebruiken, daar de bedoeling uit het verband vol- 
doende duidelijk is. 

FRED, scHUH, Leerboek der Theoretische Rekenkunde 13 



194 
Hieruit volgt in verband mei c^ + 1 ^ g: 

waaruit weer wegens c^^r \ ^ g volgt: 

a <Cmg'^ + Cm-lg^-' + + C,g^ + (^3 + Ik', 

enz. Men heeft dus algemeen: 

a < Cmg^ + Cm-lg"^-' + + Ck.lg^^' + {Cu + \)g^ \ 

dus in het bijzonder: 

a < Cmg^ + (Cm-i + l)g'^-\ 
a<(Cm+\)g"'. 
Daar C;;^ + 1 ^ ^ is, volgt uit de laatste ongelijkheid: 

a<:g^^K 
In verband met (258) besluit men hieruit tot (253) (zie n^ 409). 
Daar nu bij gegeven getallen a en ^ slechts één getal m aan 
de ongelijkheden (253) voldoet, is het getal m {dus het aantal 
cijfers van het getal a) door het getal a en het grondtal g 
ondubbelzinnig bepaald. 

417. Uit de in n'^. 416 gevonden ongelijkheden volgt verder in 
verband met (258), dat aan (255) voldaan is. Daar Cm (als a, g 
en m bekend zijn) door de ongelijkheden (255) ondubbelzinnig 
bepaald is, is Cm door de getallen a en g volledig aangewezen. 

Evenzoo besluit men tot (256), dus tot het ondubbelzinnig 
bepaald zijn van Cm-\, enz. Men vindt zoo: 

Een natuurlijk getal is slechts op één manier in het g-tallig 
stelsel te schrijven, dus in den vorm {258), waarin de cijfers 
Cm, Cm-h . . . . , c-^, Cq alle < g zijn en c,n> O is ^). 

Tevens blijkt uit de voorgaande beschouwingen, dat men de cijfers 
van een getal willekeurig uit de getallen (257) kan aannemen, mits 
zoo, dat het eerste cijfer {het meest links geplaatste) niet nul is. 

Dat het getal a slechts op één manier in den vorm (258) te 
brengen is, volgt ook direct daaruit, dat c^ de rest der deeling 



^) Tot deze ongelijkheid kan men ook direct geraken door uit (258) 
af te leiden (bedenkend, dat Ck—h Ck-2, . . . ., c^, Cq hoogstens g — 1 zijn): 

a^Cmg^.+ Cm-lg"'-^ -f- ... + Ckg^ + {g—l){g^-^ +^^-2+ • • • +^+l) = 
= Cmg'^ + Cm-lg^-^ + . . . + Ck^lg'^^'^ + {Ck + 1)^^ — 1. 

^) Dit geeft tevens de splitsing in een som van zoo weinig mogelijk 
machten van g (nulde machten inbegrepen); zie n*^. 858. 



195 

van a door g is, c^ de rest der deeling van het partiëele quotiënt 
door g, Cg de rest der deeling van het tweede partiëele quotiënt 
door g, enz., dus steeds het laatst verkregen quotiënt weer door 
g deelend (nader hierover in n^. 482). 

418. Voorplaatsing van cijfers nul. In sommige gevallen biedt 
het voordeel de beperking, dat het eerste cijfer van nul verschilt, 
los te laten. Men kan dus aan het eerste van nul verschillende 
cijfer (van links naar rechts gerekend) een willekeurig aantal nullen 
laten voorafgaan, daar voor (258) b.v. ook geschreven kan worden: 

a = O . g^^"" + O . g^-^ + Cmg"" + Cm-lg^-^ + + q^ + ^o; 

voor het getal a kan men dus ook schrijven 

Zonder bepaalde reden wordt dit echter niet gedaan, 

419. Als voorbeeld van een geval, waarbij de voorplaatsing 
ven nullen voordeel oplevert, stellen we de vraag: 

Het aantal getallen < g^ te vinden, waarin geen andere cijfers 

voorkomen dan 

O, 1,2, ,...\k-l{k^ g\ 

Deze getallen zijn alle met m cijfers te schrijven, die willekeurig 
uit de k getallen O, 1, 2, . . . ., k — 1 kunnen worden aange- 
nomen. Het aantal der gevraagde getallen bedraagt dus k^. 
Hierbij is het getal O (geschreven als m nullen) medegeteld, 
zoodat het aantal natuurlijke getallen, die aan de vraag voldoen, 
/jm — 1 bedraagt. 

Voor k =^ g vindt men voor dit aantal g^ — 1, een uitkomst 
die onmiddellijk te voorzien is. 



420. Grooter en kleiner bij getallen in het ^-tallig stelsel. 

Is a, in het g-tallig stelsel geschreven, een getal van m-^ 1 cijfers ^), 
dus van den vorm (258), dan is voldaan aan de ongelijkheden 
(253) van n^. 409, dus a minstens g"" en hoogstens g^"-^ — /. 



^) Zoo het tegendeel niet gezegd wordt, is steeds ondersteld, 
dat het eerste cijfer van links (dus in het beschouwde geval Cm) niet nul is. 



196 

Is a' een getal van m' cijfers en m' > m, dus m! ^m^\, dan is: 
o! ^ p"'"' ^ ^'"^^ 
dus volgens (253) a' > a. M. a. w, van twee getallen met ver- 
schillend aantal cijfers is dat met het grootste aantal cijfers het 
grootste. 

421. Vervolgens onderstellen we, dat a en a' beide m cijfers 
hebben. Is 

a = CmCm—\ • • • • ^2^1 ^0' 
a = CmCrn—l . . . . C^ C^ Cq 

en is Cm > Cm, dan is volgens de ongelijkheden (255) van n^ 410: 

a' ^ c'mg"" ^ {Cm + 1)^'« > a, 
zoodat bij gelijk aantal cijfers maar verschillend begincijfer het 
getal met het grootste begincijfer het grootste is. 

Is Cm = Cm, maar Cm-\ > Cm-u dan is volgens (256): 
a' ^ Cmg"^ + c'm-i g""-^ ^ 

^ Cmg"" + {Cm-l + l)g"'-'^ > a. 
Evenzoo blijkt, dat uit C'm = Cm, C'm-\ = Cm-U C'm-V > Cm-2 

volgt a' > a, enz. Bij getallen van hetzelfde aantal cijfers is 
dus dat het grootste, waarbij het eerste afwijkende cijfer, van 
links naar rechts gerekend, het grootste is. 

422. Tellen in het ^-tallig stelsel. Daar het op een getal a 
volgende getal het kleinste der getallen is, die > a zijn, blijkt 
uit het in n^. 420 en 421 gevondene, dat het getal, dat op het in 
het g-tallig stelsel geschreven getal a volgt, verkregen wordt 
door hei eerste cijfer van rechts gerekend, dat < g — / is, mei 
1 te vermeerderen en de cijfers g — /, die daar rechts van staan 
(zoo deze aanwezig zijn) alle door O te vervangen. Bestaat het 
getal a uitsluitend uit cijfers g — /, dan moeten die {om het 
volgende getal te verkrijgen) alle door O worden vervangen, 
terwijl daarvoor het cijfer 1 geplaatst moet worden; dit valt 
onder den vorigen regel als men voor de cijfers g — 1 een cijfer O 
geplaatst denkt (zie n^. 418). 

Op het getal CmCm-\ • - c^CiCq volgt dus als Cq < g — 1 is: 

CmCm—l • • . • ^2^1 ^0 

waarin Cq' = Cq -\- \ is. Evenzoo volgt op 

CmCm—l • . • • C^C-^t 



197 
als Cl < ^ — 1 en / een afkorting voor g — 1 is: 

waarin c/ = q + 1. In het algemeen volgt op 

CmCm-i .... cjl . . . . l (k cijfers / :- ^ — 1) 

als C/t < ^ — 1 is: 

c^C;„+i Ck+iCk' O (k cijfers 0), 

waarin c/ = C;t + 1. 

423. Tot hetzelfde resultaat geraakt men door te bedenken, 
dat het op a volgende getal a -f 1 is. Is dus a door de gelijk- 
heid (258) van n^. 412 aangegeven, dan is het volgende getal: 

a + 1 = Cmg^ + cm-ig'^-' + .... + c,g' + c,g + {c, + 1). (261) 
Voor Cq < g — 1 is (met de notatie van n^ 422) voor a + 1 
te schrijven: 

Cm C/n— 1 .... CgC^Co . 

Is Cq = l (dus Cq ^ \ = g) en c^ < g — 1, dan vormen we 
(261) om tot: 

a-\-\ = Cmg^ + Cm-lg"^-^ + + C,g^ + (Ci + 1)^ = 

^^ CmCm—\ .... C^C^ vJ. 

Voor Co == Cl = / en C2 < g — 1 vindt men: 

a-hl = Cmg'^ + c^^ig'^-^ -f + c,g' + iC2 + l)g' = 

^ CmCm—\ . • • . C3C2 U U, 

enz. 

424. In n°. 422 is een voorschrift verkregen, dat ons in staat 
stelt uit ieder getal het volgende af te leiden. Hoewel dit minder 
natuurlijk is, had men dit voorschrift ook als uitgangspunt ter 
vorming van de onbepaald voortloopende getallenrij 1, 2, 3, ... . 
kunnen bezigen. Bij dat standpunt moet dan worden aangetoond, 
dat het door (260) voorgestelde getal aan (258) voldoet, waarin 
dan g het aantal ingevoerde cijferteekens is (O medegerekend). 

Om dit bewijs te leveren moet dan eerst worden aangetoond, 

dat het getal 

100 .... O (/7z nullen) (262) 

gelijk is aan g*^. Dit kan geschieden door het aantal aan (262) 

voorafgaande getallen, dus de getallen van minder dan m -f 1 

cijfers te bepalen. Op de in n^. 419 aangegeven wijze vindt men 

daarvoor, het getal O medegerekend, g"^. Daar nu ieder natuurlijk 



198 

getal gelijk is aan het aantal der voorafgaande getallen, O mede- 
gerekend, blijkt zoo, dat inderdaad het getal (262) gelijk aan g"^ is. 
Om het aantal getallen (O medegerekend) te vinden, die aan 
het door (260) voorgestelde getal voorafgaan, merken we op, 
dat daaronder voorkomen: 
g"^ getallen van minder dan m + 1 cijfers, 
(Cm — l)^'" getallen van m + 1 cijfers, waarvan het eerste (van links) 

een der getallen 1, 2, . . . . , Cm — 1 is, 
Cm-\g^~'^ getallen van m + 1 cijfers, waarvan het eerste gelijk is aan 
Cm en het tweede een der getallen O, 1, 2, .... , Cm-i — 1 is, 
Cm-2g"^~'^ getallen van m + 1 cijfers, waarvan het eerste en tweede 
resp. Cm en Cm-\ zijn, terwijl het derde een der getallen 
O, 1, 2, ... ., Cm-2 — 1 is, 
enz. 
Op deze wijze ziet men de gelijkheid (258) ontstaan. 

425. Tweetallig en tientallig stelsel. Het eenvoudigste tal- 
stelsel is dat, waarbij het grondtal twee ') (1 + 1) is. Uit een 
theoretisch oogpunt zou dit stelsel aanbeveling verdienen. Het 
heeft echter het practische bezwaar, dat reeds kleine getallen een 
lange schrijfwijze verkrijgen. 

In het tweetalHg stelsel heeft men slechts de cijfers O en 1. 
De natuurlijke getallen in de gewone volgorde zijn (volgens het 
voorschrift van n°. 422): 

1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 

1101, 1110, 1111, 10000, 10001, 10010, 10011, 

De aldus geschreven getallen worden dyadische getallen ge- 
noemd 2). 

426. In alle beschaafde landen is als grondtal van het talstelsel 
het getal tien (aan te duiden als het aantal vingers van beide 
handen, waaraan deze keus ongetwijfeld haar ontstaan te danken 
heeft, of wat misschien nog beter is als 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 



1) We schrijven hier niet 2, daar dit teeken in het tweetallig stelsel 
niet voorkomt. Immers het getal twee wordt daarin als 10 geschreven. 

^) De uitvinding van het tweetallig stelsel wordt wel aan den 
Chineeschen keizer Fu hi (omstreeks 2852 v. Chr.) toegeschreven. 



199 

+ 1 + 1 + 1 + 1) ^) in gebruik. De zoo verkregen beknopte en 

overzichtelijke schrijfwijze der getallen, die als een vinding van 

de grootste beteekenis te beschouwen is ^), is van de Voor-Indiërs 

afkomstig ^) en door de Arabieren omstreeks 800 tot ons gekomen. 

De getallen in het tientallig of decimale stelsel, die dekadische 

getallen heeten, worden met behulp van de bekende cijferteekens 

O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 
geschreven *). 

427. We merken nog op, dat het niet aangaat het in n^ 426 
beschouwde talstelsel als het 10-tallige aan te duiden, daar men, 
om te kunnen beoordeelen welk getal met 10 bedoeld wordt, 
moet weten in welk talstelsel 10 geschreven is. Neemt men 
daarvoor juist het talstelsel, dat men bezig is te definiëeren, dan 
wordt het grondtal uit den aard der zaak door 10 voorgesteld, 
zoodat ieder ander talstelsel, even zoo goed als het tientallige, 
10-tallig genoemd kan worden. Door deze aanduiding „10-tallig" 
is het talstelsel dus niet gedefinieerd ^). 



^) Ook is het getal tien aan te duiden als het getal, dat in het 

I + 1 = tweetallig stelsel als 1010 geschreven wordt. 

^) Men vergelijke slechts de gebrekkige Romeinsche schrijfwijze der 
getallen. 

^) De tijd van het ontstaan dier schrijfwijze laat zich niet met zeker- 
heid aanwijzen. De oudste Indische oorkonde, waarin het cijfer O voor- 
komt, is van het jaar 738 na Chr. De Indische oorsprong van ons 
talstelsel is den laatsten tijd ook in twijfel getrokken. 

*) Op deze schrijfwijze zijn we vroeger reeds enkele malen (zie b.v. 
n^ 197) vooruitgeloopen. Daar ze echter algemeen bekend is en het 
slechts voorbeelden betrof, zijn we over deze afwijking van de geregelde 
volgorde heengestapt. 

^) Men heeft hier met een niet-praedicatieve definitie (zie n^. 282) 
te doen, daar zoo het talstelsel door middel van het grondtal en het 
grondtal weer door middel van het talstelsel gedefinieerd wordt; voordat 
de gevormde begrippen vaststaan worden ze dus reeds toegepast. De 
onbepaaldheid, waartoe de definitie voert, is te vergelijken met de in 
de noot van blz. 122 voorkomende onbepaaldheid. 

Definieert men een talstelsel T door het grondtal 11 geschreven in 
het talstelsel T, dan krijgt men een onmogelijkheid, niettegenstaande 

II stellig > 1 is en ieder getal > 1 als grondtal van een talstelsel te 
bezigen is. De oorzaak der paradox is natuuriijk weer het niet-praedica- 
tief zijn der definitie. 



200 

428. Tweede bewijs van de stelling van Fermat. We laten 
hier een bewijs van de stelling van Fermat (zie n^. 385) volgen, 
dat berust op de beschouwing der getallen van n cijfers geschreven 
in het g-tallig stelsel. Laat men ook getallen toe, die met een 
of meer nullen beginnen (zie n^ 418), alsmede het geval, dat 
alle cijfers nul zijn, dan bedraagt het aantal dier getallen ^". 

Ieder der g"" getallen gaat in een ander of hetzelfde dier ge- 
tallen over als men de cijfers daarvan cyclisch verwisselt, d. w. z. 
het tweede cijfer tot eerste maakt, het derde tot tweede, enz. en 
als laatste cijfer het eerste van het oorspronkelijize getal neemt, 
dus het getal 

Cn-\Cn-2 .... C^C^C^ (263) 

vervangt door 

Cn—2Cn—3 .... CiCQCn—l. 

Wanneer men van het nieuwe getal weer de cijfers cyclisch 
verwisselt, en dit nog verder herhaalt, heeft men, na in het ge- 
heel n cyclische verwisselingen uitgevoerd te hebben, uit (263) 
de n de getallen 



Cn—2Cn-3Cn—A • 
Cn—SCn—iCn-S • 
C n—4C n—SC n—6 • 



. . C^ Cq Cn—\, 
. • Cq Cn—lCn—27 
• • Cn—\Cn—2Cn—Zi 



. . C^ ^3 ^2 » 
. . ^3 Cq C^ , 

. . Cq Cl Cq 

en is weer het getal (263), waarvan 



Cl Cq Cfi — \ . 

^0 ^n—\(^n—2 • 
Cn-\Cn-2Cn-3 • 

afgeleid. Het laatste dier getal 
we zijn uitgegaan. 

Zij het q^^ der n bovenstaande getallen het eerste, dat aan 
(263) gelijk is {q ^ n). Dan zijn de eerste q dier getallen alle 
verschillend, daar, als het /^^ getal gelijk was aan heik'^^{/z <l^q), 
het (/ — 1)'^^ getal gelijk zou zijn aan het (k — 1)^^^ enz. en dus 
het (/ — kY^ getal gelijk aan (263), hetgeen wegens l — k<q in 
strijd is met de beteekenis van het getal q. 

Is q < n, dan is het {q + 1)'*^ der n getallen gelijk aan het 
eerste, het {q + 2)^^^ gelijk aan het tweede enz., zoodat men de 
eerste q getallen in dezelfde volgorde terugkrijgt. Daar het n'^^ getal 
gelijk is aan het q^^, maar van ieder der aan het q^^ voorafgaande 
getallen verschilt, is /z ^ 2q. Voor n > 2q krijgt men de eerste 



201 

q getallen nog eens, enz. Op deze wijze blijkt, dat de n getallen 
uit twee of meer groepen ieder van q getallen bestaan (welke 
groepen onderling niet verschillen), waaruit verder volgt, dat q een 
deeler van n is. Dit laatste is ook nog geldig voor q = n en 
dus in ieder geval juist. 

Is na n een priemgetal, dan kan dus q slechts 1 of n zijn. 
Voor ^ = 1 is het eerste der n uit (263) afgeleide getallen aan 
(263) gelijk, dus 

Cn—\ ^^ Cn—2} Cn—2 = ^n— 3j . • • . , Cg = C^, C^ = Cq, Cq = Cn — l, 

zoodat dan alle cijfers van (263) gelijk zijn; de n uit (263) afge- 
leide getallen zijn dan alle aan (263) gelijk. Dit geval doet zich 
bij g getallen voor, het uit g nullen bestaande getal medegerekend. 
Voor ieder der g"^ — g overige getallen van n cijfers is q = n. 
Ieder dier getallen behoort dus tot een groep van n getallen, die 
alle verschillend zijn en uit een er van (onverschillig welk) door 
cyclische verwisseling der cijfers ontstaan. Die g" — g getallen zijn 
derhalve in groepen ieder van n getallen te verdeelen, waaruit blijkt, 
dat g"" — g, d.i. ^(^"~^ — /), door n deelbaar is. Is nu g geen 
/z-voud, dan is dus g"^-^ door n deelbaar (zie de eigenschap van 
n^. 198), waarmede de stelling van Fermat is aangetoond. 

429. In het voorgaande bewijs is niet wezenlijk van de theorie 
der talstelsels gebruik gemaakt, daar de talstelsels slechts gediend 
hebben om het bewijs een eenvoudige inkleeding te geven. Het- 
zelfde bewijs kan dan ook zonder van talstelsels te spreken gefor- 
muleerd worden. 

Hiertoe heeft men te bedenken, dat een getal in het ^-tallig 
stelsel op te vatten is als een manier om aan ieder der getallen 
/, 2, 3, . . . ., n (de rangnummers der cijfers) een der cijfers 
Oj 1, 2, . . . . , g — 1 toe te voegen (waarbij ook ieder dier cijfers 
meerdere malen gebezigd kan worden), dus als een belegging 
der getallen 1, 2, 3, . . . ., n met elementen eener uit g elementen 
bestaande hoeveelheid (zie n^ 131). Men kan nu het bewijs zoo 
formuleeren, dat men van zulke beleggingen spreekt en niet van 
getallen in het ^-talHg stelsel 



§ 6. Het rekenen in talstelsels. 

430. Omvorming van een som van machten van g tot een 
getal in het ^-tallig stelsel. Zooals blijken zal, komt men zoo- 
wel bij de optelling als bij de vermenigvuldiging van getallen in 
het ^-tallig stelsel tot uitdrukkingen van den vorm 

img"^ + tm-^g^-' + .... + 4^' -f ^1^ + t,. (264) 

Zijn de hierin voorkomende getallen tm, tm-u • . . ., 4» ^i» 4 
alle < g, dus getallen van één cijfer (of nul), dan is het getal (264) 
onmiddellijk als 

^m^m— 1 • • • • ^2 ^1^0 

in het ^-tallig stelsel neer te schrijven. 

Dit is ook nog direct mogelijk als van de getallen tm, tm-u 
. . . ., t^, Éq slechts tm ^ g is. Alleen is er dit verschil, dat tm dan 
niet één cijfer van het getal (264), maar meerdere cijfers van dat 
getal levert. 

Is nl. (in het ^-tallig stelsel geschreven): 

^m ^^ ^m + k llm + k—l • • • • U-m + l^m 

(waarbij nu de indices niet de exponenten der bijbehoorende 
machten van g aanwijzen), dan is: 

tm = Um^k g^ + Um^k-\g^~^ + .... + Um^\g + «m , 

zoodat het getal (264) dan gelijk is aan: 

Um.kg''^^ + Um.k-lg'^-'^-^ + + Um^lg""'' + Umg"" + 

+ tm-lg^-' + tm-2g^-^ + .... + t,g' + t,g + t,, 

hetgeen in het ^-taUig stelsel geschreven luidt: 

^m + k^m + k—\ . • • • llm + l^mtm—\^m—2 • . • • ^s^l^O* 

Zoo is b.v. voor g > 7: 

2343^5 + 7g^ + g' -^ 5g -{- 6 = 234370156. 

431. Zijn de in (264) voorkomende getallen tm-u tm-2, . . . ., 
4, ^1, t^ niet alle < g, dan vormen we de gelijkheden: 



203 



^0 = (Jig + «0. 

^1 + ^1 = q^g + «i> 

4 + ^2 = ^sê" + «3. ) (265) 



tm-\ "f" ^/w-1 = Clmg + ^m-1, 
tm+ qm= llm^kg^ + fi^^ + fc-l^'^-^ +....+ «;;z + i^ + Um, (266) 

waarin «o, Uj, Uc^, . , . ., Um + k alle < ^ zijn. Uit deze betrekkingen 
vindt men, door ze resp. met \, g, g^, . . . ., g"^ te vermenigvul- 
digen, de overeenkomstige leden op te tellen en vervolgens beide 
leden met 

Qig + ^2^-' + + Qm-ig""-^ + gnig"^ 

te verminderen: 

tmg'^ + tm-lg^~' + ....+ 4^2 + ^1^ + ^0 = 

= Um.kg"'^^ + Um.k-lg'^^^-^ + + U,g^ + «1^ + U,= (267) 

^^^ llm + k^m + k—\ • • . • U^UiUq. 

432. Tot de gelijkheden (265) en (266) geraakt men van zelf 
door met de eerste dier gelijkheden te beginnen, waardoor voor 
het getal (264), dat we kortweg A noemen, gevonden wordt: 

A = tmg^ + tm-xg"^-' + .... + 4^2 + (/^i + qdg + ^0- 
Dit voert tot opstelling van de tweede der gelijkheden (265), waar- 
door men vindt: 

A = trug"" + tm-ig^-' + + 4^2 + (4 + q2)g' + «1^ + «o- 

Dit voert tot de derde der gelijkheden (265), enz. Zoo door- 
gaande geraakt men tot (267). 

433. De getallen Uq, u^, u^, . . . ., Um-i worden resp. gevonden 
als de cijfers der eenheden van de getallen 

4, ^i + ^1, 4 + ^2» • • • V tm-\ + qm-u (268) 

terwijl q^, q^, . . . ., qm resp. verkregen worden door van de 
getallen {268) de cijfers der eenheden te schrappen. Als Uj en 
qj+i bepaald worden, zijn tj en qj reeds gevonden, waarna Uj en qj+i 
dan op de aangegeven wijze uit tj -f qj worden afgeleid. 

De getallen Um^ Um + i, . . . ., Um + k zijn niets anders dan de 
cijfers van het getal t^ -^ qm, zoodat de cijfers van het door 
{264) voorgestelde getal gevonden worden als de cijfers der een- 



204 

heden van de getallen {268) en alle cijfers van het getal tm + gm- 
Voor de omvorming der getallen 

^1 + Ql^ 4 + ^2» • • • M ^m + gm 

tot in het ^-tallig stelsel geschreven getallen (welke omvorming 
in het uitvoeren van optellingen van telkens twee getallen bestaat) 
verwijzen we naar n^. 434—437. 

We merken nog op, dat de cijfers van het getal (264) van 
rechts naar links bepaald worden, dus beginnend met het cijfer 
der eenheden. 

434. Optelling van twee getallen in het ^-tallig stelsel. 

We willen nu de som van twee getallen a en b, geschreven in 
het ^-tallig stelsel, eveneens in het ^-tallig stelsel neerschrijven. 
Bevatten a en b niet evenveel cijfers, dan kunnen we de aan- 
tallen cijfers gelijk maken door voor het kleinste getal eenige 
nullen te plaatsen (zie n^ 418) i). De getallen a en b zijn dan 
aldus geschreven : 

a = CmCm-\ . • . • Cc^C^Cq, (269) 

b = dmdm-\ .... dc^d^d^. (270) 

Hieruit vindt men voor de som (zie de gelijkheid (258) van 
n\ 4-12): 

S=a^b = {Cm^-dm)g'' ^- (Cm-l + ü^m-l) g""'' + + 

+ (C2 + d,) g' + {c, + d,) g +. (Co + do) = 

= tmg^ + tm-lg"^-' + ....+ 4^^ + ^1^ + t,, (271) 

435. De getallen 

worden gevonden door telkens twee getallen van één cijfer op 
te tellen. De bepaling der getallen (272) vordert dus de kennis 
van de tafel van optelling, d.w.z. de tafel, die voor ieder tweetal 
der getallen 1,2,....,^ — 1 de som aangeeft. 

Dat we in het tientallig stelsel gemakkelijker optellen dan in 
een ander talstelsel (de talstelsels met grondtal 2 of 3 misschien 
uitgezonderd) zit natuurlijk niet daarin dat het tientallig stelsel 
uit den aard der zaak voordeelen bezit, die andere talstelsels 



^) Bij de toepassing is natuudijk het werkelijk neerschrijven dier 
nullen niet noodig. Deze dienen nl. slechts voor de redeneering. 



205 

missen, maar slechts daarin dat we alleen voor het tientallig 
stelsel de tafel van optelling in het geheugen geprent hebben. 
Heeft men b.v. de volgende tafel van optelling in het zeventallig 
12 3 4 5 6 



2 


3 


4 


5 


6 


10 


1 




4 


5 


6 


10 


11 


2 






6 


10 


11 


12 


3 








11 


12 
13 


13 
14 
15 


4 
5 
6 



stelsel goed in zich opgenomen, dan kan men in dat talstelsel 
even gemakkelijk optellingen verrichten als in het tientaUige. 

Een soortgelijke opmerking geldt ook voor de overige ver- 
bindingswijzen van getallen (aftrekken, vermenigvuldigen, enz.). 

436. Het laatste lid van (271) kan verder op de in n^. 430— 
433 besproken wijze tot een getal in het ^-tallig stelsel herleid 
worden. Daar nu tj = Cj + dj is, heeft men: 

^y^ 2(^-1), 

hetgeen geldt voor y = O, 1, 2, . . . . , m. Uit de eerste der gelijk- 
heden (265) volgt dan verder, dat q-^ hoogstens 1 (dus O of 1 is). 
Uit de tweede gelijkheid (265) volgt daarna: 

^2^ + «1 = ^1 + ^1 ^ 2(^ - 1) + 1 = 2^ - 1, 
waaruit men besluit, dat ook q^ hoogstens 1 is. Daaruit leidt 
men weer af, dat q^ hoogstens 1 is, enz. 

De eerste leden der gelijkheden (265) en (266) zijn nu dus alle 
< 2g, zoodat voor tm-\- qm kan geschreven worden qm + \g^ Hm, 
waarin qm+\ weer O of 1 is. De gelijkheden (265) en (266) gaan 
bijgevolg over in: 

Co + öfo = (lig + «o . 

q + öfi +^1 =qc,g +«1 , 

^2 -f 0^2 + ^2 = Qzg + «2 y 



(273) 



Cm-\ + dm-\ + qm-\ = qmg + Um-h 
Cm+ dm -^ qm = qm + lg + Um , 

waarin Uq, a^, a^, . . . ., Um alle < g en q^, q^, . , . ,, qm, qm^\ 
alle O of 1 zijn. De som der getallen {269) en {270) is dan: 

qm^lUmUm-l .... «2«i«o- (274) 



206 

Daar de optellingen voorkomende in de eerste leden van (273) 
met een tafel van optelling te verrichten zijn, is hiermede de 
gevraagde som gevonden. 

437. De optelling van twee getallen is in het voorgaande tot 
de in n^ 430 — 433 besproken omvorming teruggebracht. Men 
krijgt daarbij echter een zoo eenvoudig geval dier omvorming, 
dat de optellingen, die daarvoor verricht moeten worden, geen 
moeilijkheid meer bieden. 

Omgekeerd kan nu de optelHng van twee getallen dienen om 
de omvorming van n^. 430 — 433 in meer gecompHceerde gevallen 
tot uitvoering te brengen. We laten hiervan een voorbeeld in het 
tientallig stelsel volgen: 

349 .10^ + 118 . 10^ + 37 . 10^ + 502 . 10 + 93 = 35126813. 
^ 22 __8 51^ _9 __ 

351 22 22^ 85 51/ 95 

De hiervoor te verrichten optellingen zijn slechts duidelijkheids- 
halve volledig neergeschreven. Ze kunnen echter met gemak uit 
het hoofd worden uitgevoerd, zoodat zich de uitkomst direct 
laat opschrijven. 

438. Som van meer dan twee getallen in het ^-tailig stelsel. 

Om de som van meerdere getallen a^, a^, . . . ., Un te vinden 
zou men dit aldus tot n — 1 optellingen van telkens twee ge- 
tallen kunnen terugbrengen (waarbij Sn de gevraagde som is): 

Og = ö^i I Cl^, 03 = Og ~r 0^3, O4 = 03 ~r 0^4, . . . ., 
Sn-l = Sn— 2 + Cln~\, Sn = Sn—l + ün. 

Veel eenvoudiger is het echter direct alle termen der som in 
de beschouwing op te nemen, dus de som in den vorm 

tmg^ + tm-lg^-' + ....+ 4^^ + ^1^ + ^0 (264) 

te brengen, waarin tj de som van de cijfers der ^^'-tallen voor de 
getallen a^, a^, ... ., an is; voor een getal van minder dany + 1 
cijfers moet dan natuurlijk het cijfer der ^^'-tallen als nul beschowd 
worden. De optelling dier cijfers is (als men de tafel van optelling 
kent) gemakkelijk uit het hoofd te verrichten. 

De uitdrukking (264) moet dan verder nog tot een getal in het 
^-tallig stelsel herleid worden (zie n^. 430 — 433). 

439. Het is aangewezen de beide inn^ 438 genoemde be- 



207 

werkingen (berekening der getallen (272) en herleiding tot een 
getal in het ^-tallig stelsel) niet na elkaar, maar gecombineerd 
uit te voeren. Men komt zoo tot den bekenden algorithmus tot 
vorming van de som van een willekeurig aantal getallen. Die 
algorithmus bestaat in achtereenvolgende berekening van de 
getallen Sq, 5^, Sg, . . . ., Sm- Hierin is Sq de som van de cijfers 
der eenheden van de getallen a^, a^, . . . ., an, terwijl Sj gevon- 
den wordt door het getal, dat ontstaat door van 5/_i het cijfer 
der eenheden te schrappen, met de cijfers der gj -tallen van 
a^, ^2, . . . ., ante vermeerderen. De cijfers der eenheden van de 
getallen s^, s^, s^, . . . ., Sm-i en alle cijfers van Sm leveren dan 
(van rechts naar links) de cijfers van de gevraagde som. 



440. Aftrekking van getallen in het ^-tallig stelsel. We 

zoeken het getal 

V=a — b 

te bepalen, waarin a > ^ is en a en Z? (geschreven in het ^-tallig 
stelsel) door de gelijkheden (269) en (270) van n^ 434 worden 
aangewezen. 

Een eerste wijze van aftrekking bestaat daarin, dat het getal 
a in den vorm (264) gebracht wordt, er voor zorgend dat voor 
iedere waarde van j de aftrekking tj — dj mogelijk is en een uit- 
komst < g oplevert. Stelt men: 



(275) 



441. Om nu het getal a in den genoemden vorm te brengen, 
waarbij dus 

dj^tj<dj^g 

is, gaat men aldus te werk. Is Cq ^ d^, dan neemt men t^ = Cq, 
terwijl tQ = Cq+ g genomen wordt als Cq < d^ is. In het laatste 





Vj = tj - 


dj, 


dan is: 






V = 


VmVm-\ . . ~ 


. . v^v^v. 


het gezochte verschil. 







208 

geval wordt c^ dóór c^ — \ vervangen om de vermeerdering van 
a met g weer te niet te doen. Dit proces wordt leenen genoemd 
(de eenheden leenen van de ^-tallen). 

Het cijfer der ^-tallen is dus q — q^ geworden, waarin ^i = O 
of = 1 is al naar gelang c^ ^ d^, dan wel < d^ is. Is nu c^ — q^ 
'^ d^, dan wordt t-^ = c-^ — qi genomen; zoo niet, dan neemt 
men t-^ = (c — ^i) + ^, waarbij weer (om de vermeerdering met 
g^ te niet te doen) het cijfer der ^^-tallen met 1 verminderd wordt, 
dus door c^ — 1 vervangen (de ^-tallen leenen van de ^^-tallen). 

Is q^ = O ol = l al naar gelang c-^ — q^'^ d^, dan wel < d^ is 
(dus al naar gelang men bij de bepaling van t^ niet of wel heeft 
moeten leenen), dan neemt men tc^ = c^ — q^ als de aftrekking 
(Cg — q^ — dci mogelijk is en anders 4 = (<^2 — ^2) + S^ ^riz. Op 
deze wijze worden de verschillen ^ — d^, t^ — d-^,t^ — ^2» ^"z. alle 
< g. Is Cl het eerste cijfer van a (van links gerekend), dat van 
het correspondeerende cijfer di van b verschilt, dan is Ci > di, daar 
a > b ondersteld is (zie n^. 420 en 421). Bijgevolg is de aftrekking 
(ci — qi) — dl mogelijk, zoodat ti = ci — qi is. Is / < m, dan is 
r/+i — dui, dus de aftrekking Ci+i — di+i mogelijk, dus tui = ^/+i, 
enz. De in n^. 440 genoemde omvorming blijkt dus mogelijk. 
Opgemerkt zij nog, dat voor l < m de aan Vi voorafgaande 
cijfers van V alle O zijn; ook Vi kan O zijn, evenals eenige der 
op Vi volgende cijfers van V (Vi-i, Vi-2, enz.). 

442. Bij het betoog van n^ 441 is het geval buiten beschouwing 
gelaten, dat de aftrekking c-^ — q^ niet mogelijk is. Dit geval 
doet zich voor als c^ = O en q^ = ] (dus Cq < d^) is. Is dan Ck het 
eerste op Cq volgende cijfer van a (van rechts gerekend), dat niet 
O is, dan kan men de vermeerdering van a met g te niet doen 
door Ck door Ck — 1 en de cijfers Ck-u Ck-2, . . . . , c^ (die nul 
zijn) alle door g — 1 te vervangen. De ^^-^-tallen leenen dan van 
de ^^-tallen, vervolgens de ^^-^.^allen van de ^^~^-tallen, enz. en 
eindelijk de ^-tallen van de ^Mallen en de eenheden van de 
^-tallen. 

Op soortgelijke wijze handelt men als bij het verdere deel der 
berekening geleend moet worden, maar het volgende cijfer van a 
(naar links) nul is. 



209 

443. Andere aftrekkingsmethode. Men kan het getal V van 
n^. 440 ook anders bepalen, waarbij we beginnen met op te merken, 
dat, als a een getal van m + 1 cijfers is, V hoogstens uii m -\- \ 
cijfers bestaat en dus door (275) is voor te stellen. Daar nu 

a = V-hb 
is, heeft men volgens de gelijkheden (273) van n°. 436 (waarin 
nu q^^i = O is, daar anders het getal (274), dat de som voorstelt, 
meer dan ni+ 1 cijfers zou hebben): 



(276) 





Vo + ^0 




= c, -^q^gA 




v^+d^ 


+ ^1 


= Cy +q,gA 




Vq + d^ 


+ ^2 


= ^2 +qzgA 




Vm~\ + dm- 


.1 + qm~i 


= Cm-\ + qmg, \ 




Vm + dm 


+ gm 


= Cm. ) 


[ieri 


jit volgt: 








^0 = Co 


+ qig 


- d. 


• 


^1 = ^1 


+ ^2^ 


-(dl +qd , 




v^ = c. 


-^ Qzg 


— (^2 + ^2) , 



Vm~2 = Cm-2 + qm-\g — (^w-2 + ^m-2), 

Vm-\ = Cm-\ + qmg — {dm-\ + ^m-l), 

Vm = Cm — {dm ^ qm) • 

De hierin voorkomende getallen q^, q^, qm zijn (volgens 

het in n*^. 436 gevondene) alle O of 1. Door deze getallen in de 
volgorde q^, q^^, . . . . te bepalen en ze alleen 1 te nemen als dit 
noodig is om de aftrekking mogelijk te maken worden de getallen 
'^0? '^1' Vci_, . . . . , Vm alle < g. Men heeft dus: 

qk^\ = ^ voor Ck^ dk^- qk, 

qk+i = \ voor Ck< dk + qk, 
waarbij q^ als O te beschouwen is. 

444. Uit het in n". 434 gevondene vloeit de volgende algorithmus 
ter bepaling van het verschil 1/= a — b der getallen (269) en 
(270) (zie n^. 434) voort. Hei cijfer Vq van V wordt verkregen door 
het cijfer c^ zoo mogelijk met d^ te verminderen, terwijl, zoo dit 
niet mogelijk is, c^^ g met d^ wordt verminderd. Het cijfer v^ 
wordt gevonden door c^ zoo mogelijk met d-^ + q^ (waarin qi = O 

FRED. SCHUH, Leerboek der Theoretische Rekenkunde. 14 



210 

of = 1 is al naar gelang de aftrekking c^ — d^ al of niet mogelijk 
is) te verminderen en anders c^ ^ g met d^ + q^ te verminderen, 
enz. In het algemeen wordt het cijfer Vk gevonden door zoo 
mogelijk Ck en anders Ck^ g met dk + qk te verminderen, waarin 
qf^ = O of = 1 is al naar gelang de aftrekkin g Ck-\ — (dk-\ + qk-\) 
al of niet mogelijk is. 

445. De algorithmus komt hierop neer, dat Ck door C/e + ^ 
wordt vervangen, als dit noodig is om de aftrekking mogelijk te 
maken, waarbij dan tevens dk + \ door dk+\ + 1 wordt vervangen. 
Dit is ook als een toepassing der eigenschap van n^. 87 op te 
vatten. Door genoemde vervangingen wordt nl. zoowel het 
aftrektal a als de aftrekker b met g^-^'^ vermeerderd, hetgeen op 
het verschil geen invloed heeft. Dit geeft een zeer eenvoudige 
verklaring van den in n^. 444 beschreven algorithmus. 

446. Vergelijking van beide aftrekkingsmethoden. De af- 

trekkings methode van n^. 444 verdient boven de methode van 
het kenen (zie n^. 440 — 442), die hier te lande de gebruikelijke 
is, de voorkeur, omdat de verklaring zooals we die in n^. 445 
gegeven hebben eenvoudiger is dan die van het leenen. Dit staat 
daarmede in verband, dat het in n°. 442 genoemde geval, dat 
aan de methode van het leenen moeilijkheid in den weg legt, 
bij de methode van n^. 444 niets bijzonders oplevert; de ver- 
vanging van dk door du ^ 1 is nl. steeds mogelijk, die van Ck door 
Ck — / niet. 

447. Het voordeel van de methode van x\^. 444 komt ook 
daarin uit, dat daarbij de aftrekking het duidelijkste als omkeering 
der optelHng verschijnt. De in (276) voorkomende gelijkheid 

Vk^ dk^ qk^ Ck^ qk^\g 
voert nl. het allereerst tot 

Vk = Ck^ qk^ig — (dk + qk). (277) 

Dit kan dan vervolgens worden omgezet tot: 

Vk = {(Ck — qk) + qk^ig} - dk '), (278) 



1) Zie de formules (29) en (31) van n». 77 en 79. 



211 

echter slechts dan als Ck ^ qk is. De laatste uitdrukking voor 
Vk behoort bij de methode van het leenen. 

De formule (278) laat ons in den steek als Ck = O ^n qk = 1 is. 
Volgens (277) is dan qk^\ = \, zoodat (278) dan aldus te schrijven is: 

Vk = {g — l) — dk. 
Dit wijst aan op welke wijze het leenen dan moet worden uitge- 
voerd. 



448. Vermenigvuldiging van getallen in het ^-tallig stelsel. 

We beschouwen het product ba, waarin b een getal van één cijfer 
is. Wordt a door de gelijkheid (269) van n°. 434, dus door de 
gelijkheid (258) van n". 412, aangewezen, dan is wegens de 
distributieve eigenschap der vermenigvuldiging: 

ba = bcmg^ -h bcm-^g"'-'' + + bc^g^ -f bc^g + bc,. (279) 

Om de producten bcm, bcm-u enz. direct te kunnen neerschrij- 
ven moet men over de tafel van vermenigvuldiging in het 
^-tallig stelsel beschikken, dus een tafel, die voor ieder tweetal 
der getallen 2, 3, , g — 1 het product aangeeft. Als voor- 
beeld geven we hier de tafel van vermenigvuldiging in het zeven- 

tallig stelsel: 

2 3 4 5 6 

2 

3 

4 

5 

6 

Het tweede lid van (279) wordt verder op de bekende wijze 
(zie n^ 430—433) tot een getal in het ^-talHg stelsel herleid, 
welke herleiding natuurlijk direct met de bepaling der producten 
büQ, bc^, enz. gecombineerd en uit het hoofd uitgevoerd wordt (van 
rechts naar links). 

449. Is ook b een getal met een willekeurig aantal cijfers, b.v. 

b = dndn-i .... d^d^dQ = 
= dng" -h dn-ig""-' + .. -.^d.g' + d^g + d„ (280) 



4 6 11 13 


15 


12 15 21 


24 


22 26 


33 


34 


42 




51 



212 

dan is: 

ab ^ dnag'^ -h dn-xag''-'^ -f- . . . . -f dc^ag^ 4- d^ag + d^a. 
De getallen 

dnCL, dn—\Ci, . . . ., d^ci^ d-^a, d^a 

worden op de in n^ 448 besproken wijze berekend. De ver- 
menigvuldiging resp. met g", ^"-^ . . . ., g geschiedt door achter- 
plaatsing van /2, /z — 1, , 1 nullen, waarna nog een optelling 

moet worden uitgevoerd. Men krijgt zoo den bekenden algorithmus 
der vermenigvuldiging als nog de nullen achter de producten 
dna, dn-]a, enz. worden weggelaten en daarvoor inspringen der 
rijen in de plaats gesteld wordt. 

450. Kortere vermenigvuldigingsalgorithmus. Het product 
der door (269) en (280) aangegeven getallen a en ^ kan ook 
gevonden worden door de algemeene distributieve eigenschap 
voor een product van twee factoren (zie n^. 100) toe te passen 
en de gelijknamige machten van g samen te nemen. Men vindt dan: 

ab = Cmdng"'-'" + {Cm-ldn + Cmdn^.l)g"'^ "''^ + 
+ (Cm-2dn + Cm-\dn-\ + Cmdn-2)g'^^''-'^ + 

+ ....+ (Coö?3 + c^dc, + c^d^ + c^d^)g^ + 

+ (^00^2 + ^1^1 + ^2^ok^ + (^0^1 + cMg + C^d^ = 
= Pm.ng"'''' + Pm.n-lg'^-'''-' + • ^ • • + Pig ^ Po- (281) 

Hierin is 

Pk ■= c^dk + c^dk-\ + Ccidk-2 + ....+ Ck^id^ + Ckd^, 

waarbij de e's met een index > //z en de d's met een index > n 
als nul te beschouwen zijn. 

Het laatste lid van (281) moet nu verder nog tot een getal in 
het ^-tallig stelsel herleid worden, hetgeen reeds direct bij de 
berekening van p^, p^, p^, enz. kan gebeuren. Als steeds begint 
de berekening bij het cijfer der eenheden. 

451. We laten hier een voorbeeld van den in n^ 450 besproken 
algorithmus volgen (in het tientalHg stelsel): 

431508 

72 69 

3136631652 



213 















5 










7 


'9 


.5 = 45 






9, 


. = 





6 , 


,0= 






6 


. 8 = 


48 


2 


. 8 = 16 


9, 


,8-72 
6 






55 
10 




6^ 
5 


9, 


.1=9 


9 


.3 = 


27 


9 


. 4 = 36 


6 , 


,5 = 30 


6 


. 1 = 


6 


6, 


.3 = 18 


2. 


0=0 


2 , 


, 5 = 


10 


2 , 


,1=2 


7 . 


, 8 = 56 

10/ 

9 


7, 


. = 



55 


7 , 


.5 = 35 
9^ 


6, 


.4 = 24 






4 






2 , 


.3=6 


2 , 


. 4 = 


8 




3 


7. 


,1=7 
4ë 


7, 


.3 = 


21 
35 


7 


. 4 = 28 
31 



De tafeltjes dienen om de berekeningswijze volledig aan te 
geven (de vet-cursief gedrukte cijfers zijn die van het gezochte 
product). 

De nu besproken methode heeft echter alleen dan voordeel boven 
de gewone als men met voldoende zekerheid uit het hoofd rekent 
om de tafeltjes te kunnen missen. Daarbij wordt dan het product 
direct neergeschreven en loopt de berekening aanmerkelijk vlugger 
af dan wanneer men de vermenigvuldiging met vier rijen uitvoert ^). 

452. Wie de berekening uit het hoofd der getallen 72, 55, 66, 
enz. van n^. 451 te lastig vindt karr de vermenigvuldiging uit- 
voeren door voor 7269 te schrijven: 
72 . 102 + 59 
Is de andere factor van het gezochte product a, dan wordt dit product : 

72a . 102 + 69a. 
De vermenigvuldiging is hiermede tot twee vermenigvuldigingen 
met getallen van twee cijfers en een optelling teruggebracht. 



^) Zeer eenvoudig wordt de verkorte vermenigvuldigingsalgorithmus als 
de vermenigvuldiger 11 is. Voor de berekening der cijfers van \\a heeft men 
dan telkens twee opvolgende cijfers van a op te tellen (rechts beginnend) 
en deze som nog met 1 te vermeerderen zoo de voorafgaande som ^ 10 is. 



214 

De berekening van het in n^ 451 voorkomende product wordt 

dan aldus: 

431508 

7269 

31068576 

29774052 



3136631652 

453. Door voor 7269 te schrijven 

7. 103 + 2 . 102 + 6 . 10 + 9 
krijgt men den in n^. 449 besproken algorithmus, die in het be- 
schouwde geval aldus verloopt: 

431508 
726 9 
3020556 
863016 
2589048 
3883572 



3136631652 

Merkbaar sneller wordt echter de vermenigvuldiging uitgevoerd 

door niet cijfer voor cijfer van den vermenigvuldiger te beschouwen, 

maar groepen van twee, drie, vier of vijf cijfers (al naar de 

zekerheid, waarmede men uit het hoofd rekent) samen te nemen. 

454. We laten hier nog een voorbeeld in het zeventallig stelsel 
van een vermenigvuldiging volgens den verkorten algorithmus 
volgen (zie voor de tafels van optelling en vermenigvuldiging in 
dat talstelsel resp. n^ 435 en 448): 
42352 
6031 







353114542 






2 








1 


1 


.2=2 






1.5=5 


1.3=3 


3 


. 3 = 12 






3.2=6 


3.5 = 21 


6, 


. 2 = 15 




.2 = 2 


14 


25 




34 




3 










1 


.4=4 


6 








3 


.2=6 


3 . 4 = 15 


5 




2 


6 


.5 = 42 
6/ 


6 . 3 = 24 
5/ 


6.2 = 15 
23 


6 , 


.4 = 33 
35 



215 



In de tafeltjes zijn de producten met een factor nul weggelaten. 
De in die tafeltjes voorkomende berekeningen kunnen na eenige 
oefening uit het hoofd worden uitgevoerd. 



455. Eigenschappen betreffende partiëele quotiënten. Het 

parüëele quotiënt (zie n^ 168) der deeling van a door b wordt 
(zooals reeds terloops in n^ 396 is opgemerkt) door 



[f] 



voorgesteld. Is a door b deelbaar, dan is met dit symbool het 
quotiënt a : b bedoeld. 

Het partiëele quotiënt wordt derhalve gedefinieerd door: 

'a' 



b + r {r< b), 



hetgeen ook aldus geschreven kan worden: 



a < 



1 ^. 



(282) 



(283) 



Men kan deze definitie ook volhouden als a < b is. Uit (283) 

blijkt, dat dan onder ^ het getal nul te verstaan is. 

Opgemerkt zij, dat eens en vooral wordt uitgesloten, dat de 
deeler nul is. Voor b = O kan nl. aan (283) niet worden voldaan. 

Wel mag a = O zijn, in welk geval ook -j.\ = ^ is. 

456. Uit (282) volgt: 

^""^ kb + kr {kr < kb), 



ka = 
waaruit men afleest: 



ka' 
kb_ 



(284) 



In woorden luidt deze formule (die ook uit (283) is af te leiden 
door alle leden met k te vermenigvuldigen): 

Een partieel quotiënt verandert niet als men deeltal en deeler 
met een zelfde getal vermenigvuldigt. 

Dit getal, dat we k genoemd hebben, wordt natuurlijk > O 



216 



ondersteld, daar anders de deeler kb nul zou worden (zie de 
opmerking aan het eind van n^. 455). 

457. Heeft men: 

a = qb + r (r < b), 

g = q'c + r' (/ < c), 
dan is: 

a = q'bc + br' + r. 
Hierin is: 

br' + r^bic—\)-{-{b—\) = bc—\ < bc. 
waaruit blijkt, dat q^ het partiëele quotiënt der deeling van a 
door bc is. Men heeft dus: 



K] 



=[a 



(285) 



In woorden luidt dit: 

Een partieel quotiënt wordt partieel door een getal gedeeld 
door den deeler met dat getal te vermenigvuldigen. 

Een onmiddellijk gevolg van deze eigenschap, dus van (285), is: 





-a- 

3. 




= 




'a 
.c . 




_ c _ 




b 





immers zoowel het eerste als het tweede Hd hiervan is gelijk aan 
het tweede lid van (285). 

458. Men kan de eigenschap van n^. 457 ook aantoonen door 
van de definitie van partieel quotiënt uit te gaan, die in (283) 
staat uitgedrukt. 
Men heeft nl.: 

qb'^a, a + \ ^ {q + \) b, 
q'c-^q, q^\^. {q' + 1) c. 
Door van de boven elkaar staande ongelijkheden de overeen- 
komstige leden te vermenigvuldigen vindt men: 
q'bc ^ a, a + 1 ^ (^'+ \)bc, 
hetgeen samen te vatten is tot: 

q'bc ^a<{q' ^\) bc. 



459. Men heeft de ongelijkheden: 



'a' 




b- 




[a + b^ 




~a' 




-b' 




+ 




^ 




■^ 




-f 




x. 




-C. 




. c . 




.c. 




.c. 



(286) 



217 



gens ( 


283) is nl.: 




'a 

-C. 


c ^ a 




-b- 

X. 


c^b 



-+'<im+'i 



a < 
b < 
c^a + b 



\'' 



-hl 



c . 

Door de overeenkomstige leden der onder elkaar geplaatste 
ongelijkheden op te tellen vindt men: 





+ 


b 


i-im 




+ 


b- 


ra + ^1 
L c _ 



+ 1 



i'- 



c < 

< 



)[a+e]-( 



c. 



c 



• f 



a±b 
c 

c 
'a±b; 

c _ 

Met behulp van (282) kan het bewijs van (286) aldus geleverd 

worden. Uit: 

a = qc ^ r {r < c), 



21+ 'f: 

b 



+ 2 
+ 1 



volgt: 



b = q'c^ r' (r' < c), 

a + b = (^ + q')c + r + r' 
a + bi^ 1 / 

a-hb < {q-hq'-\- 2)c, 
a + b- 



{r^r' < 2c), 



c 
a + b 



< q + q' i~2, 



460. Door volledige inductie kan men de eigenschap van n^. 
459 uitbreiden tot: 



■^i4_Ki^ 4-r^-"i<r^ 



< 



a 



-f 



+ ....+ 



On 

IC . 



c 
{n - /). 



(287) 



Neemt men nl. de juistheid hiervan voor een zekere waarde 
van n aan, dan heeft men volgens (286): 



+ 



+ 



+ 



Cin 

IC A 



CLn+l 



'ai + ag + .... + a„- 



Cln + 1 
. C J 



218 



Ö0 + ... -.+0,1 + 0^, 



< 



<: 



a 



+ ....+ 



ic 



-h 



L C 



r^i 


+ ^2 + .... 


-\-an 


+ 


L c - 


L r j 




+ (/2 l) + ['''^^^] 


+ 1 = 


+ . 


..+ 




'm. 







1 ^ 



Hiermede zijn de ongelijkheden verkregen, waarin de ongelijk- 
heden (287) overgaan als men daarin n door n + 1 vervangt, 
waarmede de stap van /i op n + 1 verricht is. Daar de eigenschap 
volgens (286) juist is voor « = 2, is hiermede het bewijs geleverd. 

We merken nog op, dat de eigenschap (287) ook geldt voor « = 1, 
in welk geval de beide teekens ^ door = kunnen worden vervangen. 

461. Eigenschappen betreffende gelijkheid en ongelijkheid 
van twee partiëele quotiënten. We toonen eerst aan: 
Is ad > bc, dan is: 

d\ 



Stelt men kortheidshalve 



dan is: 



= Q 



[j] 





a = qb + r 


ir < b), 




c = q'd^ f 


ir' < d). 


ieruit volgt: 







ad + b (q'd -^ r') = bc + d {qb + r), 
of in verband met ad ^ bc: 

{ad — bc) + bq'd + br' = dqb + dr, (288) 

bq'd ^ dqb + dr. 
Wegens r < b heeft men dus: 

bq'd < dqb + db = {q + \) bd, 

q' ^ q. 
Gebruik makend (zooals boven) van de resten der deeUngen 
is het bewijs het gemakkelijkst te vinden (doordat men dan eerst 
met gelijkheden werkt en niet direct behoeft te beslissen welke 
ongelijkheden moeten worden toegepast). Het bewijs kan echter 
belangrijk korter aldus worden neergeschreven, gebruik makend 
van de ongelijkheden (283) van n°. 455: 



219 



(Vbi ' 'S 



^\l bd > ad^ bc ^ 



bd. 



+ 1 > 



462. Uit de eigenschap van n*'. 461 leidt men door een 
redeneering uit het ongerijmde af: 

dan is ad > bc. 
Immers uit ad ^ bc zou volgen : 



c 

ld\ 



in strijd met het onderstelde. 

De eigenschap van n^. 461 kan echter niet worden omge- 
keerd doordat uit 



niet tot ad = bc kan worden besloten. Zoo is b.v.: 



maar 3 . 5 < 2 . 9. 



463. In de eigenschap van n^ 461 ligt opgesloten: 
Is a^c en b^d, dan is: 



> 



Uit het onderstelde volgt nl. ad ^ bc. 
Men kan de eigenschap ook zoo formuleeren: 
Een partieel quotiënt blijft gelijk of wordt kleiner als men het 
deeltal verkleint of den deeler vergroot. 

464. De eigenschap van n°. 461 kan aldus worden aangevuld: 
Is ad > bc en a deelbaar door b, dan is: 



b 



> 



Uit de gelijkheid (288) van n^ 461, waarin r = O te stellen is, 
volgt dan nl.: 

bq'd <. dqb, 

q' <q. 



220 



Bijzondere gevallen der eigenschap zijn: 
Is a door b deelbaar en > c, dan is: 



> 



Is b < d en a deelbaar door b en > O, dan is. 



> 



465. Verdere eigenschappen van partiëele quotiënten. Men 

heeft vooreerst: 
Al naar gelang a -\- 1 niet of wel door b deelbaar is geldt: 



I 



of: 

Stelt men nl. 
dan is: 



b 



+ 1. 



a = qb -\- r (r < b), 



(289) 



a^\=qb^r^\ {r^\ :^b). (290) 

Is r + 1 < b, dus a + 1 niet door b deelbaar, dan besluit men 
-a+ 1 



uit (290) tot 



= q. Is echter /- -f 1 = /?, dus a 



door 



b deelbaar, dan voert (290) tot 



a T" 1 



= ^ + 1. 



466. Is voldaan aan: 



dan is. 



a^b{b + /), 



(291) 



^1 < r__^__' 

b\-[b-^ 1. 



+ /. 



In verband met de eigenschap van n^. 463 drukt dit uit, dat 
men dan heeft: 





'a' 
7b. 


= 


" a 


of 


'a- 
Jb. 


= 


' a " 

_^ + /J 


+ /. 




Het bewijs kan aldus geleverd worden. Is 




a = qb + r (r < b), 


(289) 


a = q\b-^\) + r' (r' < b -\- \\ 
dan volgt hieruit: 

qt^r^^q'ib-^X) + r\ 
of wegens q ^ q': 


(292) 


( 


q- 


-Q 


'){b + 


\) = r' 


+ 


q - 


-r ^r 


■'^q. 


(293) 



221 

Uit (289) en (291) volgt verder: 

qb ^a^b(b^\), 

q<b + \, (294) 

zoodat men (lettend op r' < Z? + 1) uit (293) besluit tot: 
(^-^0(^ + 1X2(^+1), 
q-q' <2, 
q^q' + \'). 

467. We beschouwen nu nader het geval, dat voldaan is aan : 

2a<b{b + /), 2r' ^b + 1, 
waarbij de beteekenis van r' door (292) wordt aangewezen. Men 
heeft dan volgens (289): 

2qb ^2a<b(b ^-\\ 

2q<b^\,' 
zoodat uit (293) volgt: 

2{q — q') (^ + 1) ^ 2/ + 2^ < 2 (^ + 1), 
q-q'<h 
q-q' = 0. 
Het blijkt dus, dat in het beschouwde geval geldt: 

'al _\ ci ~ 

De daarbij gemaakte onderstelling 2r' ^ ^ + 1 kan ook op 
een der volgende wijzen worden geformuleerd: 
2{a — ^'(^ + 1)} ^ ^ 4- 1, 
2a ^ {2q' + 1) (^ + 1), 
a — q'{b + \)^ {q' ^-\){b^ 1) - a. (295) 

De ongelijkheid (295) drukt uit, dat q' (b + 1) niet meer van 
a verschilt dan {q' -^ 1) (b -\- 1). 

468. Insluiting van een partieel quotiënt tusschen twee 
grenzen. Men heeft dienaangaande: 



^) Men kan het bewijs iets korter leveren door voor (289) te schrijven, 
lettend op (294): 

a^ib+l) = q{b-\-l)^(b-i-\-q)^r, 
waaruit men onmiddellijk afleest: 

Met het oog op n^. 467 hebben we echter het bewijs mei behulp van 
(293) gegeven. 



222 



Is voldaan aan 



dan is: 



a'p ^ a < {a' + /) p, 
b'p ^b < (b' -f /) /7, 



(296) 

(297) 



r ^ 1 


^ 


'a~ 
.'bj 


^ 





Uit het onderstelde volgt nL, in verband met de eigenschappen 
van no. 463 en 456: 



Evenzoo vindt men 



'a- 


> 


ï ^ 


P 1 


= 


r a' 1 

W + iJ 


[(b^+l)pi 


en 


'i 
J 


?]== 


ra'+\- 

L b' J 







Is nu a' + 1 niet door b' deelbaar, dan volgt hieruit in verband 
met de eigenschap van n^. 465: 



ra^ 




ra'+ll 




vaf^ 




<c 








[b\ 




[ b' ■\ 




[b'\ 



Is a' + \ wel door b' deelbaar, dan is volgens de eigenschap 
van n». 464 (lettend op (a' + \) b > b'a)\ 



b' 



> 



a 

Ibi 



zoodat men volgens de eigenschap van n°. 465 heeft: 

469. Uit de eigenschap van n^. 468 volgt in verband met die 
van n\ 466, dat voor a' ^ b' en ^ b' (b' + /) uit (296) en (297) 
besloten kan worden tot: 



-a" 


/ < 


" a ~ 


<: 


'a~ 


<: 


'a' 


W\ 




J'+h 




Vb\ 




Vb'. 



.b'^-n 



+ /. 



Hieruit volgt: 

Is aan de ongelijkheden (296) en (291) van n^. 468 voldaan 
en is a' ^ b' en ^ b' {b' -\- I), dan is: 






223 



Hiermede is 



b\ 



op twee manieren tusschen twee grenzen in- 



gesloten, die 1 verschillen. Zoowel 



a' 



als 



lb\ 



verschilt dus 



, terwijl het eerste getal alleen te klein, het 



hoogstens 1 van 

tweede alleen te groot kan zijn. 

470. Uit de eigenschap van n°. 468 volgt in verband met het 
in n^. 467 gevondene: 
Is aan de ongelijkheden (296) en (297) van n^. 468 voldaan en 

2a' < b' (b' + 7), q' = [^^j , 

terwijl q' ip' ^- 1) niet meer van a' verschilt dan (q' + /) (b' + /), 
dan is: 



b. 

Hiermede is de waarde van het partiëele quotiënt 

a 



volledig 



aangegeven als het partiëele quotiënt 



b'^\ 



bekend is. 



471. Deeling van getallen in het^-tallig stelsel; het quotiënt 
heeft één cijfer. Zijn twee getallen a en b (a > b) gegeven, dan 

'a~ 



willen we het partiëele quotiënt 



als een getal in het ^-tallig 



stelsel bepalen. Noemen we dit quotiënt q, dan is dus: 

a = qb + r {r < b). (289) 

We beschouwen eerst het geval, dat a < bg is. Dan is q 
kleiner dan g, dus een der getallen 1, 2, 3, , . . . , g — /, of nog 
anders gezegd een getal van één cijfer. 

Zijn de gegeven getallen in het ^-tallig stelsel: 

a = CfnCfn—l . • . . C2C^Cq, 

b = dn dn-i .... dc^d-^dQ, 
dan is: 

bg = dndn-i .... d^d^dfi, 
zoodat men het geval a < bg direct daaraan herkent, dat óf a 
en b evenveel cijfers bezitten (m — n), óf a één cijfer meer heeft 
dan b (m = n-\- 1) en het eerste afwijkende cijfer van links 



224 

c 

gerekend {dus Cn+\ vergeleken met dn, Cn met dn-\, enz.) bij a 
kleiner is dan bij b (zie n^. 420 en 421). 

472. Het door {289} aangegeven quotiënt q wordt door probeeren 
gevonden. Dit kan geschieden door achtereenvolgens de producten 

2b, 3b, 4b, , (^—1)^ (298) 

te berekenen tot men voor het eerst een product verkrijgt, dat 
^ a is. Is dit product sb, dan is: 

q = s voor sb = a, 

q = s — 1 voor sb > a. 
Is (s — \) b < a, maar is onmiddellijk te zien, dat sb > a uit- 
valt (doordat men ziet, dat a ~ (s — l) b < b is), dan behoeft 
het product sb natuurlijk niet berekend te worden. 

Ook is het niet steeds noodig de getallen (298) beginnend 
met 2b te berekenen. Ziet men b.v. direct, dat 4b nog < a is, 
dan heeft men 2b en Sb niet uit te rekenen. 

Gewoonlijk kan men het gezochte getal q onmiddellijk herkennen. 
Dit is echter niet steeds het geval. Zijn nl. a en b getallen met 
een groot aantal cijfers en verschilt a b.v. weinig van 7b, dan 
is het niet direct te zien of ^ = 6, dan wel = 7 is; dit blijkt 
eerst na de vermenigvuldiging 7 . b ie hebben uitgevoerd. 

473. Regel omtrent het te bepalen quotiënt. Zijn a' en b' 
getallen, die uit de in n^. 471 en 472 beschouwde getallen a en 
b ontstaan door rechts een zelfde aantal cijfers te schrappen en 
is j dit aantal, dan is: 

a'gj ^ fl < (a'4- 1)^/, (299) 

b'gi ^b <{b' + \)gj. (300) 

Volgens de eigenschap van n^. 468 gelden dan de ongelijkheden 



Ib^-Vl 



< 



b' 



(301) 



Hierdoor vindt men grenzen, wctartusschen het gezochte partiëele 



gelegen moet zijn en wordt dus het aantal 



quotiënt q = 

waarden, die men probeeren moet, beperkt. 



^) Dit is natuudijk ook nog het geval als het gezochte partiëele 
quotiënt meerdere cijfers bezit. We houden ons echter voorloopig alleen 
met het geval van een quotiënt van één cijfer bezig. 



225 

Het eenvoudigst zou zijn zooveel cijfers van a en ^ te schrappen, 
dat er van het getal b nog slechts één cijfer over is, in welk 
geval van a een of twee cijfers over zijn. De door (301) aan- 
gegeven grenzen kunnen dan echter nog tamelijk ver uit elkaar 
liggen, zooals blijkt door b.v. 

a = 95738, b = 14693 

te nemen. Men vindt dan: 






Dit geeft een beperking der nog te probeeren waarden van q, 
waaraan men niet veel heeft. 

474. Neemt men het getal J van n^. 473 zoo, dat van het 
getal b twee cijfers overblijven, dan is (met de notatie van n^. 473): 

b'^g, (302) 

Verder is (wegens de in n<^. 471 gemaakte onderstelling) q < g, 
dus volgens (301): 

Hieruit volgt: 

a' <{q'-^\){b'^-\)^.g{b' -\-\)^), (303) 

dus in verband met (302): 

a' < b\b' + 1). 
Volgens de eigenschap van n^ 466 is dus het laatste lid van 
(301) hoogstens 1 grooter dan het eerste Hd, zoodat er omtrent 

-r nog slechts een onzekerheid ten bedrage van 1 bestaat. 

We vinden dus: 

Zijn a en b in het g-tallig stelsel geschreven en zij 

b < a <gb 



1) Dit kan ook direct uit (299) en (300) (in verband met a < gb) 
worden afgeleid, nl. aldus: 

a'gJ ^,a<gb<(b'-\- \)gJ^\ 
a' < g{b' + 1). 

FRED. SCHUH, Leerboek der Theoretische Rekenkunde. 15 



226 



(zoodat het partiëele quotiënt ^ = —- \ uit één cijfer bestaat): laten 

verder a' en h' de getallen zijn, die uit a en b ontstaan door een 
zelfde aantal cijfers van rechts te schrappen zoodanig, dat er 
twee cijfers van b overblijven (zoodat b' gevormd wordt door 
de eerste twee cijfers van b, van links gerekend, en a' door de 
eerste twee of drie cijfers van a al naar gelang a evenveel cijfers 
heeft als b of een cijfer meer). Het gezochte quotiënt q is dan 

het partiëele quotiënt , , , ^ of 1 grooter; evenzoo is q het 



partiëele quotiënt 






Vb' + /_ 
of 1 kleiner. 



Hierin wordt b natuurlijk ondersteld uit minstens twee cijfers 
te bestaan. 

475. Blijkens het bewijs geldt de eigenschap van n^ 474 ook 
als men minder cijfers schrapt, waarbij dan b' minstens drie 
cijfers heeft; immers ook dan is aan de ongelijkheid (302) vol- 
daan. Door minder cijfers te schrappen wordt echter de deeling 
van a' door b' of Z?' + 1 minder eenvoudig, terwijl de onzeker- 
heid van 1 blijft bestaan. Het ligt in den aard der zaak, dat, 
als men cijfers van a en b buiten beschouwing laat, de onzeker- 
heid van 1 kan blijven bestaan; immers het kan voorkomen, dat 
zelfs de cijfers der eenheden van de uit veel cijfers bestaande 

a 



getallen a en Z? op het gezochte quotiënt 



Ibi 



van invloed zijn. 



476. De eigenschap van n*^. 474 krijgt natuurlijk eerst beteeke- 
nis als b drie of meer cijfers bezit. Door een deeling van een 
getal van twee op een getal van twee of drie cijfers kan men 
dan het gezochte quotiënt bepalen met een onzekerheid 1, terwijl 



men het quotiënt stellig niet te groot vindt als men 



a' 



en 



en niet te klein als men 



a 

LFJ 



berekend heeft. 



We laten hier (in het tientallig stelsel) eenige voorbeelden volgen: 



5376 



L2114. 



= 2, 



53 

22J 



^1-2 
L2lJ~'^^ 



227 

4034 



1387. 
4767- 



2318. 






477. Geval, waarin geen onzekerheid omtrent het quotiënt 
bestaat. Zooals in n°. 475 is opgemerkt, kan geen algemeene 
regel gegeven worden, die in ieder geval het quotiënt (dat we 
nog steeds uit één cijfer bestaand onderstellen) met zekerheid 
doet vinden en waarbij niet alle cijfers van a (deeltal) en b (deeler) 
betrokken zijn. Wel laten zich echter enkele gevallen aangeven, 
waarbij men (onder bepaalde omstandigheden) uit een eenvoudiger 
deeling tot de juiste waarde van het quotiënt kan besluiten. 

Daar ten aanzien van lederen regel, die men in dit opzicht 
geven kan, zich gevallen kunnen voordoen, waarbij die niet van 
toepassing is, zijn een groot aantal dergelijke regels te geven. 
Aangezien deze echter slechts weinig nut hebben zoo ze niet 
zeer eenvoudig zijn, zullen we met een enkele aanwijzing in 
deze richting volstaan. 

478. We onderstellen, dat het eerste cijfer van b (dus ook 
van het uit twee cijfers bestaande getal b' van n^. 474) niet 1 
is. Dit is ook zoo uit te drukken, dat b' ^ 2g ondersteld wordt. 

In verband met de ongelijkheid (303) van n°. 474 is dan: 

2a' < 2g{b' + 1) ^ b\b' +1). 
Volgens de eigenschap van n^. 470 kan men dan tot 



a 
~b\ 



= q' (304) 



besluiten {waarin q' het partiëele quotiënt der deeling van a' 
door b' ^ 1 is) als q\b' + /) niet meer van a' verschilt dan 
{q' + /) {b' + 7). 

Onder de genoemde omstandigheden (waarvan het al of niet 
zich voordoen onmiddellijk te herkennen is) levert dus de deeling 
van a' door b' + 1 met zekerheid de juiste waarde van het 

. Zoo volgt bij het eerste der voor- 



gezochte partiëele quotiënt 



b\ 



beelden van n^. 476, dat dit quotiënt stellig 2 is, uit de omstan- 
digheid, dat 2 . 22 = 44 minder van 53 verschilt dan 3 . 22 = 66. 



228 

479. Begint het getal b (dus ook b') met het cijfer /., dan 
kan men volgens (302) nog steeds tot 2a' < b' {b' + 1) besluiten 
als voldaan is aan: 

2a' <g(b' + \), 
hetgeen voor het tientallig stelsel luidt: 

a' < 5{b' + 1). 
Is hieraan voldaan (hetgeen voor a' < 55 steeds het geval is) 
en verschilt q\b' + /) niet meer van a' dan {q' + 1) {b' + /), dan 
geldt nog steeds de gelijkheid (304). Het nut van dezen regel is 
echter reeds zeer twijfelachtig. 

480. Deeling met een quotiënt van meerdere cijfers. We 

beschouwen nu het geval, dat het partiëele quotiënt der getallen 
a en b van n^. 471 meerdere cijfers bevat, dus het geval, dat 
a ^ gb is. 

Zij P het kleinste der getallen 

C/ni CtnCfn—\i C fnC m—\C in—2i . . . . , 
CmCfn—l • . • • ^2^1' CfnCfn — i .... CgCj^^o ^^^ ^j 

dat ^ ^ is; wegens a > b is zulk een getal aanwezig. Is 

' ^^ C/nCm—\ • • • • Ckf 

dan is het aantal m -\- \ — k der cijfers van P gelijk aan n -\- l 
(het aantal cijfers van b) of n-{- 2, al naar gelang bij a of bij b 
het eerste afwijkende cijfer, van links gerekend (dus Cm vergeleken 
met dn, Cm-\ met dn-\, enz.), het grootste is; zijn de cijfers dn, 
dn-\y . . . . ; d^, dQ resp. gelijk aan c^, Cm-h . . . . , c^+i-«, Cm-n 
(in welk geval de cijfers van b zijn uitgeput voordat er een 
afwijkend cijfer gekomen is), dan bestaat P u'ii n -{- \ cijfers en 
is gelijk aan b. 

Voor het zoo bepaalde getal P geldt: 

CmCm-l . . . . Ck^\ < b ^ P ^ CmCm-X • • • • ^/e+l^A, (305) 

a = Pg^i- Ck-iCk-2 c^c^. (306) 

481. Uit (305) volgt: 

b ^ CmCm-\ . . ■ • Ck + \ + 1, 

bg ^ {CmCm-\ Ck^\) . g-^ g> 

> (CmCm-l . . . . Ck^i) . g + Ck= CmCm-l • - • - Ck+\Ck = P, 

zoodat men heeft: 

b^P < bg. 



229 
Het partiëele quotiënt 



Wk 



[|] 



is dus een (van nul verschillend) getal van één cijfer; dit wordt 

op de in n^. 471 — 479 besproken wijze bepaald. 

Is nu: 

P = Wkb-\- ru {rk < b\ (307) 

dan wordt rk door aftrekking gevonden. Volgens (306) en (307) is 
a = bwkg^ + rkg^ + Ck-\Ck-2 .... c^c^ = 

= bwkg^ + [rug -f Ck-\)g^-^ + Ck-2Ck-z ^1^0- (308) 

^\x \s rk ^ b — 1, dus: 

rkg + Ck-i <{b— \)g + g= bg. 
Het getal Wk-u dat aan 

rkg + Ck-i = Wk-ib + rk-i (rk-i < b) (309) 

voldoet, is dus weer een getal van één cijfer, dat echter ook nul 
zijn kan. 
Volgens (308) en (309) is verder: 

a = b{Wkg^ + Wk-\g^'^) + rk-\g^-^ + Ck-2Ck-z .... c^c^ = 
= b(Wkg^ + Wk-\g^-^) + {rk-\g + Ck-2)g^-'^ + Ck-3 .... c^Cq. 
Hierin is rk-]g + Ck-2 < bg en levert dus bij deeling door b 
een partieel quotiënt Wk-2 van één cijfer, enz. 
Zoo doorgaande vindt men: 
a = biWkg'' + Wk-\g^-^ + Wk-2g^-^) + 

+ {rk-2g + Ck-Z)g^-^ + Ck-A C^Cq = 

= b(Wkg^ + Wk-\g^-^ + + w^g^) + {r^g + c^)g + ^0 = 

= b(Wkg^ -f 're^^c-i^''"^ + .... + w^g) + /-j^ + Cq = 
== b(Wkg^ + -zz^fc-i^^-^ + .... + w^g + Te^o) + ''o» 
waarin r^ < b is. Men heeft dus: 

Wkg^ + Wk-\g^-^ . . . . + w^g -]-Wq = 
= WkWk-l .... W^Wq, 

zoodat Wk, Wk-h . . . ., Wj, Wq de cijfers van het gezochte 
quotiënt zijn. Deze worden verkregen als de partiëele quotiënten 
bij deeling der getallen 

P, rkg 4- Ck-i, rk-ig + Ck-2, , r,g -{- c^, r^g + c^ (310) 

door b. De getallen (310) worden gevonden door achter r^. 



ffl 



230 

rk-u . . . . , /*! het eerste nog niet beschouwde cijfer van a te 
plaatsen (aan te halen), terwijl rk, r^-u . . . . , ^i als resten van 
deelingen van de in n^ 471 — 479 besproken soort optreden; , de 
laatste rest Tq is de rest der deeling van a door b. Dit geeft 
den bekenden algorithmus der deeling. 



482. Overgang op een ander talstelsel. We willen nu het 
getal 

a = CmCm-\ .... Cc^c^c^, (269) 

geschreven in het ^-tallig stelsel, omvormen tot een getal in het 
/^-tallig stelsel. Daartoe moet a in den vorm 

drJtV + dn-ih^-^ + .... -I- d^h^ + d^h + d^ 
gebracht worden, waarin dn, dn-\, . . . . , d^, d^ alle < h zijn. 
Het getal d^ is de rest der deeling van a door h. Heeft men: 

a = qjh -{- dQy 
dan is: 

q^ = dnh^~' -f dn-ih'^-'' + ... . + d,h + d^, 
zoodat d^ de rest der deeling van q-^ door h is. Is verder: 

dan is d^ de rest der deeling van q^ door h, enz. Dit gaat door 
totdat er een quotiënt ontstaat, dat < ^ is; dit quotiënt is ö^«, 
dus het eerste cijfer van a in het ^-tallig stelsel, terwijl de bijbe- 
hoorende rest het tweede cijfer is. Men krijgt dus het volgende 
stel gelijkheden: 

a = q^h -\- d^ {d^ < h), 

^1 = ^2^ + ^1 (^1 < h), 

^ - q^h 4-^2 (^2 < h)y \ n,\\\ 



qn-2 = qn~\h + dn-2 {dn-2 < h), 

qn-l = dn h -\- dn-\ {dn-1 < k, dn < k). 

In het h-idAWg stelsel is het getal a dan: 

dndn-\ .... d^d-^d^. 
Opgemerkt zij nog, dat de deelingen in het g-tallig stelsel 
worden uitgevoerd. 



231 

483. De herleiding van a tot een getal in het ^-tallig stelsel 
kan ook geschieden door voor a te schrijven: 

a = Cmg"" + Cm-lg""^ + + C^g"" + C^g + ^o = 

= (Cmg"^-^ + Cm-\g'^-'^ + + C^g^ + C^)g + Cq = 

= {{Cmg'^-'^ + Cm-\g'^-^ + + ^2)^ + ^i}^ + <^o = enz. 

Is b.v. m = 5, dan vindt men zoo ten slotte: 

De berekeningen, die men heeft uit te voeren, kunnen ook 
door de volgende gelijkheden worden aangegeven: 

Pm-\ = Cm g+ Cm-U 
Pm-2 = Pm-\g + Cm-2, 
Pm-3 = Pm-2g + ^m-3j v^ Hl^^i 



ci =Pi g-^c. 
De vermenigvuldigingen en optellingen moeten na in het h-tallig 
stelsel worden uitgevoerd, waardoor a ten slotte als een in het 
/i-tallig stelsel geschreven getal verschijnt. 

484. Vergelijking der methoden van n^ 482 en 483. De 

methoden van n^ 482 en 483 zijn ook onmiddellijk uit elkaar 
af te leiden. Wanneer men nl. de gelijkheden (311) van n^. 482 
in omgekeerde volgorde leest kunnen ze ook dienen om het in 
het /ï-tallig stelsel geschreven getal a tot een getal in het^-tallig 
stelsel om te vormen. Men krijgt zoo echter de methode van 
n*^. 483. Beide methoden zijn dus als eikaars omgekeerde te 
beschouwen. 

Men kan de twee beschreven methoden aanduiden als die der 
deeling in het oorspronkelijke en die der vermenigvuldiging in 
het nieuwe talstelsel. Is een der beide talstelsels het tientallige, 
dan zal men die methode kiezen, waarbij in het tientallig stelsel 
gerekend wordt. 

Als men de methode van n^ 482 toepast wordt ondersteld, dat 
bekend is hoe de cijfers en het grondtal h van het nieuwe tal- 
stelsel in het oude talstelsel {dat met grondtal g) geschreven 
worden. Men begint bij die methode met h in het ^-tallig stelsel 
te schrijven en heeft dan verder nog de door de deelingen opge- 



232 

leverde resten d^, d^, . , . ., dn (die in het^-tallig stelsel gevonden 
worden) als cijfers in het /j-tallig stelsel te schrijven. 

Bij toepassing der methode van n^ 483 wordt daarentegen 
bekend ondersteld hoe cijfers en grondtal van het oude talstelsel 
in het nieuwe talstelsel {dat met grondtal h) geschreven worden. 
Men begint daarbij met het oude grondtal g en de oorspronke- 
lijke cijfers c^, Cm-i, • . . ., c^, c^ als getallen in het h-idWig stelsel 
te schrijven, waarna de door (312) aangegeven berekeningen 
worden uitgevoerd. 

485. Het omvormen van cijfers en grondtal van het g-tallig 
stelsel tot in het h-tallig stelsel geschreven getallen kan geschie- 
den door die cijfers in de natuurlijke volgorde neer te schrijven 
en daaronder de getallen in het /ï-tallig stelsel, eveneens in de 
natuurlijke volgorde (dus naar de grootte gerangschikt), hetgeen 
op de in n°. 422 aangegeven wijze geschieden kan. Men zou 
zoo ook ieder getal van het eene talstelsel in het andere kunnen 
overbrengen, hetgeen echter bij groote getallen een zeer omslach- 
tige methode is. 

Het is natuurlijk aangewezen die cijfers van het eene talstelsel, 
die ook in het andere talstelsel getallen van één cijfer zijn, in 
laatstgenoemd talstelsel door dezelfde teekens voor te stellen als 
in het eerste, dus voor een getal kleiner dan beide grondtallen 
in beide talstelsels hetzelfde cijferteeken te kiezen. Is h > g, dan 
heeft men dus voor de omvorming van cijfers en grondtal van 
het ^-tallig stelsel tot getallen in het /^-tallig stelsel slechts te 
weten door welk cijferteeken g in het /z-tallig stelsel wordt aan- 
gewezen. Is h < g, dan moet men op de aangegeven wijze een 
tabel aanleggen, die de cijfers van het ^-taUig stelsel, welke > h 
zijn, benevens het grondtal g zelf, in het h-iaWig stelsel aangeeft. 

We laten hier zulk een tabel volgen, die cijfers en grondtal 
van het vierentwintigtallig stelsel in het viertallig stelsel uitdrukt: 






1 


2 3 


4 


5 


6 


7 


8 


9 


a 


b 







1 


2 3 


10 


11 


12 


13 


20 


21 


22 


23 




c 


d 


e f 


g 


h 


/ 


J 


k 


/ 


m 


n 


10 


30 


31 


32 33 


100 


101 


102 


103 


110 


111 


112 


113 


120 



233 

Hierin stellen a, b, c, . . . ., n de cijferteekens in het vieren- 
twintigtallig stelsel voor, die op 9 volgen, dus a = tien, b = II, enz. 

We merken nog op, dat het vervaardigen van zulk een tabel 
overbodig is als men die methode kiest, waarbij in het talstelsel 
met het grootste grondtal gerekend wordt, dus de methode van 
n^ 482 als men op een kleiner en de methode van n^ 483 als 
men op een grooter grondtal overgaat. Het kleinste grondtal is 
nl. direct als een cijfer van het andere talstelsel te schrijven en 
wel als het cijfer volgend op het grootste cijfer voorkomend in 
het talstelsel met het kleinste grondtal. 

486. Voorbeeld ter toelichting. Als voorbeeld nemen we de 
omvorming van het getal 352406, geschreven in het zeventallig 
stelsel, tot een getal in het negentallig stelsel. Het nieuwe grondtal 
h is dan (in het oorspronkelijke, dus in het zeventallig stelsel) 
12. De berekening volgens de methode van n^. 482 loopt aldus 
(in het zeventallig stelsel): 



12 /352406\ 26336 

/24 \ 






'y 


26336\2164 

24 \ 


112 








23 


105 








12 


44 








113 


36 








105 


50 








.56 


36 








51 


116 








5 


105 










11-) 










12 /2164\152 

/l2 \ 


'V'l?\ 


12 




12 /12\ 
/l2^ 


66 


32 









63 


24 








'34 


5 








24 
10') 










In het negentallig stelsel is 


het getal 


dus 


; 105758. 



^) Dit geeft in het negentallig stelsel het cijfer 8 (zie n^. 484) 
2) Dit geeft in het negentallig stelsel het cijfer 7. 



234 
De berekening volgens de methode van n^. 483 is als volgt 



(in het negentallig 


stelsel): 




3 




222 


i- 




2 + 
224^ 


28 




^X 
1681^ 


^X 
222^ 




4 + 
1685^ 



1685 

7 

13358 

7 

105752 
6 



X 
X 

+ 



W5758 

Wil men becijferingen in andere talstelsels dan het tientallige 
vermijden, dan kan men het getal eerst tot het tientallig stelsel 
herleiden (met de methode van n^ 483) en vervolgens tot het 
negentallig stelsel (volgens de methode van n°. 482). De berekening 
is dan aldus: 



X 
X 

+ 



3 


182 




1292 


é- 


,s^ 




7 
9044 


f 


7x 
1288 




7 
63308 


182 >^ 


1292^ 




6 
63314 


9/63314\7034 

/63 \ 




9 / 

/ 


7034 \ 781 

63 \ 


31 






73 


27 






72 


44 






14 


36 






9 


8 






5 


) 7781 \ 86 
7 72 \ 


9 /86\9 

/8l\ 




V%\ 


61 


5 







54 








7 









In het tientallig stelsel is het getal dus 63314 en in het negen- 
tallig stelsel 105758. 
Hoewel men daarbij meer heeft neer te schrijven, voert de 



235 

laatste berekening allicht het snelst tot het doel door de grootere 
gemakkelijkheid, waarmede men in het tientallig stelsel rekent. 

487. Wanneer men omgekeerd het in het negentallig stelsel 
geschreven getal 105758 tot het zeventallig stelsel wil herleiden 
is de (in het negentallig stelsel uitgevoerde) berekening volgens 
de methode van 482 aldus (bedenkend, dat het nieuwe grondtal 
in het negentallig stelsel als 7 wordt geschreven): 

7 /105758\ 13358 7 /13358\ 1685 

^5 "53 

23 46 

27 65 

23 62 

45 38 

38 38 

68 O 

62 
6 

7 /1685\ 224 7 /224\ 28 7 /28\ 3 

/l5 \ /_15 \ /23\ 

18 64 5 

15 62 

35 2 

31 
4 

Het getal is dus in het zeventallig stelsel 352406. 
Bij de methode van n*^. 483 begint men met de cijfers 7 en 
8 van het getal 105758 en het grondtal van het negentallig stelsel 
in het zeventallig stelsel resp. als 10, 11 en 12 te schrijven. De 
berekening is dan aldus (in het zeventallig stelsel): 

1 152 26331 

12^ J 2 5 

12 "^ 2154 ^ 26336 ^ 

144 '^ 2164 ^ 352365 

_i+ _12x ^i + 

152 ^ 26331 352406 ^ 

De omvorming via het tientallig stelsel laten we aan den lezer over. 



HOOFDSTUK III. 
INVOERING DER NEGATIEVE GEHEELE GETALLEN. 



§ 1, Stelsels getallen, waarbij de aftrekking 
onbeperkt mogelijk is. 

488, Permanentie der rekenregels. Wanneer we van de 
in Hoofdst. I, § 8 besproken transfiniete (oneindige) getallen 
verder geheel afzien, kunnen de tot nu toe beschouwde getallen, 
dit zijn de natuurlijke getallen en het getal nul, als aantallen 
elementen eener eindige hoeveelheid optreden. We duiden deze 
daarom (zooals reeds in n^. 291 is opgemerkt), in tegenstelling 
met de getallen, die nog zullen worden ingevoerd (negatieve getal- 
len, gebroken getallen enz.), als aantallen aan. 

Het stelsel der aantallen heeft het vaak hinderlijke bezwaar, 
dat daarin de aftrekking en de deeling niet steeds mogelijk is. 
Met de uitbreidingen, die het getalbegrip heeft ondergaan, wordt 
beoogd deze omgekeerde verbindingen mogelijk te maken (waarbij 
dan echter, zooals blijken zal, aan de deeling steeds de beperking 
moet worden opgelegd, dat de deeler niet nul is). 

Aan iedere uitbreiding van het getalbegrip wordt (zooals het 
woord uitbreiding reeds uitdrukt) de eisch gesteld, dat de reeds 
vroeger gevormde getallen deel uitmaken van het nieuwe stelsel 
getalleny dus dat aan het reeds aanwezige stelsel iets wordt toe- 
gevoegd, maar niets daarvan wordt weggelaten. 

Natuurlijk moeten bij iedere uitbreiding de begrippen „groo- 
ter" „som" en „product" opnieuw gedefinieerd worden. Hierbij 
wordt verlangd, dat daardoor geen wijziging in die begrippen 



237 

gebracht wordt voor de tweetallen getallen, die beide reeds vóór 
de beschouwde uitbreiding tot het stelsel getallen behoorden, dus 
dat de nieuwe definities van grooter, optelling en vermenigvul- 
diging voor deze paren getallen op hetzelfde neerkomen als de oude. 

489. Bij het uitbreiden van hei getalbegrip laat men zich 
verder daardoor leiden, dat men de rekenregels, die voor aantal- 
len gelden, wensckt te behouden. Dit is door Hankel ^) het 
beginsel van de permanentie der formeele wetten genoemd. 

Om verzekerd te zijn, dat de verschillende eigenschappen na 
de uitbreiding van het getalstelsel geldig gebleven zijn, behoeft 
men er zich slechts van te overtuigen, dat de grondeigenschappen 
behouden blijven, daar dit dan voor de daaruit afgeleide eigen- 
schappen van zelf het geval is (zie n°. 10). 

490. We resumeeren hier nog eens de grondeigenschappen, 
daaronder ook het bestaan der verbindingen „optellen" en „ver- 
menigvuldigen" opnemend. Daarbij verdeelen we die eigen- 
schappen in twee groepen. 

/. Grondeigenschappen der rechtstreeksche verbindingen. 

a) Er is een verbinding „optelling'', die uit ieder tweetal 
getallen van het stelsel één en slechts één getal van dat stelsel 
doet vinden. Of anders gezegd: de optelling is in dat stelsel 
mogelijk en ondubbelzinnig. 

b) De optelling is commutatief ; a + b = b -\- a. 

c) De optelling is associatief; {a ^ b) + c = a ^ (b -^ c). 

d) De optelling bezit een modulus; a^ O = a. 

e) Er is een tweede verbinding „vermenigvuldiging'', die uit 
ieder tweetal getallen van het stelsel één en slechts één getal 
van dat stelsel doet vinden. Of anders gezegd: de vermenig- 
vuldiging is in dat stelsel mogelijk en ondubbelzinnig. 

f) De vermenigvuldiging is commutatief; ab = ba. 

g) De vermenigvuldiging is associatief; a(bc) = (ab)c. 

h) De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de 
optelling; (a + b)c = ac -\- bc. 



^) Hermann Hankel. Theorie der complexen Zahlensysteme. 1867. 



238 

/) De vermenigvuldiging bezit een modulus; I . a = a. 
IL Gronde/genschappen der volgorde (grooter en kleiner). 

a) Voor ieder tweetal getallen a en b van het stelsel bestaat 
één en slechts één der drie volgende betrekkingen: 

a = b, 

a > b {ook te schrijven als b < a), 

a < b {ook te schrijven als b > a). 

b) Is a > b en b > c, dan is a > c. 

c) Is a> b, dan is a ^ c > b + c. 

491. Algemeene eigenschap betreffende de mogelijkheid en 
ondubbelzinnigheid der aftrekking. Zooals reeds in n^ 68 is 
opgemerkt, blijft de aftrekking bij iedere uitbreiding van het getal- 
begrip als de omkeering der optelling gedefinieerd. Het gaat 
er daarbij dus om het getal x zoo te bepalen, dat aan 

x + b = a (23) 

voldaan is, waarin a en b gegeven getallen zijn. 

De vraag, die zich nu voordoet, is deze of aan de vergelijking 
(23) kan worden voldaan en of aan die vergelijking door niet 
meer dan één getal kan worden voldaan, dus of de aftrekking 
mogelijk en ondubbelzinnig is. 

Men heeft dienaangaande de volgende algemeene eigenschap: 

Voor een stelsel getallen is de aftrekking steeds mogelijk en 
ondubbelzinnig als de eigenschappen Ia, b ^), c, d van n^. 490 
(grondeigenschappen der optelling) gelden en bovendien de afirek- 
king van nul (d. w. z. met aftrektal nul) steeds mogelijk is. 

In het onderstelde behoeft niet te worden opgenomen, dat de 
aftrekking van nul ondubbelzinnig is. Die ondubbelzinnigheid blijkt 
achteraf (d. w. z. als de stelling is aangetoond) van zelf aanwezig 
te zijn als gevolg van de mogelijkheid der aftrekking van nul. 

492. Om de ondubbelzinnigheid der aftrekking aan te toonen 
nemen we aan, dat door een zekere waarde van x aan de ver- 
gelijking (23) voldaan is. Volgens het laatste deel van het onder- 



^) De commutatieve eigenschap der optelling maakt, dat er van slechts 
één soort aftrekking sprake is (zie n^. 68). 



239 

stelde der eigenschap van n^ 491 kan men een getal y bepalen, 
waarvoor aan 

y + b = (313) 

voldaan is. Hieruit volgt in verband met (23): 
{x-\- b)-\-y = a-{~y, 
x-^{y -\- b) = a-j-y, 
x-j-O = a-\-y, 

x = a+y. (314) 

Hiermede is aangetoond, dat het getal x, dat aan de verge- 
lijking (23) van n^. 490 voldoet, niets anders zijn kan dan a-\-y, 
dus dat de aftrekking, zoo ze mogelijk is, ondubbelzinnig is. 
In hiet bijzonder kan men dus besluiten, dat aan de vergelijking 

x-\-b = b, 
waaraan voldaan is door a: = O, door geen andere waarde van x 
voldaan wordt, dus dat de optelling geen andere modulus heeft 
dan het getal O (iets dat voor het bewijs niet behoefde onder- 
steld te worden). 

We merken nog op, dat bij dit bewijs van de ondubbelzinnig- 
heid der aftrekking niet (zooals in n^. 69) van de grondeigen- 
schappen der volgorde gebruik gemaakt is, maar dat in plaats daar- 
van nu de mogelijkheid der aftrekking van nul getreden is. 

493. Daar in n*^. 492 uitgegaan is van de nog niet bewezen 
onderstelling, dat aan de vergelijking (23) kan worden voldaan, 
en alleen bewezen is, dat als daaraan kan worden voldaan dit 
slechts door x = a-\-y mogelijk is, moet nog worden aangetoond, 
dat door x = a-\-y werkelijk aan (23) voldaan wordt. Dit geschiedt 
door X = a +3; in het eerste lid van (23) te substitueeren (d. w. 
z. daarin x door a + y ie vervangen), waardoor dit overgaat in: 

(a -^y) -{-b = a-\-(y-\-b) = a-{-0 = a 
en dus inderdaad gelijk wordt aan het tweede Hd van (23). 
Hiermede is (uitgaande van de in n^. 491 genoemde onder- 
stellingen) de mogelijkheid der aftrekking aangetoond. 

494. Gevolgen van de mogelijkheid der aftrekking. In het 

voorgaande is gebleken, dat de aftrekking mogelijk en ondubbel- 
zinnig is, als het getalstelsel van dien aard is, dat behalve de in 



240 

n^ 490 genoemde grondeigenschappen nog de volgende grond- 
eigenschap geldt: 

De aftrekking van nul (modulus der optelling) is mogelijk. 

Alvorens tot een zoodanige uitbreiding van het getalbegrip over 
te gaan, dat die grondeigenschap geldig wordt, zullen we daaruit 
enkele gevolgtrekkingen afleiden. 

495. Om te beginnen merken we op, dat de formules {29), 
{31)— (38), {42) en {59)-{61) van n\ 77, 79—83, 87 en 103—104 
zonder uitzondering geldig geworden zijn, dus zonder dat be- 
perkende ongelijkheden (die dienden om de verschillende aftrek- 
kingen mogelijk te maken) noodig zijn; de van die formules 
gegeven bewijzen, die op de grondeigenschappen van n^. 490 
berusten, blijven nl. van kracht. De door de formules uitgedrukte 
eigenschappen krijgen nu niet alleen een eenvoudiger formuleering, 
maar ook een ruimere geldigheid. Hierin bestaat het groote 
voordeel der uitbreiding van het getalbegrip. 

Tevens zal blijken, dat de genoemde formules door de onbe- 
perkte mogelijkheid der aftrekking op veel eenvoudiger, of althans 
doorzichtiger, wijze kunnen worden aangetoond (zie n^. 499 en 
511) en zoo kunnen worden opgevat, dat ze slechts als bijzondere 
vormen verschijnen van formules, waarin geen aftrekking maar 
optelling voorkomt. Dit geeft een aanmerkelijke vereenvoudiging 
der theorie. 

496. De eigenschappen van n^ 84, 85 en 88 kunnen nu korter 
zoo worden uitgesproken: 

Is a> b, dan is a — c > b — c. 

Men heeft dan en alleen dan a — b — c — dalsa~\-d = c-\-b is. 
Men heeft dan en alleen dan a — b> c — üJ als a-\-d> c^b is. 
De daarvan gegeven bewijzen blijven geldig, maar kunnen weer 
op meer overzichtelijke wijze gegeven worden (zie n^ 500). 

497. Terugbrenging der aftrekking tot de optelling. We 

maken nu eenige verdere gevolgtrekkingen uit de grondeigen- 
schappen van n^ 490 en 494. 

De oplossing der vergelijking (23) van n^ 491 wordt door a — b 
voorgesteld. De oplossing der vergelijking (313) van n^ 492 is 
dan O — b, waarvoor men kortweg — b schrijft. Men kan dus ook 



241 

zeggen, dat het getal — b gedefinieerd wordt door de betrekking 

— b-\-b = 0. (315) 
In deze formule (die ook als b -\- ( — b) = O geschreven kan 

worden) spelen de getallen ^ en — b dezelfde rol, m. a. w. het 
verband tusschen b en — b is wedenkeerig of reciprook. Van deze 
getallen wordt het eene het tegengestelde van het andere genoemd. 
De wederkeerigheid van het verband tusschen ^ en — b wordt 
ook uitgedrukt door de uit (315) voortvloeiende formule: 

— {—b) = b. (316) 
Uit O + O = O volgt = — 0, dus: 

— = 0, (317) 

zoodat het getal nul gelijk is aan zijn tegengestelde. 

498. Door de notaties van n^ 497 kan voor de vergelijking 
(314) van n^. 492 (die de oplossing der vergelijking (23) aangeeft) 
geschreven worden: 

a'— b = a + (— b), (318) 

Deze belangrijke formule drukt uit, d.at de aftrekking op te 
vatten is als vervanging van den aftrekker door zijn tegengestelde 
(waarbij dus de aftrekker van nul wordt afgetrokken) gevolgd 
door optelling bij het aftrektal. 

Door deze terugbrenging van de aftrekking tot optelling kunnen 
verschillende eigenschappen der aftrekking als eigenschappen van 
de optelling geïnterpreteerd worden. 

499. Vereenvoudiging van de eigenschappen der aftrekking. 

Met behulp van de formule (318) kunnen de formules (29), (36) 
en (37) van n^. 77 en 83 aldus uit de eigenschappen der optelling 
worden afgeleid: 

a^{b — c) = a^[b^ {—€)) = 

= ^a ^ b) \- {— c) = (a^ b) — c, (29) 

{a — b) — c = {a^-(- b)) ^(—c) = 

= {a -f (- c)} -^{-b)=^{a-c)- b, (36) 

a^{b-c) = a-\-{b + {—c)}^ 

- ^ + {a + (- c)} - ^ + (a - c). (37) 

Ook kan (37) door tweemalige toepassing van (29) worden 
aangetoond. 

FRED. SCHUH, Leerboek der Theoretische Rekenkunde. 16 



242 

500. Op soortgelijke wijze bewijst men de eigenschappen van 
n°. 496. Uit a > ^ volgt in verband met de eigenschap lic van n^ 490: 

a^{—c)>b-{-(-c), 
a — c > b — c, 
waarmede de eerste eigenschap van n°. 496 is aangetoond. 
Uit a — b = c — d volgt: 

a-^{—b)==c-\-(—d), 
a-^-(—b)-^b-\-d = c-\-(—d) + b^d, 
a^ d = b ^ c. 
Evenzoo vormt men de laatste gelijkheid tot a — b = c — d 
om, waarmede de tweede eigenschap van n^. 496 is aangetoond. 
Een overeenkomstig bewijs kan van de derde eigenschap gege- 
ven worden. 

501. De in n^. 499 en 500 gegeven bewijzen zijn zoo een- 
voudig, dat het nauwelijks de moeite waard is de betreffende 
eigenschappen der aftrekking naast de eigenschappen der optelling, 
waartoe ze zijn teruggebracht, te vermelden. Door a — b slechts 
als een afkorting voor a-\- ( — b) te beschouwen, kan men zeggen, 
dat de in n^. 499 bewezen formules niets anders dan reeds bekende 
eigenschappen der optelling zijn. 

Door de formule (318) kan de aftrekking om zoo te zeggen 
als nieuwe verbinding worden uitgeschakeld, mits men het vormen 
van het tegengestelde van een getal behoudt. Dienovereenkomstig 
heeft men in een uitdrukking als 

a — b — c + d (319) 

een optelling der vier getallen a, — b, — c en üf te zien, waar- 
mede tevens gezegd is, dat de bepaling van (319) van links naar 
rechts moet worden uitgevoerd, dus dat daarmede bedoeld is: 

{(a — b) — c} + d. 



502. Product met een factor nul. Uit de grondeigenschappen 
/ van n^. 490 volgt: 

ab ^ a , O = a (b -\- 0) = ab. 



243 

Hieruit volgt in verband met de grondeigenschappen Ila en c: 
O , a = a . O = 0\ (320) 

uit a . O > O of < O zou nl. volgen: 

ab -\- a .0 > ab of < ab, 

In woorden luidt (320): 

Een product is nul als een zijner factoren nul is. 

Deze eigenschap, die we in n^. 304 voor aantallen hebben 
aangetroffen, is dus een gevolg van de grondeigenschappen van 
n°. 490 en bijgevolg zelf geen grondeigenschap. Bij de verschillende 
uitbreidingen van het getalbegrip behoeft dus de formule (320) 
niet afzonderlijk te worden aangetoond (hetgeen overigens zonder 
moeite geschieden kan). 

503. De formule (320) kan ook uit de grondeigenschappen 
ƒ van n^ 490 in verband met de grondeigenschap van n°. 494 
worden afgeleid. Uit de formule (315) van n^ 497 volgt nl: 

a. O = + a.0 = 
= {— ab~\-ab)-\- a .0 = — ah + {ab -i- a .0) = 
= — ab -{- a(b -\-0) = ~ab-{-ab = 0, 
In plaats van de grondeigenschappen der volgorde is hierbij 
de mogelijkheid der aftrekking van nul gebruikt. 

504. Enkele eigenschappen betreffende vermenigvuldiging 
en aftrekking. Uit (315) volgt in verband met (320): 

a(~- b -^b) =a.0, 
a{—b)-\-ab = O, 
dus: 

a{—b) = — (ab). (321) 

In woorden luidt dit (door van het tweede lid uit te gaan): 
Men vormt het tegengestelde van een product door een der 
factoren van het product door zijn tegengestelde te vervangen. 
Uit (321) volgt natuurlijk verder nog: 
a{—b) = (— a) b. 

505. Uit (321) vindt men door b = \ \q nemen: 

a(-\) = -(a. 1), 
dus : 

(—\)a = — a. (322) 



244 

In woorden luidt dit: 

Door een getal met — 1 te vermenigvuldigen krijgt men het 
tegengestelde van dat getal. 

Men kan dit ook zoo uitdrukken, dat aftrekken van nul op 
hetzelfde neerkomt als vermenigvuldigen met — /. 

506. Uit (321) volgt door a door — a te vervangen; 

(_ a) {—b) = — {(^ a)b} = — (- ab), 
dus in verband met (316): 

(— a) (- b) = ab. (323) 

Men heeft dus: 

Een product van twee factoren verandert niet als men beide 
factoren door hun tegengestelde vervangt. 

Deze eigenschap, die van n^ 504 en die van n^ 505 zijn blijk- 
baar afgeleide eigenschappen. We merken nog op, dat voor het 
bewijs daarvan niet van de grondeigenschappen der volgorde 
gebruik is gemaakt. 

507. Door in (323) a = b = \ te nemen vindt men: 

(— Xf = 1. (324) 

Hieruit leidt men verder af: 

(- 1)3 = (- 1) (- \Y = (- 
(- 1)^ = (- 1) (- 1)3 = (- 
(- 1)^ = (- 1) (- 1)* = (- 

enz. 
Men vindt zoo: 

( — If = 1 als n even is, 

( — /)" = — 7 als n oneven is. 

Dit kan ook aldus geschreven worden: 

(— l)''^ = 1, (— 1)'""' = - 1. (325) 

Hierin is n een aantal. 

Uit (322) en (324) zijn, in verband met de commutatieve, 

associatieve en de moduluseigenschap der vermenigvuldiging, 

aldus de formules (321) en (323) terug te vinden: 

a{— b) = a{(— 1)^} = (— 1) {ab) = — {ab), 

{-.a){-b)^{(-\)a){{-\)b} = 

= (— \y(ab)= 1 . (ab) = ab. 



!)• 


1 = - 


- 1, 


1)^ 


= 1, 




!)• 


1 =- 


-1, 



245 

De formules (322) en (324) maken dus de formules (321) en 
(323) min of meer overbodig. 

508. Verdere vereenvoudiging van de eigenschappen der 
aftrekking. Met behulp van (322) kan de formule (318) van 
n''. 498 ook aldus geschreven worden: 

a — b = a + {— \)b. (326) 

Hierdoor is de aftrekking tot vermenigvuldigen met — 1 en 
optellen teruggebracht. 

Dit maakt, dat zonder uitzondering alle eigenschappen der 
aftrekking een onmiddellijk uitvloeisel worden van die van de 
optelling en de vermenigvuldiging. De bijbehoorende formules 
zijn nl. door slechts aan optellen en vermenigvuldigen te denken 
onmiddellijk neer te schrijven. Men krijgt zoo een nog verder 
gaande vereenvoudiging dan de in n^. 499 — 501 besprokene (zie 
n^ 511). 

509. Uit de distributieve eigenschap der vermenigvuldiging 
volgt in verband met de formule (322) van n^. 505: 

_ (a + b) = (— 1) {a + b) = (—\)a-^{—\)b = — a + (- b). 
Men heeft dus: 

, — (a + ^) = — a + (— ö), (327) 

hetgeen ook zoo te schrijven is: 

— {a-\- b) = — a — b. 

Vervangt men in (327) b door — b, dan vindt men volgens 

(316) en (318): 

— {a — b) = — a^b. (328) 

510. Door volledige inductie is (327) aldus tot een som van 
een willekeurig aantal termen uit te breiden: 

- (ai + a^ + . . . . + a„) - — ai -|-(— ^2) + . . . . + (— a^,), (329) 
of: 

n n 

— Z ö^z = S — di- 
i=l 1=1 

In plaats hiervan schrijft men ook: 

— (ai + ag + . . . . + a^) = — a^ — a2 — .... — a^. 
In woorden luidt (329): 



246 

Men vormt het tegengestelde van een som door ieder der 
termen van die som door zijn tegengestelde te vervangen, 

511. Met behulp van (327) en (328) kan men zonder eenige 
moeite al die formules voor den dag brengen, waarbij het 
teeken — voor een uitdrukking tusschen haakjes staat. We laten 
hiervan eenige voorbeelden volgen: 

(a - ö) - c = {a + (- b)} + (- c) = 
= a + {— ö + (— c)} = a + {— (ö + c)} = 

= ö — (ö + c\ (31) 

a — {h — c) = a^{—{b — c)) = 
= ö -h (— ö + c) - (ö + c) + (— ö) = 

= (a + c) - ö, (32) 

(a-h)-{c-d) = [a-\- (- b)} + {- (c - d)) = 
= {a^{—b)}-^{—c^d) = {a + d) + {—b + (— c)} = 

= (a + d) + {- (b + c)} = (a + d) - (b -{- c), (34) 

(ö + c) - (ö + c) = (a + c) + {- {b + c)} = 
= (a^c) + {-b^{- c)} = {a-\-(- b)} + {c + (- c)} = 

= {a — b)^0 = a — b. (42) 

Uit (318) en (321) volgt verder nog: 

ac — bc = ac -\- ( — bc) = 
= ac-\-(— b)c = {a + (— b))c = (a — b)c. (59) 



512. Positieve en negatieve getallen. Een van nul verschil- 
lend getal van het stelsel is volgens de grondeigenschap Ila van 
n^. 490 óf > O óf < 0. In het eerste geval wordt het getal 
positief, in het tweede geval negatief genoemd. 
Is het getal a b.v. positief, dus 

a>0, 
dan volgt daaruit in verband met de grondeigenschap Ik'. 
— ö + ö'> — ö + O, 
O > — a, 
— ö < 0. 



247 

Omgekeerd leidt men uit a < O af, dat — a > O is. We 
vinden dus: 

Het tegengestelde van een positief getal is negatief en het 
tegengestelde van een negatief getal positief. 

Hieruit blijkt tevens, dat een stelsel getallen, waarvoor de in 
n^. 490 en 494 genoemde grondeigenschappen gelden, zoowel 
positieve als negatieve getallen bevat. 

Een andere gevolgtrekking uit de eigenschap is, dat nul het 
eenige getal is, dat gelijk is aan zijn tegengestelde (zie n^. 497). 

513. Uit a> b volgt in verband met de eigenschap Ik van 
n\ 490: 

a + (—b)>b-\-{— b), 
a — b>0. 

Daar men evenzoo uit a — b > O ioi a > b (of uit a < b tot 
a — b < 0) besluit, vinden we: 

Zijn a en b twee verschillende getallen, dan is a> b of < b 
al naar gelang a — b> O (positief) dan wel < O (negatief) is. 

514. Voor de formule (328) van n°. 509 kan men schrijven: 

^^a-b) = -a + {-{-b)}= , 
= -a-(-b). 
Is nu a> b, dan is a — b positief, dus — (a — b) negatief, 
dus — a — ( — b) negatief, dus — a < — b. Men heeft dus: 
Is a > b, dan is — a < — b. 

Men kan dit ook bewijzen door uit a > b af te leiden: 
a-^(-a) + {-b)>b + (- a) + (- b), 
O + (— ö) > O + (- a), 
— b> — a. 

515. Product van positieve getallen. We nemen verder aan, 
dat voor het beschouwde stelsel getallen de volgende eigen- 
schap geldt: 

Is a> O en b > O, dan is ab > 0. 
Of anders uitgedrukt: 

Het product van twee positieve getallen is positief. 
Deze eigenschap is niet uit de grondeigenschappen af te leiden, 
dus zelf een grondeigenschap. 



248 

516. Is a > ö en c > O, dan volgt uit de eigenschappen van 
n'. 513 en 515: 

a — b > O, 
(a — b)c > O, 
ac — bc > O, 
ac > bc. 
Men heeft dus: 

Is a > b en c > O, dan is ac > bc. 
Of anders uitgedrukt: 

De betrekking „grooter" tasschen twee getallen blijft bestaan als 
men beide getallen met een zelfde positief getal vermenigvuldigt. 

517. Is c < O, dan is (volgens de eigenschap van n^. 512) 
- c > 0. \]\i a> b volgt dan (wegens de eigenschap van n^ 516): 

a{— c) > b{— c), 
dus in verband met (321): 

— ac> — bc. 
Hieruit volgt weer in verband met de eigenschap van n°. 514: 

ac < bc. 

Men heeft dus: 

Is a> b en c < O, dan is ac < bc. 

Hieruit blijkt, dat de betrekking „grooter'' in „kleiner'' overgaat 
(en omgekeerd) als men beide getallen met een zelfde negatief 
getal vermenigvuldigt. 

518. Door in de eigenschap van n°. 516 ö = O (of in die van 
n^ 517 b = 0) te nemen vindt men: 

Is b < O en c > O, dan is bc < 0. 

Men kan dit ook zoo formuleeren, dat het product van een 
positief en een negatief getal negatief is. 

Neemt men in de eigenschap van n^ 517 a = 0, dan vindt men: 

Is b < O en c < O, dan is bc > 0. 

Dit drukt uit, dat het product van twee negatieve getallen 
positief is. 

Uit het voorgaande volgt verder nog, dat de modulus 1 der 
vermenigvuldiging positief is. Is nl. a een positief " getal, dan 
volgt uit \ . a = a in verband met de eigenschap van n°. 502, 



249 

dat 1 niet aan O gelijk is, en uit de eerste eigenschap van dit 
nummer, dat 1 niet negatief is ^). 

519. Uit de grondeigenschap van n^. 515 en de eigenschappen 
van n^ 518 blijkt, dat het product van twee getallen, die geen 
van beide nul zijn, eveneens van nul verschilt. Men kan dit 
aldus met de eigenschap van n^ 502 samenvatten: 

Een product van twee getallen is dan en alleen dan nul als 
een der factoren nul is. 

Door volledige inductie is dit tot een product van meerdere 
factoren uit te breiden. 

Uit de eigenschap blijkt opnieuw, dat nul het eenige getal is, 
dat gelijk is aan zijn tegengestelde (zie n^. 512). Uit 

X = — X 
volgt nl.: 2x = O, dus (daar 2 = 1 -|- 1 > O is) x = 0. 

520. Absolute waarde van een getal. Onder de absolute 
(of volstrekte) waarde van een getal a verstaat men het getal a 
als a positief is en het getal — a als a negatief is; voor de 
absolute waarde van nul neemt men dat getal zelf. 

De absolute waarde van a wordt door | a \ voorgesteld. Blijkens 
— = (zie n\ 497) heeft men dus: 

\a\ = a als a positief of nul is, 
\a\ = — a als a negatief of nul is. 

521. Uit de eigenschap van n^. 512 blijkt, dat a positief is 
als a van nul verschilt, zoodat men heeft: 

|a|^0; (330) 

\a\ = O geldt dan en alleen dan als a = O is. 
Verder volgt uit de eigenschap van n^ 512 nog: 

\a\ = \ — a\. (331) 

In woorden luidt dit: 

Twee getallen, die eikaars tegengestelde zijn, hebben dezelfde 
absolute waarde. 



^) De betrekking 1 > O blijkt dus een gevolg der grondeigenschappen 
te zijn. 



250 

522. Zijn a en b beide positief, dus ook ab positief (zie n^ 515), 
dan is volgens de definitie van n'^. 520: 

\a\.\b\ = ab=\ab\. 
Zijn a en b beide negatief, dus ab positief (zie n^ 518), dan 
is, in verband met de formule (323) van n^ 506: 
\a\.\b i = (— a) {—b) = ab = \ ab |. 
Is a positief en b negatief, dus ab negatief, dan is in verband 
met de formule (321) van n^. 504: 

\a\ .\b\ = a{— b) = — ab = \ab\. 
In al deze gevallen heeft men dus: 

\ab\ = \a\.\b\. (332) 

Deze formule geldt ook nog als a oi b nul is, daar dan beide 
leden nul zijn. 

Door volledige inductie is (332) uit te breiden tot: 

öjflg . . . . ö« I = I öi I . I ^2 1 . . . . I a;z |. (333) 

In woorden luidt dit: 

De absolute waarde van een product is gelijk aan het product 
van de absolute waarden der factoren. 

523. Absolute waarde van een som. Zijn a enb beide ^ O, 
dan is ook a + ö ^ O (zie de eigenschap van n^ 58). Men heeft 
dan dus: 

\aJrb\ = a^-b= \a\ + \b\. 
Zijn a en b beide ^ O, dan is ook a + ö ^ O, dus in verband 
met (327): 

\a-^b\=- (a + b)=-a + {-b) = \a\ + \b\. 
Men heeft dus: 
Zijn a en b beide positief of beide negatief, dan is: 

\a+-b\ = \a\-{-\bl '(334) 

hetgeen ook nog geldt als a of b nul is. 

524. Van positieve getallen zegt men ook, dat ze het positieve 
teeken (het teeken -{-) en van negatieve getallen, dat ze het 
negatieve ieeken (het teeken — ) hebben. Men kan de eigenschap 
van n^. 523 dus ook zoo uitdrukken: 

De absolute waarde van de som van twee getallen, die 
hetzelfde teeken hebben, is gelijk aan de som van de absolute 
waarden der termen. 



251 

Door volledige inductie blijkt, dat dit ook geldt voor de som 
van een willekeurig aantal termen met hetzelfde teeken. 

525. Is ö > O en ö ^ O, dan is: 
|fl + ö| = ±(a + ö)- 

= ±[\a\^(-\h\)} = ±^\a\-\b\). (335) 

Hierbij is onder ± c een der getallen c (waarvoor ook wel 
-|- c geschreven wordt) en — c te verstaan. 

Daar het eerste lid van (335) ^ O is, geldt in het tweede, 
derde en vierde lid het teeken + of — al naar gelang | a | — \b\ 
^0 of ^0 is, dus al naar gelang | ö | ^ | ^ | of ^ 1 6 1 is. In 
ieder geval kan men echter voor (335) schrijven: 

\a^b\=^\\a\-\b\\ (336) 

Hiervoor kan ook geschreven worden: 

\a-Vb\ = \\b\ — \a\\ (337) 

De formules (336) en (337) gelden ook als a ^ O en 6 ^ O is. 
Men heeft dus: 

Hebben a en b tegengesteld ieeken (d. w. z. is a positief en 
b negatief of omgekeerd), dan is de absolute waarde van de 
som van a en b gelijk aan de absolute waarde van het verschil 
der absolute waarden van a en b. Dit geldt ook nog als a of 
b nul is. 



526. Uit i^l 


> 





en — 

\a\ — 


i^! ^ volgt: 

\b\^\a\. 


waaruit: 






\a\' — 


\b\^\a\ + \bl 


Evenzoo is: 






1^1- 


\a\ ^ \a\-\- \bl 


dus: 











a\ — I.ÖI ^ la! + \b\. 



In het in n°. 523 beschouwde geval is dus: 

\a + b\^\\a\-\b\\ 
en in het in n^. 525 beschouwde geval: 

' \a+ b\^\a\ + \b\. 



252 

Hierbij geldt overal het teeken = dan en alleen dan als ö = O 
of b = is. 
In ieder geval heeft men dus: 

||a| — \b\\ ^ \a + b\'^ \a\-\- \b\. (338) 

Hieruit leidt men in verband met de formules (318) en (331) 
van n^. 498 en 521 af: 

\\a\--\b\\-^\a — b\^\a\ + \b\. (339) 

Men heeft dus: 
j Zoowel van a + b als van a — b is de absolute waarde 

'^\a\ + \b\ en -^\\a\ — \b\\. 

527. Uit \a + b\^\a\^\b\ leidt men af: 

I a + ö + c I = I (ö + ö) + c i ^ 

^ I a + ö j + j c i ^ ( I ö I + I ö I ) + ! c I, 
dus: 

|c + ö + c|^ |ö| + |ö| + !c|. 

Bijgevolg kan door volledige inductie het rechterdeel van (338) 
aldus worden uitgebreid: 

I öi + Ö2 + . . ■. . + a„ I ^ I öi j + I 02 i + . . . . + I ön |. (340) 

In woorden luidt dit: • 

De absolute waarde van een som is kleiner dan of gelijk aan 
de som van de absolute waarden der termen. 

Opgemerkt zij nog, dat het teeken = dan en alleen dan geldt 
als de van nul verschillende termen van de som alle hetzelfde 
teeken hebben, We laten het aan den lezer over dit na te gaan. 



§ 2. Het stelsel der geheele getallen. 

528. Verschillen beschouwd als getallenparen. Bij een stelsel 
getallen van de in de vorige paragraaf beschouwde soort (waarin 
dus de aftrekking onbeperkt mogelijk is) is ieder getal c in 
den vorm a — Z? ^), dus als een verschil te schrijven, terwijl omge- 
keerd ook a — b steeds een getal van het stelsel is als a en ö 
getallen van het stelsel zijn. 

In den vorm van verschillen geschreven wordt de optelling 
volgens de formule (33) van n^. 81 en de vermenigvuldiging 
volgens de formule (61) van n°. 104 uitgevoerd. Verder kan men 
het gelijk of grooter zijn met de tweede resp. derde eigenschap 
van n^ 496 beoordeelen. 

529. Men kan nu het verschil a — b ook opvatten als een 
getallenpaar (a, b), waarbij op de volgorde der getallen gelet 
moet worden. Twee zulke getallenparen worden dan op de 
volgende wijze opgeteld en vermenigvuldigd: 

(a, b) + (c, d) = {a + c, b ^- d\ (341) 

(ö, b) .{€, d) = {ac + bd, ad + bc), (342) 

terwijl men aldus getallenparen vergelijkt: 

Men heeft dan en alleen dan 

(a, b) = (c, d) 
als voldaan is aan: 

a^d = c + b, (40) 

Men heeft dan en alleen dan 

(a, b) > {c, d) 
als voldaan is aan: 

a-\-d> c-\-b. (44) 



1) Men heeft nl.: 

c = {c^-b) — b, 
c ^ a — {a — c)\ 
a oi b kan daarin nog willekeurig worden aangenomen. 



254 

Verder heeft men nog: 

(a, 0) = a. (343) 

Uit deze eigenschappen is het teeken — der aftrekking verdwenen. 

530. Gelijkheid van aantallenparen. Voor de aantallen 
(natuurlijke getallen of nul) gelden de grondeigenschappen van 
n°. 490, echter niet de grondeigenschap van n^. 494. 

Na het in n^. 529 opgemerkte ligt het nu voor de hand het 
getalbegrip uit te breiden door het vormen van getallenparen 
(fl, b), waarin a en b aantallen zijn, dus door het vormen van 
aantallenparen. De formules en eigenschappen van n^ 529 
worden daarbij als definities overgenomen. 

Men heeft hierbij voorloopig in (ö, b) geen verschil te zien, 
maar niets anders dan een aantallenpaar, waarbij op de volgorde 
der aantallen gelet wordt. Dit maakt echter de volgende ontwik- 
keHngen noodig, die we ook zonder meer ter uitbreiding van 
het getalbegrip hadden kunnen vooropstellen. We hebben dit 
niet gedaan, ten einde aan de definities het kunstmatige te ontnemen. 

531. Twee aantallenparen (a, b) en (c, d) worden dan en 
alleen dan gelijk genoemd, hetgeen als 

(ö, b) = (c, d) (344) 

geschreven wordt, als a -\- d = c -\- b is. 

Bij deze definitie spelen beide aantallenparen dezelfde rol, 
zoodat de betrekking van gelijkheid van twee aantallenparen een 
wederkeerige is. 

Deze wederkeerigheid blijkt daaruit, dat de gelijkheid a-\-d = c-^b 
door verwisseHng van beide aantallenparen (dus van a met c en 
van b met d) in c^ b = a + d overgaat, een betrekking, die op 
hetzelfde neerkomt. Men drukt dit uit door te zeggen, dat de 
betrekking a-\- d = c + b symmetrisch is ten opzichte van beide 
aantallenparen. In plaats van (344) kan men dus ook schrijven: 

(c, d) = (ö, b), 

532. Het gelijk zijn van twee aantallenparen beteekent niet, 
dat beide paren hetzelfde zijn; zoo is b.v. (7, 3) = (9, 5). 

Zijn beide aantallenparen hetzelfde, of zooals men ook zegt 

identiek, dan is: 

a = r b = d. 



255 

In dat geval is aan a -\- d = c -^ b voldaan, zoodat identieke 
aantallenparen ook gelijk zijn (terwijl, zooals reeds is opgemerkt, 
het omgekeerde niet het geval behoeft te zijn). Men kan dit ook 
zoo uitdrukken, dat ieder aantallenpaar aan zich zelf gelijk is. 

533. Uit de definitie van n^ 531 leiden we af: 

Is 

(a, b) = {€, d) en {c, d) = {e, ƒ), (345) 

dan is: 

(a, b) = {e, ƒ). (346) 

Of anders gezegd: 

Twee aantallenparen, die aan een zelfde aantallenpaar gelijk 
zijn, zijn ook onderling gelijk. 

Dit is de transitieve eigenschap der gelijkheid van aantallen- 
paren (vergelijk n^ 6). Voor het bewijs daarvan merken we op, 
dat uit (345) volgt: 

a-^d= c + bj 
c + ƒ = e-\- d, 
Hieruit leidt men af: 

{a + d) + {c+f) = {c + b)^{e-^d\ 
{a + ƒ) -{-{c + d) = {e + b) + {c + d). 
Uit de laatste gelijkheid volgt (zie de opmerking aan het eind 
van no. 69): 

a-\-f=e-i~b, 

waèruit de juistheid van (346) blijkt. 

Drukt men het ongelijk zijn door het teeken ^= uit, dan volgt 
uit de transitieve eigenschap door een redeneering uit het 
ongerijmde, dat uit (a, b) = (c, d) en (c, d) =|= {e, f) volgt (a, b) 4= {e, f). 

534. Definitie der geheele getallen. Men kan het aantallen- 
paar (a, b) en alle daaraan gelijke aantallenparen tot één begrip 
vereenigd denken. Dit begrip wordt een gefiee/ getal genoemd. 

Is {c, d) een aan (a, b) gelijk aantallenpaar, dan kunnen (wegens 
de transitieve eigenschap van n^. 533) de aan (a, b) gelijke aan- 
tallenparen even goed als de aan (c, d) gelijke aantallenparen 
beschreven worden. Hieruit blijkt, dat alle aantallenparen, die 
men tot het begrip „geheel getal'' vereenigd heeft, ten aanzien 
van dit begrip dezelfde rol spelen. Ieder dier aantallenparen kan 
dienen om het geheele getal aan te wijzen; we noemen deze 



256 

aantallenparen de representanten van het geheele getal en spreken 
kortweg van het geheele getal (a, b), waarmede dan bedoeld is 
het aantallenpaar (a, b) of ieder daaraan gelijk aantallenpaar. 

535. Bij twee geheele getallen beteekent het gelijk zijn, dat 
ze geheel heizelfde zijn, das dezelfde representanten hebben. Men 
kan ook zeggen, dat twee geheele getallen gelijk zijn als men 
niet met twee geheele getallen, maar met één enkel geheel getal 
te doen heeft. 

Zijn (a, b) en (c, d) representanten van twee geheele getallen, 
dan zijn deze laatste dan en alleen dan gelijk als de aantallen- 
paren (a, b) en (r, d) gelijk zijn. 

536. Geheele getallen, die aantallen en die welke geen 
aantallen zijn. Men identificeert het begrip van het geheele getal 
{a, 0) met dat van het aantal a, d.w.z. men maakt tusschen beide 
begrippen geen onderscheid. Dit kan ook zoo worden uitgedrukt, 
dat het aantal a onder de representanten van het geheele getal 
{a, 0) wordt opgenomen. In formule luidt dit: 

{a, 0) = a. (343) 

Men kan dus ook spreken van het geheele getal a. 

Door de definitie, die in (343) staat uitgedrukt, vallen de aan- 
tallen onder het begrip „geheele getallen". De vorming van dit 
begrip is dus een tweede uitbreiding van het getalbegrip ^). 

We merken nog op, dat de geiallenparen (a, 0) en {b, 0), waarin 
a en b ongelijke aantallen zijn, ongelijk zijn (volgens de definitie 
van n^. 531, in verband met de moduluseigenschap der optelling 
van aantallen), zoodat een geheel getal slechts één representant 
van den vorm (a, 0) kan hebben. Het kan dus niet voorkomen, 
dat een geheel getal met twee verschillende aantallen geïdentifi- 
ceerd wordt. Hieruit blijkt, dat het begrip „gelijkheid'' door de 
beschouwde uitbreiding geen verandering heeft ondergaan. 



^) De eerste is de invoering van het getal nul, waardoor de natuur- 
lijke getallen tot aantallen worden uitgebreid. Zooals in n^. 488 is 
opgemerkt, wordt van de uitbreiding tot transfiniete getallen verder geheel 
afgezien. 



257 

537. Uit de in n^. 531 van gelijkheid van aantallenparen 
gegeven definitie volgt onmiddellijk: 

(a, b) = (a-\-c, b + c), (347) 

daar toch voldaan is aan: 

a + (ö + c) = (a + c) + 6. 
Is c ^ a en ^ b, dan heeft men evenzoo: 

{a, b) = (a — c, b — c). (348) 

Men kan de gelijkheden (347) en (348) ook zoo uitdrukken: 
Een aantallenpaar wordt door een daaraan gelijk aantallenpaar 
vervangen als men beide aantallen van het paar met een zelfde 
aantal vermeerdert of vermindert. 

538. Is b ^ a, dan kan men in de gelijkheid (348) c = b 

nemen, waardoor b — c = O wordt. Men vindt dan: 

(ö, b) = {a- ö, 0), 
dus volgens (343): 

{a, b) = a — b (a ^ b). 
Men heeft dus: 

Is a ^ b, dan is het geheele getal (a, b) gelijk aan a — b, dus 

een aantal. 

In het bijzonder heeft men: 

(a, a) = 0. (349) 

539. Heeft men: 

dan volgt daaruit: 



(a, b) = c 1), (350) 



(a, b) = (c, 0), 
a + O = c -h ö, 
a^b. 
Voor a <b kan dus (350) niet gelden, waaruit volgt: 
Is a < b, dan is het geheele getal (a, b) geen aantal. 
Men kan dit met de eigenschap van n^ 538 aldus samenvatten: 
Het geheele getal {a, b) is een natuurlijk getal, nul of geen 
aantal al naar gelang a > b, = b of < b is. 

540. \s a < b, dan kan men in de gelijkheid (348) van n^ 537 
c = a nemen, waardoor deze overgaat in: 

(a, b) = {0, b — a). (351) 

^) Hierin is c een aantal; voorloopig stellen de gewone (Latijnsche) 
letters aantallen en de Grieksche letters geheele getallen voor. 

FRED. SCHUH, Leerboek der Theoretische Rekenkunde. 17 



258 

Daar b — a voor a < b een natuurlijk getal is, heeft men dus : 
Een geheel getal, dat geen aantal is, is te schrijven als een 

aantallenpaar, waarvan het eerste aantal wel, maar het tweede 

niet nul {dus een natuurlijk getal) is. 
We merken nog op, dat de gelijkheid (351) ook nog geldt 

voor a = b. Wegens (349) is (351) dan echter overbodig. 



541. Definitie van grooter en kleiner bij geheele getallen. 

Men schrijft: 

{a, b) > (c, d) (352) 

dan en alleen dan als voldaan is aan: 

a + d> c-\- b, ' (44) 

In plaats van (352) schrijft men ook: 

(c, d)< (a, b). 

Daar (44) hetzelfde is si\s c -^ b < a -\- d, heeft men: 

(ö, b)> of < {c, d), 

al naar gelang 

a-\- d > of < €-{- b 
is. 

542. Uit de definitie van n°. 541 leidt men gemakkelijk af: 

{a\ b') = (a, b), {c\ d') = (c, d) en (a, b) > (c, d), (353) 

dan is ook: 

(a', b') > (c\ d% (354) 

Uit (353) volgt nl.: 

a^ + b = a + b', 

d' + c = d-\-c\ 

a + d> c + b. 

Hieruit volgt in verband met de eigenschap van n^ 49: 

(fl' -\-b)-\- (d' + c) + {a + d)> {a-h b') + (d + c') + (c + b\ 

{a' + d')^{a + b + c + d)>(c' + b') + (a-\-b-^c-^ d), 

waaruit in verband met de eigenschap van n°. 84 volgt: 

a'-\-d' = c' + b\ 
Dit beteekent echter hetzelfde als (354). 



259 

543. Uit de eigenschap van n^ 542 blijkt, dat bij aantallen- 
paren de betrekking ,,grooter of kleiner'' blijft bestaan als men 
die aantallenparen door daaraan gelijke vervangt. 

Dit maakt, dat men de definitie van grooter en kleiner van 
aantallenparen op de daardoor gerepresenteerde geheele getallen 
kan overdragen. 

544. Het begrip „grooter" voor geheele getallen is een uit- 
breiding van dat voor aantallen. Hiermede wordt bedoeld, dat 
de nieuwe definitie van grooter, toegepast op geheele getallen, 
die tot aantallen te herleiden zijn (dus waarbij onder de repre- 
sentanten aantallen voorkomen), tot hetzelfde resultaat voert 
als de oorspronkelijke definitie (zie n^. 488). Om dit te bewijzen 
merken we op, dat het aantal a volgens de nieuwe definitie 
grooter dan het aantal b is als men heeft: 

(ö, 0) > (ö, 0), 
a + O > ö + O, 
a> b, 
dus als a volgens de oude definitie > b is. 

545. Eigenschappen betreffende grooter en kleiner. Uit 

het voorgaande blijkt, dat de grondeigenschap lla van n^. 490 
voor geheele getallen geldig is. 

Ook de eigenschap llb blijft voor geheele getallen doorgaan. Uit 

(a, b) > (c, d), (c, d) > [e, f) 
volgt nl. : 

a^d> c-^b, 

c+f>e + d, 

waaruit in verband met de eigenschap van n^. 57 volgt: 

{a + d) + {c + ƒ) >{c + b)-\-{e + d), 

(a + ƒ) + (c + d)> (e-^b) + {c + d), 

a+f> e-^b, 

(a, b) > {e, f). 

546. Uit O = (O, 0) blijkt, dat aan 

(a, b)>0 
voldaan is als a + O > O + ö, dus als a > ö is. Voor a < b oi 
= ö is (a, b) <0 resp. = O, zoodat men heeft: 



260 

Het geheele getal (a, b) is positief, negatief of nul al naar 
gelang a > b, < b of = b is. 

547. In verband met de laatste eigenschap van n^ 539 volgt 
hieruit: 

De positieve geheele getallen zijn de natuurlijke getallen. De nega- 
tieve geheele getallen zijn de geheele getallen, die geen aantal zijn. 

Uit dit laatste volgt in verband met de eigenschap van n^ 540: 

Een negatief geheel getal is ie schrijven in den vorm {O, a), 
waarin a een natuurlijk getal is. 

\s a > b, dan is O + è < O + a, dus: 

(O, a) < (O, b). (355) 

Daar men omgekeerd uit (355) tot a > b kan besluiten, is dan 
en alleen dan aan {355) voldaan als a > b is. 

548. Definitie der optelling van geheele getallen. Onder 

de som 

(a, b) + {c, d) 

der aantallenparen (a, b) en (c, d) verstaat men het aantallenpaar 

(a + c, b + d). 
Hieruit volgt zonder moeite: 

Is 

(a, b) = (a\ b') en (c, d) = {c\ d% (356) 

dan is: 

(a, b) + (c, d) = {a\ b') + {c\ d% (357) 

Uit (356) volgt nl: 

a + b' ==a'-\-b, 

c + d' = c' -\-d, 
waaruit men afleidt: 

(a + b') + (c + d') = ia' -\- b) + (c' + d),. 

(a + c) + {b' + d') = (a' + c') + (^ -f flf), 

(a + c, b + d) = {a' -\- c\ b' + d'). 

Hieruit besluit men tot (357). 

549. Uit de eigenschap van n°. 548 blijkt, dat een som van 
twee aantallenparen door een daaraan gelijk aantallenpaar ver- 
vangen wordt als men de termen dier som door daaraan gelijke 
aantallenparen vervangt. 

Dit maakt weer, dat men de definitie van optelling van de 
aantallenparen op de daardoor gerepresenteerde geheele getallen 



261 

kan overdragen. De som van twee geheele getallen « en /3 is 
dan het geheele getal ^ + l3, dat gerepresenteerd wordt door een 
aantallenpaar, dat men verkrijgt door een representant van a en 
een representant van |S op te tellen; welke representanten men 
daarvoor kiest heeft op het geheele getal, dat ontstaat, geen 
invloed. 

550. Dat de optelling van geheele getallen een uitbreiding is 
van de tot na toe beschouwde optelling, is verder gemakkelijk 
aan te toonen. Men heeft nl.: 

(a, 0) -f (^, 0) = (a + ^, O + 0) = (a + ^, 0) = a + b, 
zoodat het op hetzelfde neerkomt of men van {a, 0) en {b, 0) de 
som vormt volgens de nieuwe definitie, dan wel van a en 6 
(welke aantallen resp. aan (a, 0) en (b, 0) gelijk zijn) volgens de 
oude definitie. 

551. Is een der termen van de som een aantal, dan heeft men: 

(a, b) + c = (a, b) + (c, 0) = (a + c, b + 0) = {a + c, b), 

dus: 

{a, b) + c = {a + c, b). (358) 

Evenzoo is: 

c + (a, b) = {a-^ c, b) i). 

Het blijkt dus, dat een aantallenpaar met het aantal c ver- 
meerderd wordt door het eerste aantal van het paar met c te 
vermeerderen. 

552. Grondeigenschappen der optelling van geheele getallen. 

Uit het in n^ 549 gevondene ziet men, dat de grondeigenschap 
Ia van n^ 490 ook voor geheele getallen blijft doorgaan. We 
willen dit nu ook voor de overige grondeigenschappen der optel- 
ling bewijzen. Dit geschiedt door deze tot de overeenkomstige 
eigenschappen voor aantallen terug te brengen. 

Voor de commutatieve eigenschap (Ib) loopt dit bewijs aldus: 
(a, b) + (c, d) = {a -¥ c, b -^ d) = 
=^{c + a, d^b) = (c, d) + {a, b) 
en voor de associatieve eigenschap (fc): 



^) Dit is een gevolg van de vorige gelijkheid als eerst de com- 
mutatieve eigenschap der optelling voor geheele getallen is aangetoond 
(zie no. 552). 



262 ^ 

{(a, b) + (c, d)) + {e, f) = (a-\-c,b + d)-\- {e, f) = 
= ({a + c) + e, {b-}-d)+f) = (a + {c + e), b + id-\-f)) = 

= (a, b) + (c + e, d+f) = (a, b) + {(c, öf) + (e, ƒ)}. 
Het bewijs van de moduluseigenschap (ld) is als volgt, lettend 
op (358): 

(a, b) + = (a-}- O, b) = (a, b). 

553. We willen nu de grondeigenschap lic van n^ 490 voor 
geheele getallen aantoonen. Is 

(a, b) > (r, d), 
dan geldt (zie n°. 541): 

a + d> c-\- by 
dus volgens de eigenschap van n°. 49: 

(a + d) + (e + ƒ) >{c + b) + (e + ƒ), 
{a + e) + (d + ƒ) >(c + ^) + (^ + ƒ), 
(a + ^, Z;+/)>{c + e, ^+/), 
(a, b) + (^, ƒ) > (c, d) + (^, ƒ). 

554. Definitie der vermenigvuldiging van geheele getallen. 

Onder het product (a, b) . (c, d) der aantallenparen (a, b) en 
(c, d) verstaat men het aantallenpaar 

{ac + bd, ad -\- bc). 
Voor de vermenigvuldiging gelden geheel soortgelijke beschou- 
wingen als voor de optelling. Zoo heeft men: 
Is (a, b) = (d, b% dan is: 

(a, b) .(€, d}=^ (d, b') . (c, d). 
Daarvoor moet worden aangetoond: 

{ac + bd, ad + bc) = (de + b'd, dd + b^c), 
(ac + bd) + (dd -j- b'c) = (de + b'd) + (ad + bc), 
(a + b')c + (b-h d)d = (d + b)c + (b' + a)d. 
Dit laatste nu volgt onmiddellijk uit a + b' = d + b. 
Even zoo blijkt, dat voor (e, d) = (c\ d) aan 

(a, b) . (c, t^) = (a, ^) . (c', d) 
voldaan is ^). 

Uit het voorgaande volgt (geheel op dezelfde wijze als in n^. 



^) Hieruit leidt men in verband met het voorgaande af: 
Is (a, b) = (d, b') en (c, d) = (c', d), dan is: 

(a, b) . (c, d) = (d, b') . (c\ d). 



263 

549), dat men de definitie van vermenigvuldiging van de aan- 
tallenparen op de daardoor gerepresenteerde geheele getallen kan 
overdragen. 

555. Is een der beide factoren van het product een aantal, 
dan heeft men: 

(a, b) .0 = (a, b) .(c, 0) = (ac + b . O, a . O + bc). 

Volgens de formule (161) van n°. 304 heeft men dus: 

(a, b) . c = {ac, bc). 
Evenzoo is: 

c . {a, b) = (ac, bc), (359) 

zoodat een aantallenpaar met een aantal c vermenigvuldigd wordt 
door beide aantallen van het paar met c te vermenigvuldigen. 
Door voor beide factoren aantallen te nemen blijkt, dat het 
product van twee aantallen volgens de nieuwe definitie hetzelfde 
is als volgens de oude, zoodat weer de vermenigvuldiging van 
geheele getallen een uitbreiding is van de tot nu toe beschouwde 
vermenigvuldiging. 

556. Grondeigenschappen der vermenigvuldiging van ge- 
heele getallen. We hebben verder aan te toonen, dat de grond- 
eigenschappen Ie, f, g, h, i van n°. 490 voor geheele getallen 
blijven gelden. Voor de eigenschap Ie, die de mogelijkheid en 
ondubbelzinnigheid der vermenigvuldiging constateert, is dit reeds 
gebleken. De overige eigenschappen worden weer aangetoond 
met behulp van de overeenkomstige eigenschappen voor aantallen. 

De geldigheid van de commutatieve eigenschap (/ƒ) is onmid- 
dellijk uit de in 554 gegeven definitie der vermenigvuldiging af 
te lezen en de moduluseigenschap (//) uit de formule (359) door 
daarin c = 1 te nemen. Slechts de eigenschappen I g en h 
behoeven dus nog een nader betoog. 

557. Het bewijs van de associatieve eigenschap der vermenig- 
vuldiging (/ g) is aldus: 

{(a, b) . (c, d)} . (e, f) = (ac + bd, ad + bc) . (e, f) = 
= {(ac + bd)e + (ad + bc)f, [ac + bd)f + (ad + bc)e) = 
= {a(ce + df) + b(cf+ de), a(cf+ dé) + b(ce + df)) = 

= (a, b) . (ce + df, cf+ de) = (a, b) . {(c, d) . (e, f)). 



264 

De distributieve eigenschap (/ h) bewijst men als volgt: 
{(a, b) + (c, d)} . (e, f) = (a-\-c, bi-d). (e, f) = 

= {{a + c)e + (b + d)f, {a + c)f -^ (b + d)e) = 
= {(ae + bf) + (ce + df), {af + be) + (cf + de)) = 
= {ae + ^/, a/ + be) + {ce + üf/, cf+ de) = 
= (a, b) . (^, ƒ) + {€, d) . (e, ƒ). 
Bij het zoeken naar deze bewijzen gaat men zoowel van het 
eerste als van het laatste lid uit en herleidt men ieder van deze 
tot één enkel aantallenpaar. Van de zoo verkregen aantallen- 
paren heeft men dan de gelijkheid te constateeren, hetgeen 
gemakkelijk geschiedt doordat ze identiek blijken te zijn. 



§ 3. Aftrekking met geheele getallen. 

558. Mogelijkheid der aftrekking met geheele getallen. 

Men heeft: 

[a, b) + (b, a) = (a + b, b -\- a), 

dus in verband met de formule (349) van n^ 538: 

(a, b) -f {b, a) = 0. - (360) 

Hieruit blijkt, dat men steeds een geheel getal -n kan vinden, 
dat voldoet aan de vergelijking 

■n + l3 = 0, (361) 

waarin jS een gegeven geheel getal is. Dit beteekent, dat voor 
de geheele getallen de grondeigenschap van n^. 494 geldt. 

Door de oplossing van (361) — /3 te noem.en (zie n^. 497) kan 
men (360) omvormen tot: 

- (a, b) = {b, a). (362) 

559. Uit het in n^. 558 gevondene vloeit voort, dat alle 
gevolgtrekkingen, die we in § 1 van dit Hoofdst. uit de grond- 
eigenschappen van n^. 490 en 494 hebben afgeleid, voor de geheele 
getallen geldig zijn. 

In het bijzonder blijkt dus, dat voor het stelsel der geheele 
getallen de aftrekking zonder uitzondering mogelijk en ondubbel- 
zinnig is (zie de eigenschap van n^ 491). Dit is het doel, dat 
met de uitbreiding der aantallen tot geheele getallen (dus met de 
invoering der negatieve getallen) beoogd wordt. 

560. Rechtstreeksch bewijs van de mogelijkheid der aftrek- 
king. Ook zonder de algemeene eigenschap van n^. 491 is de 
mogelijkheid en ondubbelzinnigheid der aftrekking met geheele 
getallen aan te toonen. Vooreerst blijkt op dezelfde wijze als in 
n^ 69 (uit de grondeigenschap lic van n^ 490, die blijkens x\^. 



266 

553 voor geheele getallen geldig gebleven is), dat de aftrekking 
ondubbelzinnig is. 

Om de mogelijkheid der aftrekking aan te toonen heeft men 
te laten zien, dat er een aantallenpaar (x, y) bestaat, dat vol- 
doet aan de vergelijking 

(X, y) + {€, d) = (a, b), (363) 

waarin (a, b) en {c, d) gegeven aantallenparen zijn. Aan (363) 
nu wordt voldaan door x = a-\-d, y = b-\-c, dus: 

(x, y) = {a + d, b -\- c). 
Immers volgens de eigenschap van n^. 537 heeft men: 

{a+ d, b-\-c) + (c, d) = {a-{-d + c, b + c + d) = (a, b). 
Men kan het verkregen resultaat aldus in formule brengen: 

(a, b) — (c, d) = (a-\-d, b + c). (364) 

561. Zijn a en |S geheele getallen, dan is volgens het in n^ 

498 gevondene: 

a — /3 == a + (- /3), (365) 

waarin — /3 de oplossing der vergelijking (361) van n^ 558 is. 

Zonder de eigenschap van n^. 491 bewijst men (365) aldus 

(met behulp van de formules (362) en (364) van n^. 558 en 560):' 

(a, b) — (c, d) = {a -^r d, b -^ c) = 

= (a, b) + {d, c) = (a,b)^{- (c, d)}. 

562. Andere bewijzen van enkele eigenschappen betref- 
fende geheele getallen. Blijkens het voorgaande gelden de 
eigenschappen van n^. 502—506 en 512^514 voor geheele getallen. 
Die eigenschappen hebben we afgeleid uit de grondeigenschappen; 
het spreekt evenwel van zelf, dat ze ook meer rechtstreeks kun- 
nen worden aangetoond door de geheele getallen als aantallen- 
paren te schrijven. Wegens hun eenvoudigheid laten we die 
rechtstreeksche bewijzen hier volgen, hoewel ze feitelijk over- 
bodig zijn. 

563. Voor de eigenschap van n^. 502 wordt het bedoelde 
bewijs aldus, lettend op de formule (359) van n°. 555: 

O . (a, ^) = (O . a, O . ^) = (O, 0) = 0. 
Lettend op de formule (362) van n^. 558 kan men de eigen- 
schappen van n^. 504 en 506 als volgt aantoonen: 
(a, b).[~ (c, d)} = {a, b) . (d, c) = 



267 

= (ad + bc, ac + bd) = 

= — (ac + bd, ad + bc) =^ — (a, b) . (c, d), 

{- (a, b)} . {- (c, d)) = (b, a) . (d, c) = 

= (bd + ac, bc + ad) = (a, b) . (c, d). 

564. De juistheid der eigenschap van n°. 512 voor geheele 
getallen volgt onmiddellijk uit de eigenschap van n^ 546 in ver- 
band met de formule (362) van n^. 558. Uit (a, b) > O volgt 
nl a > b, b < a, dus (b, a) < O, 

Evenzoo toont men de eigenschap van n^. 514 aan. Uit 

(a, b) > (c, d) 
volgt nl. a-\- d> c -{- b, dus b -^ c < d-^ a, dus: 

(b, a) < (d, c), 
- (a, b)< — (c, d). 

565. Grondeigenschap van n^ 515 voor geheele getallen. 

Volgens de eerste eigenschap van n^. 547 zijn positieve geheele 
getallen natuurlijke getallen en omgekeerd; bijgevolg is het pro- 
duct van twee positieve geheele getallen een natuurlijk getal, dus 
positief. Hieruit blijkt, dat de grondeigenschap van n^. 515 voor 
geheele getallen geldig is. De daaruit afgeleide eigenschappen 
van n^ 516 — 519 zijn dus ook alle voor geheele getallen van 
kracht. 

566* Genoemde eigenschappen kunnen natuurlijk ook weer 
rechtstreeks voor geheele getallen worden aangetoond (zie het in 
n^ 562 opgemerkte). 

Om zoo de eigenschap van n^ 516 aan te toonen leiden we 
uit (a, b) > (c, d) af (als e een natuurlijk getal voorstelt): 

a + d> c-\-b, 
(a + d)e > (c + b)e, 
ae -h de > ce + be, 
(ae, be) > (ce, de), 

dus volgens de formule (359) van n^. 555: 

(a, b) . e> (c, d) . e. 

Voor het rechtstreeksche bewijs der eigenschap van n^ 517 
voor geheele getallen maken we er van gebruik, dat een negatief 



268 

geheel getal in den vorm (O, e) te schrijven is (zie n''. 547). 
Aangetoond moet dus worden, dat uit {a, b) > {c, d) volgt: 
(a, b) . (O, e) < (c, d) . (O, e). 
We laten dit verder aan den lezer over. 



567. Gebruikelijke schrijfwijze der geheele getallen. Past 
men de formule (364) van n°. 560 toe op het geval b = d = O, 
dus op het geval, dat de geheele getallen (a, b) en (c, d) aan- 
tallen zijn (nl. a resp. c), dan vindt men: 

a — c = {a, c). (366) 

Dit maakt, dat een aantallenpaar (a, c) ook als a — c te schrijven 
is. De schrijfwijze (a, c) kan dus in het vervolg vermeden wor- 
den; ze is slechts een voorloopige geweest, dienende om niet op 
het verband met de aftrekking vooruit te loopen. 

568. Zooals in n^ 547 is gebleken, is een negatief geheel 
getal (dus een geheel getal, dat geen aantal is) in den vorm 
(O, a) te brengen, waarin a een natuurlijk getal is. Volgens (366) 
kan voor dit negatieve getal ook O — a of kortweg — a geschre- 
ven worden, dus: 

(O, a) = — a. (367) 

Het tweede lid hiervan is de ge brui/ze lij ke schrijfwijze voor het 
negatieve getal (O, a). ^ 

Tot (367) komt men ook door in de formule (362) van n^ 
558 ^ = O te nemen en te bedenken, dat (a, 0) = a is. 

569. Is a een van nul verschillend geheel getal, dan is het 

tegengestelde daarvan, dus — oc, positief of negatief al naar gelang 

<x negatief of positief is (zie de eigenschap van n^. 512). Een 

der getallen a en — a is dus een natuurlijk getal; is dit a, dan is óf 

a = a, — a = — a, 
óf 

a = — a, — <x z= a. 

Het tegengestelde van een geheel getal a vormt men dus door 
voorplaatsing van het teeken — als a positief is en door weg- 
lating van dit teeken als ql negatief is; in laatstgenoemd geval 



269 

wordt a ondersteld in den vorm — a geschreven te zijn. Door 
het positieve geheele getal a als + a te schrijven kan men ook 
zeggen, dat het tegengestelde van een geheel getal van nul ver- 
schillend gevormd wordt door het teeken te veranderen, d. w. z. 
+ door — te vervangen of omgekeerd. 

570. Is a een natuurlijk getal, dan is, volgens de definitie van 
n*^. 520, zoowel van a ('of + a) als van — a de absolute waarde 
gelijk aan a. Hieruit blijkt, dat de absolute waarde van een 
geheel getal gevonden wordt door het teeken (d. w. z. het teeken 
+ of — ) weg te laten. 

Door de formules (321) en (323) van n^. 504 en 506 toe te 
passen op het geval, dat a en b natuurlijke getallen zijn, vindt 
men de in n^. 518 verkregen resultaten terug, dat het product 
van een positief en een negatief getal negatief en dat van twee 
negatieve getallen positief is. Verder ziet men uit die formules, 
dat het product van ± a en ± b gelijk is aan ± ab en dus door 
weglating van het teeken in ab overgaat, waardoor men (blijkens 
het zooeven aangaande de absolute waarde opgemerkte) de for- 
mule (332) van n^. 522 terugvindt. 

571. Deelbaarheid van geheele getallen. Het van nul ver- 
schillende geheele getal a heet deelbaar door het geheele getal j3 
als men een zoodanig geheel getal y bepalen kan, dat 

a = /3y (368) 

is; dit getal y wordt als ^^ of a : |3 geschreven. Blijkens de eigen- 

schap van n°. 502 zijn, in geval van deelbaarheid, jS en 7 beide 
van nul verschillend. 

Uit (368) volgt in verband met de eigenschap van n°. 522: 

\a\ = \^\.\y\, (369) 

zoodat uit de deelbaarheid van ol door j3 volgt, dat \ a | door 
|jS| deelbaar is. Daar \y\ door de vergelijking (369) ondubbel- 
zinnig bepaald is (zie n^. 133) en het teeken van y door de 
eigenschappen van n°. 515 en 518 wordt aangewezen (y positief 
of negatief al naar gelang a en |3 hetzelfde teeken of tegenge- 
steld teeken hebben), is y door de vergelijking (368) volkomen 



270 

bepaald, zoodat de deeling, zoo ze mogelijk is, nog steeds ondub- 
belzinnig is. 
Uit (369) volgt verder in verband met (368): 

_H 

. "IPI' (370) 

of in woorden: 

De absolute waarde van een quotiënt is het quotiënt der 

absolute waarden van deeltal en deeler. 

572. Omgekeerd volgt uit de deelbaarheid van | a | door 1 13 |, 
dat men een natuurlijk getal n kan bepalen, waarvoor geldt: 

|a| = |/3|«. 

Daaruit volgt 
voor a en /3 beide positief: 

voor a en /3 beide negatief: 

_ a = (— [6)n, 
OL =. [6n, 
voor a positief en p> negatief: 

oc = {- ^)n = |S(- n) 
en voor a negatief en /3 positief: 

— oc = ^n, 
« = /3(- n). 
In alle gevallen is dus a door |3 deelbaar. In verband met het 
in n^. 571 gevondene heeft men dus; 

Het van nul verschillende geheele getal ex. is dan en alleen dan 

door het geheele getal /3 deelbaar als | a | door 1 13 | deelbaar is. 

Hieruit volgt verder, dat de getallen oc en — a door dezelfde 

geheele getallen deelbaar zijn en dat bij deelbaarheid door |3 ook 

deelbaarheid door — /3 bestaat. 

We merken nog op, dat de deelers van een van nul verschil- 
lend geheel getal cc de op | a | deelbare natuurlijke getallen en de 
tegengestelden dier getallen zijn. 

573. Het is duidelijk, dat de verschillende eigenschappen van 
de deeling (zie n^ 145 — 155, 161 en 162) en die betreffende deelbaar- 
heid (zie n^ 141, 142 en 156 — 160) na uitbreiding van het getal- 
begrip tot geheele getallen blijven gelden. Alleen dient een uit- 
zondering gemaakt te worden voor die eigenschappen, waarin 



271 

het begrip „grooter" optreedt anders dan als voorwaarde om een 
aftrekking mogelijk te maken (welke beperkende voorwaarde nu 
kan worden weggelaten, tenzij, zooals in n^ 161, het verschil als 
exponent optreedt). De eigenschappen van n^. 151 en 153 moeten 
nu nl. aldus gelezen worden: 
Is oc > ^ en y > O, dan is: c 

7 7 * 
Zijn ^ en è positief, dan geldt 

^ j 

dan en alleen dan als a.^ > (iy is ^). 

We laten het aan den lezer over dit na te gaan. 

574. Uitbreiding van een stelsel getallen door het vormen 
van getallenparen. We denken ons een stelsel getallen S, waar- 
voor de grondeigenschappen van n^. 490 gelden. Blijkens de 
eigenschap lic van n^. 490 is in dit stelsel S de aftrekking, zoo 
ze mogelijk is, ondubbelzinnig. De mogelijkheid der aftrekking, 
dus de geldigheid der grondeigenschap van n^. 494, blijve echter 
in het midden gelaten. 

Het stelsel <S behoeft niet dat der aantallen (natuurlijke getallen 
en nul) te zijn. Evenals in n^. 530 en volg. voor het stelsel der 
aantallen geschied is, kan men uit S door het vormen van getal- 
lenparen een stelsel getallen z afleiden, waarvoor (met behoud 
van de grondeigenschappen van n^. 490) ook de grondeigenschap 
van n^. 494 geldig geworden is. De beschouwingen van n^. 
530 — 536, 541 — 546 en 548 — 559 blijven nl. onveranderd door- 
gaan als men de aantallen door getallen van het stelsel 5" vervangt. 

Bezit S reeds de eigenschap van n''. 494, dan blijft dit stelsel 
door het vormen van getallenparen onveranderd. In 5 is dan 
nl. de aftrekking steeds mogelijk, zoodat ieder getal van z, dus 
ieder paar getallen van 5 (welk paar volgens n*^. 567 niets anders 
is dan het verschil dier getallen van S), dan reeds tot .S behoort. 



^) De in die eigenschappen voorkomende deelingen worden natuudijk 
mogelijk ondersteld. 



272 

575. We onderstellen nu verder, dat voor het stelsel S, behalve 
de grondeigenschappen van 'n^. 490, ook die van n^. 515 geldt, 
en bovendien, dat de aftrekking a — b mogelijk is als a > b is 
(de moduluseigenschap der optelling zegt reeds, dat die aftrek- 
king mogelijk is voor a =^ b); aan deze voorwaarden is b.v. door 
het stelsel der aantallen voldaan. 

Een getal oc van het stelsel 2, dat uit 5 door vorming van 
getallenparen is afgeleid, is te schrijven als a — b, waarin a en 
b getallen van 5 zijn. Is nu a positief, dan is a > ^ (zie de 
eigenschap van n^ 546); volgens de omtrent 5 gemaakte onder- 
stelling is dus a — b een getal van S. Hieruit blijkt, dat ieder 
positief getal van Z ook reeds tot S behoort, zoodat de uitbrei- 
ding van het stelsel getallen uitsluitend in het toevoegen van 
negatieve getallen bestaat. 

Een product van twee positieve getallen van 2 is dus, daar 
deze getallen ook tot S behooren en S de grondeigenschap van 
n°. 515 bezit, positief. De grondeigenschap van n^. 515 is der- 
halve ook voor het stelsel z geldig, zoodat daarvoor alle in § 1 
van dit Hoofdst. voorkomende eigenschappen van kracht zijn. 



§ 4. Andere invoeringswijzen der negatieve getallen. 

576. Geheele getallen als paren natuurlijke getallen. Onder- 
stel, dat de natuurlijke getallen zijn ingevoerd, maar nog niet 
het getal nul. Voor het stelsel S dier getallen gelden dan de 
grondeigenschappen van n^. 490 met uitzondering van de modulus- 
eigenschap der optelling {ld). 

Op de in § 2 aangegeven wijze (dus door het vormen van 
getallenparen) breiden we het stelsel 5" uit, daarbij de definities 
van „gelijk", „grooter", „som" en ,,product" resp. van n°. 531, 
541, 548 en 554 overnemend. De zoo verkregen getallen (stel- 
sels van gelijke paren natuurlijke getallen) noemen we weer 
geheele getallen. 

577. Bij deze definitie der geheele getallen dient de in n^ 
536 gegeven definitie, die maakt, dat de oorspronkelijke getallen, 
in het stelsel der geheele getallen worden opgenomen, gewijzigd 
te worden doordat het getal nul in het oorspronkelijke stelsel 
ontbreekt. De door (343) aangegeven definitie vervangen we 
daarom door de iets minder eenvoudige definitie 

(a + 1, \) = a. (371) 

578. De bewijzen, dat de begrippen „grooter", „som" en 
„product" van de keus van de representanten der geheele getal- 
len onafhankelijk zijn, blijven dezelfde als in § 2 (zie n°. 542, 
543, 548, 549 en 554). Hetzelfde geldt voor de bewijzen, dat de 
bestaande grondeigenschappen geldig gebleven zijn (zie n^ 545, 
552, 553, 556 en 557). 

Alleen ontstaat een verschil bij de bewijzen, dat voor natuur- 
lijke getallen de nieuwe definities op hetzelfde neerkomen als de 
oude (waardoor de volledige aansluiting van het nieuwe stelsel 
getallen aan dat der natuurlijke getallen gewaarborgd wordt), 

FRED. SCHUH, Leerboek der Theoretische Rekenkunde. 18 



274 

daar deze bewijzen nu op de gelijkheid (371) van n^ 577 komen 
te berusten. Het natuurlijke getal a is volgens de nieuwe definitie 
(zie n^. 541 — 543) grooter dan het natuurlijke getal b als 
(a+1, 1) >(^ f 1, 1), 
{a+\)-\-\>(b-\- 1) + 1, 
a + 2 > ^ + 2, 
a > b^ 
dus als a volgens de oude definitie > Z? is (vergelijk n^. 544). 
De som van a en Z? is volgens de nieuwe definitie: 
(a -f 1, 1) + (Z; + 1, 1) = (a + ^ + 2, 2) = 
= (a + b-\-\, \) = a + b, 
dus dezelfde als volgens de oude definitie (verg. n^ 550). 

Voor het product is het bewijs aldus (verg. n^. 555): 
(a + 1 , 1 ) . (Z? + 1 , 1 ) = ((a + 1 ) (Z; + 1 ) + 1 . 1 , (a + 1 ) . 1 + 1 . (ö + 1 )) = 
= (aZ? + a + Z? + 2, a + ^ + 2) = (a^ + 1, \) = ab. 

579. De eigenschap van n^. 537 blijft voor paren natuurlijke 
getallen doorgaan. Alleen is er dit verschil, dat de formule (348) 
nu aan c < a en < ^ (in plaats van ^ a en ^ Z?) gebonden is. 

De eigenschap van n^ 538 blijft doorgaan als men a^ b door 
a > £? en het woord „aantal" door „natuurlijk getal" vervangt. 
Voor a > b heeft men nl.: 

{a, b) = (a+l, b + l) = {(a ^ \) — b, (b + l) — b) = 
= {{a — b) + l, l) = a — b. 

580. De tweede eigenschap van n^. 539 moet zoo gewijzigd 
worden, dat (a, b) dan en alleen dan een natuurlijk getal is als 
a > b is. Uit (a, b) = c volgt nl.: 

(a, b) = {c-h\, 1), 

a+ l = c + l ~\- b, 

a = c ^ b. 

In verband met de eigenschap van n^. 70 (waarin het woord 
„getallen" als „natuurlijke getallen" te lezen is) besluit men hier- 
uit tot a> b. 

De tweede eigenschap van n^. 540 is zoo te wijzigen, dat een 
geheel getal, dat geen natuurlijk getal is, als (I, a) te schrijven 
is. We laten dit aan den lezer over na te gaan. 



275 

581. Het getal nul als geheel getal. Bij de in n^. 576—579 
besproken uitbreiding van het stelsel der natuurlijke getallen is 
volgens de definitie van gelijkheid: 

{a, a) = {b, b). 
Alle paren van gelijke natuurlijke getallen zijn dus onderling 
gelijk en representeeren derhalve één en hetzelfde geheele getal. 
Dit geheele getal wordt nul (of 0) genoemd. 

582. Men heeft: 

(a, ^) + O = (a, b) + (c, c) = {a + c, b -{- c) = {a, b). 

Hiermede is voor het stelsel der geheele getallen de modulus- 
eigenschap der optelling (eigenschap ld van n°. 490) bewezen. 

De geldigheid der grondeigenschap van n°. 494 voor geheele 
getallen, ingevoerd als paren natuurlijke getallen, wordt op geheel 
dezelfde wijze aangetoond als in n^ 558. Hiermede zijn dan 
tevens de daaruit afgeleide eigenschappen bewezen. Dit kan 
echter ook weer rechtstreeks geschieden. Als voorbeeld geven 
we het bewijs der eigenschap van n^ 502: 

O . {a, b) = (c, c) . (a, b) = {ca + eb, eb -\- ca) = 0. 

583. Positieve en negatieve geheele getallen. Aan (a, b) > O, 

of 

(a, b) > (c, c), 

is dan en alleen dan voldaan als a ^ c > c -\- b, dus a > b \s. 
Hiermede is de eigenschap van n^. 546 aangetoond. 

Hieruit volgt (in verband met de tweede eigenschap van n°. 
539, gewijzigd op de in n^ 580 aangegeven manier), dat de positieve 
geheele getallen de natuurlijke getallen zijn, en verder (volgens 
de gewijzigde eigenschap van n°. 540), dat een negatief geheel 
getal in den vorm (I, a) te schrijven is, waarin a > 1 is, dus 
in den vorm (1, b + 1) (vergelijk n^ 547). 

Blijkens het voorgaande blijft het in n^. 565 van de grondeigen- 
schap van n^. 515 gegeven bewijs bij de nieuwe definitie van 
geheele getallen onveranderd doorgaan. 

584. De omvorming van een negatief geheel getal a tot den 
vorm — a, waarin a een natuurlijk getal is, geschiedt door op 
te merken, dat het tegengestelde van a positief (zie de eigen- 
schap van n^. 512), dus een natuurlijk getal is (zie n°. 583). 



276 

Ook kan men a eerst in den vorm (1, ^ + 1) brengen (zie n^ 
583) en dit verder volgens de formules (362) en (371) van n^ 
558 en 577 aldus omvormen: 

(1, b + \) = —{b+\,\) = — b. 

585. Algemeenere geldigheid der voorgaande beschouwin- 
gen. De beschouwingen van n°. 576 — 584 zijn niet daaraan 
gebonden, dat het stelsel S, van wiens getallen men paren vormt, 
juist het stelsel der natuurlijke getallen is (vergelijk n^. 574 en 575). 

Neemt men om te beginnen voor S een stelsel getallen, waar- 
voor de grondeigenschappen van n^ 490, met uitzondering van 
ld, gelden, en breidt men dit uit door het vormen van getallen- 
paren, dan blijven de beschouwingen van n^ 576 — 578, 581 en 
582 van kracht. De genoemde grondeigenschappen zijn dus 
behouden gebleven, terwijl de optelling een modulus gekregen 
heeft en dus de grondeigenschap ld geldig geworden is; evenzoo 
de grondeigenschap van n^ 494. 

586. Neemt men omtrent het stelsel 5 bovendien aan, dat de 
aftrekking a — b dan en alleen dan mogelijk is als a^ b is, 
dan wordt voor het uitgebreide stelsel z (dat der getallenparen) 
ook de grondeigenschap van n^, 515 geldig. Immers dan behoort 
een getallenpaar (a, b), d. i. a — b, dan en alleen dan tot S als 
a > b is. Daar verder aan (a, b) > O = (c, c) dan en alleen dan 
voldaan is als a > b is (vergelijk n^ 583), behooren de positieve 
getallen van 2, en geen andere, ook tot S. Het product van 
twee positieve getallen van s is dus een getal van S, dus positief. 



587. Methode van de doubleering der natuurlijke getallen. 

Nadat eenmaal het getal nul op de in n^ 291 — 319 besproken 
wijze aan de natuurlijke getallen is toegevoegd, kan men de 
negatieve geheele getallen ook invoeren als symbolen {teekens), 
die men verkrijgt door voor de symbolen der natuurlijke getallen 
het teeken — te plaatsen. Zoo voert het natuurlijke getal a tot 
het negatieve getal — a, dat het tegengestelde van a genoemd 
wordt. De natuurlijke getallen duidt men nu ook aan a\s positief 
te zijn. Dat de negatieve getallen < O en de positieve getallen 



277 

-> O zijn, wordt eerst later vastgesteld (zie de in n^ 589 gegeven 
definitie van grooter). 

Bij deze invoeringswijze der negatieve getallen heeft men voor- 
loopig bij — a 'm — slechts een onderdeel van het getalteeken 
te zien en niet het teeken der aftrekking. Doordat er bij een 
negatief getalteeken aan — geen ander getalteeken voorafgaat 
(zooals bij de aftrekking) is verwarring buiten gesloten, 

588. Bij definitie is een negatief getal aan ieder positief getal 
en aan nul ongelijk, terwijl twee negatieve getallen — a en — b 
alleen gelijk zijn als a = b is. 

Bij deze invoering der negatieve getallen wordt dus ieder geheel 
getal door slechts één symbool voorgesteld, zoodat de beschou- 
wingen omtrent gelijkheid (zie n^. 531 — 535) komen te vervallen. 
Dit geeft, in vergelijking met de vroeger besproken invoerings- 
wijzen, een vereenvoudiging, die echter weer te niet gedaan 
wordt door de meerdere moeite, die het bewijzen der grond- 
eigenschappen kost. 

589. Aanvullingsdefinities voor de begrippen „grooter" 
„som" en „product". De begrippen „grooter", „som" en „pro- 
duct" moeten nu voor die combinaties van twee getallen gedefi- 
nieerd worden, waarbij er minstens één negatief is. Deze aan- 
vullingsdefinities zijn : 

Definitie van grooter: 

a> — b; (372) 

0> — a^); • (373) 

— a> — b als a < b is. (374) 
Definitie van som: 

— a-^0 = + {—a)=—a; (375) 

— a + a = a-\-(—a) = 0: (376) 
a^{—b)== — b + a = a — b als a> b is^); (377) 
a + {—b) = — b + a = —{b — a) als a< b is; (378) 

— a + {-b) = -{a + b). (379) 



^) Dit maakt, dat een negatief getal, zooals het nu gedefinieerd is 
(als — a), ook aan de in n^. 512 van negatief gegeven definitie (nl. < 0) 
voldoet. 

^) Blijkens (376) geldt dit ook als a = ^ is. 



278 

Definitie van product: 

O .{—a) = {~a).0 = 0, (380) 

a.{—b) = {—b).a = — (ab), (381) 

(— a) .{— b) = ab. (382) 

Hierin stellen de letters natuurlijke getallen voor. 
Zooals zonder moeite te zien is, zijn in het bovenstaande alle 
denkbare gevallen, waarbij een negatief getal betrokken is, opge- 
somd. 

590. Het is duidelijk waarom de begrippen „grooter", „som" 
en „product" juist zoo gedefinieerd zijn als dit in n°. 589 geschied 
is. De daar bij wijze van definitie gegeven formules liggen nl. 
in het in § 1 van dit Hoofdst. gevondene opgesloten (zie n^. 497, 
498, 502, 504, 506, 509, 512 en 514). 

Bij de definities van n^ 589 heeft men verschillende gevallen 
te onderscheiden, een onderscheiding, die in nog sterkere mate 
bij de bewijzen der grondeigenschappen noodig is (zie n^ 595—602). 
De noodzakelijkheid hiervan, die een groot bezwaar van deze 
invoeringswijze der negatieve getallen is, staat hiermede in ver- 
band, dat de definities nu zoo gegeven zijn, dat men met een 
aanvulling van het stelsel der aantallen te doen heeft. Bij de 
vorige invoeringswijzen daarentegen had men een uitbreiding 
daarvan doordat de gegeven definities toen ook op de reeds 
ingevoerde getallen betrekking hadden, waardoor met één alge- 
meen geldend bewijs voor iedere grondeigenschap kon worden 
volstaan. 

591. Uitbreiding der formules van n^ 589. Ten einde het 
bewijzen der grondeigenschappen gemakkelijker te maken merken 
we op, dat men aan sommige der betrekkingen van n^. 589 
algemeenere geldigheid kan geven door de daarin voorkomende 
letters als willekeurige geheele getallen op te vatten; we vervan- 
gen die letters dan door Grieksche om aan te geven, dat ze niet 
noodzakelijk een natuurlijk getal voorstellen (zie de noot van 
blz. 257). 

In de eerste plaats maakt het in n^. 295 gevondene, dat (375) 
algemeener aldus geschreven kan worden: 

a + = + a = a. (383) 



279 

Blijkens n^. 304 kan men evenzoo voor (380) schrijven: 

O .a = a .0 = 0. (384) 

592. Het levert gemak op de teekens — ( — a) en — O in te 
voeren en bij definitie vast te stellen: 

— {—a) = a, — O =: O 1). 
Men heeft dan algemeen: 

-{-a) = a, (385) 

daar toch — {— (— a)} = — a is. 

Doof de ingevoerde symbolen bereikt men, dat — a voor ieder 
geheel getal oc beteekenis heeft, en bovendien, dat voor [376) 
algemeener kan worden geschreven: 

— OL + oi = a^{—a) = 0. . (386) 

593. Blijkens de in n^. 589 van product gegeven definitie 
heeft men in verband met (385): 

(— d).{—b) = ab = ~ (— ab) = — (— a) . b % 
waaruit men ziet, dat (381) uitgebreid kan worden tot: 

oc,(— b) = (—b) . oc=. -ab. (387) 

Hieruit volgt verder in verband met (385): 

a .{—(— b)] = ab = — (— oib) = — cc.(— b), 

zoodat (387) blijft gelden als men b door — b vervangt en dus 
(381) nog verder kan worden uitgebreid tot: 

a.(-p) = (-P).a = -a^, (388) 

een formule, die blijkbaar ook geldt als a of jS nul is ^). 

594. Uit de van som gegeven definitie (zie n^. 589) volgt: 

— {a + (— b)} = — (a — b) ^) = — a-\- b ') = 

= -a + {-(- b)} (a > b), 

— {a + (- b)} = — {-(b — a)}') = b — a = 
= — a + b^)=^~a-\-{—(—b)}(a< b\ 

- {-a^(-b)}== — {- (a -^b)}') = a + b = 
_____ = - (- a) + {- (- b)}. 

^) De afspraak — = maakt, dat (378) ook geldt als a = ^ is. 

^) Hierin is — ab als — (ab) en — ( — a)b als — {( — a)b) te lezen. 

^) Evenzoo kan (382) uitgebreid worden tot: 

(-«).(-, 3) = a/3. 

4) Volgens (377). 

5) Volgens (378). 

6) Volgens (379). 



280 

Hieruit blijkt, dat (379) uitgebreid kan worden tot: 

— (a 4- /3) = — a + (- /3). (389) 

595. Bewijzen van de grondeigenschappen der rechtstreek- 
sche verbindingen bij de methode der doubleering. Uit de 

definities van n^ 589 le^^st men onmiddellijk de grondeigen- 
schappen Ia, b, e, f van n°. 490 af, terwijl de juistheid van ld 
{moduluseigenschap der optelling) in (383) staat uitgedrukt. 

Ook li {modulus eigenschap der vermenigvuldiging) is gemakkQ- 
lijk aan te toonen. Volgens (381) is nl. : 

l ,(-b) = — (l .b)=: — b. 

596. Zonder moeite bewijst men verder de grondeigenschap 
Ig {associatieve eigenschap der vermenigvuldiging). Is nl. een 
(of meer) der geheele getallen oc, (5 en 7 gelijk aan nul, dan is 
volgens (384) zoowel (a|3)y als a{(^y) nul. 

Zijn a, |3 en y alle drie van nul verschillend, dan is volgens 
(381) en (382) zoowel (a/3)y als a(|Sy) gelijk aan 

I a I . j /5 1 . I y I of aan — I a I . 1 /3 I . \ y I, 

al naar gelang een even aantal (nul of twee) dan wel een oneven 
aantal (een of drie) der getallen a, /3, y negatief is. Hierin is 
I a ] de absolute waarde van oc (zie n^ 520 en 570). 

597. Meer moeite leveren de grondeigenschappen Ie en h. 
Om Ih {distributieve eigenschap), dus 

{oc + [5)y = ay + /3y, (390) 

aan te toonen beginnen we met op te merken, dat de juistheid 
daarvan onmiddellijk is in te zien als een der getallen a, ft y 
nul is. 
Is a ^ ^, dan is : 

{a + (— b)}c = {a — b)c ^) = ac — bc ^) = 

= ac + (— bc) = ac + (— b)c, (391) 

zoodat dan voor a = a, jS = — b geldt: 

(a + /3)c = ac + /3c. (392) 



1) Volgens (377); zie ook noot 2 van blz. 277. 
^) Volgens de formule (59) van n^. 103. 



281 

Is oc = a, (^ = — b (dus — a = — a, — ^ = b) en a < b, dan 

is volgens (391): 

( — a + b)c = (— a)c -|- bc, 

dus: 

{- a + (— |3)}c = (— a)c -f (— /3)c = — ar + (— /3c) 1), (393) 
een formule, die blijkbaar ook geldt als a en /3 beide negatief zijn. 
Uit (393) volgt verder in verband met (389): 
(. -f f5)c = [- {- {a + /3)}]r 2) ^ 
= [_ {- a + (- /3)}]r = _{_« + (- ,6)}r 1) = 

= — {— ar + (— /3c)} = — {— [o^C + ,ÖC)} = ac + /3c 2). 

Hieruit blijkt, dat (392) voor willekeurige geheele getallen a 
en |S geldt. 

Uit (392) volgt verder: 

{a ^^){—c) = — {a + (5)C ') = - (ac + ^c) = 
= — occ-{-(- M ') = «(— c) + /3(— C) 1). 
Hiermede is de formule (390) voor y = — c aangetoond, zoo- 
dat deze voor willekeurige geheele getallen a, ^, y geldig is. 

598. Zonder van de formules (388) en (389) van n^. 593 en 
594 (die ons in staat stelden sommige gevallen, die zich bij (390) 
kunnen voordoen, tot andere terug te brengen) gebruik te maken 
had men zeven verschillende gevallen ten aanzien van het positief 
of negatief zijn van a, jS, a + 13, y te onderscheiden gehad; het 
geval a, j8 en 7 alle positief kan nu natuurlijk, als reeds afgedaan 
zijnde, buiten beschouwing blijven. 

Het bewijs der distributieve eigenschap had ook geleverd kun- 
nen worden door al die gevallen rechtstreeks met behulp van de 
definities van n^ 589 te behandelen. Zoo heeft men b.v.: 
{— a + (— b)}c = {-{a^ b)}c = — (a^b)c = 
= — (ac + bc) = — ac -\- { — bc) = ( — a)c + ( — b)c, 
{a + (- b)}(- c) = {-{b- a)}{- c) = (b- a)c = 
= bc — ac = — ac -\r bc = a{ — c) -\- ( — b) ( — c) (a < b). 

599, We gaan nu over tot het bewijs der grondeigenschap 



1) Volgens (388). 

2) Volgens (385). 

3) Volgens (389). 



282 

Ie van n°. 490 (associatieve eigenschap der optelling), dus van 

de formule 

(a + ;3) + 7 = a + (/3 + 7). (394) 

Is een der getallen a, 3, y nul, dan is de juistheid van (394) 
onmiddellijk uit de moduluseigenschap der optelling in te zien, 
zoodat we deze getallen verder van nul verschillend kunnen 
onderstellen. 

Is (394) voor een drietal getallen a, |S, y aangetoond, dan volgt 
ze voor — a, — jS, — y aldus, lettend op de formule (389) van 
no. 594: 

{- a + (- /3)} + (- 7) = - (a + /3) + (- 7) = 

= -{(a + P) + 7} = -{a + (/3-H7)} = 
= - a + {- (^ + 7)} = - a + {- /3 + (~ 7)}. 

Hierdoor wordt het geval, dat a, /3 en 7 alle negatief zijn, 
teruggebracht tot dat, waarbij fze alle positief (dus natuurlijke 
getallen) zijn, en het geval van twee negatieve en een positief 
getal tot dat van twee positieve en een negatief getal. Alleen 
dit laatste geval moet dus nog onderzocht worden. 
Is a negatief, terwijl (^ en y positief zijn, dan luidt (394) : 

(-a + b)-{-c = — ai-{b + c). 
Voor het bewijs hiervan heeft men drie gevallen te onder- 
scheiden: 

a^ b: (— a + b)-^ c = (b — a)-\- c = 

= (b + c) — a') = — a + (b-^c)] 
b < a ^. b + c: (— a + b) + c = — {a — b) + c = c —{a — b) = 

= {b + c) — a^)=-a + {b^c)', 
a> bi- c: (— a -{- b) + c = — (a — b) ^ c = —{(a — b) — c}= 
= — {a — (b + c)} ') = - a + (b + c). 
Het geval, dat 7 negatief is en a en ^ positief zijn, kan wegens 
de commutatieve eigenschap der optelling aldus tot het vorige 
worden teruggebracht: 

{ai- b) + {—c) = — c + (b + a) = 
= {—c-\-b)'^a = a + [b + {— c)}. 



^) Volgens de formule (29) van n^. 77. 
2) Volgens de formule (32) van n». 80. 
3)- Volgens de formule (31) van n^. 79. 



283 

Ook het geval, dat |3 negatief is en a. en y positief zijn, kan 
zoo tot het geval a negatief worden teruggebracht, nl. aldus: 
[a-V {- b)} ^ c = (— b -\- a) ^ c = 
- — Z7 + (a + c)- — /?4-(c + a) = 
= {—b^c)^a = aAr(—b-\-c). 
Natuurlijk had men ook alle gevallen, die zich kunnen voor- 
doen, afzonderlijk kunnen behandelen (zonder bepaalde groepen 
van gevallen tot andere terug te brengen). Door het groote 
aantal dier gevallen zou dan het bewijs een nog gecompliceerder 
aanzien gekregen hebben. 

600. Bewijzen van de grondeigenschappen der volgorde bij 
de methode der doubleering. Uit de definities van n°. 589 
volgt onmiddellijk de juistheid der grondeigenschap lla van 
no. 490. 

Om de bewijzen van de geldigheid der grondeigenschappen 
Ub en c te vereenvoudigen (op soortgelijke wijze als dit met de 
grondeigenschappen Ic en h geschied is) merken we eerst op, 
dat (374) uitgebreid kan worden tot: 

— oc> — (5 als a < (5 is, (395) 

waarin oc en (^ willekeurige geheele getallen voorstellen. 

Volgens (373) is dit nl. juist voor a = O (dus /3 positief, — a = O 
en — jS negatief) en ook voor |S = O (dus <x negatief, — /3 = O 
en — cc positief). Volgens (372) is (395) juist als a negatief en 
jS positief (dus — a positief en — |3 negatief) is. Is eindelijk 
a = — a en ^ = — b, dan volgt uit <x < ,3, in verband met (374): 
a > b, dus — a > — /3. 

601. We bewijzen nu de geldigheid der grondeigenschap Ilb 
{transitieve eigenschap van het grooter zijn), dus: 

uit 0L> ^> y volgt oc> y. (396) 

Uit a > (3 > 7 volgt in verband met (395) — y > — ^ > — x, 
terwijl evenzoo uit a > y volgt — 7 > — oc. Hieruit blijkt, dat 
het bewijs van (396) voor drie getallen a, ,3, y geleverd is, 
zoodra dit voor — 7, — jS, — a geschied is. Hierdoor behoeft 
(396) nog slechts te worden aangetoond voor het geval, dat 
|3 > O is. 



284 

Is jS = O, dan volgt uit a > ,6 > 7, in verband met de definitie 
(373), dat 5i positief en 7 negatief is. Volgens (372) is dus a > y. 

Is |S positief, dan volgt uit ^ > /3, in verband met (372), dat 
ook a positief is. Is nu 7 ^ O, dan is de juistheid van a > 7 
een gevolg van de eigenschap van n^ 5 (die volgens n^ 298 na 
invoering van het getal nul geldig gebleven is). Is echter 7 
negatief, dan volgt a > 7 uit (372). 

602. We gaan nu over tot het bewijs van de grondeigenschap 
lic van n^ 490, die zegt: 

uit cc > fó volgt « + 7 > f3 + 7. (397) 

Dit is (volgens de moduluseigenschap der opteUing) juist voor 

y = 0. 
Is de juistheid van (397) voor de getallen a, /S, 7 aangetoond, 

dan blijkt de juistheid voor de getallen — a, — |S, — 7 aldus. 

Uit — i3 > — a volgt in verband met (395) en (385): 

a + 7 > /3 + 7, 

- (^ + 7) > - (^ + 7), 
dus volgens (389) en (385): 

- /3 + (- 7) > - « + (- 7). 
Bijgevolg behoeft (397) slechts te worden aangetoond voor het 
geval, dat 7 positief is. Daar het geval, dat a, |S en 7 geen van 
alle negatief zijn, reeds voor de invoering der negatieve getallen 
is afgehandeld, kan verder jS negatief ondersteld worden. Men 
heeft dan als a ^ O is: a = a, ^ = — b, y = c, waarin a een 
aantal en c een natuurlijk getal is. Hierbij zijn verder twee 
gevallen te onderscheiden, nl: 

c ^ b; dan is — b -{- c = c — b < c -\- a; 
c < b; dan is — b + c = — (b — c) < c -\- a. 
Is a < O, dus oc = — a, |S = — b, y = c en (wegens a> ^)a < b, 
dan heeft men drie gevallen te onderscheiden, nl.: 

c < a;danisa — c < b — c(zien^ 84), dus — (a — c) > — (b — c), 
dus — a -\- c > — b + c; 
a<c^b\ dan is — a^ c = c — a > — {b — c) = — b -\- c\ 

c> b; dan is c < c + (ö — a), dus c — b<c-\-(b^a) — b = c—a, 
dus — b -\- c < — a-\- c. 



285 

Natuurlijk hadden ook weer alle denkbare gevallen ieder op 
zich zelf onderzocht kunnen worden. 

603. Wijziging van de grondeigenschappen der volgorde 
door de mogelijkheid van de aftrekking. De geldigheid van 
de grondeigenschap van n^ 494 [mogelijkheid der aftrekking van 
nul) volgt bij de methode der doubleering onmiddellijk uit (386) 
(zie n^. 592). Hiermede zijn dan ook alle daaruit voortvloeiende 
eigenschappen der aftrekking (b.v. de onbeperkte mogelijkheid 
der aftrekking en het terug te brengen zijn tot optelling; zie n^. 
491—493, 497 en 498) bewezen. 

Ook is de juistheid der grondeigenschap van n^ 515 direct in 
te zien, daar volgens de definitie van grooter (zie n°. 589) de posi- 
tieve geheele getallen de natuurlijke getallen zijn en derhalve het 
product van twee positieve getallen een natuurlijk getal, dus 
positief is. 

604. De geldigheid der grondeigenschap van n^. 494 maakt, 
dat men de grondeigenschappen Ilb en c van n^. 490 ook door 
de volgende kan vervangen: 

Ilb'). De som van twee positieve getallen {getallen > O) is positief. 

lic'). Men heeft a > [5 of a < [3 al naar gelang ^ — /3 positief 
of negatief is. 

Dit is zoo op te vatten, dat Ilb en r, in verband met de overige 
grondeigenschappen, een gevolg zijn van Ilb' en c' (te zamen 
beschouwd). 

Is nl. gegeven a > |3 > y, dan is: 

a = /3+/7, |3 = 7 + ^, (398) 

waarin p en q positief zijn (volgens lic'). Uit (398) volgt verder: 

dus wegens de ondubbelzinnigheid der aftrekking ^): 

« = 7 + (P + ^)- 
Wegens llb' is p i- q positief, dus (wegens lic') a > y. Hier- 



^) Deze moet nu natuurlijk niet (zooals in n", 69 geschied is) uit de 
grondeigenschap lic worden afgeleid, maar uit de grondeigenschap van 
n". 494 in verband met de stelling van n^ 491. 



286 

mede is Ilb aangetoond; voor het bewijs is zoowel Ilb' als lic' 
gebruikt. 

Is gegeven a > /3, dan is: 

waarin p positief is (volgens lic'), dus: 

dus (weer volgens lic') a + -/ > /3 + y. Hiermede is lic aange- 
toond, terwijl voor het bewijs Ilb' niet is behoeven gebruikt te 
worden. 

Omgekeerd is ook lic' uit lic (en de overige grondeigenschap- 
pen) af te leiden zonder Ilb te gebruiken, terwijl Ilb' slechts uit 
Ilb en lic te zamen is af te leiden. We laten dit aan den lezer 
over. 

605. De in n^ 604 besproken omvorming van de grondeigen- 
schappen der volgorde levert bij de methode der doubleering het 
voordeel, dat de nieuwe grondeigenschappen veel gemakkelijker 
te bewijzen zijn dan de oorspronkelijke. 

De grondeigenschap Ilb' van n^ 604 wordt op geheel dezelfde 
wijze aangetoond als waarop in n^. 603 de grondeigenschap van 
n*^. 515 bewezen is. 

Is a > /3, dan volgt uit a — /S := a + ( — jS) in ieder der vijf 
mogelijke gevallen, dat a — |S een natuurlijk getal, dus positief 
is. Deze vijf gevallen zijn: 

(x = a, ^ = b (a > b), dus a — (^ = a — b; 

a = a, /3 = O, dus a — /3 = a; 

a = a, (^ = — b, dus — (^ = b, a — (5 = a -\r b; 

a = O, (^ = — b, dus a — [^ = b; 

oc = — a, |S = — b (a < b), dus a — |3= — a-\- b = b — a. 

Wegens [i — a = — {a — P) (een formule, die uit (32) volgt 
door a = O te stellen) is j5 — a negatief, waarmede de grond- 
eigenschap lic' is aangetoond. 

Deze bewijzen maken de gecompliceerdere bewijzen van n^. 
600—602 overbodig. 

606. Rij der geheele getallen. Uit de rij (1) der natuurlijke 
getallen (zie n^ 1) kan men ook tot de geheele getallen (dus 



287 

de invoering van nul en de negatieve getallen) geraken door 

die rij naar links onbepaald voort te zetten met O, — 1, — 2, 
— 3, enz., waardoor men de rij 

, - 4, - 3, - 2, - 1, O, 1, 2, 3, 4, (399) 

verkrijgt. 

Een getal a wordt grooter dan een getal jS genoemd als het 
in deze rij rechts van a staat. Dit voert tot de in n^. 589 van 
„grooter" gegeven definitie. 

607. De optelling kan nu op soortgelijke wijze als in n^ 45 
door middel van tellen gedefinieerd worden. Daartoe onder- 
scheiden we tellen en teragtellen, waaronder we verstaan het 
opnoemen van de getallen der rij (399) met een bepaald getal 
beginnend, van links naar rechts resp. van rechts naar links. 

Is ex. een geheel getal en b een aantal (natuurlijk getal of nul), 
dan wordt ol + b gedefinieerd als het getal dat bereikt wordt 
door, met a beginnend, gelijk op te tellen met iemand, die van 
O tot en met b telt. Hieruit volgt onmiddellijk, dat a + O = ^^ 
is (moduluseigenschap); het tellen van O tot en met b bestaat 
nl. voor b = alleen in het noemen van het getal O, zoodat 
bij het medetellen alleen het getal a wordt opgenoemd. 

Is b een natuurlijk getal, dan wordt onder « + ( — b) verstaan 
het getal, dat bereikt wordt door, met a beginnend, terug te 
tellen gelijk op met iemand, die van O tot en met b telt. 

Uit deze definities zijn de formules af te leiden, die in n°. 589 
bij wijze van definitie voor a + |S gegeven zijn. 

608. Is a een natuurlijk getal, dan wordt het product a|3 op 
dezelfde wijze als in n^. 89 als 

;3 + |3 + + P (a termen) 

gedefinieerd. Hieruit volgt: 

a{ — b) = — ab. 
Om de commutatieve eigenschap der vermenigvuldiging te 
doen doorgaan definieert men: 

(— a)b = — ab. 
Om dit ook te doen doorgaan als men b door — b vervangt 



288 

(daarbij de notatie — ( — a) van n^ 592 gebruikend) definieert 

men verder: 

(— a) (— b) = ab. 

Op deze wijze geraakt men tot de in n^ 589 gegeven definitie 

der vermenigvuldiging. 



609. Gelijkvormige stelsels getallen. We beschouwen twee 
stelsels getallen S en S\ waarvoor de grondeigenschappen Ia, e 
en Ila van n^. 490 gelden, en nemen aan, dat deze stelsels op 
zoodanige wijze op elkaar kannen worden afgebeeld (zie n^. 14), 
dat, als a en b twee getallen van S zijn en a' en W de cor- 
respondeer ende getallen van S\ de getallen a + b en ab resp. met 
a' + b' en a'b' correspondeer en, terwijl a' > b' is als a > b is. 
Dit wil dus zeggen, dat de afbeelding van dien aard is, dat ze 
de betrekking „som", „product" en „grooter" van het eene stelsel 
op het andere overdraagt. Een zoodanige afbeelding noemen we 
een gelijkvormige, terwijl we ook de stelsels getallen 5 en S', 
die zulk een afbeelding op elkaar toelaten, gelijkvormig noemen. 
Twee gelijkvormige stelsels getallen verschillen slechts in de 
benaming, of voorstellingswijze, der getallen en zijn overigens 
als geheel hetzelfde te beschouwen. 

Opgemerkt zij nog, dat twee stelsels getallen, die met een 
zelfde derde stelsel gelijkvormig zijn, ook onderling gelijkvormig 
zijn, zooals onmiddellijk uit de definitie blijkt (vergelijk de eigen- 
schap van n^. 216). 

610. Zijn a, b, c drie getallen van het stelsel S, die aan 

a ^ b = c 
voldoen, en a\ b\ c' de correspondeerende getallen van S' , dan is 

a' ^b' ^ c'. 
is de aftrekking c — b mogelijk, dan geldt das hetzelfde voor 
c' — b' , terwijl beide verschillen correspondeerende getallen zijn. 
Een overeenkomstige opmerking geldt voor quotiënten. 

Daar de modulus der optelling het verschil van gelijke getallen 
is, zal, als het eene stelsel een optellingsmodalas bezit, hetzelfde 



289 

voor het andere stelsel gelden, terwijl beide modull cor respon- 
deeren. Dit is ook van toepassing op de vermenigvuldigings- 
moduli. 

Verder is het duidelijk, dat ook de overige grondeigenschappen 
van het eene stelsel eveneens in het andere stelsel gelden. 

611. Gelijkvormigheid der verschillende stelsels geheele 
getallen. Een geval van gelijkvormigheid van getalstelsels heeft 
men bij de verschillende manieren, waarop het stelsel der geheele 
getallen is ingevoerd, nl. als een stelsel aantallenparen (zie n''. 
530 — 557), als een stelsel natuurlijke getallenparen (zie n°. 576 — 584) 
en als 'het stelsel der natuurlijke getallen, het getal nul en de 
van het teeken — voorziene natuurlijke getallen (zie n^. 587 — 605). 

De gelijkvormigheid van beide eerstgenoemde stelsels is onmid- 
dellijk in te zien. Een paar natuurlijke getallen {a, h) is nl. ook een 
aantallenpaar, terwijl een aantallenpaar (a, h) wegens de definitie 
van gelijkheid (zie n*^. 531) steeds tot een paar natuurlijke getallen 
is om te vormen (zoo het dit niet reeds is); men heeft nl.: 

(a, ^)-(a+l, ^ + 1), 
lerwijl a + 1 en ^ + 1 natuurlijke getallen zijn ook als a of ^ 
nul is. De gelijkvormigheid van beide stelsels blijkt nu verder 
uit de overeenstemming der definities van „som", „product" en 
^grooter". 

Dat het stelsel der aantallenparen met het in n°. 587 — 605 
beschouwde stelsel gelijkvormig is, blijkt daaruit, dat een aan- 
tallenpaar ook als (O, d) of — a te schrijven is (waarin a een 
natuurlijk getal is) en omgekeerd en dat de formules, die in n°. 
589 bij wijze van definitie gegeven zijn, uit de methode der 
aantallenparen voortvloeien (zie n^. 590). 

612. Deelstelsel van een stelsel getallen. Zij G een groep 
-grondeigenschappen en 5 een stelsel getallen, dat die grondeigen- 
schappen bezit. Is S' een deel van 5, waarvoor die grondeigen- 
schappen eveneens gelden, dan noemen we S' ten opzichte van 
de grondeigenschappen G een deelstelsel van S. 

In het bijzonder is S zelf een deelstelsel van 5. Is S' van 
S verschillend, dus een echt deel van ^ (zie n^ 15), dan spreken 
we van een echt deelstelsel, 

FRED. SCHUH, Leerboek der Theoretische Rekenkunde. 19 



290 

Uitdrukkelijk zij nog opgemerkt, dat voor twee getallen van 
S' de begrippen „som", „product'' en „grooter'' in het stelsel S' 
dezelfde beteekenis ondersteld worden te hebben als in het stelsel S. 

613. Het stelsel der geheele getallen is niet met een deel- 
stelsel van zich zelf gelijkvormig, van de identieke afbeelding op 
zich zelf afgezien. 

Dit drukt dus uit, dat de eenige gelijkvormige afbeelding (zie 
n^. 609) van het stelsel S der geheele getallen op een deelstelsel 
S' van zich zelf de identieke afbeelding is, waarbij ieder geheel 
getal met zich zelf correspondeert en dus S' het stelsel S zelf is. 

Voor het bewijs gaan we daarvan uit, dat het getal 1, als 
modulus der vermenigvuldiging, bij een gelijkvormige afbeelding 
van 5 op S' met zich zelf correspondeert (zie n^ 610). Het- 
zelfde geldt dus voor 1 + 1=2, voor 2 + 1 = 3, enz., dus voor 
alle natuurlijke getallen. Evenzoo correspondeert het getal O, als 
modulus der optelling, met zich zelf, dus ook O — a of — a, 
zoodat de afbeelding de identieke is. 

614. In de eigenschap van n^, 613 ligt opgesloten: 

Het stelsel S der geheele getallen is niet met een echt deel- 
stelsel van zich zelf gelijkvormig. 

Hieruit volgt van zelf, dat S niet gelijkvormig kan zijn met een 
getalstelsel S, waarvan S een echt deelstelsel is. Was nl. 5' 
gelijkvormig op S afgebeeld, dan was daardoor S (als echt deel 
van S') gelijkvormig op een echt deel van S, dus op een echt 
deelstelsel van zich zelf, afgebeeld. 

We merken nog op, dat de eigenschap van n^. 613, en dus 
ook die van dit nummer, eveneens doorgaat als men het stelsel 
der geheele getallen door dat der aantallen of dat der natuurlijke 
getallen vervangt. Het bewijs van n^ 613 blijft dan nl. door- 
gaan; slechts heeft men het laatste gedeehe daarvan weg te 
laten. 

Daar het stelsel der aantallen een echt deelstelsel van dat der 
geheele getallen ^) en het stelsel der natuurlijk getallen een echt 



^) Ten opzichte van de grondeigenschappen van n^. 490. 



291 

deelstelsel van dat der aantallen is ^), zijn geen twee dier drie 
getalstelsels gelijkvormig. 

615. Uitbreidingen van het stelsel der aantallen, waarbij 
de aftrekking onbeperkt mogelijk is. Zij 5 het stelsel der aan- 
tallen, s dat der geheele getallen en s' een stelsel, waarvoor de 
grondeigenschappen van n^. 490 en 494 gelden en dat S tot deel- 
stelsel heeft 2) (zie n^ 612). 

Zijn a tx\ b twee getallen van S, dan is a — b een getal van 
Z', daar a en ^ getallen van S' zijn en in S' de aftrekking onbe- 
perkt mogelijk is. Evenwel is a — b, als getallenpaar (a, b) 
opgevat, een getal van S; dit getallenpaar laten we met het getal 
a — b van 2' correspondeeren, waardoor s op een deel D van 
s' is afgebeeld. Die afbeelding is een gelijkvormige (zie n^ 
609), daar men in het stelsel 2' voor verschillen a — b geheel 
overeenkomstige regels omtrent grooter, som en product heeft 
als in het stelsel 2 bij wijze van definitie zijn aangenomen (zie 
n». 528 en 529). Hieruit volgt, dat z met het deel D van S' 
gelijkvormig is, zoodat D ten opzichte van de grondeigenschap- 
pen van n^. 490 en 494 een deelstelsel van E' is. 

Bij de afbeelding van S op D correspondeert het aantal a, 
dus het getallenpaar (a, 0), met het verschil a — O, dus met hèt 
aantal a. Hieruit volgt, dat de tot S behoorende getallen van z 
bij deze afbeelding met zich zelf correspondeeren, waaruit verder 
blijkt, dat S een deelstelsel van D is ^). 

Men heeft dus: 

Een stelsel getallen, waarvoor de grondeigenschappen van n^. 
490 en 494 gelden en dat het stelsel der aantallen tot deelstel- 
sel 2) heeft, bezit een deelstelsel ^) D, dat gelijkvormig is met het 
stelsel der geheele getallen en het stelsel der aantallen tot deel- 
stelsel ^) heeft; bij de afbeelding der geheele getallen op D cor- 
respondeeren de aantallen met zich zelf. 



^) Ten opzichte van de grondeigenschappen van n^. 490 met uit- 
zondering van ld. 

-) Ten opzichte van de grondeigenschappen van n*^. 490. 

^) Ten opzichte van de grondeigenschappen van n". 490 en 494. 



292 

616. Daar men bij de in n^ 615 besproken afbeelding cor- 
respondeerende getallen identificeeren kan, dus als een en het- 
zelfde beschouwen, kan men de eigenschap van n^ 615 een- 
voudiger aldus formuleeren: 

Een stelsel getallen, waarvoor de grondelgenschappen van n^. 490 
en 494 gelden en dat het stelsel der aantallen als deel heeft 
{das een uitbreiding van het stelsel der aantallen is), bevat alle 
geheele getallen. 

Dit drukt uit, dat de uitbreiding tot geheele getallen de geringste 
uitbreiding is, die men het stelsel der aantallen kan doen onder- 
gaan ten einde de aftrekking zonder uitzondering mogelijk te 
maken, met behoud van de grondeigenschappen van n^. 490. 
ledere zoodanige uitbreiding bevat nl. het stelsel der aantallen 
als deel. 

617. De beschouwingen van n^ 615 en 616 blijven met voor 
de hand hggende wijziging doorgaan als men voor S niet het 
stelsel der aantallen neemt, maar (evenals we dat in n^. 574 
gedaan hebben) een of ander stelsel getallen, waarvoor de grond- 
eigenschappen van n^. 490 gelden. Voor s heeft men dan het 
stelsel getallen te nemen, dat uit S door het vormen van getal- 
lenparen ontstaat, zoodat voor z ook nog de grondeigenschap 
van n^ 494 geldt (zie n^ 574). 



§ 5. Gebruik van de negatieve getallen. 

618. Hoeveelheden met twee soorten elementen. De nega- 
tieve getallen kunnen worden toegepast als men te doen heeft 
met hoeveelheden, die twee soorten elementen bevatten, welke 
zoodanig zijn, dat twee elementen van verschillende soort elkaar 
geacht moeten worden te vernietigen. Hiermede wordt bedoeld, 
dat de hoeveelheid als niet wezenlijk veranderd is te beschouwen 
als men daaraan twee elementen van verschillende soort toevoegt 
of twee zulke elementen weglaat. 

Een voorbeeld van zulk een geval heeft men als de hoeveel- 
heid bestaat uit guldens bezitting en guldens schuld, of uit meters 
afgelegd in de eene richting en in de tegengestelde richting. De 
beoordeeling of in een bepaald geval twee elementen van ver- 
schillende soort te zamen als niets te beschouwen zijn, is geen 
quaestie van rekenkunde, maar moet, voor men tot de toepas- 
sing der rekenkunde kan overgaan, bij wijze van afspraak worden 
vastgesteld. Of zich zulk een geval voordoet hangt van allerlei 
omstandigheden af. Zoo zullen een meter in de eene richting 
en een meter in de tegengestelde richting afgelegd elkaar ver- 
nietigen als het gaat om de plaats, waar men terecht komt, 
echter niet bij de beoordeeling van de inspanning, die de ver- 
plaatsingen gekost hebben. Evenzoo zal een bezitting en een 
daaraan gelijk bedrag aan schuld te zamen niet in ieder opzicht 
gelijk te stellen zijn met geen bezitting en geen schuld. 

619. De twee beschouwde soorten van elementen zullen we 
als positieve en negatieve elementen aanduiden. Heeft een hoe- 
veelheid a positieve en b negatieve elementen (waarbij ook a of 
b nul kan zijn), dan geven we dit door het aantallenpaar (a, b) 
aan en zeggen dat de hoeveelheid {a, b) elementen bevat. Daar 



294 

een toevoeging van e positieve en e negatieve elementen van 
geen invloed ondersteld wordt te zijn, wordt geen verschil gemaakt 
tusschen de aantallenparen (a, b) en (a-\- e, ^ + e). 

Dit voert verder van zelf tot de in n^. 531 gegeven definitie 
van gelijkheid van aantallenparen. Is nl. c ^ a, dan kan voor 
het aantallenpaar (a, h) ook geschreven worden: 

(a + (c — a\ b^{c — a)), 
of: 

ie, (b -\- c) — a). 

Dit is dan en alleen dan gelijk aan (c, d) als {b -\- c) — a = d, 
dus b ^ c = a -\- d is. 

620. Bevat de hoeveelheid geen negatieve en a positieve 
elementen, dan zegt men kortweg, dat de hoeveelheid a elemen- 
ten bevat. In dat geval wordt dus de samenstelling der hoe- 
veelheid niet door een aantallenpaar, maar door één enkel aantal 
a aangewezen. Dit voert tot de in n^ 536 gegeven definitie 
(a, 0) = a. Het beschouwde geval staat gelijk met een hoeveel- 
heid, die a + e positieve en e negatieve elementen bevat, zoodat 
een hoeveelheid (a, /?) steeds door één aantal (nl. a — b) is aan 
te wijzen als a ^ ^ is. 

Bevat de hoeveelheid geen positieve en b negatieve elementen, 
dan zegt men ook, dat de hoeveelheid — b elementen bevat, het- 
geen voert tot (O, b) = — b (zie n^ 568). Heeft de hoeveelheid 
e positieve en ^ + ^ negatieve elementen, dan staat dit met — b 
elementen gelijk. 

621. Definitie van grooter en som bij hoeveellieden met 
positieve en negatieve elementen. Heeft men twee hoeveel- 
heden H en H' met positieve en negatieve elementen, waarvan 
de samenstelling door de aantallenparen (a, b) resp. {c, d) wordt 
aangewezen, dan kan men die aantallenparen zoo omvormen, dat 
de aantallen der negatieve elementen gelijk worden, b.v. tot 

{a + d, b -\- d) en (c + ^, b '-\- d). 
Men zegt nu, dat de hoeveelheid H meer elementen bevat dan 
H\ hetgeen als 

(a, b) > (c, d) 



295 

geschreven wordt, als H, bij eenzelfde aantal negatieve elementen, 
meer positieve elementen bevat, dus als men heeft: 

a ^ d > c ^ b. 
Dit is in overeenstemming met de in n^ 541 van grooter gegeven 
definitie. 

622. Vereenigt men de hoeveelheden H en H' van n^ 621, 
dan ontstaat een hoeveelheid H + H\ die a + c positieve en 
b ^ d negatieve elementen bevat en dus door het aantallenpaar 
(a + c, b -h d) wordt aangewezen. Men schrijft daarom 

(a, b) + (c, d) = {a^- c, b + d), 
waardoor men de in n^. 548 gegeven definitie der optelling 
verkrijgt. 

623. Definitie van product bij hoeveelheden met positieve 
en negatieve elementen. Meer moeite kost het de definitie van 
vermenigvuldiging van geheele getallen op natuurlijke wijze uit 
de beschouwing van hoeveelheden met twee soorten elementen 
voor den dag te brengen. Die moeilijkheid doet zich nog niet 
voor bij het product c . {a, b), waaronder (geheel overeenkomstig 
de definitie van n^. 89) de som van c gelijke getallen {a, b) te 
verstaan is. Volgens de definitie der optelling is dus: 

c . {a, b) = {ca, eb), 
hetgeen niets anders is dan de formule (359) van n*^. 555. 

624. Zij H een hoeveelheid met a elementen. Men kan dan 
tot het product ac geraken door aan te nemen, dat met ieder 
element van H c elementen van een andere soort (die we aan- 
duiden als elementen van de tweede soort) correspondeer en\ 
hierbij nemen we verder aan, dat de elementen van de tweede 
soort, die met verschillende elementen van H correspondeeren, 
alle verschillend zijn. Het product ac is nu niets anders dan het 
aantal elementen van de tweede soort, die met de a elementen 
van H correspondeeren. 

625. De beschouwing van n^. 624 is uit te breiden tot het 
geval, dat H positieve en negatieve elementen bevat en ook de 
elementen van de tweede soort in positieve en negatieve zijn te 
onderscheiden. We nemen dus aan, dat H uit {a, b) elementen 



296 

bestaat, d. w. z. uit a positieve en b negatieve elementen. Verder 
onderstellen we, dat met ieder positief element van H c positieve 
en d negatieve elementen van de tweede soort correspondeeren. 
Neemt men aan, dat ook ten aanzien van die correspondentie 
een positief en een negatief element van H elkaar vernietigen, 
dan correspondeeren met ieder negatief element van H c negatieve 
en d positieve elementen van de tweede soort. Dit kan kortweg 
zoo worden uitgedrukt, dat met ieder der {a, b) elementen, waaruit 
H bestaat, (c, d) elementen van de tweede soort correspondeeren. 

Het product (a, b) . (c, d) kan nu gedefinieerd worden als het 
aantallenpaar behoorende bij de elementen van de tweede soort, 
die met de gezamenlijke elementen van H correspondeeren. Onder 
deze elementen van de tweede soort komen ac + bd positieve 
voor, waarvan er ac met de positieve en bd met de negatieve 
elementen van H correspondeeren; evenzoo krijgt men ad ^ bc 
negatieve elementen van de tweede soort, ad correspondeerende 
met de positieve en bc met de negatieve elementen van H. Men 
komt zoo tot 

{ac + bd, ad + bc) 
elementen van de tweede soort, geheel in overeenstemming met 
de in n°. 554 van product gegeven definitie. 

Het voorgaande voert verder van zelf tot de formules (381) en 
(382) van n^ 589. Men heeft daartoe slechts het verkregen resul- 
taat op de aantallenparen (a, 0) en (O, b) of (O, a) en (O, b) toe 
te passen. 

626. Voorbeeld ter toelichting. Wil men het in n\ 625 

behandelde toepassen, dan dient men zich natuurlijk er van te 
overtuigen, dat de daar gemaakte ondersteUingen vervuld zijn. 
Een voorbeeld, waarbij dit het geval is, is het volgende. We 
denken ons een trein, die per seconde een weg van v meter 
aflegt, of zooals men ook zegt een snelheid v heeft. In t 
seconden legt die trein dan 5 meter af, waarin: 

5 = tv. (400) 

Met iedere seconde correspondeeren nu v meters van den 
afgelegden weg. 

Langs dezelfde baan loopen ook treinen in tegengestelde rich- 



297 

ting. De daardoor afgelegde meters worden als negatief beschouwd, 
zoodat zulk een trein per seconde een weg van — v meter 
aflegt; dienovereenkomstig wordt de snelheid daarvan door — v 
aangewezen. De formule (400) blijft nu doorgaan als men v en 
5 als negatief in rekening brengt en den vermenigvuldigingsregel 
a . ( — b) = — ab toepast. 

627. We kunnen ook aan t negatieve waarden toekennen 
door het getal t niet een verstreken tijd, maar een tijdstip te 
laten aanwijzen. Daartoe nemen we ter vergelijking een vast 
tijdstip {oorsprong van tijd) aan, dat overigens willekeurig gekozen 
kan worden. Het tijdstip t (waarin t een aantal is) wil nu zeggen 
het tijdstip t seconden na den oorsprong van tijd, terwijl evenzoo 
— t het tijdstip t seconden vóór den oorsprong van tijd aanwijst. 

Onder s verstaan we nu verder niet het aantal meters afge- 
legden weg, maar den afstand (of liever het aantal meters begrepen 
op dien afstand) van den trein tot de plaats, waar deze zicti op 
den oorsprong van tijd bevindt; hierbij is 5 positief te nemen in 
dezelfde richting (gerekend van de plaats op den tijd ^ = O tot 
aan de plaats voor de beschouwde waarde van t) als waarin de 
snelheid positief genoemd wordt. 

Kennen we op deze wijze aan v, 5 en ^ teekens toe, dan blijft 
de formule (400) in alle gevallen doorgaan, ook als v Q,nt beide 
negatief zijn; in het laatste geval moet men dan den vermenig- 
vuldigingsregel ( — a) . ( — /?) = ab toepassen. 



628. Andere toepassingen der negatieve getallen. Ook in 

gevallen, waarbij er geen sprake is van positieve en negatieve 
elementen (zie n^ 619), levert de invoering der negatieve getallen 
voordeel op. Dit voordeel vloeit daaruit voort, dat de aftrekking 
onbeperkt mogelijk geworden is zonder dat de rekenregels ver- 
loren gegaan zijn. Hierdoor kan men vaak, door tijdelijke invoe- 
ring van negatieve getallen, uitkomsten verkrijgen, die uitsluitend 
op positieve getallen betrekking hebben, zooals in n^ 632 en 
636 nog nader zal blijken. 



298 

Wil men een aan zekeren eisch voldoend getal bepalen, dat 
krachtens den aard van het vraagstuk een natuurlijk getal (of een 
aantal) is, dan kan men gedurende de berekening zonder bezwaar 
met negatieve getallen werken. De negatieve waarden, die men 
zoo eventueel voor het gezochte getal vindt, moeten dan een- 
voudig als niet ter zake verworpen worden. 

629. Als een voorbeeld van een geval, waarbij negatieve getal- 
len een vereenvoudiging geven, nemen we de in n^. 407 voor- 
komende herleiding (252). In het tweede lid daarvan komt de som 

z(y-i)(y-2)s; 

voor. Deze som kan nu ook als 

i(y-l)(y-2)s, 

geschreven worden, daar daardoor een term O . ( — 1) . £i wordt 
toegevoegd, die nul is (zie de eigenschap van n^. 502). Men kan 
dan rechtstreeks het tweede Hd van (252) tot het vierde herleiden. 

630. Een ander voorbeeld levert de in n^. 359 gemaakte 
afspraak 

CS = O voor p > n. (401) 

Schrijft men: 

^p ^ nin—\)(n — 2) {n A- \ — p) ^^^^^ 

(zie n^. 331) en houdt men dit ook voor /? > /z als definitie van 
Cn vol, dan bevat (voor p > n) in het tweede lid het deeltal een 
factor nul en is dus nul; dit voert tot (401). Hierbij is echter 
als /? > /z + 1 is van negatieve getallen gebruik gemaakt, daar 
het deeltal dan p — (^ + 1) negatieve factoren bevat. 

Daar de formules (183) en (186) van n^. 332 en 333 uit (402) 
kunnen worden afgeleid, is het na het voorgaande duidelijk, 
dat deze formules voor p > n resp. p ^ n blijven doorgaan 
als men de afspraak (401) maakt (zie het aan het eind van n°. 
359 opgemerkte). 

631. Toepassing der negatieve getallen op de merkwaar- 
dige quotiënten. Een belangrijke toepassing vinden de nega- 
tieve getallen bij de merkwaardige quotiënten (zie n^. 163 — 166, 



299 

322 en 323). Daar de formule (113) van n^ 164 een gevolg van 
de grondeigenschappen is, geldt deze ook als a en b willekeurige 
geheele getallen voorstellen. Schrijft men (113) in den vorm 
(172) (zie n^ 322), dan moet natuurlijk, ook als a oi b negatief 
is, a^ resp. b^ als 1 geïnterpreteerd worden. De beschouwing 
van n^. 315 is dan ook onveranderd geldig als a negatief is. 

Blijkens het voorgaande blijft (113) juist als men daarin b door 
— b vervangt. Men vindt zoo in verband met de formules (325) 
van n^. 507: 

't V-e-^ = a^-^ — a'^-^b + a^-W — .... + {-Ar-^b^'\ (403) 

a-r b 

of volgens de in n^. 322 gebezigde schrijfwijze: 

V /^ = S (- \f-^aP-^b^-\ (403) 

a^ o k=\ 

632. Is nu n even, in welk geval n door 2n kan worden ver- 
vangen, dan gaat (403) over in: 

p4— = ^^'^"^ — ^^"-^ b + a2«-3Z?2 + a^2«-2 _ lj2n-l _ 

a + b 

2n 

= S (— If-^a^^-^b^-K (404) 

Is n oneven, in welk geval n door 2n + 1 kan worden ver- 
vangen, dan luidt (403): 

r,2n + l _L /,2a/ + 1 

"l i^- = a?^ — a?^-'b + a2^'-2^2 ^^2«-i _|_ ^2« _ 

a^ b 

2n+\ 

= S (— 1)^-^ a?n^\-k ijk-i^ (405) 

k=\ 

Hiermede zijn de merkwaardige quotiënten (114) en (115) van 
n^. 165 en 166 op veel eenvoudiger wijze verkregen als daar ter 
plaatse geschied is. De nu gebezigde omvorming van (113) tot- 

(114) en (115) is zoo eenvoudig, dat het nauwelijks zin heeft van 
drie merkwaardige quotiënten te spreken, daar toch (114) en 

(115) slechts als bijzondere vormen van (113) verschijnen. 

De invoering der negatieve getallen maakt verder, dat (114) en 
(115) meer regelmatig, nl. in den vorm (404) resp. (405) geschre- 
ven kunnen worden. 

Zijn in de formule (405) a en b positief, dan. heeft men, als 
men deze in den vorm (115) schrijft, een formule, waarin van 



300 

geen negatieve getallen sprake is en die in het voorgaande op 
eenvoudige wijze met behulp van negatieve getallen is afgeleid. 
Een soortgelijke opmerking kan men aangaande (404) maken als 
a^ b \s. 

633. Toepassing op het binomium van Newton. Het spreekt 
van zelf, dat ook het binomium van Newton, dus de formule 
(207) of (208) van r\\ 354 resp. 355, blijft doorgaan als in [a + b^ 
de getallen a en b beide of een van beide negatief zijn, daar 
toch de formule van Newton een uitsluitend gevolg van de 
grondeigenschappen is. 

Bijgevolg blijft de formule (207) gelden als men daarin b door 
— b vervangt, waardoor ze overgaat in: 

(a — by = a« — CW-^ b + cl a^-^ b^ - + (— 1)«^«, 

of: 



n 



(a — bY = l. (— 1)^ Cn a^-^ bK 

634. Door a = b = \ te nemen volgt hieruit in het bijzonder 
de voor n ^ l geldende formule: 

C'n-Cl+Cn~C'n + .. . . + {— if Cl = 0. (406) 

Door de beide leden hiervan bij de overeenkomstige leden der 

formule (188) van n^ 335 ^) op te tellen vindt men verder, na 

beide leden van de komende gelijkheid door 2 gedeeld te hebben: 

C„' + d + C^ + C^ + .... + C? = 2'^-\ (407) 

waarin p = n of = n — 1 is al naar gelang n even of oneven is. 

Door de beide leden van (406) van de overeenkomstige leden 
van (188) af te trekken vindt men evenzoo: 

Ci + C^ + d + C^ +.... + C? = 2"-\ (407)* 

waarin q = n — 1 of =« is al naar gelang n even of oneven is. 

Men kan de formules (407) en (407)* resp. ook aldus schrijven: 

^) Ook deze volgt uit het binomium van Newton; zie n^. 358. 



301 

De sommeering moet bij de eerste formule worden uitgestrekt 
over alle geheele waarden van k, die voldoen aan: 

en bij de tweede over alle geheele waarden van k, die voldoen aan: 

Evenwel kan men ook termen opnemen, waarvoor 2k grooter 
dan n resp. n — 1 is, daar die termen toch nul zijn (zie n^. 359 
en 630). 

635. Door in (407) en (407)* Cn door het daaraan gelijke 
getal Cl"^ (zie de formule (180) van n". 330) te vervangen gaat, 
als n even is, zoowel (407) als (407)* in zich zelf over. Is echter 
n oneven, dan gaat daarbij (407) in (407)* over en omgekeerd, 
zoodat de formules (407) en {407Y dan, in verband met (180), 
hetzelfde uitdrukken. 

Verder merken we nog op, dat de formule (180) de juistheid 
van (406) onmiddellijk doet inzien als n oneven is, daar de termen 
van het eerste lid dan twee aan twee tegen elkaar wegvallen (de 
eerste tegen den laatsten, de tweede tegen den voorlaatsten, enz.). 
De formule (406) heeft dus alleen belang als n even is, in welk 
geval daarvoor geschreven kan worden (n door 2n vervangend): 
Cln - CL + Cln - d„ + . . . . - Clr' + Cll = 0. (408) 

Door de gelijke termen (eersten en laatsten, enz ) samen te 
nemen gaat dit over in: 

2C2'„-2CL + 2CL — 2C|« + . ... + (- l)"~'2C2V' + (-l)"C?« = 0. 

636. In de formules (407) en (407)* van n^ 634 komen geen 
negatieve getallen voor, terwijl toch die formules met behulp van 
negatieve getallen zijn afgeleid. Men heeft hier dus weer een 
voorbeeld van het nut, dat de negatieve getallen afwerpen voor 
gevallen, die op zich zelf niets met negatieve getallen te maken 
hebben. 

Ook de formule (406) kan zoo geschreven worden, dat er van 
geen negatieve getallen sprake is, nl. aldus: 

c2 + cH c„' + .... = ci + c^ + G^ + .... ^) . 



) Beide leden zijn volgens (407) en (407)* gelijk aan 2' 



302 

Voor het (uitsluitend van belang zijnde) geval, dat n even is, 
luidt dit: 

C2n + C2n + C2n + + C2n = C2n + C2n + C2tj "h + C2"~ ' . 

Dit is een andere schrijfwijze van de formule (408) van n*^. 635. 

637. Andere afleiding en uitbreiding der formule (406). 

Men kan de formule (406) van n^. 634 ook aantoonen door op 
de daarin voorkomende aantallen combinaties de formule (186) 
van n^. 333 toe te passen. Daardoor kan men tevens een uit- 
breiding der formule (406) verkrijgen, door nl. van het eerste 
lid niet alle termen, maar de eerste k + 1 termen te nemen. Men 
vindt zoo: 

C° - ei + d - d + .... + (- D" C* = 

= Cn-\ — (Cn-i + C„_i) + (C„_i + C„-{) — (C„_i + C„_i) + 

+ + {- if-' {C'nzl + c*i!) + (- 1)* (C*=i + c*_,), 

dus: 

C- Ci + Cl-Cl + .... + {- \f C'n = i- if C*_,. (409) 
Voor k = n gaat dit in (406) over, daar C^_i als nul moet 
worden geïnterpreteerd (zie n". 359 en 630). 
Op geheel soortgelijke wijze vindt men: 

C* - Cf' + C'„*' -.... + {- l)"-" Cl = 
= (C*=! + C*_i) - (C*_, + C'„l]) + (C*ll + Cli) - 

_.... + (_ D'-^-'lcïz? + Cil) + (- i)"-' Qzl, 
dus: 

C'n - Cr^ + Cr' _.... + (_ 1)"-^ C = Ct\. (409)* 

Deze formule is ook uit (406) en (409), als men daarin k door 

k — 1 vervangt, af te leiden, hetgeen we aan den lezer overlaten. 

Ook is (409)* uit (409) af te leiden door overal G door C""' 

te vervangen (zie de formule (180) van n^. 330) en vervolgens 

n — k \w plaats van k (dus k in plaats van n — k) te schrijven. 

638. Rekenkundige reeksen. Voldoen drie getallen a, b en 
c aan de betrekking 

a^c = 2h. (410) 

dan wordt h het rekenkundig gemiddelde of kortweg het ^e/w/We/(/e 

van a en c genoemd. 



303 

Voor (410) kan tengevolge van de onbeperkte mogelijkheid 
der aftrekking ook geschreven worden: 

a — b = b — c. 

Daar nu de beide getallen b tusschen de getallen a en c staan, 
wordt b ook rekenkundig middelevenredig tusschen a en c 
genoemd ^). 

Zijn a en c gegeven, dan is aan (410) alleen te voldoen als 
a + c even is, in welk geval men vindt: 

^ = ~2- 
Daar de som van twee getallen, die beide even of beide oneven 
zijn, even en de som van een even en een oneven getal oneven 
is \ bezitten twee getallen dan en alleen dan een rekenkundig 
gemiddelde als ze beide even of beide oneven zijn. 

639. Wanneer een rij getallen 

a^i 0^2» ^8' ^4' • • • • 

de eigenschap bezit, dat ieder der op a^ volgende getallen het 
rekenkundig gemiddelde van het voorafgaande en het volgende 
getal is, zegt men, dat die getallen een rekenkundige reeks vor- 
men. Men heeft dan: 

^2 — % = <^3 — a^ = a^ — a^ — a^ — a^ — . . . . 

M. a. w. een element der rij van hei volgende element afge- 
trokken levert een standvastig verschil. Dit wordt het versciiil 
der rekenkundige reeks genoemd. 

Stellen we dit verschil (dat zoowel positief als negatief als nul zijn 
kan) door v voor, dan kan voor de getallenrij geschreven worden : 

dl 

^2 = a^-\r V , 

a^ = ^2 + 1^ = % + 2v, 

a^ =^ a^ -\- V =^ a^ + ?>v, enz. 

^) Heeft men algemeener: 

a — b^ = 02 — c, 
dan wordt dit wel etn rekenkundige evenredigheid gQuoemd. We hebben 
hier het geval, dat de beide middelste termen b^ en bo van zulk een 
evenredigheid gelijk zijn. 

^) Een negatief getal is natuurlijk even of oneven al naar gelang 
zijn absolute waarde even of oneven is (zie n*^. 571) 



304 

Men vindt zoo voor het «^^ element der rij, ook wel het 
algemeene element genoemd: 

an = a^ + (n- \)v ^). (411) 

Hiertoe geraakt men ook door optelling der n — 1 gelijkheden 



^2 — ^1 


= v, 


ag — «2 


= V, 


a^ — «8 


= V, 



Uit (411) verkrijgt men de opvolgende elementen der reken- 
kundige reeks door n de rij der natuurlijke getallen te laten 
doorloopen. 

De natuurlijke getallen vormen blijkbaar zelf ook een reken- 
kundige reeks {a^ = \, v = 1). Andere voorbeelden van reken- 
kundige reeksen zijn de rij der even natuurlijke getallen 2, 4, 
6, 8, .... (a^ = 2, V = 2) en de rij der oneven natuurlijke getallen 
U 3, 5, 7, (ai = \, V = 2). 

640. Som van opvolgende elementen eener rekenkundige 
reeks. We beschouwen nu de som 

Sn = a-^ + ac^ + . . ^ -^ an 
van de n eerste elementen eener rekenkundige reeks. Daar men 
ook schrijven kan: 

Sn = an^ an-\ "f" . . . • + a^, 

vindt men door optelling der overeenkomstige termen: 
2Sn = {a^ + an) + (^2 + an-\) + (^3 + an-2) + .... + (ai + a«). 
Nu is volgens (411): 

ak + an~k-^\ = a^-v(k — \)v + a^ 4- (az — k)v = 
= 2a^ + (/z — 1)^' = a^ + an , 
zoodat de som van twee termen, waarvan de een even ver van 
den eersten term als de ander van den laatsten term verwijderd 
is, steeds dezelfde is, nl. de som van den eersten en den laatsten 
term. Hieruit volgt verder: 

2Sn = n{2a^ + {n — \)v] = n(a^ -f an), 

9„ = «a,+1«-^l)zr="-(^-^). (412) 



^) Dit geldt ook nog voor n = \. 



305 

In woorden luidt dit: 

De som van eenige opvolgende termen eener rekenkundige reeks 
is gelijk aan het halve product van het aantal dier termen en 
de som van eersten en laats ten term. 

In het bijzonder vindt men voor de som der eerste n natuur- 
lijke getallen en de som der eerste n oneven natuurlijke getallen 
resp. : 

• 1+2 + 3-]-. ... + ^=.^tl), 

1 + 3 + 5 + ^{2n—\) = n\ 

Opgemerkt zij nog, dat de formule [412) ook geldig is voor 
n = 1 en voor n = 0. Voor n = 1 levert (412) nl. naar behooren 
5*1 = «i, terwijl voor n = O gevonden wordt Sq = O, in overeen- 
stemming met de beschouwingen van n^. 310 omtrent een som 
van nul termen. 

641. Is het aantal termen der som Sn, dus het getal n, oneven, 
dan is er een middelste term, d. w. z. een term, die evenveel 
voorafgaande als volgende termen heeft. Het rangnummer van 

dien middelsten term is — ^— . De in n^. 640 beschouwde ter- 

men a^^ en an-k+i kunnen nu ook beschreven worden als ter men^ 
die even ver van den middelsten term verwijderd zijn. De som 
van twee zulke termen is gelijk aan het dubbel van den mid- 
delsten term, of anders gezegd die termen hebben den middelsten 
term tot rekenkundig gemiddelde. Dit voert onmiddellijk tot: 

Sn = na^, (413) 

2 

hetgeen ook zonder moeite uit (411) en (412) is af te leiden. 

In woorden luidt (413): 

De som van een oneven aantal opvolgende termen eener reken- 
kundige reeks is gelijk aan het product van het aantal termen 
en den middelsten term. 



FRED. SCHUH, Leerboek der Theoretische Rekenkunde. 20 



HOOFDSTUK IV. 

TOEPASSING DER NEGATIEVE GETALLEN OP 
DEELBAARHEIDSPROBLEMEN. 



§ L Onbepaalde vergelijkingen. 

642. Lineaire onbepaalde vergelijking. Een vergelijking, 
waarin twee onbekenden, d. w. z. uit die vergelijking te bepalen 
getallen i), x ^ny voorkomen, wordt een onbepaalde vergelijking *), 
ook wel Diophantische vergelijking ^) genoemd. 

In het bijzonder ±)eschouwen we de vergelijking- 

ax ^ by = c, (414) 

waarin a, b en c gegeven getallen ^) zijn, terwijl gevraagd wordt 
alle stellen waarden van x en y te bepalen, die aan de verge- 
lijking voldoen. Zulk een stel waarden wordt een oplossing der 
vergelijking genoemd. 

De vergelijking (414) kan ook zoo geschreven worden, dat 



1) Het woord „getal" is hier en in het volgende te nemen in de 
beteekenis van „geheel getal". 

^) Ook als in de vergelijking meer dan twee onbekenden voorkomen 
spreekt men van een onbepaalde vergelijking. Een voorbeeld hiervan 
hebben we reeds bij het partitieprobleem ontmoet (zie n^. 376 en 377), 
op welk voorbeeld we nog in n°. 695 terugkomen. 

De benaming „onbepaalde vergelijking" komt daar vandaan, dat, na 
verdere uitbreiding van het getalbegrip dan de tot nu toe besprokene, 
een der beide onbekenden geheel willekeurig kan worden aangenomen 
en dus door de vergelijking geheel onbepaald gelaten wordt. 

^) Naar Diophantus van Alexandrië (omstreeks 250 n. Chr.). 



307 

het tweede lid nul wordt, door nl. beide leden met — c ie ver- 
meerderen. De vergelijking gaat daardoor over in: 

ax-^by — c = 0. (414)* 

' Daar men ook omgekeerd uit (414)* tot (414) kan besluiten 
(door beide leden van (414)* met c te vermeerderen), is iedere 
oplossing van (414) ook een oplossing van (414)* en omgekeerd. 
Men drukt dit uit door te zeggen, dat beide vergelijkingen 
gelijkwaardig of aequivalent zijn. 

Het vervangen van (414) door (414)* wordt op nul herleiden 
genoemd. Daarbij verdwijnt en ontstaat geen oplossing, of zoo- 
als men ook zegt er wordt geen oplossing verduisterd en geen 
oplossing ingevoerd. 

643. Het eerste lid der op nul herleide vergelijking, dus 
ax + by — c is een geheele rationale functie van x eny van den 
eersten graad. Zulk een geheele rationale functie wordt ook 
lineair genoemd, terwijl evenzoo de onbepaalde vergelijking (414) 
lineair (of van den eersten graad) heet. 

Het begrip „geheele rationale functie" wordt op dezelfde wijze 
gedefinieerd als in n^. 378, slechts met dit verschil, dat men in 
n^. 378 één onafhankelijk veranderlijke had, terwijl er nu twee 
onafhankelijk veranderlijken (x en y) zijn. Bij een willekeurig 
aantal onafhankelijk veranderlijken Xj, ATg, ... ., Xp wordt een 
geheele rationale functie gedefinieerd als een som van termen 
van de gedaante 

^1^2 • • • • ^p-^1 2 P 

waarin A een gegeven getal is, dat de coëfficiënt van 

AJ^^x""^ . . . . xy heet. De som der exponenten a,, «g» • • • •, «p 
(waarvan ook eenige nul kunnen zijn) wordt de graad van dien 
term genoemd, terwijl de grootste graad van eenigen term (met 
van nul verschillenden coëfficiënt) der som de graad der geheele 
rationale functie heet. 

644. Grootste gemeene deeler van geheele getallen. Onder 
den grootsten gemeenen deeler (G.G.D.) van twee van nul ver- 
schillende geheele getallen a en b verstaan we het grootste geheele 



308 

getal, dat zoowel op a als op b deelbaar is (zie n^ 571). Die 
G.G.D. is positief (dus een natuurlijk getal), daar de positieve 
gemeene deelers grooter dan de negatieve zijn. 

Blijkens het in n^. 572 gevondene zijn de gemeene deelers 
van a en b dezelfde als die van \a\ en \b\, waaruit volgt: 

De G.G.D. van twee geheele getallen is dezelfde als die van 
de absolute waarden dier getallen. 

Het is duidelijk, dat deze eigenschap tot meer dan twee getallen 
is uit te breiden. 

645. Is G de G.G.D. der geheele getallen a en ^ en 

a = Ga' , b = Gb', 
dan is: 

' \a\ = G . \a'\, \b\ = G . \b'\. 

Daar G ook de G.G.D. van \a\ en \b\ is, zijn \a' \ en \b'\ 
onderling ondeelbaar (zie de eigenschap van n^. 177). Bijgevolg 
zijn de gemeene deelers van \a'\ en \b'\, en dus ook die van 
a' en b\ geen andere dan de getallen 1 en — 1. Drukt men 
dit uit door te zeggen, dat a' en b' onderling ondeelbaar zijn \ 
dan blijft de eigenschap van n^. 177 voor van nul verschillende 
geheele getallen geldig. 

646. Eigenschappen betreffende onbepaalde vergelijkingen. 

We onderstellen, dat in de onbepaalde vergelijking {414) van n^. 
642 de coëfficiënten a en b beide van nul verschillen ^). 

Is G de G,G.D. van a en b, dan is het eerste lid van (414) 
voor iedere waarde van x en 3; door G deelbaar. Is c niet door 
G deelbaar, dan kan dus aan (414) niet worden voldaan, d. w. z. 
dan heeft die vergelijking geen oplossingen. We vinden dus: 

Voor het bestaan van oplossingen der onbepaalde vergelijking 
{414) is noodig, dat c deelbaar is door den G.G.D. van a en b. 

In n^. 657 zal blijken, dat die voorwaarde ook voldoende is 
voor het bestaan van oplossingen. 



^) Twee geheele getallen zijn dus dan en alleen dan onderling 
ondeelbaar als hun absolute waarden dat zijn. 

^) Is a of b nul, dan valt x resp. y uit de vergelijking weg en heeft 
men met een vergelijking met één onbekende te doen. 



309 

We merken nog op, dat aan de genoemde voorwaarde steeds 
voldaan is als a en b onderling ondeelbaar zijn. 

647. Is c door den G.G.D. Q van a en b deelbaar, dan stel- 
len we: 

a = Ga', b = Gb\ c = Gc\ (415) 

De getallen a' en b' zijn dan onderling ondeelbaar (zie n^ 645). 

Tengevolge van (415) gaat (414) over in: 

Ga'x + Gby = Gc'\ 

of: 

G{a'x + b'y — c') = 0. 

Daar G niet nul is, is hieraan dan en alleen dan voldaan als 

a'x + by ~ c' = 0, 
dus: 

a'x + by = c' (416) 

is. Deze vergelijking is met (414) gelijkwaardig (zie n^ 642). 

We vinden dus: 

Voldoet een lineaire onbepaalde vergelijking aan de in n^. 646 
genoemde voorwaarde, dan is deze zoo te herleiden, dat de coëf- 
ficiënten der beide onbekenden onderling ondeelbaar zijn. 

We hebben ons dus in het volgende slechts bezig te houden 
met het geval, dat de getallen a en b onderling ondeelbaar zijn. 

648. Is door x ^ x^, y ^ y-^ {waarin x^ en y^ bekende getallen 
zijn) aan de onbepaalde vergelijking (414) voldaan, dan is daar- 
aan eveneens voldaan door 

x = x,+bt,y = y^- at'), (417) 

waarin men voor t ieder geheel getal nemen kan. 

Dit blijkt onmiddellijk bij substitutie in (414), d. w. z. bij ver- 
vanging van X en y resp. door x^-\-bt eny^ — at; het eerste 
lid is dan nl. tot c te herleiden. 

De eigenschap geldt ook nog als a en b onderling deelbaar zijn. 

We merken verder op, dat x en b onderling ondeelbaar zijn 
als dit met b en c hei geval is; immers een gemeene deeler 



^) Men kan hiervoor natuurlijk even goed schrijven: 
X = x^ ~ bt, y = y^^ -{- at. 
daar dit uit (417) ontstaat door t te vervangen door — t. 



310 

van X en ^ is volgens (414) ook een deeler van c. Evenzoo zijn 
y en a onderling ondeelbaar als dit met a en c het geval is. 

649. Is X = Xj, y = yi een oplossing der vergelijking (414) 
en zijn a en b onderling ondeelbaar, dan stelt (417) iedere oplos- 
sing dier vergelijking voor, d. w. z. iedere oplossing is te ver- 
krijgen door in (417) aan t een behoorlijk gekozen waarde toe 
te kennen ^). 

Uit het onderstelde volgt nl.: 

ax-^ + by^ = c, 
waardoor voor (414) geschreven kan worden: 

ax ^ by = ax^ -j- by-^, 
of (beide leden met — by — ax^ vermeerderend): 

a(x-x^) = b(y,-y). (418) 

Hiervan is het eerste lid deelbaar door a, dus ook het tweede 
lid. Daar nu b onderling ondeelbaar is met a, is y^ — y deel- 
baar door a. Men heeft dus: 

yi—y = at, 
terwijl dan verder uit (418) volgt: 

X — x-^ = bt. 
Dit voert tot (417). 

650. Algemeene en bijzondere oplossingen. Uit de eigen- 
schappen van n^. 648 en 649 blijkt, dat, als a en b onderling 
ondeelbaar zijn, (417) steeds een oplossing der vergelijking (414) 
is en omgekeerd iedere oplossing van (414) in (417) ligt opge- 
sloten. Daarom wordt (417) de algemeene oplossing der onbe- 
paalde vergelijking genoemd. Een oplossing, die uit (417) ont- 
staat door aan t een bepaalde waarde toe te kennen, heet een 
bijzondere of particuliere oplossing ^). 



^) Dit geldt ook nog als a oi b nul is. Is b.v. a = O, dan volgt 
uit de onderlinge ondeelbaarheid van <2 en /?, dat ö = ± 1 is, daar O 
door ieder getal deelbaar is (zie n^. 309). De vergelijking (414) luidt 
dan -± y = c, zoodat x iedere waarde kan aannemen. Verder gaat (417) 
dan over in x = x^ -\- t, _y = y-^, hetgeen eveneens uitdrukt, dat x 
willekeurig is en y een bepaalde waarde moet hebben, 

2) Met het woord „bijzonder" is niet bedoeld, dat die oplossing iets 
bijzonders heeft, daar .iedere oplossing, op zich zelf beschouwd, een 
bijzondere oplossing is. 



311 

De oplossing x = x^, y =yi, waarvan we zijn uitgegaan, is 
zulk een particuliere oplossing. In het voorgaande is dus onder- 
steld, dat de vergelijking minstens één particuliere oplossing bezit. 
Dat die onderstelling altijd juist is als a en ^ onderling zijn, zal 
in n^. 656 blijken. 

We merken nog op, dat de oplossing x = x^, y = yi S^^f^ 
andere rol speelt dan de overige particuliere oplossingen, zooals 
wel daaruit blijkt, dat men in de beschouwingen van n°. 648 en 
649 van iedere particuliere oplossing kan uitgaan. Trouwens is 
t-^ een bepaalde maar willekeurig gekozen waarde van t, dan 
kan, als men t — t-^ = f stelt, voor (417) geschreven worden: 

X = (x^ ^ bt^) + bt\ y = {yi — at-^) — at\ 
waarin men aan f een willekeurige waarde kan toekennen. De 
rol der oorspronkelijke particuliere oplossing is nu door de parti- 
culiere oplossing X = ATi + bt-^, y = Vi — cil\ overgenomen. 

651. De eigenschap van n^. 649 geldt niet meer als a en b 
onderling deelbaar zijn. Is dan x = x^, y = y\ een particuliere 
oplossing van (414), dan is volgens de eigenschap van n^. 646 
aan de daar genoemde voorwaarde voldaan, dus (414) tot den 
vorm (416) te herleiden (met a! en b' onderling ondeelbaar). De 
algemeene oplossing van (416), dus ook die vo.n {414), is derhalve: 

x = x^ + b't\ y =y, — aT, (419) 

De oplossing (417) is volgens (415): 

X = x-i_ + b'Gt, y = yi — a'Gt 
eri ligt dus in (419) opgesloten als het geval t' = Gt. 

Hieruit blijkt, dat {417) die en alleen die oplossingen van (414) 
oplevert, die uit {419) ontstaan door aan f een door G deelbare 
waarde toe te kennen. 

652. Het bestaan van oplossingen eener onbepaalde ver- 
gelijking. We beschouwen de onbepaalde vergelijking (414) m^/ 
a en b onderling ondeelbaar (zie n^. 647). 

Zonder beperking kunnen verder a en b positief ondersteld 

worden, daar als b.v. a negatief is voor (414) geschreven kan 

worden: 

(— a) (— x)-\- by = c, 

waarin — a positief is. Door — x als nieuwe onbekende op 



312 

te vatten bereikt men, dat de coëfficiënt dier onbekende posi- 
tief is. 

Zijn a en b beide negatief, dan is het echter eenvoudiger niet 
twee nieuwe onbekenden ( — x en — y) in te voeren, maar (414) 

te herleiden tot: 

(— a)x + (— b)y = — c, 

waarin — a en — b positief zijn. We laten het aan den lezer 

over zich van die herleiding rekenschap te geven. 

Ook kan men zonder beperking a ^ b onderstellen, daar x en 

y geheel dezelfde rol spelen. 

653. Is ^ = 1, dan luidt (414): 

ax-\-y = c. - (420) 

Hieraan is voldaan door 

X = O, y = c, 
zoodat de algemeene oplossing volgens het in n^ 650 gevon- 
dene is: 

X = t, y = c — at. (421) 

Dit is ook rechtstreeks onmiddellijk uit (420) af te lezen, daar 

men x willekeurig kan aannemen en vervolgens uit (420) voor 

y vindt: 

y = c — ax, 

hetgeen op hetzelfde neerkomt als (421). 

654. We beschouwen nu het geval b>l. Wegens de onder- 
linge ondeelbaarheid van a en Z? is dan a = b uitgesloten, dus 
(wegens het in n^ 652 onderstelde) a > b. 

Zij q het partiëele quotiënt der deeling van a door b. Dan is: 

a = qb + r, ^ (422) 

waarin O < r < b. Tengevolge van (422) gaat (414) over in: 

{gb + r)x ^ by = c, 

b{qx + y) -\- rx = c. 
Door 

qx+y = z (423) 

te stellen wordt dit: 

bz + rx = c. (424) 

Dit is een vergelijking van denzelfden vorm als de oorspronke- 
lijke, terwijl ook nu de coëfficiënten der beide onbekenden onder- 
ling ondeelbaar zijn. Men heeft echter bereikt, dat de coëfficiënten 



313 

kleiner geworden zijn, daar de grootste coëfficiënt door de rest 
der deeling door den kleinsten vervangen is. 

655. Heeft men de vergelijking (424) opgelost en is 

X = x^^ bty z = z-^— rt (425) 

{t willekeurig) de algemeene oplossing, dan heeft men nog de 

vergelijking (423) op te lossen met y ^n t als onbekenden. Ten 

gevolge van (425) gaat (423) over in: 

y-\-{qb + r)t-= 0, — qx^, 
of volgens (422): 

y -^ at = z^ — qx^. 

Deze onbepaalde vergelijking verkeert in het in n°. 653 be- 
schouwde geval {t willekeurig aan te nemen). De algemeene 
oplossing van (414) is dus direct neer te schrijven, nl.: 
X = x^ -\- bt, y = z^ — qx^ — at. 

Naar behooren is die oplossing van den vorm (417) (met 

656. Blijkens het voorgaande is de vergelijking (414) oplos- 
baar als dit met (424) het geval is. Dit laatste doet zich zeker 
voor als r == 1 is. 

Is r > 1, dan kan men (424) op dezelfde wijze verder herlei- 
den tot een onbepaalde vergelijking, waarvan de coëfficiënten der 
onbekenden onderling ondeelbaar zijn en de grootste coëfficiënt 
r is. Zoo kan men doorgaan, steeds de coëfficiënten der onbe- 
kenden verkleinend, waarbij men eindelijk zal komen op een 
vergelijking, waarvan een dier coëfficiënten 1 is en die dus oplos- 
singen toelaat. De oorspronkelijke vergelijking (414) bezit dus 
eveneens oplossingen. 

Hiermede is aangetoond: 

Zijn bij de onbepaalde vergelijking (414) de coëfficiënten a en 
b onderling ondeelbaar, dan bezit die vergelijking oplossingen. 

Een stelling als deze, waarin het bestaan van iets (in ons geval 
van oplossingen der onbepaalde vergelijking) geconstateerd wordt, 
noemt men een existentiestelling en het bewijs . daarvan een 
existentiebewijs, 

657. Uit de eigenschap van n^ 656 blijkt, in verband met het 



314 

in n*^. 647 gevondene, dat de vergelijking {414) steeds oplossingen 

bezit als c deelbaar Is door den G G.D. van a en b. 

Dit kan men met de eigenschap van n^ 646 aldus samenvatten: 
De vergelijking (414) bezit dan en alleen dan oplossingen als 

c door den G.G.D. van a en b deelbaar Is i). 
De in n^. 646 genoemde voorwaarde is dus zoowel noodlg als 

voldoende. 

658. Algorithmus ter oplossing van een onbepaalde ver- 
gelijking. Het bewijs van n^. 654—656 levert tevens een een- 
voudigen algorithmus om een onbepaalde vergelijking, die aan 
de in n^. 646 en 657 genoemde voorwaarde voldoet, op te 
lossen. 

Eerst wordt de vergelijking herleid tot een met onderling 
ondeelbare en positieve coëfficiënten (zie n^ 647 en 652). De 
algorithmus bestaat dan verder in het telkens invoeren van een 
nieuwe onbekende (in de plaats van de onbekende met den 
kleinsten coëfficiënt), waardoor de grootste coëfficiënt verkleind 
wordt (tot een waarde kleiner dan de kleinste coëfficiënt), het- 
geen voort te zetten is tot een coëfficiënt 1 ontstaat. 

659. De coëfficiënten der onbepaalde vergelijkingen, die men 
zoo achtereenvolgens krijgt, zijn b en r^, daarna r^ en rg, ver- 
volgens rg en Tg, enz., waarin r^, rg, Tg, enz. de resten zijn, die 
bij de bepaling van den G.G.D. van a en ö optreden (zie de 
vergelijkingen van n^ 174). Het aantal omvormingen, die men 
de onbepaalde vergelijking (414) heeft te doen ondergaan, is 
dus gelijk aan het aantal deelingen noodigi om den G.G.D. 
van a en Z? te bepalen, d. w. z. om de onderHnge ondeelbaarheid 
van a en b vast te stellen. 

660. Voorbeeld ter toelichting. Als voorbeeld nemen we 

de vergelijking: 

1417;c — 30033/ - 663. 



1) Dit geldt ook nog als a oi b nul is. Is b.v. a = O, dan heeft 
de vergelijking (414), die in by = c is overgegaan, dan en alleen dan 
oplossingen als c door b deelbaar is. Daar b de G.G.D. van O en ^ 
is, is dit met de eigenschap in overeenstemming. 



315 



We bepalen eerst den G.G.D. van 1417 en 3003: 
1417 /3003\ 2 





/ 2834 \ 














169 / 
(13)/ 


1417\ 8 
1352 \ 

65 /169\ 2 
(5)/ 130 \ 

39 /65\ 1 
(3)/ 39 \ 

26 /39\ 1 
(2)/ 26 \ 

13 /26\ 
(l)/26\ 



2 








Deze 


blijkt 13 


te zijn. Daar 663 door 


13 


deelbaar 


is, is 


de 


rgelijk 


ing oplosbaar. Door deeling door 


13 


gaat deze 


over in: 



109x— 231y = 51. (426) 

Door 

y = —/ 

te stellen wordt de vergelijking: 

109^ + 231/ -51. (427) 

661. De verdere berekening is nu aldus: 
109(;c + 2y)+ 13/^51 2), 



109z+ 13/ = 51, 


z = x+ 2y\ 


3(/-f8^)H- 5z = 5l% 




I3w+ 5z = 5l 


w = y' ^ 82:, 


5{z^ 2w)^ Sw = 51, 




5v+ 3w = 51, 


V = z ^ 2w, 


3{w + v)+ 2z/ = 51, 




3^+ 2v =51, 


u = w ^ V, 


. 2(v + u)+ a =51, 




2t^ u =51, 


t = y -{- IL 



^) De tusschen haakjes geplaatste getallen zijn uit de daar boven 
staande afgeleid door deeling door 13. Nader hierover in n^. 663. 

^) De hierin voorkomende getallen 2 en 13 zijn het. quotiënt en de 
rest der deeling van 231 door 109. 

^) De hierin voorkomende getallen 8 en 5 zijn quotiënt en rest bij 
deeling van 109 door 13. 



316 

Hieruit vindt men verder: 
u = 5\ — 2t, 

v = t— u = --5\-\-3t, 
w = u — V = 2 . 51 — 5t, 
z = v — 2w= — 5.5l-\- \3t, 
y = w — 8z = 42 .51 — I09t, 
x = z — 2y = — S9 ,5\ -{- 23U, 
y = — / = — 42 . 51 + \09t 1). 
De algemeene oplossing der vergelijking (426) is dus: 

x= — 4539 + 23U, y = — 2142 + \09t. 
Door t = f + 20 te stellen ^) kan dit nog vereenvoudigd wor- 
den tot: 

X = SI + 23U\ y = 38 -\- \09t\ (428) 

662. Naar behooren is de oplossing (428) der vergelijking 
(426) van den vorm (417). De omstandigheid, dat de coëfficiënten 
van t, die in de oplossing voorkomen, reeds van te voren bekend 
zijn, kan nu ook worden gebruikt om een deel der berekening 
weg te laten. Men kan nl. volstaan met een bijzondere oplos- 
sing van (426) te bepalen door van een bijzondere oplossing der 
vergelijking 2t -{- u = 5\ uit te gaan. 

Aangewezen is daarvoor te nemen ^=0, u = 5\, waarna de 
verdere berekening wordt: 

V = t — u = — 5\, 
w = u — 1^ = 2 . 51, 



^) Voor t = O geeft dit de bijzondere oplossing a: = — 89 . 51, 
y = — 42.51. Algemeener vindt men op de aangegeven wijze een 
bijzondere oplossing van (414) van de gedaante: 

X = Ac, y = Bc, 
waarin ^ en ^ slechts van a en b afhangen. Door c = 1 te nemen 
blijkt, dat x = A, y = B een bijzondere oplossing der vergelijking 
ax -\- by = 1 is. Dat dan x = Ac, y = Bc aan (414) voldoet, blijkt 
trouwens ook onmiddellijk bij substitutie in (414) in verband met 
aA + bB = 1. 

2) Daar bij iedere waarde van i' een waarde van t behoort en omge- 
keerd, wordt door de substitutie ^ = ^' + 20 geen stel waarden van 
X en y ingevoerd en geen stel waarden verduisterd. Dit laatste zou 
b.v. wel het geval zijn als we t = 2t' stelden, waardoor de oplossingen 
behoorende bij oneven waarden van t verduisterd zouden worden. 



317 

z = V — 2w = — 5 . 51, 

y = -z^; — 8^ = 42 . 51, y = — / = — 42 . 51, 
x=^ ^ — 2/ = — 89 .51. 
Uit deze bijzondere oplossing van (416) is dan verder onmid- 
dellijk de algemeene oplossing af te leiden. 

663. Bij de opvolgende herleidingen der vergelijking (427) 
(zie n°. 661) kan met voordeel van het in n^. 660 voorkomende 
schema ter berekening van den G.G.D. van 1417 en 3003 gebruik 
gemaakt worden. Dit schema levert nl. zoowel de quotiënten 
als de resten, die bij de bepaling van den G.G.D. van 109 en 
231 (de in (427) voorkomende coëfficiënten der onbekenden) optre- 
den. De quotiënten zijn nl. dezelfde als bij 1417 en 3003 terwijl 
de resten door 13 gedeeld zijn (zie n^. 180); de nieuwe resten 
(die voor 109 en 231) zijn in het schema tusschen haakjes onder 
de oorspronkelijke resten geplaatst. 

Welke rol nu verder de quotiënten en resten, optredende bij 
de bepaling van den G.G.D. van 109 en 231, spelen bij de 
achtereenvolgende herleidingen van (427), wordt door de noten 
2 en 3 van blz. 315 genoegzaam duidelijk gemaakt. 

664. Aan te brengen vereenvoudigingen. In sommige gevallen 
zijn in den in n^ 658 en 659 besproken algorithmus nog vereen- 
voudigingen aan te brengen. 

In de eerste plaats kan de omvorming tot positieve coëfficiënten 
der onbekenden achterwege blijven. Deze is slechts ten behoeve 
van het bewijs van n^. 654 — 656 uitgevoerd om daarbij geen 
onderscheiding van verschillende gevallen noodig te hebben. Voor 
den algorithmus is die omvorming echter zonder beteekenis, het- 
geen genoegzaam uit het voorbeeld van n^. 660 en 661 blijkt. 
Men kan nl. de vergelijking (426), zonder die eerst tot (427) om 
te vormen, ook aldus herleiden: 

109(;c — 23/)— 133; = 51, 

1092: — 13j/ = 51, z = X — 2y, 

— 13(}; — 8z)+ 5£ = 51, 

— \2>w -^ 52: =51, w=y — ^z, 

b(z — 2w) — 3z2; = 51, 

^v — 3ic ^ 51, v = z — 2w, 

enz. 



318 

665. Verder kan het voordeel opleveren sommige der bij de 
herleiding optredende partiëele quotiënten (in het voorbeeld 



23 li 



109 
13 



, enz.) door een 1 grooter getal te vervangen, 



109. 

als nl. daardoor de rest der deeling (die daarbij van teeken is 
omgekeerd) in absolute waarde kleiner wordt. Dit wil dus zeg- 
gen, dat men de vergelijking (422) van n^. 654 door 

a = q'b — r' {O < r' < b) 
kan vervangen, waarin g' = q -\- \, r' = b — r is; dit is voordeelig 
als r' < r is, daar dit dan een snellere verkleining der coëfficiënten 
teweeg brengt, hetgeen een verkleining van het aantal omvor- 
mingen ten gevolge heeft (vergelijk n^ 985 — 989). 

Past men deze vereenvoudiging op de vergelijking (426) van 
n^ 660 toe, dan wordt de berekening: 
109(a: — 23;) — 13;; = 51, 

1092: — 133; = 51, z = x — 2y, 

— \3{y — Sz)-i- 5z = 5l, 

— \3w -\- 5z = 5l, w=y — Sz, 

5{z-- 3w) + 2w =51, 

bv + 2w = b\, V = z — ^Wy 

2{w-{-2v)+ V = 51, 

2u + V = 5\, u = w-\-2v. 

Een bijzondere oplossing vindt men nu aldus uit u^O, v =^b\\ 
w = u — 2v = — 2 . 51, 
z = v^?)W=^ — 5.51, 
y = w -\-%z = — 42 . 51, 
X = z -{-2y = — 89 . 51. 
Een aanzienlijker vereenvoudiging krijgt men zoo bij de ver- 
gelijking 

54a: + 145); = 31, 

hetgeen we aan den lezer overlaten na te gaan. 

666. Andere vereenvoudigingen. In de vergelijking (414) 
van n^ 642 (waarin a en b onderling ondeelbaar ondersteld wor- 
den) kan men een vereenvoudiging aanbrengen als a en c onder- 
ling deelbaar zijn. Is nl. Q de G.G.D. van a en c, dan is c — ax, 
dus by, door G deelbaar. Daar ^ en G onderling ondeelbaar 



319 

zijn (wegens de onderlinge ondeelbaarheid van a en b), is dus 
y door G deelbaar, zoodat men 

y = 0/ 
stellen kan. Is nu: 

a = Ga' c = Gc\ 

dan gaat (414) over in: 

Gia'x + by — c') = O, 
a'x + b/ = c\ 
Door deze eenvoudige omvorming is de coëfficiënt van x ver- 
kleind. 

Een geheel soortgelijke vereenvoudiging is natuurlijk aan te 
brengen als b en c onderling deelbaar zijn. 

667. De in n^. 666 besproken omvorming kan op de verge- 
lijking (426) van n^ 660 worden toegepast, daar 231 en 51 beide 
door 3 deelbaar zijn. Door x = ?>x' te stellen gaat de vergelij- 
king over in: 

109x'— 77v- 17. 

De verdere berekening is dan aldus: 

— n{y — x') + 'è2x' = 17, 

— 71z-\-?>2x' = 17, 
?>2(x' — 2z)— 132 = 17, 

32w - \3z = 17, 

— \3(z — 2w) ^ ^w = 17, 

— 13z'+ Qw = 17, 
^{w — 2v) — i; = 17, 

6a — 1/ = 17, 
Door ^ = O, 1/ = — 17 te nemen vindt men dan: 
w = a ^2v = — 2 . 17, 
z = v -^2w = — 5 . 17, 

x' = w + 2z =—\2 .n, X = 3x' - — 36 . 17, 

y=z+x' =— \1\ 
De algemeene oplossing van (426) is dus: 

X = — 612 + 23U, 3; - — 289 + 109/, 
hetgeen tot (428) is om te vormen. 

668. Een nog grootere vereenvoudiging kan men aanbrengen 
als c zoowel met a als met b onderling deelbaar is. Verder 



z = 


= y- 


-X', 


w = 


x' - 


-2z, 


V = 


^ z - 


- 2w, 


a = 


-- w - 


-1v. 



320 

kan het geval zich ook voordoen, dat de besproken vereenvoudi- 
ging bij een der bij de herleiding optredende vergelijkingen is aan 
te brengen. 

Als voorbeeld nemen we de vergelijking: 

119x-f 405v - — 280. (429) 

Daar x door 5 en 3; door 7 deelbaar is, stellen we: 
X = bx\ y = ly\ 
waardoor (429) overgaat in: 

17x^ + 81/ = — 8. 
De berekening is dan verder aldus: 

17(jc' + 5y) — 4/ = — 8, 

17^ - 4/ = — 8, z = x' + 5y, 

\lz' — y = — 2, z = 4z'. 

Een bijzondere oplossing is z' = 0,y' = 2, waaruit verder volgt: 
z = 0, x' - — 10, x=—50,y = 14. 

De algemeene oplossing van (429) is dus: 

X = — 50 + 405t, 3; = 14 — 1 \9t. 

Zonder de aangebrachte vereenvoudigingen zou de behande- 
ling van (429) veel bewerkelijker geweest zijn. 

669. Het kan soms voordeel hebben van den in n^. 665 gegeven 
regel af te wijken als men daardoor de in n^. 666 besproken 
vereenvoudiging kan aanbrengen. Als voorbeeld nemen we de 
vergelijking: 

Z\x + 443/ = 9. (430) 

De behandeling volgens den regel van n^ 665 is aldus: 

31(x+j;) + 13};- 9, 

312:+ 133;-= 9, z = x^ y, 

13(j/ + 2^)+ 5^ - 9, 

13i2; + hz ==9, w=y^ 2z, 
5(z + Sw) — 2w = 9, 

6v — 2w = 9, V = z -{- 3w, 

— 2{w — 2v) + V ^ 9, 

— 2u -f V = 9, u = w — 2v. 



321 

Een bijzondere oplossing krijgt men door a = O, v = 9 te 
nemen, waarna men vindt: 

w = u -f 2i; = 2 . 9, 
z = V — Sw= — 5.9, 
y = w — 2z = \2 . 9, 
X = z — y = — 17.9. 
De algemeene oplossing van (430) is dus: 

jc = — 153 + 44t, y=lOS — 3\t, 
hetgeen door t = f -\- 3 te stellen ^) overgaat in : 

x = —m-^44t\y=15 — 3U\ (431) 

Een eenvoudiger berekening krijgt men echter aldus: 
3\(x + 2y)— 18y = 9, 

3I2:— 18y = 9, z = x + 2y, 

3\z' — 2y=\, z = 9z\ 

— 2(3;— 15^0+ z'=l, 

— 2w -\- z'=\, w=y — 152:'. 

Een bijzondere oplossing \s w = O, z' = \, waaruit volgt: 
y = w -\- \5z' = 15, 
z= 9z' = 9, 
x = z — 2y = — 2\, 
hetgeen onmiddellijk tot (431) voert. 

670. Positieve oplossingen eener onbepaalde vergelijking. 

We kunnen ook vragen naar die oplossingen der onbepaalde ver- 
gelijking (414), waarbij zoowel x als y positief is; deze zullen 
we kortweg als positieve oplossingen aanduiden. We onderstellen 
daarbij a en b onderling ondeelbaar. 

De positieve oplossingen worden uit de algemeene oplossing 
(417) (zie n^ 648) gevonden door t zoo te bepalen, dat 

x^-\- bt> O, y^ — at> O, 
dus: 

bt> — Xi, at <y^ (432) 

is. Het is echter niet zeker, dat aan beide ongelijkheden gelijk- 
tijdig kan worden voldaan. 

671. De vergelijking (414) kan steeds zoo worden geschreven, 



^) Zie noot 2 van blz. 316. 

FRED. SCHUH, Leerboek der Theoretische Rekenkunde. 21 



322 

dat c positief of nul is ^). Zijn a en b dan beide negatief, dan 
bezit (414) geen positieve oplossingen. 

Onderstel nu, dat a positief en b negatief is. \^ b = — b\ 
dan kan voor de eerste der ongelijkheden (432) geschreven wor- 
den b't < x-^. Is t-^ de grootste waarde van t, waarvoor b't < x^ 
is, en 4 de grootste waarde van t, waarvoor at < y^ is, dan kan 
voor (432) geschreven worden: 

t^t^, t^ t,. (433) 

Is 4 het kleinste der getallen t^ en t^, dan is aan (433) dan 
en alleen dan voldaan als t ^ t^ \s. De vergelijking {414) bezit 
dus oneindig veel positieve oplossingen. 

Tot dezelfde conclusie komt men als a negatief en b positief is. 

672. Zijn a en b beide positief, dan volgt uit (432): 

t^t^, t^ 4, (434) 

waarin ^ ^^ kleinste waarde van t is, waarvoor bt > — x^, en 
4 de grootste waarde van t, waarvoor at < y^ is. 

Is 4 ^ 4' ^^^ k^ïi ^^^ (434) niet worden voldaan. De ver- 
gelijking (414) heeft dan geen positieve oplossingen. Dit geval 
doet zich b.v. voor bij de vergelijking 

7x-i- ]ly = 37. 
De algemeene oplossing hiervan is: 

x = — \ + \lt,y = 4-~7t; 
X is positief als ^ ^ 1 en j; positief als / ^ O is, waaraan echter 
niet gelijktijdig kan worden voldaan. 

Is 4 ^ 4, dan wordt aan (434) door 4 — 4 + 1 waarden van 
t voldaan, nl. 4^ 4 + 1? ^i + 2, . . . ., 4- De vergelijking (414) 
heeft dan dus 4 — ^i + 1 positieve oplossingen. 

Het blijkt dus, dat (414), voor a en b beide positief , hoogstens 
een eindig aantal positieve oplossingen heeft. Dit is van de 
gemaakte onderstelling c ^ O onafhankelijk, daar de vergelijking 
(414) geen positieve oplossingen bezit als a en b positief zijn en 
c negatief is. 

Onverschillig welk teeken c heeft kan men zeggen, dat (414) 



^) Voor (414) kan nl. ook geschreven worden: 
(— a)x + (— b)y = — c. 



323 

hoogstens een eindig aantal positieve oplossingen bezit als a en 
b hetzelfde teeken hebben. 

673. De voorgaande beschouwingen gaan met voor de hand 

liggende wijzigingen door als men naar oplossingen vraagt, waarbij 

X Q.n y beide aantallen (dus ^ 0) zijn, of algemeener als men 

vraagt naar oplossingen, waarvoor 

x> P, y> Q 

is, waarin P en Q gegeven getallen zijn. Dit geval is trouwens 

onmiddellijk terug te brengen tot dat, waarbij naar positieve 

oplossingen gevraagd wordt, door 

X — P = l, y — Q = ri 
te stellen. 



674. Twee onbepaalde vergelijkingen met drie onbekenden. 

We beschouwen nu het geval, dat men twee lineaire onbepaalde 

vergelijkingen 

a^x + b^y + c^z = d-^, (435) 

ac^x + bc^y + c^z = d^ (436) 

heeft, waaruit de onbekenden x, y en ^ moeten worden opgelost. 

We nemen aan, dat ieder der onbekenden in minstens één der 
twee vergelijkingen een van nul verschillenden coëfficiënt heeft, 
daar anders een onbekende uit de vergelijkingen geheel wegvalt. 
De getallen q en c^ zijn dus niet beide nul, zoodat b.v. q #= O is. 

De op nul herleide vergelijkingen (435) en (436) schrijven we 

resp.: 

Il = 0, L, = O, (437) 

waarin L^ een afkorting is voor a-^x -h b-^y + c-^z — d^ en L^ voor 

ac^x + b^y + c^z — d^. Uit (437) volgt: 

Omgekeerd besluit men uit deze vergelijking en L^ = O tot 
qLg = O, dus (wegens c^ 4= 0) tot L, =■ 0. Hieruit blijkt, dat aan 
(437) dan en alleen dan is voldaan als voldaan is aan: 

Li = O, CgZ^i — CjLg = 0. (438) 

De twee vergelijkingen (437) hebben dus dezelfde oplossingen 



324 

als de twee vergelijkingen (438). Twee zulke stellen vergelijkingen 
heeten gelijkwaardig (vergelijk n^ 642). 

675. De tweede vergelijking (438) luidt: 

(a^c^ — a^c^)x + {b-^Cc, — b^c^)}; = d^c^ — dc^c^. (439) 

Hieruit is de onbekende z verdwenen. Men zegt, dat {439) 
uit {435) en {436) is afgeleid door z te elimineeren (verwijderen). 
Is Tg = O, dan kan voor (439) geschreven worden: 
c^{a^x + bc^y — d^) = O, 
dus wegens ^i ^= 0: 

a^x + bc^v = d^, 
hetgeen niets anders is dan de vergelijking (436). Het elimineeren 
van z is dan overbodig, daar (436) dan reeds een vergelijking 
is, waarin z niet voorkomt; of liever het elimineeren van z uit 
(435) en (436) bestaat dan eenvoudig in het weglaten van (435). 

676. De vergelijking (439) is van den vorm (414) (zie n^. 642). 
Voldoet (439) aan de voorwaarde voor oplosbaarheid (zie de 
eigenschap van n^ 657), dan is de algemeene oplossing van (439): 

X = x^ ^ft, y =y-i^ — et; (440) 

hierin zijn e en ƒ de getallen, die resp. uit a^Cg — a^c-^ en 
^1^2 — ^2^1 ontstaan door deze getallen door hun G.G.D. te deelen 
(zie n'>. 651). 

Substitueert men in (435) voor x en ;; de daarvoor door (440) 
aangegeven waarden, dan vindt men: 

{a^f — b;i^e)t + c-i^z = d-^ — a^x^ — b-^y^. (441) 

Dit is weer een vergelijking van den vorm (414), die in geval 
van oplosbaarheid een algemeene oplossing heeft van den vorm: 
t = t^ + hp, z = z^— gp, (442) 

waarin g en h resp.* uit de getallen a^/ — b^e en c^ ontstaan door 
deze door hun G.G.D. te deelen, terwijl p een willekeurig geheel 
getal is. 

Uit (440) en (442) vindt men als algemeene oplossing der ver- 
gelijkingen {435) en {436): 

X = x^ -V ft^ ^- fhp, 

y = yi — et^ — ehp, \ (443) 

^ = ^1 —gp 

{p willekeurig); hierin is: 



325, 

X = x^ + A, y =yi — et^^ z = z^ 

een bijzondere oplossing van (435) en (436). 

677. Vraagt men naar de positieve oplossingen van (435) en 
(436), dan moet men nog p zoo bepalen, dat x, y tr\ z alle 
positief zijn. Dit is óf niet mogelijk, óf op een eindig aantal 
manieren mogelijk, of op oneindig veel manieren mogelijk. Dit 
laatste geval doet zich dan en alleen dan voor als in de oplos- 
sing (443) de drie coëfficiënten van /?, dus de getallen fh, — eh 
en — g, alle hetzelfde teeken hebben (dus alle positief of alle 
negatief zijn), waarbij we van de bijzondere gevallen, dat een dier 
coëfficiënten nul is (zie n^. 678—680) afzien. We laten dit aan 
den lezer over na te gaan. 

678. Bijzondere gevallen bij twee onbepaalde vergelijkingen 
met drie onbekenden. Een eerste bijzonder geval is, dat in de 
vergelijking {489) een der coëfficiënten van de onbekenden nul 
is, b.v.: 

^1^2 ~ '^s'^i = 0- (444) 

Is C de G.G.D. van Cj en c^ en 

c^ = Ck^, Cs = Ck.,, (445) 

dan volgt uit (444): 

C{a-^k2 — ^2^i) — ö) 

waaruit in verband met de onderlinge ondeelbaarheid van k^ en 

h volgt: 

a^ = Ak^, a^ = Akc^. (446) 

Verder is: 

^1^2 ^2^1 = C(b^kci — ^2^l), 

12 2 1 ^^^ \-i\a-^R,2 a^Ri'y)' 

De vergelijking (439) is oplosbaar als Z^^^g — ^2^1 deelbaar is 
op d^k^ — d^k^ (vergelijk de noot van blz. 314). Men vindt dan 
een bepaalde waarde y-^ voor y, terwijl x geheel willekeurig kan 
worden aangenomen; dit is in overeenstemming met (440), waarin 
^ = O en ƒ = ± 1 is (vergelijk noot 1 van blz. 310). 

De vergelijking (435) gaat nu over in: 

a^x + c^z = d^ — b^y-^. 

In geval deze vergelijking oplosbaar is luidt de algenieene 
oplossing van (435) en {436): 



326 

X = x-^ + hp, 

z = z,— gp, 

waarin g en h uit a-^ en Cj ontstaan door deze getallen door hun 
G.G.D. te deelen. 

De getallen g en h zijn beide van nul verschillend, daar a^ 
en c^ van nul verschillen. Van c^ is dit nl. ondersteld, waaruit 
dan verder volgt a^ 4= 0; uit a^ = O en q #= O zou nl. in verband 
met (444) volgen ag = O, in strijd met de in n^ 674 gemaakte 
onderstelling, dat a-^ en ^g niet beide nul zijn. 

679. Vervolgens beschouwen we het geval, dat in de verge- 
lijking (439) de coëfficiënten van x en y beide nul zijn, dus 
voldaan is aan: 

a^Cc^ — a^Cy = O, b^Cc^ — bc^^c^ = 0. (447) 

Is weer C de G.G.D. van c^ en c^, dan heeft men, behalve 
(445) en (446), ook: 

b^ - Bk^, b, = Bk^. (448) 

Is 

d^c^ — d^c^ 4= O, (449) 

dan bezit (439) geen oplossingen. Aan de oplosbaarheidsvoor- 
waarde van n°. 657 is dan ook niet voldaan, mits men die voor- 
waarde zoo leest, dat c deelbaar moet zijn door lederen gemeenen 
deeler van a en b. Zijn uu a en b beide nul, dan is ieder getal 
een gemeene deeler van a en b (zie n°. 309), zoodat, als c #= O 
is, er onder die gemeene deelers ook zijn, die geen deeler van 
c zijn. 

Is behalve aan (447) ook voldaan aan: 

dan is aan (439) voor ieder stel waarden van x en y voldaan. 
De vergelijkingen (435) en (436) zijn dan met de enkele verge- 
lijking (435) gelijkwaardig, hetgeen men uitdrukt door te zeggen, 
dat de vergelijking [436) van (435) afhankelijk is. ledere oplos- 
sing van (435) is ook een oplossing van (436). Hoe de oplos- 
singen van (435) bepaald worden, zal in n^ 686 — 691 worden 
besproken. 



327 

680. Wanneer in (439) de coëfficiënten der onbekenden beide 
van nul verschillen kan zich nog het geval voordoen, dat in de 
vergelijking (441) de coëfficiënt van t nul is, dus voldaan is aan: 

a^f — b^e = 0. 
Blijkens de beteekenis der getallen ^ en ƒ (zie n^ 676) is dit 
dan en alleen dan het geval als 

Cj(a^b^ — a^b^) = O, 
dus (wegens q 4= 0) als 

^1^2 — ^2^1 = O (451) 

is. In geval (441) oplosbaar is (dus d^ — a^x^ — b^y^ deelbaar 
door c-^) vindt men voor z een bepaalde waarde z^, terwijl t 
geheel willekeurig is. De algemeene oplossing van (435) en 

(436) luidt dan: 

X = x^ + ft, 

y =yi—et, 

z = z^. 

Dit geval verschilt van het in n^. 678 beschouwde slechts 

daarin, dat de rollen der onbekenden 3/ en 2: verwisseld zijn. 

Door y te elimineeren in plaats van z gaat het nu beschouwde 

geval, het voldaan zijn aan (451), geheel in dat van n^. 678 over. 

681. Voorbeelden ter toelichting. Als voorbeeld nemen we 

de vergelijkingen: 

7x+ 83; -9^ = — 11, (452) 

13x— 233;— 6^= 16. (453) 

Men elimineert z door (452) met — 2 en (453) met 3 te ver- 
menigvuldigen en op te tellen. Het resultaat dier eliminatie is: 

25a: — 853; = 70, 
5x— 173; = 14. 
De algemeene oplossing hiervan is: 

X - — 4 + \7t, y = — 2-{-bt. ■ (454) 

Dit in (452) gesubstitueerd geeft: 

159/^— 9z^33, 

53/^— 3^=ll, (455) 

terwijl natuurlijk substitutie in (453) tot hetzelfde resultaat voert. 
Uit (455) vindt men verder: 

t = \ ^ 'dp, z = 14 + 53p. 



328 

Dit in (454) substitueerend vindt men voor de algemeene 
oplossing der vergelijkingen (452) en (453): 

x = 13 + 51/7, 

;; = 3 + 15/7, 

z- 14 + 53/7. 
De positieve oplossingen verkrijgt men door /7 ^ O te nemen. 

682. Als tweede voorbeeld nemen we de vergelijkingen: 

9x— 12;; + 7^ = — 29, (456) 

13a:— 63;+5z= 18. (457) 

Eliminatie van y (door de tweede vergelijking met 2 te ver- 
menigvuldigen en de eerste daarvan af te trekken) geeft: 

17x + 3z = 65. 
De algemeene oplossing hiervan is: 

x = A — ?>U z= ~\ + 17^, 
hetgeen in (457) gesubstitueerd geeft: 

46t — 6y = — 29. 
Daar de coëfficiënten van ^ en ^ door 2 deelbaar zijn, maar 
het tweede lid niet, heeft deze vergelijking geen oplossingen, 
zoodat ook (456) en (457) geen oplossingen bezitten. 
Heeft men de vergelijkingen: 

3x — 5y + 2z = 4, 
llx + 7y—6z = 9, 
dan volgt hieruit door eliminatie van z: 

20^ — 83; = 21; 
hieruit ziet men reeds direct, dat de vergelijkingen niet oplos- 
baar zijn. 

683. Is gegeven: 

8^—103; + 11^= 17, (458) 

12a:— 15;;+ 7^ = — 22, (459) 

dan vindt men door eliminatie van x (waarbij tevens y wegvalt, 
zoodat men in het in n^ 678 beschouwde geval verkeert): 

19^ - 95, 
z = 5. 
Substitutie in (458) geeft: 

8x— \0y = — 38, 
4x— 5y = — 19, 



329 
waarvan de algemeene oplossing is: 

In combinatie met 2: = 5 is dit de algemeene oplossing van 
(458) en (459). 

Vervangt men het tweede lid van (459) door 20, dan vindt 
men door eliminatie van x (of 3/): 

19^ = 91. 
Daar 91 niet door 19 deelbaar is, kan hieraan niet worden 
voldaan, zoodat de vergelijkingen dan niet oplosbaar zijn. 

684. Drie onbepaalde vergelijkingen met vier onbekenden. 

Heeft men drie onbepaalde vergelijkingen. 

a-^x + b^y + c^z + d-^w = e^y 

a^x + b^y + Cc^z + d^w = ^g» 

a^x + b^y + c^z + d.^w = e^ 

met vier onbekenden x, y, z, w, dan is dit tot het geval van 

drie vergelijkingen met twee onbekenden terug te brengen door 

een der onbekenden, b.v. w, te elimineeren, waardoor men krijgt: 

{a^d^ — a^^d-^x + {b^d^ — ^3<^i)y + (^1^3 — c^d-^^ = e^d^ — e^d^ , 

{a^d^ — ^3^2)-^ + (^2^3 — ^3^2)V + (<^2^3 ^S^s)'^^ = ^2^3 — ^3^2- 

Heeft men deze vergelijkingen opgelost, dan moeten de voor 
X, y en z gevonden uitdrukkingen in een der gegeven vergelij- 
kingen gesubstitueerd worden, hetgeen een onbepaalde vergelij- 
king geeft met twee onbekenden {w en de grootheid t, waarin 
X, 3; en 2: zijn uitgedrukt). 

Op geheel soortgelijke wijze handelt men met vier lineaire 
vergelijkingen met vijf onbekenden, enz. Van een discussie van 
het algemeene geval en de bijzonderheden, die zich daarbij kun- 
nen voordoen, zien we hier af en volstaan met een voorbeeld. 

685. Laten gegeven zijn de vergelijkingen: 

X — 2y + 6z — w = 4,\ 
2x-^5y— z^3w = 3A (460) 

4x — 3y + 3z-h2w= 1 . ) 
Door eHminatie van w vindt men (uit de eerste en tweede en 
uit de eerste en derde vergelijking): 

5x— y^\7z= 15, J 

6x -ly-^ \hz - 9. \ ^^^^^ 



330 

Uit de laatste vergelijking blijkt, dat _y door 3 deelbaar is Door 
y = 3y te stellen gaan de vergelijkingen (461) over in: 
5;c— 3/+ 172:= 15, 
2jc — 7/+ 5z= 3. (462) 

Door eliminatie van x volgt hieruit: 

29/ + 92: = 15. (463) 

Bijgevolg is y' door 3 deelbaar. Stelt men y = 3y'\ dan gaat 
(463) over in: 

29/' + 3^-5. 

De algemeene oplossing hiervan is: 

y = 1 — 3^, 2: = — 8 + 29^. 
Dit in (462) substitueerend vindt men, lettend op / = 3/" : 
2x + 208^ = 64, 
x= 32 — 104^. 
De eerste der vergelijkingen (460) levert dan verder als alge- 
meene oplossing dier vergelijkingen: 

X = 32 — \04t, 
y= 9— 27 1, 
2: = — 8 + 29/^, 
te; = _ 38 4- 124^^. 
Positieve oplossingen zijn niet aanwezig. 



686. Onbepaalde vergelijking met drie of meer onbekenden. 

We beschouwen de lineaire onbepaalde vergelijking: 

a^x-^ + ^2X3 + ....--}- ünXn = b (464) 

met n onbekenden x^, ATg, ... ., x„. Hebben de coëfficiënten 
«1, ^2, ... ., ün een gemeenen deeler, die geen deeler van b is, 
dan kan aan (464) niet worden voldaan. Is de G.G.D. van a^, 
ÜQy ... ., Un ook deelbaar op by dan is (464) gelijkwaardig met 

a/Xi + a^x^ + .... + anXn = b\ 
waarbij a/, «3', . . . ., an\ b' resp. uit a-^, a^, . . . ., Un, b ontstaan 
door deze getallen door genoemden G.G.D. te deelen. De getallen 
a/, a/, . . . ., ün hebben geen andere gemeene deelers dan 1 
en — 1, m. a. w. 1 is hun G.G.D. 

Blijkens het voorgaande kan dus verder worden aangenomen, 



331 

dat in de vergelijking (464) de coëfficiënten a-^, a^, . . . ., a„ het 
getal 1 tot G.G.D. hebben. 

687. Zijn twee der getallen a^, «2, . . . ., a„ onderling ondeel- 
baar, b.v. <2i en a2, dan kan men in (464) aan x^, x^, . . . ., Xn 
willekeurige waarden toekennen, waarna men verder x-^ en Xg 
kan oplossen, en wel uit de onbepaalde vergelijking 

a^x^ + a^x^ = b — a^x^ — a^^x^ — . . . . — anXn (465) 
met twee onbekenden (zie de eigenschap van n^ 656). 
Is x-^ = A-^, X2 = A2 een bijzondere oplossing der vergelijking 
a-i^x^ + a^x^ = l, 
dan is: 

X-^ = /il\L? ^z^s ^4-^4 "" .... CLn^n)^. 

X^ = ^z\P ^3-^3 ^4*^4 .... anXfi) 

een bijzondere oplossing van (465) (zie noot 1 van blz. 316). De 
algemeene oplossing van (465) is dus: 

^1 = ^l(^ — ^8-^8 — ^4-^4 — .... — anXn) + tt^t, 

X2 ^— ■ /i2\^ "~~" ^s s a^x^ .... afiXfij ^1^' 
Dit is ook de algemeene oplossing van (464) als men X3, x^, 
. . . ., Xn, t als willekeurig aan te nemen getallen beschouwt. 

688. We beschouwen nu het geval, dat geen twee der coëffi- 
ciënten ai, ag, . . . ., an onderling ondeelbaar zijn. Zij G de 
G.G.D. van a-^ en ag. Dan is a^x^ -\- ac^x^ door G deelbaar, 
zoodat we 

a^x-^ + ^2^:2 = Gy (466) 

kunnen stellen, waardoor (464) overgaat in: 

Gy + 03^:3 + a^x^ + .... + anXn = b. (467) 

Dit is een onbepaalde vergelijking van dezelfde soort als (464), 
maar met n — 1 onbekenden, terwijl de coëfficiënten der onbe- 
kenden (dus G, ^3, a^, . . . ., an) als G.G.D. 1 hebben (daar een 
gemeene deeler van G, a^, a^, ... ., a„ ook een gemeene deeler 
van ai, a^, a^, . . . ., an is). 

Heeft nu (467) oplossingen, dan kan men verder x^ en x^ uit 
(466) bepalen; daar het (bekende) tweede lid van (466) door den 
G.G.D. G van a^ en ag deelbaar is, voldoet (466) aan de voor- 
waarde voor oplosbaarheid (zie n^ 657). De vergelijking (464) 
heeft dus oplossingen. 



332 

Door volledige inductie blijkt zoo: 

Hebben de coëfficiënten der onbekenden 1 tot G.G.D., dan is 
de onbepaalde vergelijking {464) oplosbaar. 

689. In verband met het in n^. 686 opgemerkte volgt verder 
uit de eigenschap van n^ 688: 

De vergelijking (464) is dan en alleen dan oplosbaar als de 
G.G.D. der coëfficiënten a-^, a^, ■ . . •, a„ een deeler van het tweede 
lid b is. 

De eigenschap van n^. 657 ligt hierin als het bijzondere geval 
n = 2 opgesloten. Ook voor n = l is de eigenschap juist; ze 
is dan echter triviaal, daar ze dan niets anders uitdrukt dan de 
definitie van deelbaarheid. 

690. Algorithmus ter oplossing van een onbepaalde ver- 
gelijking met drie of meer onbekenden. Het in n^. 686—688 
behandelde wijst tevens den weg aan, langs welken de oplossin- 
gen der (oplosbaar onderstelde) vergelijking (464) verkregen kun- 
nen worden. Die weg bestaat nl. daarin, dat, als de coëfficiënten 
der onbekenden twee aan twee onderling deelbaar zijn, de ver- 
gelijking teruggebracht wordt tot een onbepaalde vergelijking met 
een onbekende minder. Heeft ook deze geen twee onderling 
ondeelbare coëfficiënten, dan wordt dezelfde herleiding herhaald, 
waardoor het aantal onbekenden opnieuw vermindert. Dit wordt 
voortgezet totdat een vergelijking met twee onderling ondeelbare 
coëfficiënten ontstaat ^), iets dat stellig bereikt is als het aantal^ 
onbekenden tot 2 is afgenomen (daar de G.G.ü. van de coëfficiën- 
ten van alle onbekenden steeds 1 blijft). 

691. Is het getal G van n*^. 688 een priemgetal, dan is O met 
minstens één der coëfficiënten a^, a^^, . . . ., an onderling ondeelbaar, 
zoodat de vergelijking (467) dan in het in n^ 687 besproken 
geval verkeert en dus onmiddellijk als een vergelijking met twee 
onbekenden is op te lossen. 

De herleiding van (464) tot een vergelijking met een onbekende 
minder bestaat in het vervangen van twee onbekenden door één 



^) Voor dat geval is nl. de vergelijking op de in n^. 687 aangegeven 
wijze op te lossen. • 



333 

enkele onbekende (in n^. 688 werden at^ en x^ door 3; vervangen). 
Blijkens het zooeven opgemerkte is het nu aangewezen die twee 
onbekenden zoo mogelijk zoo te kiezen, dat de G.G.D. hunner 
coëfficiënten een priemgetal is. Is dit niet mogelijk, dan is het 
voordeelig dat paar onbekenden te kiezen, waarvoor de G.G.D. 
der bijbehoorende coëfficiënten zoo weinig mogelijk deelers bevat. 

692. Voorbeeld ter toelichting. Ter toelichting diene het 

volgende voorbeeld: 

240x + 140y — 105^ -f 2h2w + 630z/ = 88. (468) 

Hieruit ziet men direct, dat z door 2 deelbaar is. We stellen 

daarom z = 2z\ waardoor (468) overgaat in: 

\20x + 70y — 105z' -^ \2Qw -{- ?>\bv = 44. (469) 

Hierin zijn geen twee van de coëfficiënten der onbekenden 

onderling ondeelbaar of hebben een priemgetal als G.G.D. Van 

de coëfficiënten 120 en 126 is 6 de G.G.D. We stellen dus: 

\20x + \2Qw = ^u, 

20a: + 2\w== u, (470) 

waardoor (469) overgaat in: 

6u -j- 7öy — 105^' + 3\5v = 44. (471) 

De coëfficiënten 6 en 70 hebben het priemgetal 2 als G.G.D. 

We stellen dus: 

6tt + 70y - 2t, 

3a + 35y = t, (472) 

waardoor (471) overgaat in: 

2t— 105^' + 315z/- 44. 
Daar 2 en 105 onderling ondeelbaar zijn, schrijven we hiervoor: 
2t — \05z' = 44 — 315-1/, (473) 

waarin v willekeurig kan worden aangenomen. Daar t = 53, 
z' = 1 een oplossing der vergelijking 2t — 1052;'= 1 is, vindt 
men voor de algemeene oplossing van (473): 
^ = 53(44 — 315z/)+ 105;?, 
z' = 44 — 3\5v -^ 2p, 
Door 

/7 = / — 22 + 159z/ 
te stellen gaat dit over in: 

t = 22^ 105/, 
z' = 3v-^ 2p\ 



334 

waardoor (472) wordt: 

?>ü + 35y = 22 + 105/. (474) 

Daar u = \2y y = — 1 een oplossing is van ?>u + 35;^ = 1, is 
de algemeene oplossing van (474): 

u = 12(22 + 105/?0 — 35^, 
y = — 22— 105/ + 3^, 
oi q = q' -^ 7 + 36/ stellend: 

u -= 19 — 35^', 

3^ = — 1 + 3/ + 3/. 

Hierdoor gaat (470) over in: 

20a: + 21^ = 19 — 35^', 
waarvan de algemeene oplossing is: 

a; = — 19 + 35^' + 21/-, 
w= 19-35/ — 20r. 

Dit kan door r = r' + 1 — 2/ te stellen vereenvoudigd wor- 
den tot: 

x= 2 — 7q' + 2\r\ 
w =^ — \ ^~bq' — 20f. 

Voor de algemeene oplossing van (468) vinden we dus (lettend 
op 2: = 2zy. 

x= 2 — 7/ + 21/^, 

y = — \ + 3/ + 3^' 

z = 6v -{- 4p' 

w = — \ + 5/ — 20r^ 

Door q^ = q'' -\- 4r' te stellen kan dit nog herleid worden tot: 

x= 2 — 7q'' — 7/, 

y = — l + 3/ + 3q'' + I2r\ 

z= 6z/ + 4/ 

w = — \ + 5^'' 

hetgeen, door r' = r'' — q'' te stellen, te vereenvoudigen is tot: 

x= 2 — If'; 

y--l +3/-9,''+12.^ 
z = 6v + 4p' ' 

w = — l + 5/' 



335 

Hierin kannen v, p\ q" en r" willekeurig worden aangenomen \ 
Dat men inderdaad aan v, p\ q" en r" willekeurige waarden 
toekennen en zoo ook iedere oplossing van (468) verkrijgen kan, 
blijkt uit de nadere beschouwing der gelijkheden, die het verband 
aangeven tusschen p' , q" en r" en de willekeurig aan te nemen 
getallen v, p, q en r. 

In de eerste plaats heeft men: p = p' — 22 + 159z/, volgens 
hetwelk bij ieder stel waarden van p' en v een stel waarden van 
p en V behoort. Men kan dus p' en v willekeurig aannemen. 
Omgekeerd behoort bij ieder stel waarden van p en v een stel 
waarden van p' en v, zoodat men door p door p' — 22 + \59v 
te vervangen geen enkele oplossing buiten beschouwing laat. 

Hetzelfde geldt voor de betrekking q = q' i- 7 + 36p\ volgens 
welke bij ieder stel waarden van q' en p' een stel waarden van 
q en p' behoort en omgekeerd. Evenzoo voor de overige der 
betrekkingen: 

p = p' — 22 + \59v, 

q = q' + 7 + S6p' , 

r = r' ^\-2q' ,} (476) 

q^ = q" -\ 4/ 

r' = r" — q" 

Het voorgaande komt hierop neer, dat de gelijkheden (476) 
ons in staat stellen p, q en r te berekenen uit p\ q'' en r" en 
omgekeerd (in beide gevallen v gegeven zijnde). We laten het 
aan den lezer over de gelijkheden op te stellen, die p, q en r 
uitdrukken in v, p\ q" en r'\ en de gelijkheden, die p\ q" en 
r" in V, p, q en r uitdrukken. 

693. Men kan de vergelijking (469) van n^ 692 eenvoudiger 
oplossen door eerst een particuliere oplossing 

x = x^, y = :Ki, z' = z^\ w ^ w^, V = v^ 
daarvan te bepalen, waarna voor (469) geschreven kan worden: 
120(a:— a:0+70(3;— J/l) — 105(z^— z/)+126(ic;— ze;i)4-315(z;— i/i)=0. 



1) Dat V willekeurig kan worden aangenomen, is ook onmiddellijk 
daaruit te voorzien, dat in (468) de G.G.D. der coëfficiënten van x, y, 
z en w gelijk aan 1 is, dus deelbaar op den bekenden term 88. 



336 

Men heeft dus verder nog de algetneene oplossing te bepalen 
van de zoogenaamde gereduceerde vergelijking 

120x + 70y — 105z' + 126w + 315v = O, (477) 

die uit (469) ontstaat door den bekenden term door O te vervangen. 
Uit die algemeene oplossing wordt dan de algemeene oplossing 
van (469) gevonden door daarbij de particuliere oplossing van 
(469) op te tellen. 

Om een particuliere oplossing van (469) te vinden merken we 
op, dat de bekende term 44 deelbaar is door den G.G.D. 2 der 
coëfficiënten van x, y en w, zoodat de vergelijking oplosbaar 
blijft als z' = O en 1/ = O gesteld wordt. Ze gaat daarbij over in: 
60jc + 35y + Q?>w = 22. (478) 

Om deze vergelijking op te lossen stellen we 
35v + 63ze; - 14w, 
^y -\-^w = 2u, 
waardoor (478) overgaat in: 

30x + 7u = 11. 
Hiervan is x = 2, a = — 7 een particuliere oplossing. Dit 

voert tot: 

by -\-^w = — 14, 
waarvan y = — 1, w = — 1 een particuliere oplossing is. Men 
vindt zoo de volgende particuliere oplossing van (469): 
x = 2, y = — \, z' = 0, w = — \, V = 0. 
Om nu de algemeene oplossing der gereduceerde vergelijking 
(477) te bepalen, merken we op, dat daarbij x door 7, y door 3 
en w door 5 deelbaar is. We stellen daarom: 

X = 7p, y = 'èq, w =■■ 5r, 
waardoor (477) (na deeling door 3.5.7) overgaat in: 
8p + 2q — z' + 6r + 3v = 0. 
Hieruit volgt als algemeene oplossing van (477): 

X = 7p, y = 3q, z' = 8p i- 2q -\- 6r -{- 3v, w = Sr, 
waarin p, q, r en v willekeurig kunnen worden aangenomen. 
Als algemeene oplossing van (468) vindt men dus (bedenkend, 

dat z = 2z' is): 

X- 2+ 7/7 

y = — \ +3q 

z= 16/7 -f 4^ + 12r + 6z/, 

w = — \ + 5r 



337 

De overeenstemming met den vorm (475) der algemeene oplos- 
sing blijkt gemakkelijk. 

694. Positieve oplossingen eener onbepaalde vergelijking 
met drie of meer onbekenden. Wil men de positieve oplos- 
singen der vergelijking (468) van n^ 692 hebben, dan moet in 
de oplossing (475) v positief worden aangenomen, terwijl p' , q" 
en r" zoo bepaald moeten worden, dat x, y, z en w positief 
zijn. Men vindt dan in de eerste plaats: 

r'' ^0, q'' ^\. (479) 

Verder volgt uit de tweede der vergelijkingen (475): 
3/ > 9q'' — 12r'' + l, 
3/?' ^ 9q'' — \2r'' + 3, 
p'^3q''~ Ar-\-\. (480) 

Wegens (479) vindt men zoo positieve waarden voor /?', terwijl, 
daar v positief is, z van zelf positief uitvalt. 
Stelt men: 

q"=l+i, r" = -j, (481) 

dan zijn / en j gebonden aan de voorwaarde ^ O (dus aantallen) 
te zijn. Tengevolge van (481) gaat (480) over in: 

/ ^ 4 + 3/ + 4/-. 
Stelt men: 

/ - 4 + 3/ + 4y + k, (482) 

dan is dus ^ ^ O, 
Voor de oplossing (475) kan nu geschreven worden: 
x= 2 + 7j , 

y= 2 +3^ 

z= 16 + 12/+ 16y +4^ + 6z/, 
w = 4 + 5/ 
(hetgeen men nog iets eenvoudiger uit den in n^ 693 gevonden 
vorm der algemeene oplossing afleidt). Hierin kan men aan /, 
j en k alle waarden toekennen, die ^ O zijn, en aan v alle 
positieve waarden. 

695. Zijn in de vergelijking (464) a^, a^, ... ., ün, h natuur- 
lijke getallen en vraagt men naar de oplossingen, waarvoor x^, X2, 
. . . ., Xn alle ^ O zijn, dan heeft men het in n^. 377 vermelde 
parlitieprobleem. 

FRED. SCHUH, Leerboek der Theoretische Rekenkunde. 22 



338 



Zij b.v. de vergelijking 

6x + lOy + 152: + 20w = 1003 * (483) 

gegeven. De algemeene oplossing hiervan is: 
X = S + 5p A 

y = 97 — 3p — 3q — 2w, [ (484) 

z= l +2(7 ,) 

waarin p, q en w willekeurige geheele getallen zijn. 

Voor X en z vindt men waarden ^ O a\s p en q beide ^ O 
zijn. Uit de tweede der vergelijkingen (484) blijkt verder: 

3pi-3q ^ 97, 
3/7 + 3^ ^ 96, 
p+ q ^32. 
Heeft men nn p en q zoo aangenomen, dat hieraan voldaan 
is, dan kan men aan w nog 



97 — 3/7 — 3q 



99 



3p — 3q 



^ +1 

waarden toekennen, die ^ O zijn en waarvoor 3; ^ O is. Daar 
men voor een bepaalde waarde m van p + q de getallen p en q 
op m + 1 manieren kiezen kan (daar p een der getallen O, 1, 
2, 3, . . . ., m is), vindt men voor het aantal oplossingen der 
vergelijking (483), die van de beschouwde soort zijn: 



99 

L2. 



+ 2 



96 

2J 



+ ^-E 



+ .... + 32 



6 

L2 



33. 



3^ 

L2J 

= 1 .49 + 2.48 + 3.46 + 4.45 + 5. 43 + . ...+31. 4+32. 3+33.1 = 
1 . 98 + 2 . 96 + 3 . 92 + 4 . 90 + + 32 . 6 + 33 . 2 



3(1. 33 +2. 32 + 3. 31+.... +33.1) -(1 + 3 + 5 + ....+33) 



99(l+2+3+....+33)—3(2.1+3.2+....+33.32)— (1+3+5+.. ..+33) 



99 . 33 . 17 — 32 . 33 . 34 — 17^ 35 . 33 . 17 — 17' 



(1155 — 17) . 17 



17 . 569 = 9673. 



1) Voor de beteekenis van 



zie n". 455. 



339 

Hierbij is de volgende herleiding toegepast: 

3(1 . 2 -f 2 . 3 + 3 . 4 + + 32 . 33) = 

= 1.2. 3 + (2. 3. 4 — 1.2. 3) + (3. 4. 5 — 2.3.4) + ....+ 
+ (31 . 32 . 33 — 30. 31 . 32) + (32 . 33 . 34 — 31 . 32 . 33)^32.33.34, 
terwijl de sommen l+2 + 3 + .... + 33en 1+3 + 5 + .. .. + 33 
op de in n^. 640 aangegeven wijze berekend zijn. 



§ 2. Kenmerken van deelbaarheid. 

696. Deelbaarheid door een deeler van een term der schaal. 

Zij n een natuurlijk getal, dat geen andere priem/actoren bevat 
dan die, welke ook in het grondtal g van het talstelsel voor- 
komen. Het getal n is dan op een macht van g deelbaar. Zij 
t de exponent van de laagste macht van g, die door n deel- 
baar is. 

Het getal t is gemakkelijk uit de exponenten af te leiden, waar- 
mede de verschillende priemgetallen in n en 'm g voorkomen. 
Zijn die exponenten voor het priemgetal p resp. a en (5, dan is 

g^ door p"" deelbaar als 

(51 ^oc 

is. De kleinste waarde k van /, waarvoor dit geldt, is gelijk aan 
-^ als oc door |3 deelbaar is, 



+ 1 als a niet door |3 deelbaar is ^). 



Het getal t is nu het grootste der getallen k, die bij de ver- 
schillende priemf actoren van n behoor en. 

697. Bevat een natuurlijk getal a meer dan t cijfers, dan is: 
a = qgi ^ Ct-\Ct-2 .... c^Cq % (485) 



•^— 1 

. /3 , 



+ 1. 



^) In beide gevallen kan men hiervoor schrijven 

2) Hierin is q het getal, dat uit a ontstaat door de laatste t cijfers 
te schrappen. 

Eenige der eerste cijfers van het getal ct-iCt-2 . . • • ^i^o kunnen nul 
zijn. Ook op deze wijze geraakt men dus van zelf tot getallen, die met 
eenige nullen beginnen (zie n°. 418). 



341 

Is nu g^ deelbaar door n, dan volgt uit (485), dat a dan en 
alleen dan door n deelbaar is als het getal 

Ct-\Ct-2 . . . . C-jTo 

door n deelbaar is. Hieruit volgt: 

Is n een deeler van g^, dan is het in het g-tallig stelsel geschre- 
ven getal a dan en alleen dan door n deelbaar als het getal 
gevormd door de laatste t cijfers van a door n deelbaar is. 

Voor de juistheid dier eigenschap is het niet noodig, dat t de 
kleinste exponent is, waarvoor g door n deelbaar is. Bij de 
toepassing nemen we echter t zoo klein mogelijk, daar het ken- 
merk dan de grootste vereenvoudiging geeft. 

Blijkens de voorgaande beschouwingen geldt algemeener, dat 
het getal a bij deeling door n dezelfde rest geeft als het getal 
gevormd door de laatste t cijfers van a. 

698. Toepassing op het tientallig stelsel. In het tientallig 
stelsel gaat de eigenschap van n^. 697 in de volgende over: 

Een getal a, geschreven in het tientallig stelsel, is dan en 
alleen dan door 2'' . 5^ deelbaar als het getal gevormd door de 
laatste t cijfers van a door 2'^ . 5^ deelbaar is; hierin is t het 
grootste der getallen r en s. 

Bij een zelfde getal t behooren 2t + 1 kenmerken van deelbaar- 
heid, nl. door de getallen 

2^ 2^ . 5, 2^ b\ 2^ 5^ , 2^ . 5^-^ 2^ . 5^ 

5^ 2 . 5^ 2' . 5S 2^ 5S , 2'-' . 5^ 

699. Is b.v. r ^ s, dan kan voor 2'' . 5"^ geschreven worden: 

Daar men het al of niet deelbaar zijn door 10' onmiddellijk 
daaraan herkent of de laatste 5 cijfers uitsluitend of niet uitslui- 
tend uit nullen bestaan, heeft men (in geval van deelbaarheid 
door 10') nog slechts te onderzoeken of het getal, dat door weg- 
lating der laatste 5 cijfers (nullen) ontstaat, door 2'~^ deelbaar is. 

Daar voor r ^ s hetzelfde geldt met verwisseling van 2 en 5, 
is in het bijzonder de deelbaarheid door 2^ of 5^ van belang. 
Daarvoor luidt de eigenschap van n^ 698: 

In het tientallig stelsel is een getal a dan en alleen dan door 



342 

2^ of 5^ deelbaar als dit het geval is met het getal gevormd 
door de laatste t cijfers van a. 

Algemeener geldt weer, dat het getal a bij deeling door 2^ of 
5* dezelfde rest geeft als het getal gevormd door de laatste t 
cijfers van a. 

700. Deelbaarheid door een getal niet deelbaar op een 
term der schaal. We beschouwen nu de deelbaarheid door een 
getal n, dat nog andere priemfactoren bevat dan die, welke in 
het grondtal g voorkomen. Voor het getal n kan dan geschreven 
worden: 

n = n^n^, 

waarin n-^ de priemfactoren van n bevat (en wel met denzelfden 
exponent), die niet in het grondtal g voorkomen, en n^ de priem- 
factoren van n, die wel in g voorkomen. De getallen n^ en n^ 
zijn dan onderling ondeelbaar, evenals g en n^, terwijl ^2 ^^^ 
deeler van een macht van g is. 

701. Wegens de onderlinge ondeelbaarheid van n^ en n^ is 
een getal a dan en alleen dan door n^n^ deelbaar als het zoowel 
door n^ als door n^ deelbaar is (zie de eigenschap van n^ 186). 
Daar men voor de deelbaarheid door /Zg het kenmerk van n^, 
697 heeft, behoeft nog slechts naar een kenmerk van deelbaar- 
heid door n^ gezocht te worden, dus naar kenmerken van deel- 
baarheid door getallen, die onderling ondeelbaar zijn met het 
grondtal. 

702. Samengestelde kenmerken van deelbaarheid. Heeft 
men kenmerken van deelbaarheid door de getallen n^, n^, . . . ., 
nk, die twee aan twee onderling ondeelbaar zijn, dan heeft men 
daardoor ook een kenmerk van deelbaarheid door het product 
n^Hg . . . . nu. Een getal is nl. dan en alleen dan door n^n^ . . . . nk 
deelbaar is als aan de kenmerken van deelbaarheid door n^, n^j 
. . . ., nk alle voldaan is (zie de eigenschap van n^ 187). Dit 
kenmerk van deelbaarheid, dat niets anders is dan een combi- 
natie van andere kenmerken, wordt wel een samengesteld kenmerk 
van deelbaarheid genoemd. 



343 
703. Is 

cc, a.-, cc 

waarin p^, p^, ... ., p^ verschillende priemgetallen zijn, dan zijn 
de getallen 

pI^ pI\ ...., pi" 

twee aan twee onderling ondeelbaar. In verband met het in n^ 
702 opgemerkte blijkt hieruit, dat men slechts behoefte heeft aan 
kenmerken van deelbaarheid door machten van priemgetallen: 
hieronder zijn ook de priemgetallen zelf begrepen (als eerste 
machten van priemgetallen). 



704. Deelbaarheid door een deeler van g — 1. Een zeer 
eenvoudig kenmerk van deelbaarheid verkrijgt men als de be- 
schouwde deeler n een deeler van g — / is (waarin weer g het 
grondtal voorstelt). Men heeft dan: 

g=\ ^-vn, 
^^ =: (1 + vnY = 1 + kvn -f . . . . + v^n''. 
De laatste gelijkheid is te schrijven als: 

^^ = 1 + Vkn, 
waarbij v-^ = v is. Volgens de gelijkheid (258) van n^. 412 geldt 
dan voor het getal a = CmCm-\ - - - c^c^c^:' 

a = {CmVm + Cm-\Vm-\ + ...-+ Cg'^S + ^l"^!)^ + 

-^ Cm + Cm-l + .... + Cg + ^1 + Cq. (486) 

Hieruit leest men af: 

Een getal in het g-tallig stelsel is dan en alleen dan door een 
deeler n van g — / deelbaar als de som zijner cijfers door n 
deelbaar is. 

Voor het tientallig stelsel zegt deze eigenschap, dat een getal 
door 3 of door 9 deelbaar is dan en alleen dan als de som 
zijner cijfers door 3 resp. 9 deelbaar is ^). 



^) De kenmerken van deelbaarheid door 2 en door 5 uit het laatste 
cijfer (bijzonder geval der eigenschap van n^. 699, nl. / := 1) en die 



344 

705. Is bij toepassing van het kenmerk van n^ 704 de som 
der cijfers een groot getal, dan kan men op die som hetzelfde 
kenmerk opnieuw toepassen. 

Eenvoudiger is het echter bij de vorming van de som der 
cijfers, hetgeen op eenige optellingen van telkens twee getallen 
neerkomt, steeds de som met een veelvoud van n te verminderen 
zoodra die grooter dan n geworden is ^). Hierbij kan men ook 
van negatieve getallen gebruik maken als daardoor de absolute 
waarde der som nog verder verkleind wordt. Het spreekt van 
zelf, dat de door n deelbare cijfers van het te onderzoeken getal 
geheel buiten beschouwing gelaten kannen worden. 

706. Zooals gemakkelijk is na te gaan, wordt ieder der som- 
men (van twee getallen), die voor de toepassing van het ken- 
merk van n^. 704 berekend moeten worden, met een veelvoud 
van n verminderd als men zulk een som door de som harer 
cijfers vervangt (zie ook n*^. 710). Hierdoor blijven de getallen, 
die moeten worden opgeteld, uit één cijfer bestaan, terwijl de 
som van twee zulke getallen hoogstens twee cijfers bevat (waar- 
van het eerste 1 is). 

Is n=g — 1, dan worden daardoor die sommen zoo veel 
mogelijk verkleind (afgezien van verkleining door middel van 
negatieve getallen) als men nog zulk een som door nul vervangt 
als ze de waarde g — 1 aanneemt. 

707. Als voorbeeld nemen we de deelbaarheid van het (deka- 
dische) getal 739602585 door 9. 



door 3 en door 9 uit de som der cijfers (ook wel gewicht genoemd) 
komen voor in het in 1202 verschenen werk „Liber Abaci" van Leonardo 
VAN PiSA (geb. 1175), zich ook noemende Filius Bonaccii (samenge- 
trokken tot FiBONACCi). Genoemd werk heeft voor goed ons tegen- 
woordig cijfersysteem in het Christelijke Europa ingevoerd. 

We merken verder nog op, dat Stifel in zijn „Arithmetica Integra" 
(zie de noot van blz. 159) kenmerken van deelbaarheid voor alle deelers 
tot en met 10 geeft. 

^) Ook kan men telkens de verkregen som, zoodra die uit twee 
cijfers komt te bestaan, door de som dier cijfers vervangen (zie n^. 706). 



345 
739602585 

10, 1 

g De achter de sommen 10, 9 

y en 13 geplaatste getallen 1, O, 

2 4 zijn daaruit door vermindering 

^ Q met 9 (dus bij 10 en 13 door 

c vorming van de som der cijfers) 

"^ ontstaan. De berekening kan 

g natuurlijk gemakkelijk uit het 

23^ 4 hoofd worden uitgevoerd. 

5^ 
9 

Ook kan men met voordeel cijfergroepen, die een door 9 
deelbare som opleveren, zooals de cijfergroep 585 uit boven- 
staand voorbeeld, weglaten. 

708. Proeven op vermenigvuldigingen en deelingen. Kan 

men van groote getallen gemakkelijk de rest der deeling door 
een getal n bepalen, dan heeft men daarin een controlemiddel 
op de vermenigvuldiging van groote getallen. Heeft men nl: 

a = r + vn, 
b = s -^ wn, 
dan is: 

ab = rs ^ (rw -\- sv -\- vwn)n, 

zoodat men heeft: 

De rest der deeling van het product ab door n is dezelfde als 
die van het product der resten van a en h bij deeling door n. 

De controle op de vermenigvuldiging ab, die de n-proef ge- 
noemd wordt, bestaat nu daarin, dat van de getallen a en b en van 
het te controleeren product de resten der deeling door n bepaald 
worden, waarna van het product der resten van a en b de rest 
gevormd wordt en geconstateerd, dat die met de rest van het 
gevonden product overeenstemt. 

709. Ook bij een (opgaande of niet opgaande) deeling kan 



346 

men een soortgelijke proef toepassen. Heeft men nl. als resul- 
taat der deeling van a door b gevonden: 

a = qb + r, 
dan bestaat de controle daarin, dat de rest der deeling van a 
door n rechtstreeks te bepalen is en ook door middel van de. 
resten van b en de berekende getallen q en r (door het product 
der resten van b en q met de rest van r te vermeerderen en de 
rest van de som dier resten te vormen). 

710. De (g — l)-proef, in het bijzonder de negenproef. Een 

zeer bruikbaar controlemiddel van de in n^ 708 en 709 bespro- 
ken soort krijgt men door n =-- g — 1 te nemen, in welk geval 
men van de {g — 1)-proef spreken kan. Uit de gelijkheid (486) 
van n^ 704 volgt nl: 

De rest der deeling van een in het g-tallig stelsel geschreven 
getal a door g — / is dezelfde als de rest der deeling van de 
som der cijfers van a door g — /. 

Natuurlijk geldt hetzelfde ook voor lederen deeler van g — 1. 

711. Heeft men nu, onder toepassing van de laatste eigen- 
schap, op de beide in n^. 708 genoemde manieren de rest der 
deeling van ab door g — 1 bepaald en blijkt het gevonden pro- 
duct tegen deze controle bestand, dan is dit een sterke aanwij- 
ziging, dat bij het vermenigvuldigen geen fout gemaakt is. Immers 
ieder cijfer van het gevonden product heeft invloed op de rest 
daarvan bij deeling door g — 1, zoodat het alleen nog mogelijk 
zou zijn, dat er een fout gemaakt is, die juist een {g — l)-voud 
bedraagt, of twee fouten, die eikaars invloed op de rest juist 
opheffen. Dezelfde opmerking geldt natuurlijk voor de controle 
op een deeling (zie n^. 709). 

Blijkens de aan het eind van n^. 710 gemaakte opmerking kan 
men in het voorgaande g — 1 door een echten deeler van g — 1 
vervangen. Het is echter duidelijk,- dat de controle het scherpst 
is als de resten der deeling door g — 1, en niet die bij deeling 
door een echten deeler van g — /, beschouwd worden, 

712. Voor het tientallig stelsel wordt de in n^ 711 besproken 
controle de negenproef. Een soortgelijke controle kan natuurlijk 



347 

ook bij optelling van meerdere getallen worden toegepast, maar 
dan is de controle niet veel korter dan de optelling zelf. Het 
is dan meer afdoende de optelling nog eens in omgekeerde volg- 
orde uit te voeren. 

Een bijzonder geval van de negenproef bij de vermenigvuldi- 
ging ab heeft men als a oi b door 9 deelbaar is, terwijl een 
ander bijzonder geval is, dat a ^n b beide door 3 deelbaar zijn. 
In beide gevallen is dan ab door 9 deelbaar. 

713. Als voorbeeld van het laatstgenoemde bijzondere geval 
nemen we de in n^. 451 — 453 besproken vermenigvuldiging 

7269 X 431508 - 3136631652, 
waarbij beide factoren door 3 deelbaar zijn en dus de proef 
daarin bestaat, dat het product door 9 deelbaar is. 

Een voorbeeld van het algemeene geval der negenproef is 
6512 X 84373 = 549436976; 
de resten der deeling van beide factoren door 9 zijn 5 en 7, 
zoodat voor het product de rest dezelfde is als voor 5 . 7, dus 
8; inderdaad levert het gevonden product een rest 8. 

Een voorbeeld in het zeventallig stelsel (waarbij men van de 
zesproef kan spreken) levert de in n^ 454 genoemde vermenig- 
vuldiging 

6031 X 42352 = 353114542, 
waarbij de rest der deeling door 6 voor ieder der factoren 4 is, 
dus voor het product dezelfde als voor 4^ dus eveneens 4. 

714. Het heeft weinig zin bij de vermenigvuldiging ab de 
proef toe te passen, die daarin bestaat, dat voor het getal n van 
n^. 708 een macht van 2 of van 5 genomen wordt (tientallig 
stelsel). Wel is de rest der deeling van een getal door 2^ of 
5^ gemakkelijk te bepalen (zie de opmerking aan het eind van 
n^. 699), maar de uitgeoefende controle heeft dan alleen op de 
laatste t cijfers van het product en niet op de overige cijfers 
betrekking; een fout in een dier overige cijfers is dus nog in 
geenen deele onwaarschijnlijk gemaakt. 

715. Deelbaarheid door een deeler van g' — \. Is « een 

deeler van g^ — 1, dus g^ — 1 een n-voud, dan is: 

^^ = 1 + v^n. 



348 

Hieruit volgt op dezelfde wijze als in n^. 704: 

^^^ = 1 + Vkti. (487) 

Nu kan voor een getal a geschreven worden: 

a = lag^^ + /„-i^("-^)^ + . . . + kg'^ + kg^ + /o. (488) 
Hierin zijn 

/o, /i, 4, , 4-1, la (489) 

de getallen, die uit a ontstaan door de cijfers van a, rechts 
beginnend, in groepen van t cijfers te verdeelen ; ^ is dus het 
getal gevormd door de laatste t cijfers van a, /^ het getal gevormd 
door de t daaraan voorafgaande cijfers (dus het getal cot-i C2t-2 
. . . . Ct^iCt), enz. 

Uit (487) en (488) volgt: 

a = (luVu + /«-i Vu-i + .... + /gZ's H- k'^M + 

+ 4 + la-l + . . . . + 4 + /i + /o. 

Hieruit volgt: 

Een getal a in het g-tallig stelsel is dan en alleen dan door 
een deeler n van g^ — / deelbaar als de som der getallen (489), 
die ontstaan door de cijfers van a in groepen van t cijfers te 
verdeelen {rechts beginnend), door n deelbaar is ^). 

Tevens blijkt, dat de som der genoemde getallen dezelfde rest 
bij deeling door n oplevert als het getal a. Hieruit kan men 
natuurlijk een soortgelijke vermenigvuldigingsproef afleiden als 
de in n^. 710 — 713 besprokene. 

716. Voor ieder getal n, dat onderling ondeelbaar is met het 
grondtal g, is een kenmerk van deelbaarheid van de in n^. 715 
besproken soort aan te geven. Immers volgens de stelling van 
EuLER (zie n^ 390), of nog beter volgens de eigenschap van n^. 
389, is er stellig een getal t, waarvoor g^ — 1 door n deelbaar is. 

Natuurlijk neemt men het getal 't zoo klein als maar met deze 
deelbaarheid is overeen te brengen, daar het kenmerk daardoor 
het eenvoudigst wordt. 

Overeenkomstig het in n^. 703 opgemerkte kan men zich 
beperken tot het geval, dat n een macht van een priemgetal is. 



^) Voor ^ =: 1 is dit de eigenschap van n*^. 704. 



349 

717. Als voorbeeld van een kenmerk van deelbaarheid in een 
ander talstelsel dan het tientallige noemen we: ^ 

In het zeventallig stelsel is een getal a dan en alleen dan door 
2^ = 22 deelbaar als de som der getallen ^ die men krijgt door de 
cijfers van a in paren te verdeelen (rechts beginnend), door 2* 
deelbaar is. 

Immers 7^ — 1 is door 2* deelbaar. 

Op de volgende wijze blijkt dus, dat (steeds in het zeventallig 
stelsel) 

24 32 31 01 door 2* = 22 deelbaar is. 
31 
32 

121 - 4 . 22 

718. Toepassing op het tientallig stelsel. Om in het tien- 
tallig stelsel te onderzoeken voor welke priemgetallen (of machten 
van priemgetallen) een bepaalde waarde van t een deelbaarheids- 
kenmerk van de in n^. 715 beschouwde soort levert, hebben we 
10^ — 1 in priemfactoren te ontbinden. Hierbij heeft men natuur- 
lijk alleen op die deelers te letten, die niet reeds voor een 
kleinere waarde van ^ op 10^ — 1 deelbaar zijn. 

Nu heeft men de volgende ontbindingen in priemfactoren: 

10 — 1 = 32, 

10^—1 = (10— 1)(10 + 1) = 32. 11, 

10^- 1 =(10 - 1) (10^+10 + 1) = 32. 111 =33.37, 

10^—1 = (102— 1) (102-1- 1) = 32 . 11 ^ 101, 

10^- 1 == (10 — l)(10H103+102-f-10+l) = 3Mllll=32.41.271, 

10« — 1 = (10^ — 1) (10^ + 1) = 3^ 37 . 1001 = 3^ 7 . 11 . 13 . 37, ' 

107—1 =32, 1111111 = 3^ .239 . 4649, 

108—1 =(10*— 1)(10*-M) = 3M1 . 101. 10001 =3M1 .73. 101 . 137, 

10^ — 1 = (10-^ — 1) (10^ -h 10^ + 1) = 3^ 37 . 1001001 = 3^ 37 . 333667, 

10io_i ==(10^ — 1)(105-|-1) = 3^41 .271.100001 =3M1.41 .271.9091 

Bij deze ontbindingen kan men er met groot voordeel van 
gebruik maken, dat iedere priemfactor van 10^ — /, die voor 
t' < t niet deelbaar is op 10^' — /, van den vorm tv ^ 1 is (zie 
dé opmerking aan het eind van n^ 735). 



350 

Blijkens het voorgaande levert 
t = 1 kenmerken van deelbaarheid door 3 en door 9, 
t= 2 een kenmerk van deelbaarheid door 11, 
t = 3 kenmerken van deelbaarheid door 27 en door 37, 
t= 4 een kenmerk van deelbaarheid door 101, 
t= 5 kenmerken van deelbaarheid door 41 en door 271, 
^ = 6 kenmerken van deelbaarheid door 7 en door 13, 
t = 7 kenmerken van deelbaarheid door 239 en 4649, 
t = S kenmerken van deelbaarheid door 73 en 137, 
^ = 9 kenmerken van deelbaarheid door 81 en 333667, 
^ = 10 een kenmerk van deelbaarheid door 9091. 

Voor een kenmerk van deelbaarheid door 

17, 19, 23, 29, 31, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 67, 71, 79 
heeft men resp. 

t= 16, 18, 22, 28, 15, 21, 46, 42, 13, 58, 60, 33, 35, 13 
te nemen ^). Evenwel heeft het gevonden kenmerk alleen voor 
kleine waarden van t eenige practische bruikbaarheid. 

719. We laten hier (eveneens in het tientallig stelsel) enkele 
voorbeelden volgen: 

7 02 79 deelbaar door 11. 

2 
__7 
88 = 8 . 1 1 

1 841 786 deelbaar door 37. 
841 

_1 
1 628 

629 = 17 . 37 

549 06178 55874 deelbaar door 271. 
6178 
549 
62601 = 231 . 271 



^) Zie verder de tafel van n°. 747. 



351 

Bij het tweede voorbeeld is op de som der in de eigenschap 
van n^ 715 genoemde getallen hetzelfde deelbaarheidskenmerk 
nog eens toegepast. 



720. Deelbaarheid door een deeler van ^* + 1. \s n een 

deeler van ^^ + 1, dan is: 

gt = v^n — 1, 

g^t = (v-^^n — 2v^)n + 1 = v^n + 1. 
Hieruit volgt verder (zie n^ 704): 

hetgeen men samen kan vatten tot 

gkt=^^n-{-(-\)K 

Schrijft men een getal a in den vorm (488), waarin 4, /i, . . . ., 
lu de in n^ 715 aangegeven beteekenis hebben, dan is dus: 
a --= (l^v^ 4- 4'^2 + ....+ lu-iVu-i + luVu)n + 

+ /o — /i + 4 — 4 + + (- 1)"4. (490) 

Hieruit leest men af: 

Een getal a in het g-tallig stelsel is dan en alleen dan door 
een deeler n van g^ ^- 1 deelbaar als de som der getallen 4, 
— /i, 4, — 4, . . . ., ( — Iflu (of, wat op hetzelfde neerkomt, het 
verschil van de som der getallen 4, 4» 4' ^^^' ^^ ^.ie der getal- 
len 4, 4' 4» ^^^') door n deelbaar is. Hierin zijn 4, 4' 4- 4» 
enz, de getallen, die ontstaan door de cijfers van a in groepe(t 
van t cijfers te verdeelen, rechts beginnend. 

Men neemt het getal t (bij gegeven n) natuurlijk weer zoo 
klein mogelijk. 

721. In het tientallig stelsel levert de eigenschap van n^ 720 
voor t= 1 een kenmerk van deelbaarheid door 11, 

voor t = 2 een kenmerk van deelbaarheid door 101, 
voor t = ?> kenmerken van deelbaarheid door 7 en door 13, 
voor t = A kenmerken van deelbaarheid door 73 en door 137, 
voor t = b een kenmerk van deelbaarheid door 9091, 



352 

voor ^ = 6 een kenmerk van deelbaarheid door 9901, 
voor t = 1 een kenmerk van deelbaarheid door 909091. 
Dit blijkt uit de volgende ontbindingen in priemfactoren: 



103 -rl 


= 7 . 


11 . 13, 








10^+ 1 


= 73 


. 137, 








10^+ 1 


= 11 


. 9091, 








10« + 1 


= (10 


2+ 1)(10^- 


-102+ 1)_ 


101 


. 9901, 


107 -f 1 


= 11 


. 909091. 








Hier volgen een 


paar voorbeelden: 






468 


999 790 987 deelbaar door 7 


en 


door 13. 


790 




999 








1258 




1986 
1258 
728 = 8 


7 . 13 







7 31 35 43 56 02 79 deelbaar door 101. 

43 56 

^ 35 

76 _J^ 

177 

101 

Bij het laatste voorbeeld is het nog iets eenvoudiger de som 

der getallen 

79, —2, 56, — 43, 35, —31, 7 

te bepalen, iets dat gemakkelijk uit het hoofd te doen is. 

722. Voor t = 1 levert de eigenschap van n^. 720 het volgende 
eenvoudige kenmerk van deelbaarheid: 

Een getal a = CmCm-i .... c^Cq in het g-tallig is dan en alleen 
dan door een deeler n van g ^ I deelbaar als de som der cijfers 
zoo men deze om het andere van teeken omkeert {das het ver- 
schil van de som der cijfers Cq, c^, c^, enz. en die der cijfers c^, 
^3, Cg, enz) door n deelbaar is. 

Dit kenmerk, dat in het tientallig stelsel slechts het kenmerk 
van deelbaarheid door 11 levert, is zonder moeite uit het hoofd 
toe te passen. 

723. Vergelijking der kenmerken van n^ 715 en 720. Daar 



353 

een deeler van g + 1 ook een deeler van (^ + 1) (^ — 1) ^ ^^ — 1 
is, kan in het in n^ 722 beschouwde geval ook het kenmerk 
van n^ 715 voor t = 2 worden toegepast, hetgeen echter minder 
eenvoudig is. 

Ook in andere gevallen kan het kenmerk van n^. 715 met 
voordeel door dat van n^. 720 worden vervangen. Daarvoor is 
blijkbaar noodig, dat het getal t van n^. 715 even is. Voor t = 2f 
is dan 

gt-l ={gi' -\)(gt'Jr\\ (491) 

zoodat de deelbaarheid van g^ — 1 door n in het deelbaar zijn 
van g^' + 1 door n bestaan kan.^ 

Uit de omstandigheid, dat t even moet zijn, blijkt dat het ken- 
merk van n^. 720 niet voor iederen deeler van toepassing is. Zoo 
kan b.v. dit kenmerk in het tientallig stelsel niet worden toege- 
past op n = 27, 31, 37, 41, 43, 53, 67, 71, 79, 81 (zie n^. 718). 
Echter kan dit, behalve voor de reeds in n^. 721 genoemde dee- 
lers, wel voor 

n = 17, 19, 23, 29, 47, 49, 59, 61, 89, 97, 
waarbij men resp. heeft: 

f- 8, 9, 11, 14, 23, 21, 29, 30, 22, 48 
(zie no. 724 en de tafel van n^. 747). 

724. Overeenkomstig het in n*^. 703 opgemerkte kunnen we 
ons beperken tot deelbaarheid door een getal n, dat een macht 
van een priemgetal p is. Is p > 2 en het eerste lid van {491) 
door n deelbaar, dan is of de eerste factor óf de tweede factor 
van het tweede lid door n deelbaar; immers uit 

(/ + 1) - (/ - 1) =- 2 (492) 

blijkt, dat de priemfactor p slechts in een der beide factoren kan 
voorkomen. 

Het geval, dat g^ — 1 door n deelbaar is, kan buiten beschou- 
wing blijven, daar ondersteld wordt, dat t = 2f de kleinste expo- 
nent is, waarvoor g^ — 1 door n deelbaar is (zie n^. 716). Over 
blijft dus slechts het geval, dat g^' ^ 1 door n deelbaar is, het- 
geen beteekent, dat het kenmerk van n°. 720 van toepassing is. 
Dit geeft de vereenvoudiging, dat de getallen /q, /i, /o, enz., die 
door het in groepen splitsen der cijfers van a ontstaan, minder 

FRED. SCHUH. Leerboek der Theoretische Rekenkunde. 23 



354 

cijfers bevatten {f in plaats van 2f cijfers). Dit weegt ruim- 
schoots op tegen de omstandigheid, dat men nu niet zonder 
meer de som der getallen 4, Z^, l^, enz. te vormen heeft, maar 
deze getallen eerst om het andere van teeken moet veranderen. 

725. Blijkens het voorgaande heeft het bij de quaestie van 
deelbaarheid door een getal n, dat een macht van een priem- 
getal p is, alleen dan zin het kenmerk van n^. 715 voor een 
even waarde van t toe te passen als p = 2 is. Uit de deel- 
baarheid van g^ — 1 door n ziet men verder, dat daarvoor het 
grondtal g oneven moet zijn. 

In dat geval bevatten, blijkens (492), beide factoren van het 
tweede lid van (491) den priemfactor 2, zoodat men nu niet kan 
besluiten, dat g^' + 1 door n deelbaar is. Is n de hoogste macht 
van 2, die op ^^ — 1 deelbaar is, dan kan men zelfs besluiten, 
dat g^' + 1 niet door n deelbaar is ^). 

Zoo is b.v. 72 — 1 door 2* deelbaar, terwijl dit noch met 
7 — 1, noch met 7+1 het geval is. Het in n^. 717 genoemde 
kenmerk van deelbaarheid door 2* in het zeventalUg stelsel laat 
zich dus niet met behulp van de eigenschap van n^. 720 vereen- 
voudigen. 

726. Bij kenmerken van deelbaarheid door andere getallen 
dan machten van priemgetallen kan het ook bij even grondtal 
g voorkomen, dat een kenmerk van deelbaarheid van de in n^. 
715 beschouwde soort niet door toepassing van de eigenschap 
van n^. 720 te vereenvoudigen is. 

Zoo is het getal 10^ — 1 door 21 deelbaar (tientallig stelsel), 
zooals onmiddellijk daaruit blijkt, dat het volgens de stelling van 
Fermat (zie n^ 385) zoowel door 3 als door 7 deelbaar is; tevens 



^) Is 2^ de hoogste macht van 2, die op ^ — 1 deelbaar is, dan 
is g^' — 1 door 2^~ en g^' + 1 door 2 (en geen hoogere macht van 
2) deelbaar of omgekeerd. Is dus n een macht van 2, maar niet de 
hoogste macht van 2, die op ^ — 1 deelbaar is, dan is g'^ — 1 
of g^' -f- 1 door n deelbaar; is dan bovendien t = 2t' de kleinste waarde 
van t, waarvoor g^ — 1 door n deelbaar is, dan is ^^ + 1 door n 
deelbaar. 



355 

is 6 de kleinste waarde van t, waarvoor 10^ — 1 door 21 deel- 
baar is. Evenwel is 10^ + 1 niet door 21 deelbaar (wel door 7, 
maar niet door 3). Wel is nu natuurlijk het uit de eigenschap 
van n^ 715 voor t=^ voortvloeiende kenmerk te vereenvoudigen 
door de kenmerken van deelbaarheid door 3 en door 7 afzon- 
derlijk toe te passen (zie n'^. 702). 

727. Elfproef. Uit de gelijkheid (490) van n\ 720 leest men 
tevens af: 

De rest der deeling van een in het g-tallig stelsel geschreven 
getal a door een deeler n van g^ -\- 1 verschilt een n-voud van 
de som der getallen Iq, — /i, 4» — 4» • • • •> '^CLCtrin 4, 4, 4^ 4> 
enz. de getallen zijn, die ontstaan door de cijfers van a in groe- 
pen van t cijfers te verdeelen, rechts beginnend. 

Voor t = 1 luidt dit in het bijzonder: 

De rest der deeling van het getal a = CmCm-\ . • • . c-^c^ bij 
deeling door een deeler n van g + I verschilt een n-voud van 

c, — c, + c^ — c^ + .... + {— l)^Cm. (493) 

Het getal (493) kan ook worden aangeduid als de som der 
cijfers van even rang (zie n^ 415) verminderd met de som der 
cijfers van oneven rang. 

728. De eigenschappen van n^. 727 kunnen weer gebezigd 
worden ter controleering van groote vermenigvuldigingen en 
deelingen (zie n^. 708 en 709). Om de controle niet te gecom- 
pliceerd te maken neemt men voor het getal n een deeler van 
^ + 1, waarbij dan de controle het scherpst wordt als men /z = ^ + 1 
neemt. 

Daar ^+1, onverschillig wat g is (mits natuurlijk > 1), in het 
^-tallig stelsel als 11 wordt geschreven, kan men van de U-proef 
spreken (elfproef in het tientallig stelsel). 

Bij het toepassen van de 11 -proef levert het voordeel op ook 
met negatieve resten te werken als de rest daardoor in absolute 
waarde kleiner wordt (vergelijk n^. 665). Zoo neemt men (in 
het tientallig stelsel) voor de rest der deeling van 4376 door 11 
niet 9, maar liever — 2. Een soortgelijke opmerking geldt 
natuurlijk ook voor de negenproef (zie n^ 710 — 712), maar hier 



356 

in sterkere mate doordat de berekening van het getal (493) allicht 
van zelf tot negatieve getallen voert. 

729. Als voorbeeld in het tientallig stelsel nemen we de ver- 
menigvuldiging 

58942 . 78343231 = 4617706721602. 
Voor 58942 verschilt de rest der deeling door 11 een 11-voud 

van 

2 — 4 + 9—8 + 5 = 4 

en voor 78343231 een 11-voud van 

1—3 + 2 — 3 + 4 — 3 + 8- 7 = — 1. 
De rest der deeling van het product door 11 verschilt dus een 
11-voud van 4 . ( — 1) = — 4. De controle is nu: 

2 + 6 — 1+2 — 7 + 6 + 7 — 7 + 1—6 + 4 = 7, 
hetgeen inderdaad een 11-voud van — 4 verschilt. 

Is de uitkomst bovendien tegen de negenproef bestand, dan is 
de juistheid der berekening buitengewoon waarschijnlijk, mits 
natuurlijk over het algemeen accuraat gerekend wordt. 



730. Periode van resten. Zij n een met g onderling ondeel- 
baar getal dat > 1 is. We beschouwen nu de resten van g, 
g^, g^, enz. bij deeling door n. Deze resten noemen we resp. 
^i> ^25 ^3J G^^z., zoodat dus: 

g^ = qkn + rk {r^ < n). (494) 

Geen dier resten is nul, dus O < rk < n. Immers n is onder- 
ling ondeelbaar met g^, dus (wegens n > \) niet deelbaar op g^. 
Men kan de gelijkheid (494) ook volhouden voor k = O, in 
welk geval q^ = O en r^ = l is. 

731, Is g' een getal, dat een n-voud van g verschilt, dan ver- 
schilt ook ^'^ een n-vond van ^^ daar g'^ — g^ door g" — g 
deelbaar is. Hieruit volgt, dat g'^ en g^ bij deeling door n 
dezelfde rest opleveren. 

De opvolgende machten van twee getallen leveren dus bij deeling 
door n dezelfde resten als die getallen een n-voud verschillen. Ook 



357 

is dit het eenige geval, waarbij dezelfde resten optreden, daar uit 
de gelijkheid der eerste resten (die van ^ en ^ bij deeling door 
n) reeds volgt, dat g en g' een /z-voud verschillen. 

Wel is het natuurlijk mogelijk, dat sommige resten gelijk zijn 
zonder dat g en g' een veelvoud van n verschillen. Zoo zijn 
b.v. de tweede resten gelijk als g'^ — g^ een n-vonó. is, waaruit 
echter nog volstrekt niet volgt, dat g' — g een /z-voud is. 

732. Uit 

g^^^ = qk^\ n + rk^\ 

volgt in verband met (494): 

g(qk n + rk) = qk-,\ n + r/e+i, 

grk = (qk+i — gqk)n ^ rk^\. 
Hieruit ziet men, dat g^^^ dezelfde rest bij deeling door n 
oplevert als grk. Dit geeft een vereenvoudiging in het berekenen 
der opvolgende resten; iedere gevonden rest wordt met g ver- 
menigvuldigd en door n gedeeld. 

Wanneer (zooals bij de toepassing in n^. 736 en 737)^ het 
grondtal van het talstelsel is, geschiedt de vermenigvuldiging met 
g eenvoudig door achterplaatsing van het cijfer 0. 

733. Volgens de stelling van Euler (zie n^ 390), of de eigen- 
schap van n^ 389, zal men bij het berekenen der resten r^, r^, 
/'s, enz. eindelijk een rest 1 verkrijgen. Zij dit voor het eerst 
met rt het geval; t is dan het kleinste getal, waarvoor g^ — / 
door n deelbaar is. 

Uit (494) volgt dan: 

= (qtqkU + qtrk + qk)n + r^, 

waaruit men afleest: 

n^k = rk ^). 
Men heeft dus: 

ft+\ = fi, ft + 2 = fit ft + 3 = ^3J • • • •> 



^) Wegens r^ = l (zie n^. 730) geldt dit ook voor k = 0. 
Opgemerkt zij nog, dat n + k = rk ook is af te lezen uit: 
gt^>^ — gf^ =gf^{gt - 1); 
daar g^ — 1 door n deelbaar is, geldt dus hetzelfde voor g^+f^ — g^. 



358 

zoodat de resten 

r^, Tg, r3, , rt-i, n = l (495) 

periodiek (d. w. z. in dezelfde volgorde) een onbepaald aantal 
malen terugkeeren; ook zegt men, dat de resten repeteeren. De 
rij resten (495) wordt de periode van resten of de restenperiode 
genoemd. 

Het repeteeren der resten blijkt ook uit het in n^ 732 opge- 
merkte, volgens hetwelk iedere rest uit de voorafgaande rest kan 
worden afgeleid ; keert dus een zekere rest terug, dan keeren ook 
de daarop volgende resten in dezelfde volgorde terug. 

734. Nadere beschouwing der restenperiode. De resten 

{495), die in een periode voorkomen, zijn alle verschillend. Had 

men nl: 

rk = ri (k< l< t), 

dan was volgens (494): 

gi _ gk = (^/ — qk)n, 

g'(g'-' — y) = (gi — (Ik)n. 

Daar g en n onderling ondeelbaar ondersteld zijn, zou hieruit 

volgen, dat 

gi-k - 1 

door n deelbaar, dus ri^k = l is. Dit is echter, wegens / — k < t, 
in strijd daarmede, dat rt de eerste rest 1 is (van de rest r^ 
natuurlijk afgezien). 

735. Is, als in het voorgaande, t het aantal resten van een 
periode, dan zijn 

fh f2t, fst, . ■ . . 

de eenige resten, die 1 zijn. Daar nu volgens de eerste eigen- 
schap van n^. 389 

rv = 1 

is (waarin v de daar aangegeven beteekenis heeft), is v een veel- 
voud van t, dus t een deeler van v. We vinden dus: 
Het aantal in een periode voorkomende resten bij deeling door 

is een deeler van K, waarin K het K-GV. is van de getallen 
a'^"' (Pi - 1), /7/^~' (A - 1), . . . ., pf ^""' (Pf^ - 1); (233) 



359 

hierin zijn p-^, pc^, . . . ., pk de verschillende priemfactoren van n ^). 
Is n een priemgetal, dan is dus het aantal resten eener periode 
een deeler van n — 1 ; m. a. w. is t het kleinste getal, waar- 
voor g^ — 1 door n deelbaar is, dan is / een deeler van n — 1, 
dus n van den vorm tv -\- \. 

736. Kenmerk van deelbaarheid met de periode van resten. 

Is g het grondtal van het talstelsel, dan kan men uit de periode 
der resten, die bij deeling van g, g^, g^, enz. door het met g 
onderling ondeelbare getal n optreden, een kenmerk van deel- 
baarheid door n afleiden. 

Voor het getal 

a = CmCm-l .... c^c-^Cq (496) 

kan nl. volgens (494) geschreven worden: 

a = [q^c^ + ^2^2 + ^3^3 + .... + qmCm)n + 
+ Co + r^c^ + rgCg + ^3^:3 + . . . . -f- rmCm. 
Hieruit blijkt, dat de rest der deeling van a door n dezelfde 
is als de rest der deeling van 

f o + r-^c^ + r^c^ + /-gCg + .... + rmCm (497) 

door n. 

737. Uit het in n^. 736 gevondene volgt in het bijzonder: 
Een getal a in het g-tallig stelsel is dan en alleen dan door 

n deelbaar als het getal {497), dat verkregen wordt door de 
cijfers Cq, q, Cg^ • • • •» ^m '^^^ cl [dus rechts beginnend) resp. met 
de getallen 

/, r^, ^2, , rm (498) 

te vermenigvuldigen, door n deelbaar is. Hierin is rj de rest 
der deeling van gj door n, terwijl g en n onderling ondeelbaar 
ondersteld zijn ^). 

Dit kenmerk van deelbaarheid is natuurlijk alleen dan eenigs- 
zins bruikbaar als het aantal t der in een periode voorkomende 
resten klein is, daar dan van de resten (498) slechts enkele bere- 



^) Is n een 8-voud, dan kan met voordeel de tweede eigenschap 
van n^. 389 worden toegepast. 

2) Dit kenmerk van deelbaarheid, uitgesproken voor het tientallig 
stelsel, treft men aan bij Pascal. 



360 



kend behoeven te worden, terwijl de overige daaruit dan door 
herhaling volgen. 

738. Als voorbeeld nemen we in het tientallig stelsel de ken- 
merken van deelbaarheid door 7 en door 13. Het aantal resten 
eener periode is een deeler van 6 resp. 12 (zie n^. 735). In 
beide gevallen blijkt dit aantal 6 te zijn. 

Voor /z = 7 is de periode van resten: 

3, 2, 6, 4, 5, 1 
en voor n = \3: 

10, 9, 12, 3, 4, 1, 

zooals uit de volgende deelingen blijkt: 



7 /lO 
J 

30 
2^ 
20 
14 
60 
56 
40 
35 
50 
49 
/ 



13 /lO 

WO 
91 
90 
78 
720 
117 
50 
26 
40 
39 
/ 



De toepassing der hieruit voortvloeiende kenmerken op het 
eerste voorbeeld van n^ 721 laten we aan den lezer over. De 
berekening kan uit het hoofd worden uitgevoerd en is te ver- 
eenvoudigen door telkens resp. veelvouden van 7 en 13 weg te 
laten. Bij de quaestie van deelbaarheid door 7 kan men dus de 
cijfers 7, 8 en 9 resp. door O, 1 en 2 vervangen. 

739. Vereenvoudiging van het kenmerk met de periode 
van resten. Men kan het uit de periode der resten voortvloeiende 
deelbaarheidskenmerk vereenvoudigen door ook negatieve resten 
toe te laten. Zulk een negatieve rest wordt dan ingevoerd als deze 
in absolute waarde kleiner is dan de oorspronkelijke (positieve) 



361 

rest. Dit komt hierop neer, dat de gelijkheid (494) van n^. 730 
vervangen wordt door: 

g^ = {qk+\)n- rk\ 
hetgeen voordeel oplevert als r^ = n — rk< r^, dus Iru > n is 
(vergelijk n^. 665). 

740. Als voorbeeld nemen we in het tientalHg stelsel het ken- 
merk van deelbaarheid door 27. Daarvoor is de restenperiode 

10, 19, 1, 
welke resten men met voordeel door 

10, — 8, 1. 
vervangt. Het door (496) voorgestelde getal a (zie n^ 736) is 
dus door 27 deelbaar als dit het geval is met 

Cq + 10^1 — 8^2 + Cg + 10^4 — 8^5 + Ce + . . . ., 
dus met 

CiCq 0^2 I c^Cg oCg ~r CrjC^ .... 
Men verdeelt dus de cijfers van a, rechts beginnend, in groe- 
pen, die om de andere 2 cijfers en 1 cijfer bevatten, vermenig- 
vuldigt de zoo verkregen getallen om het andere met 1 en — 8 
en telt op. Het getal a is door 27 deelbaar als de zoo verkregen 
som dit is. 
Zoo is 18658724112 door 27 deelbaar, daar 

12 — 8. 1+24 — 8. 7 + 58 — 8.6 + 18 = 
door 27 deelbaar is. 

Een soortgelijk kenmerk van deelbaarheid door 37 krijgt men 
door de resten 10, 26, 1 te vervangen door 

10, — 11, 1. 
De toepassing hiervan op het tweede voorbeeld van n^ 719 
laten we aan den lezer over. 

741. Komt men bij het berekenen der resten op een rest — /, 
dan keeren de voorafgaande resten met tegengesteld teeken terug, 
zooals zonder moeite volgt uit de in n^. 732 besproken wijze, 
waarop iedere rest uit de voorgaande berekend wordt. 

Men kan het bewijs ook aldus inkleeden. Is A// = — 1, dan is: 

g' -qn-l. 



362 
Hieruit volgt in verband met (494) (zie n^. 730): 

= {qqkn + qtk — qk)n — r^, 
zoodat als rest der deeling van g^'^^ door n het getal — r^ geno- 
men kan worden. 

Krijgt men dus een rest — 1, dan kunnen de volgende resten 
onmiddellijk worden neergeschreven. Het aantal resten der 
periode is dan even. Is omgekeerd dit laatste het geval en boven- 
dien n een macht van een oneven priemgetal (priemgetal > 2), 
dan komt er steeds een rest — /. Is nl. ^ = 2t\ dan volgt uit 
de omstandigheid, dat t de kleinste exponent is, waarvoor g^ — 1 
door n deelbaar is, dat ^^'+ / door n deelbaar is (zie n^. 724), 
dus dat als rest der deeling van g^' door n het getal — / geno- 
men kan worden. 

742. Het voorgaande vindt men bevestigd aan de voorbeelden 
^^= 10, /? = 7 of = 13, waarbij ^ = 6, dus even is (zie n^. 738). 
Naar behooren kan men voor de rest r^ schrijven — 1. Door 
de resten absoluut zoo klein mogelijk te nemen wordt de resten- 
periode voor n = 7\ 

3, 2, — 1, - 3, —2, 1 
en voor n = 13: 

-3, -4,-1, 3, 4, 1. 
Dat het getal 468999790987 uit het eerste voorbeeld van n^. 
721 door 7 en door 13 deelbaar is, blijkt nu aldus: 

3. 1 + 2. 2 + (— 3). 2 + 1. 2 + 3. 2 + 2. 2 + 
+ (- 1) . 1 + (- 3) . (- 1) + (- 2) . 4 = 7, 
1 . 7 + (~ 3) . (— 5) + (- 4)2 + 3 . (- 4) + 4 . 7 + 1 . (- 4) + 
+ (— 3) . (— 4) + (— 4)2 + (— 1) . (— 5) + 3 . 6 + 42 = 1 17 = 9 . 13. 
Voor n = 7 zijn de cijfers 6, 7, 8, 9 resp. door — 1, O, 1, 2 
en voor n = \?> de cijfers 8 en 9 resp. door — 5 en — 4 ver- 
vangen. Het levert weer voordeel op bij de optelling veelvouden 
van 7 resp. 13 weg te laten. 

743. Tafel van restenperioden. We laten hier voor het tien- 
tallig stelsel een tafel van de perioden der resten volgen bij dee- 
ling door de met 10 onderling ondeelbare getallen beneden 100, 



363 



die een priemgetal of een macht daarvan zijn, met weglating van 
3, 9 en 11 i). 

De eerste kolom geeft den deeler n, de tweede kolom het 
aantal / der in de periode voorkomende resten, de derde kolom 
die resten zelf, tot hun absoluut kleinste waarden herleid. Voor 
het geval t even, dus t = 2f is, zijn slechts de eerste f resten 
opgenomen, daar de volgende f resten daaruit door teekenom- 
keering worden afgeleid (zie n^. 741). 

Tafel van de perioden der resten voor deelers beneden 100. 



n 


t 








resten. 








7 


6 


3 


2 


— 1 










13 


6 


- 3 


— 4 


— r 










17 


16 


— 7 


— 2 


— 3 


4 - 6 


— 8 


5 


— 1 


19 


18 


— 9 

— 1 
10 


5 


— 7 


6 3 


— 8 


— 4 


— 2 


23 


22 


8 


11 


-5 -4 


6 


-9 


2 






~ 3 


— 7 


— 1 










27 


3 


10 


— 8 


1 










29 


28 


10 


13 


14 


- 5 8 


— 7 


— 12 


— 4 






— 11 


6 


2 


— 9 —3 


— 1 






31 


15 


10 


7 


8 


— 13 -6 


2 


— 11 


14 






- 15 


5 


- 12 


4 9 


-3 


1 




37 


3 


10 


- 11 


1 










41 


5 


10 


18 


16 


— 4 1 








43 


21 


10 


14 


11 


-19 - 18 


— 8 


6 


17 






— 2 


— 20 


15 


21 -5 


— 7 


16 


— 12 






9 


4 


-3 


13 1 








47 


46 


10 


6 


13 


— 11 — 16 


— 19 


— 2 


— 20 






— 12 


21 


22 


— 15 —9 


4 


— 7 


— 23 






5 


3 


— 17 


18 - 8 


14 


— 1 




49 


42 


10 


2 


20 


4 —9 


8 


- 18 


16 






13 


— 17 


-23 


15 3 


- 19 


6 


11 






12 


22 


24 


-5 — 1 








53 


13 


10 


-6 


- 7 


— 17 - 11 


— 4 


13 


24 






-25 


15 


— 9 


16 1 









^) Voor /z = 3, 9 of 11 verwijzen we naar n". 750. 



364 



n 


t 


resten. 


59 


58 


10 


— 18 


— 3 


29 —5 


9 


- 28 


15 






— 27 


25 


14 


22 — 16 


17 


-7 


1 
— 11 






8 


21 


-26 


-24 —4 


19 


13 


12 






2 


20 


23 


— 6 —1 








61 


60 


10 


— 22 


24 


— 4 21 


27 


26 


16 






-23 


14 


18 


— 3—30 


5 


— 11 


12 






-2 


— 20 


— 17 


13 8 


19 


7 


9 






29 


- 15 


-28 


25 6 


— 1 






67 


33 


10 


33 


— 5 


17 - 31 


25 


~ 18 


21 






9 


23 


29 


22 19 


— 11 


24 


— 28 






— 12 


14 


6 


-7 -3 


— 30 


— 32 


15 






16 

1 
10 


26 


— 8 


— 13 4 


— 27 


- 2 


— 20 


71 


35 


29 


6 


— 11 32 


— 35 


5 


- 21 






3 


30 


16 


18 —33 


25 


— 34 


15 






8 


9 


19 


— 23 - 17 


-28 


4 


-31 






— 26 


24 


27 


— 14 2 


20 


— 13 


12 






-22 


— 7 


1 










73 


8 


10 


27 


— 22 


— 1 








79 


13 


10 
— 12 


21 
38 


- 27 

- 15 


— 33 — 14 

8 1 


18 


22 


— 17 


81 


9 


10 

1 
10 


19 


28 


37 —35 


— 26 


— 17 


— 8 


83 


41 


17 


4 


40 — 15 


16 


-6 


23 






- 19 


— 24 


9 


7—13 


36 


28 


31 






— 22 


29 


41 


— 5 33 


— 2 


— 20 


-34 






-8 


3 


30 


-32 12 


37 


38 


-35 






— 18 

1 

10 


- 14 


26 


11 27 


21 


- 39 


25 


89 


44 


11 


21 


32 —36 


— 4 


— 40 


— 44 






5. 


-39 


— 34 


16 — 18 


— 2 


-20 


- 22 






- 42 


25 


— 17 


8 —9 


- 1 




1 


97 


96 


10 


3 


30 


9 —7 


27 


-21 


-16 






34 


-48 


5 


— 47 15 


- 44 


45 


-35 






38 


— 8 


17 


— 24 — 46 


25 


— 41 


- 22 






-26 


31 


19 


— 4—40 


- 12 


— 23 


— 36 






28 


— 11 


— 13 


— 33 — 39 


- 2 


— 20 


6 






37 


- 18 


14 


43 42 


32 


29 


— 1 



365 

744. Uit een bij een bepaald getal n behoorende rest leidt 
men de volgende rest af door vermenigvuldiging met 10 en dee- 
ling door n. Voor n = 7, 13, 17 of 19 kan men ook met de 
eerste rest r^, dus resp. met 3, — 3, — 7, — 9 vermenigvuldigen, 
hetgeen een kleiner product en daardoor een iets eenvoudiger 
deeling door n oplevert, 

Als een scherpe controle op de berekening kan dienen, dat 
men voor t een deeler van (p — l)/?^"' moet vinden als n = p°^ is, 
waarin p priem Is (zie de eigenschap van n^. 735). In alle 
opzichten afdoende is die controle echter nog niet. Maakt men 
b.v. voor /z = 53 bij een der resten een fout in het teeken (met 
dè juiste absolute waarde), dan krijgen ook alle volgende resten 
het verkeerde teeken en vindt men voor r^g de waarde — 1 in 
plaats van 1; dit zou voeren tot t = 26 in plaats van t= 13, 
terwijl 26 nog even goed een deeler van 53 — 1 = 52 is. 

745. Een andere controle, waarvan herhaalde toepassing ge- 
wenscht is, bestaat daarin, dat ru+i ook gevonden kan worden 
als de rest der deeling van het product rk . r/ door n. Uit de 
gelijkheid (494) van n^. 730 volgt nl: 

gk-.i^ gk ,gi ^ (q^n + rk) (qin + r/) = 
= {qkqin + qkri + rkqi)n + rk . r^. 
Deze controle zal men natuurlijk liefst dan toepassen als men 
een kleine rest (van één cijfer) verkregen heeft. 

Zoo vindt men b.v. voor n = 61, dat r^ = — 4 is. Daaruit 
besluit men onmiddellijk tot Tg -(—4)2= 16, ri2 = (— 4). 16+61 = 
- 3, r,, = (- 3)2 = 9, r,, = (- 4) . 9 + 61 = 25. Is r, = - 4 
juist, dan is daarmede de juistheid van r^s rnet zekerheid gecon- 
troleerd; in de voorafgaande resten kunnen dus nog slechts 
elkaar opheffende fouten voorkomen, hetgeen natuurlijk zeer 
onwaarschijnlijk is. 

Deze controle heeft boven de in n^ 744 besprokene verder 
nog het voordeel, dat ze een fout tijdig doet ontdekken en 
niet eerst als de berekening der resten reeds geheel voltooid 
is, terwijl ze bij een gemaakte fout ook aanwijst waar de fout 
schuilt. 

746. De in n^. 745 genoemde controle kan natuurlijk ook in 



366 

verschillende gevallen dienen om de berekening der resten te 
vereenvoudigen, vooral als men reeds spoedig op een zeer kleine 
rest komt. 

Zoo vindt men b.v. r^ = 2 voor n = 49, waaruit men onmid- 
dellijk afleidt: 

/-^ = 22 = 4, re - 2 . 4 = 8, rg = 2 . 8 = 16, r^o = 2 . 16 — 49 - — 17, 
/-i^ = 2 . (— 17) + 49 = 15, r^, = 2 . 15 — 49 = — 19, enz.; 
r3 = 2 . 10 - 20, /'s = 2 . 20 — 49 = — 9, r^ = 2 . (— 9) = — 18, 
rg - 2 . (— 18) + 49 = 13, r^ = 2 . 13 - 49 = — 23, enz. 

Voor n = 97 vindt men evenzoo uit r^ = S: 

r^ = 32 = 9, re = 3 . 9 = 27, /'s = 3 . 27 — 97 = — 16, enz.; 
r3 = 3 .10-30, r5=3.30 — 97 = — 7, r7 = 3 . (— 7) = — 21, enz. 

Een soortgelijke berekening kan men voor az = 59 op r3 = — 3 
of voor n = 83 op rg = 4 baseeren. Als voorbeeld nemen we 
nog /2 = 47, waarvoor r^ = — 2 is; de resten rg, rg, r^o, enz. 
worden dus resp. uit r^, r^, r^, enz. gevonden door vermenig- 
vuldiging met — 2 en deeling door 47, aldus: 

rg =—2.10- — 20, rg- — 2.6 = — 12, r^o = — 2 . 13 + 47 = 21, 
ril = — 2 . (— 11) = 22, enz. 

We merken nog op, dat de in n^. 741 besproken vereenvou- 
diging (ten gevolge van een rest — 1) op hetzelfde denkbeeld 
berust. 

747. Tafel der aantallen resten. De tafel van n^ 743 wijst, 
bij gegeven getal n, het kleinste getal t aan, waarvoor 10^ — 1 
door n deelbaar is, dus waarvoor het kenmerk van n^ 715 
kan worden toegepast. Alleen als t even is, is ook het ken- 
merk van n^. 720 van toepassing (10^' + 1 door n deelbaar als 
t = 2f is). 

We laten hier voor de met 10 onderling ondeelbare getallen 
n beneden 300 (met weglating natuurlijk van 1) de waarden van 
t, dus de aantallen resten der periode, volgen (steeds voor het 
tientallig stelsel). In de tafel zijn ook de deelbare getallen n 
opgenomen ; de getallen n, die een priemgetal of een macht daar- 
van zijn, zijn vet gedrukt. 



367 



Tafel der aantallen resten voor deelers beneden 300. 



n 


^ 


n 


t 


n 


t 




t 

1 


n 


t 


i ri 


t 






51 


16 


101 


4 


151 


75 


201 


33 


251 


50 


3 


1 


53 


13 


103 


34 


153 


16 


203 


84 


253 


22 


7 


6 


57 


18 


107 


53 


157 


78 


207 


22 


257 


256 


9 


1 


59 


58 

1 


109 


108 


159 


13 


209 


18 


259 


6 


11 


2 


61 


60 


UI 


3 


161 


66 


211 


30 


i 261 


28 


13 


6i 


63 


6 


113 


112 


163 


81 


213 


35 


263 


262 


17 


16: 


67 


33 


117 


6 


167 


166 


217 


30 


267 


44 


19 


18| 
1 


69 


22 

j 


119 


48 


169 


78 


219 


8 


269 


268 


21 


6 


71 


35 


121 


22 


171 


18 


221 


48 


271 


5 


23 


22 


73 


8 


123 


5 


173 


43 


223 


222 


273 


6 


27 


3 


77 


6 


127 


42 


177 


58 


227 


113 


: 277 


69! 


29 


28 


79 


13 


129 


21 


179 


178 


229 


228 


279 


'' 


31 


15 


81 


9 


131 


130 


181 


180 1 


231 


6 


281 


28 1 


33 


2 


83 


41 


133 


18 


183 


60 


233 


232 


283 


141 1 


37 


3 


87 


28 


137 


8 


187 


16 


237 


13 


1 287 


30' 


39 


6 


89 


44 


139 


46 


189 


6 


239 


7 


! 289 


272 


41 


5 


91 


6 


141 


46 


191 


95 


241 


30 


'291 


96 


43 


21 


93 


15 


143 


6 


193 


192 


243 


27 


293 


146 


47 


46 


97 


96 


147 


42 


197 


98 


247 


18 


1 297 


6 


49 


42 


99 


2 


149 


148 


199 


99 


249 


41 


299 

i 


66 



748. Om het getal t voor een macht van een priemgetai dus 
voor n = p"" ^), te bepalen behoeven niet alle resten der periode 
berekend te worden, daar men reeds van te voren weet, dat t 
een deeler van (p — \)p°'~^ is. Bijgevolg behoeven slechts die 
resten /-^ berekend te worden, waarvoor k een deeler van 
[p — l)/7^~^ is. Men schrijft dus de deelers van (/? — l)/7^~^ 



Voor ci = 1 heeft men het geval, dat n een priemgetal is. 



368 

in de volgorde hunner grootte neer en berekent de bijbehoorende 
resten tot men een rest 1 verkrijgt. 

Een verdere vereenvoudiging bestaat daarin, dat men rt' = — 1 
moet vinden voor t = 2t'. Dit maakt, dat men slechts de resten 

Tk te berekenen heeft voor waarden van k, die op^~-^ — z?*""^ deel- 
baar zijn. Men heeft de berekening voort te zetten tot een rest 
1 of — / verkregen is. 
Als voorbeeld nemen we n = 151. We bepalen de resten rk , 

I5J i 

waarvoor k een deeler van ^ = 75 = 3 . 52 is. Het aantal 

deelers van 75 bedraagt 2.3 = 6 (zie de eigenschap van n^ 393); 

deze zijn: 

1, 3, 5, 15, 25, 75. 



Men berekent nu achtereenvolgens: 
Tl = 10, rg = — 51, 
Tg = —510-1-3 . 151 = — 57, 



r^ = {— 51) . (— 57) — 19 . 151 = 38, 

r^o = 382 _ 1510 = — 66, 

ri5 = 38 .(—66)+ 17. 151 = 59, 

''25 == — 66 , 59 + 26 . 151 = 32, 

^50 = 322—7. 151 = — 33, 

^75 = 32 . (— 33) + 7. 151 = 1. 

Men vindt dus t = 75. 

Als tweede voorbeeld nemen we n = 173. De deelers van 

173 1 

^ = 86 zijn 1, 2, 43 en 86, zoodat de berekening wordt: 

ri = 10, ^2 = — 73, 
r, = — 7300 + 42. 173 = — 34, 
rg = 342 — 7 . 173 = — 55, 
r,g = 552 — 17 . 173 = 84, 
r32 =: 84^—41 . 173= -37, 
r^o =55 . 37 — 12 . 173 = — 41, 
r^, = — 4100 + 24 . 173 = 52, 
^43 = 520 — 3 . 173 = 1, 
waaruit volgt / = 43. 



369 

Als derde voorbeeld nemen we az = 211. De deelers van 

211-1 .^- .. 
^ = 105 zijn: 

1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105. 
De berekening is als volgt: 

r^ = 10, r, = 100, r^ = — 55, 
r, = — 5500 + 26 . 211 =— 14, 
/-/= — 1400 + 7 .211 = 77, 
ƒ-!, = 772 — 28 .211 =21, 
/-IS = 210 — 211 = — 1, 
dus ^ = 2 . 15 = 30. 

749. Voor een getal n, dat twee of meer verschillende priem- 
factoren bevat, is het getal t onmiddellijk af te leiden uit de 
getallen t voor de machten van priemgetallen, waarvan n het 
product is. Zijn die nïachten 

A"S A"^^ • • . ■, P/^ (499) 

en tl, tc^, . . . ., 4 resp. de bijbehoorende getallen t, dan is het 
bij n behoorende getal t het K.G.V. van t^, t^, t^, . . . , 4. Immers 
het getal g^ — 1 is dan en alleen dan door n deelbaar als het 
door ieder der getallen (499) deelbaar is, dus dan en alleen dan 
als t een veelvoud van ieder der getallen t^, t^, . . . ., 4 is. 

Als voorbeeld nemen we n = 299 = 13 . 23. Voor n = IS en 
n = 23 is resp. ^ = 6 en ^ = 22. De bij 299 behoorende waarde 
van t is dus het K.G.V. van 6 en 22, d. i. 66. Als tweede voor- 
beeld nemen we n = 273 = 3.7.13. De bijbehoorende waarde 
van t is het K.G.V. van 1, 6 en 6, dus 6. Als derde voorbeeld 
nemen we n = 297 = 3^ . 11, waarbij als waarde van t het K.G.V. 
van 3 en 2, dus 6, behoort. 

750. Vergelijking van het kenmerk van n*^. 737 met vorige 
kenmerken. Past men het kenmerk van n^ 737 op een deeler 
n van g — 1 toe, dan zijn de resten (498) alle 1 ; m. a. w. de 
periode der resten bestaat uit het enkele getal 1. Het getal (497) 
is dan de som der cijfers van het getal a, zoodat het kenmerk 
van n^ 737 in dat van n^ 704 is overgegaan. 

Past men het kenmerk van n^. 737 op een deeler van ^ + 1 

FRED. SCHUH, Leerboek der Theoretische Rekenkunde. 24 



370 

toe, dan vindt men als periode der resten — 1, 1, zoodat het 
kenmerk dan in dat van n^. 722 overgaat. 

Wanneer men de resten /-j, rg, . . . ., rt-\ door de getallen g, 
g^, ... ., o-^-i vervangt, waaruit ze door deeling door n ontstaan 
zijn, gaat het kenmerk van n^ 737 in dat van n^ 715 over. Op 
soortgelijke wijze kan men het kenmerk van n^. 720 uit dat van 
n^. 737 voor den dag brengen. 

751. Het kenmerk van n^. 737 is niet daaraan gebonden, dat 
het getal n met het grondtal g van het talstelsel onderling ondeel- 
baar is, al is dit kenmerk ook voor laatstgenoemd geval van 
grootere beteekenis. 

Men kan het kenmerk van n^. 737 dus ook toepassen als n 
een deeler van een term der schaal is, b.v. van g^. In dat geval 
worden de resten r^, r^+i, r/+2, enz. alle nul, zoodat het getal 
(497) in 

Cq + r^c-^ + TgCg + . . . . + n-iCt-i (500) 

overgaat. Door weer de resten r-^, r^, enz. door g, g^, enz. te 
vervangen gaat (500) in 

over, waardoor men het kenmerk van n^. 697 verkrijgt. 

752. Uitbreiding van het kenmerk met de periode van 
resten. Men kan het deelbaarheidskenmerk met de periode van 
resten (zie n^. 737) uitbreiden tot het geval, dat men niet de 
resten der deeling door n beschouwt geleverd door de opvol- 
gende machten van g, maar die geleverd door de opvolgende 
machten van g^. De eigenschap van n^. 737 blijft dan doorgaan 
als men de cijfers van het te onderzoeken getal a vervangt door 
de getallen 4, Z^, 4, enz., die men verkrijgt door de cijfers van 
a in groepen van k cijfers te verdeden (rechts beginnend), en 
deze getallen resp. met 

1, ^A:) ^2A:5 ^^h • • . • 

vermenigvuldigt; hierin heeft r,- dezelfde beteekenis als in n^. 737. 

De eigenschappen van n°. 715 en 720 liggen in het voorgaande 
resp. als de gevallen r/t = 1 en r^ = — 1 opgesloten. 

Als voorbeeld nemen we n = \'è (tientallig stelsel). De resten 



371 

bij deeling door 13 zijn 9, 3, 1 (zie de tafel 
van no. 743). Dit geeft 
9 de volgende berekening 

79 om te constateeren, dat 

99 het getal 468999790987 

89 (zie het eerste voorbeeld 

46 van n^. 721) door 13 

13 deelbaar is. Deze bereke- 

ning is echter omslachtiger dan rechtstreeksche deeling. 



der 


machten 


van 102 


bij 




468999790987 








81 = 


9 






237 = 


3 






99 = 


1 






801 = 


9 






138 = 


3 






1443 = 


111 



753. Kenmerk van deelbaarheid door middel van optelling. 

Onderstel, dat n een deeler is van fg — /, waarin (als steeds) g 
het grondtal van het talstelsel voorstelt, terwijl ƒ een natuurlijk 
getal is. Daaruit volgt van zelf, dat n en g onderling ondeelbaar 
zijn, daar een gemeene deeler van n en g, wegens de deelbaar- 
heid van n op fg — 1, ook een gemeene deeler van g ^n fg — 1 
is, dus 1. 

Is Co het laatste cijfer van het getal a, dat op zijn deelbaarheid 
door n moet worden onderzocht, en b het getal, dat uit a ont- 
staat door het laatste cijfer te schrappen, dan is: 

a = bg^ Co, 
waaruit volgt: 

a + c,{fg-l) = {b-^fc,)g. (501) 

Daar fg — 1 door n deelbaar is, is dus a dan en alleen dan 
door n deelbaar -als dit met (b -\- fcojg het geval is. In verband 
met de onderlinge ondeelbaarheid van n en ^ besluiten we hier- 
uit, dat a dan en alleen dan door n deelbaar is als b + fcQ door 
n deelbaar is. 

Lettend op de wijze, waarop het getal b + fc^ uit a wordt 
afgeleid, vinden we dus: 

Een getal a is dan en alleen dan door een deeler n van fg — / 
deelbaar als het getal, dat ontstaat door het laatste cijfer van 
a na vermenigvuldiging met f op te tellen bij het getal gevormd 
door de overige cijfers van a, door n deelbaar is. 



372 

754. Bij het kenmerk van n^ 753 wordt het te onderzoeken 
getal a blijkens (501) met een zoodanig «-voud vermeerderd, nl. 
met CQ(fg — 1), dat een door het grondtal deelbaar (dus een op 
nul eindigend) getal ontstaat. Het getal a^, dat men daaruit door 
weglating van het laatste cijfer (nul) verkrijgt ^), moet dan verder 
nog op zijn deelbaarheid door n onderzocht worden. Heeft a 
een voldoend groot aantal cijfers, dan heeft a^ één cijfer minder 
dan a, tenzij b van den eerstvolgenden grooteren term der schaal 
minder dan of juist fc^ verschilt; in elk geval is dan echter a-^ < a. 

Daar het getal a-^ uit a door optelling wordt afgeleid, spreekt 
men van een kenmerk van deelbaarheid door middel van optelling. 
Het getal ƒ wordt de bij het kenmerk behoorende herleidings- 
factor of reductiefactor genoemd. 

755. Bij toepassing van het kenmerk van n^. 753 wordt het 
op zijn deelbaarheid te onderzoeken getal a door b -\- /Cq = a-^ 
vervangen. Als regel zal hierin een voordeel gelegen zijn als het 
getal daardoor verkleind wordt ^), dus als men heeft: 

a ^ bg i- Cq > b -i-fc^, 
b(g-l)>c,(f-\). 
Hieruit ziet men, dat het getal a door toepassing van het ken- 
merk van n^. 753 dan en alleen dan niet verkleind kan worden 
als men heeft: 

b(g-I)^c,if- I). (502) 

Daar ^o ^ ^' — ^ ^s, volgt uit (502): 

b(g-\)^{g-l){f-ll 
b^f-\. 
a^bg + g-\^{f-\)g + g-\=fg-\. 



1) Dit is het getal b -f fc^ van n^. 753. 

2) Het kan echter wel voorkomen, dat a > a^ is en men toch door 
den aard der cijfers dier getallen aan a direct, maar aan a^ niet zoo 
direct ziet, dat het door n deelbaar is. Zoo is (in het tientallig stelsel) 
119 = 12 . 10 — 1 door 17 deelbaar, zoodat ƒ = 12 is voor n = \7 \ 
neemt men a = 1717 (dus CQ = 7,b= 171), dan is «i = 171 + 12 . 7 = 255; 
men ziet echter eerder dat 1717 dan dat 255 door 17 deelbaar is. Van 
dergelijke toevalligheden zien we echter bij de volgende beschouwin- 
gen af. 



373 

Hieruit blijkt, dat fg — / het grootste getal is, dat door toe- 
passing van het kenmerk van n^. 753 niet verkleind kan worden ^). 
Men heeft dus: 

Door herhaalde toepassing van het kenmerk van n^. 753 kan 
men het te onderzoeken getal verkleinen tot het kleiner dan fg 
geworden is. 

Dit wil echter nog niet zeggen, dat als men een getal gekregen 
heeft, dat < fg is, het niet door toepassing van het kenmerk van 
n^. 753 nog verder te verkleinen is. Zoo is ƒ = 12 voor n = \7 
(zie noot 2 van blz. 372), terwijl het getal 61 door toepassing 
van het kenmerk tot 18 verkleind wordt. 

756. Het kenmerk van n^ 753 met herleidingsfactor 1. 

In het voorgaande kan zonder bezwaar ƒ = 1 genomen worden. 
Men heeft dan echter het kenmerk van n^. 753 niet noodig, daar 
dan het eenvoudige kenmerk van n^ 704 kan worden toegepast. 
We willen echter toch het kenmerk van n^. 753 voor het geval 
f=l wat nader beschouwen. 

Dit kenmerk komt dan daarop neer, dat het laatste cijfer van 
het te onderzoeken getal a bij het door de overige cijfers van a 
gevormde getal wordt opgeteld. Dit kan men volgens de eigen- 
schap van n^ 755 voortzetten tot men een getal < g, das een 
getal van één cijfer heeft overgehouden. 

Ibl, Daar, zooals gemakkelijk is in te zien, de som der cijfers 
bij ieder der bewerkingen met een {g — l)-voud verandert, is het 
voorgaande ook te beschouwen als een manier om de rest van 
de som der cijfers van a bij deeling door g — 1 te bepalen. 
Hierdoor verschijnt het kenmerk van n°. 753 voor ƒ = 1 als een 
gewijzigde vorm van het kenmerk van n^. 704; laatstgenoemd 
kenmerk in zijn oorspronkelijken vorm verdient echter de voorkeur. 

Uit het voorgaande blijkt tevens, dat het getal van één cijfer, 
waarop men bij herhaalde toepassing van het kenmerk van n^. 
753 voor f = 1 uitkomt, nog steeds dezelfde rest bij deeling door 
n oplevert als het oorspronkelijke getal a. 



^) Toepassing van dit kenmerk op fg — 1 heeft trouwens geen zin, 
daar ons uitgangspunt juist is, dat fg — / door n deelbaar is. 



374 

758. Bij toepassing van het kenmerk van n^. 753 voor ƒ = 1 
gaat het getal 

in 

o ~r Cq == Cm^m—l .... ^1 I ^0 

over. Dit laatste getal heeft één cijfer minder dan a, behalve 
als q + Co ^ ^ is en de cijfers c,n, Cm~u . . • •, Cg (zoo deze aan- 
wezig zijn, dus zoo m> \ is) alle g — 1 zijn. 

In laatstgenoemd geval heeft b -f c^ evenveel cijfers als a\ 
dan is: 

Z? + Co == d,nd,n-\ .... d^d^, 
waarin: 

dtn = \, dm-\ = dtn-2 =.... = d^ = O, d^ = C^ + Cq — g. 

De getallen, die men uit b -^ Cq door herhaalde toepassing van 
het genoemde kenmerk afleidt, hebben dan alle één cijfer minder 
dan het voorgaande, zoodat het slechts eenmaal kan voorkomen, 
dat het aantal cijfers gelijk blijft. 

Hieruit ziet men, dat het kenmerk van n^. 753 voor f = 1 na mof 
m ^ 1 toepassingen tot een getal van één cijfer voert, waarin 
m-\- 1 het aantal cijfers van het te onderzoeken getal a voorstelt. 

759. We laten hier in het tientallig stelsel een drietal voor- 
beelden volgen, waarbij n = 9 is. In het eerste voorbeeld is 
voor a hetzelfde getal genomen als in het voorbeeld van n^ 707: 

739602585 deelbaar door 9. 

5 9994878 deelbaar door 9; in 

63 ^ dit voorbeeld kun- 

_ ^ "^" natuurlijk de 

Fj drie cijfers 9 direct 

jT 4 geschrapt worden. 

1 ^ 

2 _1 

2 1008 

8 8 

1 8 

47 8 

^ 8 

81 ^ 

1 9 
9 



375 



8825375 

_5 

42 

2 Blijkens het in n^ 757 opge- 

"g merkte is in het laatste voorbeeld 

5 2 de rest der deeling door 9. 

. 31 In het eerste voorbeeld is het 

^ 1 aantal toepassingen van het ken- 

4 merk één minder dan, in de 

^ beide laatste voorbeelden gelijk 

aan het aantal cijfers van het te 

onderzoeken getal. 



92 
_2 
11 
\ 

2 

760. Kenmerk van deelbaarheid door middel van aftrek- 
king. Bij de beschouwingen van n^. 753 en 754 is aangenomen, 
dat de herleidingsfactor ƒ een natuurlijk getal is. Die beschou- 
wingen blijven echter onveranderd doorgaan als f negatief is. 

Is dan f= — f, waarin f een natuurlijk getal voorstelt, dan 
is — f'g — 1 deelbaar door n\ dit drukt hetzelfde uit als dat f'g + 1 
door n deelbaar wordt aangenomen (zie n^. 572). Blijkens het 
in n^. 753 gevondene is a dan en alleen dan door n deelbaar 
als dit met b — f^c^ het geval is. We vinden dus: 

Een getal a is dan en alleen dan door een deeler n van f'g + / 
deelbaar als het getal, dat ontstaat door het laatste cijfer van a 
na vermenigvuldiging met f' af te trekken van het getal gevormd 
door de overige cijfers van a, door n deelbaar is. 

761. Daar het getal b—fc^ uit a ontstaat door verminde- 
ring met c^ifg + 1) (dus met een n-voud) gevolgd door deeling 
door g (weglating van een nul aan het eind), spreekt men van 
een kenmerk van deelbaarheid door middel van aftrekking. Het 
getal f noemen we weer den bijbehoorenden herleidingsfactor. 

Het nu beschouwde kenmerk is blijkens het in n^. 760 opge- 
merkte ook op te vatten als een kenmerk door optelling met 
negatieven herleidingsfactor. Men heeft nl.: 

è-/V„=è + (-/)c„. 



376 

Zoo beschouwd zijn dus beide kenmerken slechts verschillend in 
den aard van den bijbehoorenden herleidingsfactor, maar overigens 
geheel dezelfde. In n^ 766 en 767 zal in nog een ander opzicht 
verband tusschen beide kenmerken blijken te bestaan. 

762. Door herhaalde toepassing van het kenmerk van n^. 
760 kan men het op zijn deelbaarheid te onderzoeken getal voort- 
durend verkleinen totdat een getal verkregen is, dat kleiner dan 

Om dit aan te toonen vragen we naar het grootste getal, waarop 
het kenmerk van n^. 760 niet van toepassing is, tenminste zoo 
men verlangt, dat de getallen niet negatief worden. Nu is het 
kenmerk in dien zin op het getal a niet van toepassing als 

is. Men heeft dan: 

a = bg^c^^ (fc^ — \)g + Cq, 
of wegens ^o = ^ — 1 • 

. a^rg(g-\)-\. 

Het grootste getal, waarop het kenmerk niet van toepassing 
is, is dus fg(g — 1) — 1, dus kleiner dan fg{g — 1). 

Wanneer men echter ook toelaat, dat het te onderzoeken getal 
negatief wordt (hetgeen zonder bezwaar kan geschieden), kan het 
getal nog verder verkleind en beneden f\g — /) gebracht worden; 
immers bij de verschillende aftrekkingen is de aftrekker hoogstens 

ng - 1). 

763. Past men het kenmerk van n^. 760 toe op het geval, 
dat ƒ' = 1 is (dus op het geval, dat n een deeler is van ^+ 1), 
dan heeft men telkens het laatste cijfer van het te onderzoeken 
getal van het door de overige cijfers gevormde getal af te trek- 
ken. Men krijgt zoo een gewijzigden vorm van het kenmerk 
van n^. 722. Het kenmerk van n^. 722 in zijn oorspronkelijken 
vorm verdient echter weer de voorkeur. 

764. Toepasbaarheid der kenmerken van n^. 753 en 760 voor 
lederen met g onderling ondeelbaren deeler. We toonen aan: 

Voor ieder getal n, dat met het grondtal g onderling ondeel- 
baar is, kan een herleidingsfactor gevonden worden, dus een getal 
f, waarvoor fg — / door n deelbaar is. 



377 

Immers om ƒ te bepalen heeft men ƒ en x uit de onbepaalde 

vergelijking: 

fg—\=nx (503) 

op te lossen. Daar de coëfficiënten der onbekenden, (dus de 
getallen g en — «) onderling ondeelbaar zijn, is de vergelijking 
(503) in het bezit van oplossingen (zie de eigenschap van n°. 656). 
Blijkens het aan het eind van n^ 648 opgemerkte zijn de 
waarden, die men voor f vindt, met n en de waarden, die men 
voor X vindt, met g onderling ondeelbaar, zooals ook onmiddel- 
lijk aan de vergelijking (503) te zien is. 

765. Is f = fi (waarin /^ een bekend getal is) een oplossing 
van (503) (met bijbehoorende waarde van x), dan zijn de overige 
waarden van f, waarvoor aan (503) kan worden voldaan, van den 
vorm /l +y^) waarin men voor j ieder geheel getal (positief of 
negatief) nemen kan (zie de eigenschappen van n^. 648 en 649). 

Hieruit blijkt, dat men het getal ƒ, waarvoor fg — / door n 
deelbaar is, met een willekeurig (positief of negatief) veelvoud 
van n mag vermeerderen en verder, dat men zoo alle getallen f 
vindt, die aan de vraag voldoen. Het eerste is natuurlijk ook 
onmiddellijk in te zien, daar vermeerdering van ƒ met een n-vond 
ook fg — 1 met een n-voud doet vermeerderen, hetgeen op het 
deelbaar zijn door n van geen invloed is. 

766. Daar men j zoo kan kiezen, dat f^ -\- jn positief en ook 
zoo, dat /i -{-jn negatief is, blijkt uit het voorgaande, dat voor 
ieder met het grondtal g onderling ondeelbaar getal n zoowel 
het kenmerk van n^. 753 als dat van n^. 760 is toe te passen. 

Wil men het kenmerk van n^. 753 toepassen, dan moet men 
een positieve oplossing f der vergelijking (503) gebruiken. Deze 
kan natuurlijk altijd < n genomen worden, daar dit anders door 
vermindering met een veelvoud van n te bereiken is. Evenzoo 
kan men de negatieve oplossing ƒ, die dient om het kenmerk 
van n^. 760 toe te passen, steeds > — n [dus in absolute zmarde 
< n) aannemen. Hierdoor krijgen deze kenmerken hun een- 
voudigsten vorm. 

767. Is ƒ = ƒ, de kleinste positieve oplossing der vergelijking 
(503), dan is f = fi — n =^ — (n — f^) een negatieve oplossing, 



378 

en wel de absoluut kleinste negatieve oplossing, Men kan nu 
het kenmerk van n^ 753 toepassen voor f = fi en dat van n^. 
760 voor/- n—f^. 

Of men het eerste dan wel het tweede kenmerk kiest hangt 
daarvan af of vermenigvuldiging met f^ dan wel met f\ = n — f^ 
het snelst wordt uitgevoerd. In den regel zal men het kleinste 
der getallen f^ en f\ kiezen. 

Evenwel geldt dit niet zonder uitzondering. Zoo is wel in het 
tientallig stelsel vermenigvuldiging met 12 te verkiezen boven 
vermenigvuldiging met 19, maar een vermenigvuldiging met 20 
gemakkelijker uit te voeren dan een met 17 en een vermenig- 
vuldiging met 55 gemakkelijker dan een met 46. 

768. De factoren f^ en f\ van n^ 767 kunnen, behoudens 
een zeer bijzonder geval, niet gelijk zijn. Immers fi = f\ zou 
beteekenen n = 2/i, dus deelbaarheid van f-^^g — 1 door 2/i. Dit 
kan alleen als f-^ = 1, dus n = 2, en g oneven is, in welk geval 
zoowel g — 1 als ^ + 1 door n deelbaar is. 

Men heeft dan echter geen behoefte aan een deelbaarheids- 
kenmerk van de beschouwde soort, daar het kenmerk van n^ 
704 dan van toepassing is. Laatstgenoemd kenmerk gaat voor 
dit geval over in: 

In een talstelsel met een oneven grondtal is een getal dan en 
alleen dan even als het een even aantal oneven cijfers bevat. 

769. Nadere beschouwing der kenmerken van n^. 753 en 
760. Het eerste lid der vergelijking (503) van n^ 764 heeft het- 
zelfde teeken als ƒ en het tweede lid hetzelfde teeken als x. 
Hieruit blijkt, dat waarden van f en x, die aan (503) voldoen, 
heizelfde teeken hebben. 

Vervangt men ƒ door een ander getal, dat hetzelfde teeken 
heeft, maar een grootere absolute waarde, dan wordt het eerste 
lid van (503) absoluut grooter. Evenzoo wordt het tweede lid 
van (503) absoluut grooter als men x door een absoluut grooter 
getal vervangt. Hieruit volgt: 

Bij de kleinste positieve oplossing f der vergelijking (503) behoort 
de kleinste positieve oplossing x en bij de absoluut kleinste nega- 
tieve waarde van f de absoluut kleinste negatieve waarde van x. 



379 

770. Is evenals in n^ 767 f^ de kleinste positieve oplossing 
ƒ van (503) en x^ de bijbehoorende waarde van x, dan is de 
algemeene oplossing van (503) (zie n^ 648—650): 

ƒ = A +y^. x = x^ -i-jg, (504) 

waarin J willekeurig kan worden aangenomen. Daar (volgens de 
eigenschap van n^ 769) x^ de kleinste positieve oplossing van 
(503) is, is voldaan aan: 

O <f,< n, O < x^<g. 
Blijkens (504) is hierdoor de oplossing f = f^, x = x^ van (503) 
volledig gekenmerkt, d. w. z. er is slechts één positieve oplossing 
ƒ, die aan O < f < n, en één positieve oplossing x, die aan 
O < X < g voldoet. 

Evenzoo is de absoluut kleinste negatieve oplossing f of x de 
eenige negatieve oplossing, die absoluut kleiner dan n resp, g is. 
Zijn die waarden van f en x absoluut genomen resp. f\ en x\y 
dan is: 

f\=n— A, x\ =g — x^. 

771. Wanneer we voor een gegeven deeler n (onderling ondeel- 
baar met g) het kenmerk van n^. 753 zoo eenvoudig mogelijk 
willen doen zijn, kiezen we den herleidingsfactor ƒ positief en zoo 
klein mogelijk. Het bijbehoorende getal x voldoet dan (blijkens 
het in n^. 770 gevondene) aan 

\ ^x^g—\ (505) 

en bestaat dus uit één cijfer. 

Uit (505) volgt nu in verband met (503): 
fg-\ ^n{g-\l 
waaruit verder in verband met de eigenschap van n^ 755 volgt: 

Door herhaalde toepassing van het kenmerk van n^. 753, zoo 
men dit zijn eenvoudigsten vorm geeft (d. w. z. den herleidings- 
factor zoo klein mogelijk kiest), kan men het op zijn deelbaarheid 
door n te onderzoeken getal verkleinen tot een getal, dat kleiner 
is dan ng en dat dus bij deeling door n een {volledig of partieel) 
quotiënt van één cijfer levert. 

772. In geval de deelbaarheid bestaat is het in de eigenschap 
van n^. 771 genoemde quotiënt q van één cijfer af te leiden uit 
het laatste cijfer e van het getal a' , waartoe het oorspronkelijk 
beschouwde getal a door de opvolgende herleidingen terugge- 



380 

bracht is. Is nl. d het laatste cijfer van n, dan is het laatste 
cijfer van qn hetzelfde als dat van qd, zoodat q gevonden wordt 
uit de onbepaalde vergelijking 

qd = e-^gz, (506) 

waarin (wegens de onderlinge ondeelbaarheid van n en g) de coëf- 
ficiënten d ^n g der onbekenden onderling ondeelbaar zijn. Door 
de vergelijking (506), in verband met O < ^ < ^, is ^ volledig 
bepaald. 

Daar q het cijfer is, waarvoor het product qd op het cijfer e 
eindigt (of het cijfer e is), kan q uit de tafel van vermenigvuldi- 
ging worden afgelezen. Om te onderzoeken of a al dan niet 
door n deelbaar is, heeft men nu nog slechts na te gaan of 
voor het zoo bepaalde cijfer q het product qn gelijk is aan a\ 

11^. Kiest men bij het kenmerk van n^ 760 den herleidings- 
factor f zoo klein mogelijk, dan is (weer blijkens het in n^. 770 
gevondene): 

/'^+1 ^n(g-\), 

hetgeen uitdrukt, dat het getal x\ waarvoor aan 

fg^l = nx' 
voldaan is, uit één cijfer bestaat. Hieruit volgt in verband met 
de eigenschap van n^ 762: 

Door herhaalde toepassing van den eenvoudigsten vorm van 
het kenmerk van n^. 760 kan men, zonder dat de aftrekkingen 
tot negatieve getallen voeren, het te onderzoeken getal verkleinen 
tot een getal, dat kleiner is dan ng^ en dat dus hij deeling door 
n een {volledig of partieel) quotiënt van hoogstens twee cijfers 
geeft. 

Blijkens het aan het eind van n^. 762 opgemerkte kan men, 
door ook negatieve getallen toe te laten, de herleiding voortzetten 
tot een getal, dat een quotiënt van slechts één cijfer levert. 

11^, Bepaling van den herleidingsfactor uit de tafel van 
vermenigvuldiging. Blijkens het in n^ 771 en 773 gevondene 
kunnen de kleinste reductiefactoren f en f' , die hij de kenmerken 
van n^. 753 resp. 760 behooren, gevonden worden door n met 



381 

een zoodanig (met g onderling ondeelbaar) cijfer y ^) te vermenig- 
vuldigen, dat het product na vermeerdering resp. vermindering 
met 1 door g deelbaar is, dus dat het product op het cijfer g — / 
resp. 1 eindigt. 

In het eerste geval wordt de iaicior f gevonden door het laatste 
cijfer van het zoo verkregen product yn te schrappen en het over- 
blijvende getal met 1 te vermeerderen, in het tweede geval de 
factor f' door van yn het laatste cijfer te schrappen. 

nb. Daar weer het laatste cijfer van het product yn slechts 
van het laatste en niet van de overige cijfers van n afhangt, 
heeft men ter bepaling van het cijfer y slechts het laatste cijfer 
d van n te kennen. Het cijfer y moet dus zoo bepaald worden, 
dat het product yd op het cijfer g — 1 of 1 eindigt. Uit onze 
algemeene beschouwingen vloeit voort, dat er één en slechts één 
zulk een cijfer y te vinden is; dit cijfer kan uit de tafel van ver- 
menigvuldiging worden afgelezen. 

776. Toepassing op het tientallig stelsel. In het tientallig 
stelsel is het laatste cijfer d van den deeler n een der getallen 
/, 5, 7, 9, daar « en 10 onderling ondeelbaar ondersteld zijn. 
Is n' het getal, dat uit n ontstaat door het laatste cijfer te schrap- 
pen, dus n = \0n' -\- d, dan heeft men: 

^ , i9 .n = 9(\ön' +\)= I0(9n' + 1) — 1, 
voor d = \: } ^ ' ^ ' 

(l.n= lO/z'+l, 

^ ^ C3 .n-3(10Az' + 3) =10(3/2' + 1) — 1, 
voor d = 3: } ^ ' ^ 

\l .n = 7(10/2' + 3) - 10(7/2' + 2) + 1, 

' ^ ( 7. /2 = 7(10/2' + 7)= 10(7/2' -f- 5) — 1, 
voor d = 7: l ^ ' ^ ' 

^3 . /z = 3(10/z' + 7) = 10(3/2' + 2) + 1, 

\ .n= 10/2' + 9 = 10( /2'+ 1) — 1, 



voor d = 9: 

9 . /2 = 9(10/2' + 9) = 10(9/2' + 8) + 1. 

Hieruit ziet men, dat inderdaad ieder met 10 onderling ondeel- 
baar getal zoowel een veelvoud van den vorm lOf — / als een 
veelvoud van den vorm lOf + / heeft. Dit kan uit de tafel van 



^) Dit is het cijfer x of x' van n°. 771 resp. 773 al naar gelang we 
den reductiefactor voor het kenmerk door optelling dan wel dien voor 
het kenmerk door aftrekking willen bepalen. 



382 



vermenigvuldiging worden afgelezen zonder dat men zich dan 
verder op de theorie der onbepaalde vergelijkingen te beroepen 
heeft. Deze theorie doet echter zien, dat het resultaat ook voor 
ieder ander talstelsel geldig is. 

777. Uit het in n^. 776 gevondene vloeien onmiddellijk de 
kleinste herleidingsfactoren ƒ en ƒ' voort, die bij de kenmerken 
van n^ 753 resp. 760 behooren. Deze zijn in het volgende 
tabelletje vereenigd. 

Herleidingsfactoren voor den deeler n = lOn' + d. 



d 


ƒ 


f 


1 


9n' + 1 


n' 


3 


3n' + 1 


7n' + 2 


7 


7n' + 5 


3n' + 2 


9 


n'+l 


9n' + 8 



Hieruit is voor lederen met 10 onderling ondeelbaren deeler 
onmiddellijk het bijbehoorende kenmerk van n^. 753 en 760 af 
te lezen. 

778. We laten hier enkele voorbeelden van zulke deelbaar- 
heidskenmerken volgen. De bijbehoorende factoren zijn ook 
zonder de beschouwingen van n^. 776 en 777 (lettend op het in 
n*^. 774 opgemerkte) gemakkelijk uit het hoofd neer te schrijven. 

Een getal a is dan en alleen dan door 7 deelbaar als dit het 
geval is met het getal, dat ontstaat door het laatste cijfer van 
a te schrappen en het overblijvende getal met 5 X dit laatste 
cijfer te vermeerderen of met 2 X dit laatste cijfer te verminderen. 

Een getal a is dan en alleen dan door 13 deelbaar als dit het 
geval is met het getal, dat ontstaat door het laatste cijfer van 
a te schrappen en het overblijvende getal met 4 X dit laatste 
cijfer te vermeerderen of met 9 X dit laatste cijfer te verminderen. 

Een getal a is dan en alleen dan door 17 deelbaar als dit het 
geval is met het getal, dat ontstaat door het laatste cijfer van 
a te schrappen en het overblijvende getal met 12 X dit laatste 



383 

cijfer te vermeerderen of met 5 X dit laatste cijfer te vermin- 
deren. 

Een getal a is dan en alleen dan door 19 deelbaar als dit het 
geval is met het getal, dat ontstaat door het laatste cijfer van 
a te schrappen en het overblijvende getal met 2 X dit laatste 
cijfer te vermeerderen of met 17 X dit laatste cijfer te verminderen. 

Bij het onderzoek der deelbaarheid door 19 zal men natuurlijk 
bij 'voorkeur het kenmerk door optelling toepassen. 

We laten het aan den lezer over de overeenkomstige kenmerken 
voor de deelers 23, 27, 31, enz. te formuleeren. 

779. Voorbeelden ter toelichting. Bij de herhaalde toepas- 
sing van eigenschappen als de in n^ 778 genoemde kan men 
natuurlijk bij een zelfde onderzoek naar deelbaarheid nu eens van 
het kenmerk door optelling en dan weer van dat door aftrekking 
gebruik maken. Wanneer men de keus zoo kan doen, dat het 
ontstaande getal op een nul eindigt, is deze de aangewezene, 
daar men dan direct het getal verder verkleinen kan door die 
nul weg te laten. We laten hier een paar voorbeelden volgen, 
waarbij enkele malen zulk een toevallige vereenvoudiging optreedt: 

6606591096 deelbaar door 7; 



12 


8572922436 deelbaar door 13, 


097 1) 


54 


18 


189 


72 


81 


4 


137 


3 


63 


15 

80 + 


850 

45 


16 


683 


44 
8 


12 
80 + 


56 = 8 . 7 


72 




13 



1) Voor de verdere berekening is het cijfer 7 door O vervangen, het- 
geen op de deelbaarheid door 7 van geen invloed is en een snellere 
verkleining van het getal tengevolge heeft. 



384 

780. Voorbeelden van onderzoek naar deelbaarheid door 
grootere getallen zijn: 

6039478424139 deelbaar door 67 {= ^l); 

180 

233 

_60 _ . 

163 

60 __ 

356 84361251 niet deelbaar door 

120 22 , 73 (- -^4^). 

715 ~ 47 

100 M 

768 

176 



3 



671 
20 

47 



552 + 
44 



140 _ ^ + 



804 
80 



198 
1047 



300 154 

60 _ 258 + 

O 

781. Quotiënt van een opgaande deeling bij de kenmerken 
door optelling of aftrekking. Past men een deelbaarheidsken- 
merk door middel van optelling of aftrekking toe, dan doet de 
bewerking tevens het quotiënt vinden in geval de deelbaarheid 
blijkt te bestaan ^). 

Zij n een deeler van /^ — 1, zoodat voor een zekere waarde van 
X aan (503) voldaan is. Voor de gelijkheid (501) van n^ 753 kan 
dan, zoo men b ^- fc^ = % stelt, geschreven worden: 

a = a^g — CQxn, 



^) Voor de bepaling van de rest eener niet-opgaande deeling ver- 
wijzen we naar n^. 814—817, waar de restbepaling besproken wordt 
voor deelbaarheidskenmerken, waarvan de nu beschouwde bijzondere 
gevallen zijn. 



385 
zoodat voor het gezochte quotiënt wordt gevonden: 

- = ^ ^ - c,x. (507) 

Hiermede is de bepaling van het quotiënt — tot die van het 



n 



a 



quotiënt -^ teruggebracht, waarin a^ voorstelt het getal, dat uit 

a ontstaat door het laatste cijfer te schrappen en dit f -maal bij het 
overblijvende getal op te tellen. Het quotiënt daarvan bij deeling 
door n wordt op dezelfde wijze tot een quotiënt met kleiner 
deeltal teruggebracht, enz. 

782. Het spreekt van zelf, dat in het voorgaande de herlei- 
dingsfactor ƒ ook negatief kan zijn, zoodat de beschouwingen 
van n^. 781 zoowel op kenmerken van deelbaarheid door optel- 
ling als op die door aftrekking betrekking hebben. Is/ negatief 
dan is in (503) ook x negatief; voor die vergelijking schrijven 

we dan: 

rg^\=nx\ 

waarin f' = — f, x^ = — x. De betrekking (507) gaat dan over in: 

n n ^ " 
waarin a^ = b — /Vq. 

783. De bepaling van het quotiënt neemt den eenvoudigsten 
vorm aan als men bij de verschillende onderdeelen der bewerking 
steeds hetzelfde kenmerk gebruikt, dus óf steeds dat door optel- 
ling, óf steeds dat door aftrekking. Zijn dan a^, ^3, a^, ... ., 
üj 1) de getallen, waartoe het gegeven getal a achtereenvolgens 
herleid wordt, zoodat a/+ 1 op dezelfde wijze uit ai wordt afgeleid 
als waarop a^ uit a verkregen is (zie n^. 781). Is verder e, het 
laatste cijfer van ai , dan heeft men de volgende met (507) over- 
eenkomende gelijkheden: 



n 
«3 



g — ^3-^. 



^) aj is dus, als het kenmerk van n^. 753 wordt toegepast, het getal, 
dat we in n^. 772 a! genoemd hebben. 

FRED. SCHUH, Leerboek der Theoretische Rekenkunde. 25 



386 



n n ^ ^ 
Hieruit volgt in verband met (507): 

= ^^' — (e,g' + e,g' + e^g + c,)x = , 



waardoor men ten slotte vindt: 

^=^g — (ej-igJ-^ + ej^2gJ--^ + + ^1^ + ^o)-^ = 

= ^ g^' — X ' ^y-1^7-2 ^2^1 Co; (508) 

hierin stellen ey_i, . . . ., e^, Cq de cijfers van het getal éy_i . . . . 
CiCq voor. 

Past men het kenmerk van n^ 760 toe, dan kan aj ook nega- 
tief zijn (zie het aan het eind van n°. 762 opgemerkte). Blijkens 
het in n^ 771 en 773 gevondene kan men de herleiding zoo ver 
voortzetten, dat de absolute waarde van het quotiënt aj : n uit 
slechts één cijfer bestaat. 

784. De quotiëntbepaling verloopt bij het kenmerk door aftrek- 
king eenvoudiger dan bij dat door optelling doordat in het eerste 
geval X negatief en dus de tweede term van het tweede lid van 
(508) positief is. Die tweede term is, als men het deelbaarheids- 
kenmerk zijn eenvoudigsten vorm geeft, een getal van j ofy + 1 
cijfers, daar — x = x' dan een getal van één cijfer. is (zie n*^. 
773); daar de eerste term van het tweede lid van (508) een 
(positief of negatief) getal is, dat op j nullen eindigt, levert het 
vormen van de som dier termen nagenoeg geen rekenwerk. Is 
nl. X . ej-\ej-2 .... e^c^ een getal van j cijfers, dan bestaat de 
optelling slechts in het voorplaatsen van het cijfer aj : n ^); heeft 
het genoemde getal j + 1 cijfers, dan bestaat de optelling daarin, 
dat het eerste cijfer met aj : n vermeerderd wordt, dus (daar aj dan 



\) Het getal üj is dan positief, daar men anders een negatieve waarde 
voor het quotiënt a : n zou vinden. 



387 

negatief kan zijn) vermeerderd of verminderd met een getal van 
één cijfer. 

785. Voorbeelden ter toelichting. We laten hier in het 
tientallig stelsel enkele voorbeelden der besproken quotiëntbepa- 
ling volgen. Als eerste voorbeeld nemen we het in n^. 779 op 
zijn deelbaarheid door 13 onderzochte getal 8572922436, waar- 
van we zoowel volgens het kenmerk door optelling als volgens 
dat door aftrekking het quotiënt der deeling door 13 bepalen. 



857292243Ö 






857292243^ 


24^ 






54 _ 


67 






\89 


2_8^ 






81 


54 






137 


16^ 






63 


4/ 






850 


' + 






45 


8 






685 


32^ 
6/ 






27 
4/ 


^+' 






9 


80 






45 


_3_2^ 






45 


117 






39 = 3 . 13 


28^ 


De eerste i 


manier (waarbij van 13 = ^ 


39 = 3 . 13 


gebruik 


gemaakt wordt en dus a; = 3 is) 




levert voor 


het quotiënt: 


i09— 3.780181476 = 3, 


10 


9 — 2340544428 = 




— 




659455572. 



De tweede manier (waarbij x' = 7 is) geeft de volgende iets 
eenvoudiger quotiëntbepaling: 

3 . 10« 1) + 7 . 51350796 = 659455572. 



^) Blijkens het in n°. 784 opgemerkte is het bepalen van den 
exponent voor het vormen van de som niet noodig, daar men direct ziet, 
dat het eerste cijfer van 359455572 met 3 vermeerderd moet worden. 



388 



We merken nog op, dat de cijfers x en x\ waarmede de door 
de vet gedrukte cijfers gevormde getallen vermenigvuldigd moe- 
ten worden, onmiddellijk uit het tabelletje van n^. 777 zijn af te 
lezen, nl. als de coëfficiënt van n' in de tweede resp. derde kolom. 

786. In de tweede plaats nemen we het getal uit het eerste 
voorbeeld van n^ 780, waarvan we het quotiënt der deeling door 
67 bepalen. Uit de in n^. 780 voorkomende berekening leest 
men voor dat quotiënt af: 

3 . 30047156339 = 90141469017. 

Verder bepalenwe nog het quotiënt van het getal 16810483952467 



)or 389 (- 350 1)^ ^ 

9 


velke deeling opgaat. 


16810483952467 
2450 




279^ 
2100 




717^ 
3150 




0567 
2450 




560^ 
2100 


Voor het quotiënt wordt 


2460 

2100 


gevonden: 


78924 
1400 

6492 
700 


— 4 . 10^ + 9 . 9246067967 = 
= — A. 10^1) + 83214611703 = 
-43214611703. 


594^ 
3150 





— 1556 z:^ — 4 . 389 

787. De bepahng van het quotiënt met behulp van een deel- 
baarheidskenmerk door optelling of aftrekking als de deelbaar- 



^) De bepaling van den exponent is overbodig, daar men direct 
ziet, dat het eerste cijfer van den volgenden term met 4 verminderd 
moet worden (zie n^. 784). 



389 

heid blijkt te bestaan is van eenig belang voor het geval het er 
om te doen is een groot getal in priemfactoren te ontbinden. 
Het getal wordt dan op zijn deelbaarheid door de opvolgende 
priemgetallen onderzocht en eerst als men een priemgetal gevon- 
den heeft, waardoor het beschouwde getal deelbaar is, moet het 
quotiënt worden bepaald, dat dan verder wordt onderzocht (waarbij 
natuurlijk de priemgetallen, die niet op het oorspronkelijke getal 
deelbaar bleken, buiten beschouwing kunnen blijven). Het werk 
aan de quotiëntbepaling verbonden moet dus beoordeeld worden 
aan hetgeen nog te doen is nadat de deelbaarheid met behulp 
van het kenmerk door optelling of aftrekking is vastgesteld. Dit 
werk nu is belangrijk minder dan het uitvoeren van den gewonen 
algorithmus der deeling. 

Heeft men het quotiënt te vinden onverschilHg of de deeling 
al dan niet opgaat, dan is gewone deeling natuurlijk de aange- 
wezen weg. 



788. Uitgebreide deelbaarheidskenmerken door optelling 
of aftrekking. De beschouwingen van n^ 753, 760, 761 en 
764 — 770 blijven doorgaan als men g door g^ (k > 0) vervangt 
en Cq door het getal / gevormd door de k laatste cijfers van het 
te onderzoeken getal a. Onder b verstaan we dan het door de 
overige cijfers van a gevormde getal, zoodat 

a = bg''-\-l, 
dus: 

a + l(fg'-\) = {b^fl)g^ (509) 

Hieruit leest men af: 

Een getal a is dan en alleen dan door een op fg^ — / deel- 
baar getal n deelbaar als het getal, dat ontstaat door het door 
de k laatste cijfers van a gevormde getal na vermenigvuldiging 
met f bij het door de overige cijfers van a gevormde getal op 
te tellen, door n deelbaar is. 

Voor het geval, dat ƒ negatief is {f = — f), volgt uit (509): 

Een getal a is dan en alleen dan door een op f'g^ + / deel- 



390 

baar getal n deelbaar als dit het geval is met het getal, dat 
ontstaat door het door de k laatste cijfers van a gevormde getal 
na vermenigvuldiging met f' van het door de overige cijfers van 
a gevormde getal af te trekken. 

789. Bij de kenmerken van n^. 788 wordt het te onderzoeken 
getal a met een zoodanig Az-voud vermeerderd of verminderd, nl. 
met l{fg^ — 1) resp. l{f'g^ + 1), dat een door g^ deelbaar (dus 
op k nullen eindigend) getal ontstaat. H^t getal b -\- fl resp. 
b —ƒ7, dat daaruit door deeling door g^ (weglating der k laatste 
cijfers nul) verkregen wordt, moet nu verder op zijn deelbaarheid 
door n onderzocht worden. We noemen deze kenmerken het 
uitgebreide deelbaarheidsl<enmerl< door middel van optelling resp. 
aftrekking. 

Het getal ƒ of f noemen we weer den bij het kenmerk behoo- 
renden herleidingsfactor. Het kenmerk door aftrekking is als 
een kenmerk door optelling met negatieven herleidingsfactor te 
beschouwen. 

Verder noemen we k den bij het kenmerk behoorenden exponent 

790. Bij toepassing van het eerste kenmerk van n^ 788 wordt 
het getal a niet verkleind als men heeft: 

bg^^l^b+fL 
b(g'-\)^l(f-\), 
waarvoor wegens l ^ g^ — 1 kan geschreven worden: 

b<f—\. 

Hieruit volgt: 

a^bg^^-g^—\ ^{f-\)gk-]~gk-i =fg^-\, 
waaruit blijkt, dat fg^ — / het grootste getal is, dat door toe- 
passing van het eerste kenmerk van n^. 788 niet verkleind kan 
worden. 

Verder vindt men op geheel dezelfde wijze als in n^. 762, dat 
fg\gk — /) — / het grootste getal is, dat door toepassing van 
het tweede kenmerk van n^. 788 niet verder verkleind kan worden 
zonder dat een negatief getal ontstaat. 

791. De kenmerken van n^ 788 met herleidingsfactor 1. 

De kenmerken van n^ 788 gaan voor f = \ en ƒ' = 1 in een 
anderen vorm der kenmerken van n^. 715 en 720 over. 



391 

De nieuwe vorm van het kenmerk van n^. 715 is iets minder 
eenvoudig dan de oorspronkelijke, zooals de volgende voorbeel- 
den, die het tweede en derde voorbeeld van n^ 719 in den 
nieuwen vorm zijn, doen zien: 

1841786 deelbaar door 37. 
286^ 

2627 + 5490617855874 deelbaar door 271. 
627 5587 4 



629 = 3 . 37 



62052 

62052 

+ 

62601 =231 . 271 



De herleidingen voeren tot dezelfde getallen (nl. 629 en 62601) 
als de herleidingen van n^. 719. Dat dit het geval moet zijn, is 
onmiddellijk van te voren in te zien, daar beide methoden daarop 
neerkomen, dat men de rest van het oorspronkelijke getal bij 
deeling door 10^ — / resp. W" — / berekent. 

792. De voorbeelden van n^. 721 luiden in den nieuwen vorm: 

468999790987 deelbaar door 7 en door 13. 

987 _ 7313543560279 deelbaar door 101. 

8803 J^ _ 

803 523 



195 



23 



195 _ 32 

273 - 3 . 7 . 13 ^ _ 

11 
n _ 

24 

24 _ 

07 
7 _ 
O 

793. Voorbeelden der kenmerken van n<^. 788. We laten 
hier in het tientallig stelsel eenige voorbeelden van de uitgebreide 
deelbaarheidskenmerken door optelling of aftrekking volgen. 

Het getal 299 = 3 . 10^ — 1 is deelbaar door 23. Het eerste 



392 

kenmerk van n^. 788 geeft dus de volgende berekening om te 
constateeren, dat 53552087931462 door 23 deelbaar is. 

53552087931462 Een toevallige vereenvoudiging 

186 krijgt men hier, doordat bij de 

9500 ~^ eerste optelling aan het eind 

285 twee nullen ontstaan, die direct 

372 ^ weggelaten kunnen worden. 

21_6 

739 + 

117 

474 + 

222 

— + 

276 = 12 . 23 

Als tweede voorbeeld nemen we, dat 299999 = 3 . 10^ — 1 
deelbaar is door 17, waardoor men de volgende berekening ver- 
krijgt om aan te toonen, dat 1085902178345694054236 door 17 

deelbaar is: 

1085902178345694054236 
162708 
619648 + 
58944 
276780 + 
_83034 
191624 = 11272 . 17. 

794. Daar 2001 - 2 . 10^ + 1 deelbaar is door 23 kan het 
eerste voorbeeld van n^. 793 ook met behulp van het tweede 
kenmerk van n^ 788 behandeld worden (waarbij ^ = 3 en ƒ' = 2 
te nemen is). De berekening is dan aldus: 

53552087931462 
924 _ 
.007 
OU __ 

073 
146 _ 
406 
812 _ 
_ 759 = — 33 . 23. 



393 

Evenzoo kan men het tweede voorbeeld van n^. 793 met behulp 
van het tweede kenmerk van n^. 788 behandelen door op te 
merken, dat 40001 door 17 deelbaar is; we laten dit aan den 
lezer over. 

795. Toepasbaarheid der kenmerken van n^. 788 voor 
lederen exponent. De eigenschap van n^. 764 kan aldus worden 
uitgebreid: 

Voor ieder getal n, dat met het grondtal g onderling ondeel- 
baar is, en voor lederen exponent k kan een herleidingsfactor 
gevonden worden, dus een getal ƒ, waarvoor fg^ — / door n 
deelbaar is. 

Dit getal ƒ wordt gevonden door oplossing van de onbepaalde 

vergelijking 

fgf' — nx^X, (510) 

waarvan de coëfficiënten der onbekenden onderling ondeelbaar zijn. 

796. Daar de vergelijking (510) zoowel positieve als negatieve 
oplossingen ƒ heeft, is voor lederen met het grondtal g onderling 
ondeelbaren deeler en voor iedere waarde van den exponent k 
zoowel hei eerste als het tweede kenmerk van n^. 788 toe te 
passen. Men geeft dien kenmerken hun eenvoudigsten vorm 
door ƒ in absolute waarde kleiner dan n te nemen. Is weer f^ 
de kleinste positieve en — f\ de absoluut kleinste negatieve 
oplossing, waarbij f\ = n — ƒ, is, dan neemt men /^ bij het eerste 
en f\ bij het tweede kenmerk van n". 788 als herleidingsfactor. 
Is k> 1, dan heeft het kenmerk alleen dan practische bruikbaar- 
heid als de herleidingsfactor een klein getal is, liefst een getal 
van één cijfer, of b.v. 10 of 11, daar dan de vermenigvuldiging 
met dien factor uit het hoofd kan worden uitgevoerd. 

797. Combineering der beide kenmerken van n^ 788. De 
kenmerken van n^ 788 hebben (blijkens het in n^. 796 gevon- 
dene) boven die van n^. 715 en 720 het groote voordeel dat 
men daarbij niet aan een bepaalde waarde van k gebonden is 
en men dus den exponent k doelmatig kan kiezen in verband 
met het aantal cij'fers van het getal a, züelks deelbaarheid moet 
worden onderzocht. Hoe grooter dit aantal cijfers is des te grooter 
zal men ook k nemen. 



394 

Het is dus voordeelig het getal k in den loop der berekening 
door een kleiner getal te vervangen als het aantal overblijvende 
cijfers te klein geworden is voor het aanvankelijk gekozen getal k. 

798. Als regel kan men geven, dat het doelmatig is bij ieder 
onderdeel der berekening het getal k zoo te nemen, dat 2k weinig 
van het aantal nog overgebleven cijfers verschilt, iets dat de 
lezer gemakkelijk zal inzien. Op de keus van k zal echter de 
waarde van den bijbehoorenden herleidingsfactor ƒ of ƒ' ook nog 
van invloed zijn, daar men voor dien factor een klein getal 
wenscht. 

Verder kan men bij de opvolgende verkleiningen van het aantal 
cijfers nu eens het eerste en dan weer het tweede kenmerk van 
n^. 788 toepassen. De keus hangt daarbij van de waarde der 
herleidingsfactoren ƒ en f af (verg. n^ 767). 

799. Tafel voor de toepassing der uitgebreide kenmerken 
door optelling en aftrekking. Om de kenmerken van n^ 788 
het doelmatigst te kunnen toepassen en combineeren, ook voor 
grootere waarden van k, moet men beschikken over een tafel, 
die voor verschillende waarden van k en verschillende {met g 
onderling ondeelbare) deelers n de bijbehoorende factoren f en ƒ' 
aangeeft. 

Dit wordt een tafel met dubbelen ingang. De kolommen 
behooren bij een zelfde waarde van k, de rijen bij een zelfde 
waarde van n. In het gemeenschappelijke vak van zulk een 
kolom en rij zijn de bijbehoorende factoren ƒ en f' opgenomen. 

In de lafel worden de getallen f als negatieve getallen ƒ 
geschreven. Voor ieder getal f' staat dus het teeken — , terwijl 
(overeenkomstig het in n^. 569 opgemerkte) voor ieder getal ƒ 
het teeken + geplaatst kan worden. De teekens + en — geven 
dan tevens aan, dat na vermenigvuldiging met f eên optelling 
en na vermenigvuldiging met f' een aftrekking moet worden uit- 
gevoerd. 

800. Voor het tientallig stelsel laten we hier zulk een tafel 
volgen voor de waarden 1, 2, 3, . . . ., 10 van k en voor de 
deelers n, die kleiner zijn dan 100 en onderling ondeelbaar met 



395 



10; de waarden 3, 9 en 11 van n zijn weggelaten, daar de in 
n^. 704 en 722 genoemde kenmerken van deelbaarheid door die 
getallen aan eenvoudigheid niets meer te wenschen overlaten. 

Inzonderheid is de tafel van belang voor getallen n, die een 
macht van een prlemgetal zijn (zie n^. 703), waarom deze getal- 
len vet gedrukt zijn. De getallen ƒ en ƒ' zijn niet steeds beide 
in de tafel opgenomen; is b.v. vermenigvuldiging met ƒ zeer be- 
slist minder eenvoudig dan vermenigvuldiging met ƒ', dan is 
alleen het getal f opgenomen. 



Tafel voor kenmerken van deelbaarheid voor deelers 
beneden 100. 




396 



\ 


1 
12 3 4 


j 
5 6 


7 8 9 10 

1 1 i ! 


39 


+ 4 


+ 16 


+ 25 
— 14 


+ 22 
- 17 


+ 10 


+ 1 


+ 4 


+ 16 


+ 25 
- 14 


+ 22 
— 17 


41 


— 4 


+ 16 
-25 


+ 18 


+ 10 


+ 1 


- 4 


+ 16 
-25 


+ 18 


+ 10 


+ 1 


43 


+ 13 
-30 


— 3 


+ 4 


+ 9 


— 12 


+ 16 


- 7 


— 5 


+ 21 
-22 


+ 15 


47 


- 14 


+ 8 


-18 


+ 17 
-30 


- 3 


— 5 


+ 23 
— 24 


+ 7 
-40 


— 4 


+ 9 


49 


+ 5 


+ 25 
-24 


+ 27 
-22 


- 12 


- 11 


- 6 


+ 19 
-30 


- 3 


- 15 


+ 23 


51 


— 5 


+ 25 


+ 28 
-23 


+ 13 


- 14 


+ 19 
-32 


+ 7 


+ 16 


+ 22 


- 8 


53 


+ 16 


- 9 


+ 15 


-25 


+ 24 


+ 13 
— 40 


- 4 


— 11 


- 17 


- 7 


57 


+ 40 
- 17 


+ 4 


— 11 


+ 16 


+ 13 


+ 7 


- 5 


+ 28 
-29 


-20 


- 2 


59 


+ 6 


-23 


- 20 


— 2 


- 12 


- 13 


+ 40 
- 19 


+ 4 


+ 24 


+ 26 
— 33 


61 


- 6 


-25 


+ 28 
— 33 


+ 15 


+ 32 
— 29 


~ 9 


- 7 


— 19 


- 8 


- 13 


63 


-f- 19 


— 17 


- 8 


-26 


+ 10 


+ 1 


+ 19 


- 17 


- 8 


— 26 


67 


-20 


- 2 


+ 40 
-27 


+ 4 


- 13 


- 8 


+ 26 


t 16 


+ 15 


+ 35 
-32 


69 


+ 7 


-20 


- 2 


- 14 


+ 40,+ 4 
— 291 


^28 


- 11 


- 8 


+ 13| 


i 
71 


- 7 


-22 


+ 12 


— 13 


+ 20 


+ 2 


- 14 


+ 27 


+ 24 


- 26 


73 

n 


+ 22 


— 27 


— 10 


- 1 


-22 


+ 27 


+ 10 


+ 1 


-h22 


-27 


— 23 


- 10 


— 1 


+ 23 


+ 10 


+ 1 


-23 


— 10 


— 1 


+ 23 


79 


+ 8 


— 15 


+ 38 
-41 


- 12 


— 17 


+ 22 


+ 18 


— 14 


-33 


-27 



397 



\^ 1 

X H 2 3 


4 15 6 7 8 9 10 


81 _ 8|-17 


+ 55 
— 26 


1+37 
— 35 — 44 


+ 28 


+ 19 


+ 10 


+ 1 


- 8i 

1 


83 


+ 25 i + 44 
-39 


+ 21 


+ 27 


+ 11 


+ 26 


— 14 


- 18 


-35 


+ 38 
- 45 


S7 


— 26 


1 
— 20—2 


-35 


-h40 


-1- 4 


- 17 


+ 7 


— 8 


+ 34: 


89 


+ 9 


+ 17 

- 8j 


- 25 


+ 42 
— 47 


+ 22 


+ 20 


+ 2 


+ 18 


1 
- 16l 


91 L 9 

i 


— 10 


— 1 


+ 9 


+ 10 


+ 1 


- 9 


— 10 


- 1 


+ 9 


93 


+ 28 


+ 40 


+ 4 


+ 19 


i+16 
-26| 


- 17 


— 11 


— 29 


+ 25; 

i 
1 


97 

1 


-29 


-32 


+ 55 
— 42 


+ 54 
— 43 


— 14 


+ 18 


+ 60 
— 37 


+ 6 


+ 20 


-i- 2 


99|+10|+ 1 


+ 10 


+ 1 


+ 101+ l|+ 10 

i 


+ 1 


+ 10 


+ 1! 



10^— 1, 
10^+ 1, 

- 11, — 



6 
10 



10^ + 1, 
IQio + 1 

10 kun- 



801. Berekening der tafel van n^ 800. Om de beteekenis 
en de wijze van vervaardiging der tafel van n'^. 800 nader toe te 
lichten nemen we als voorbeeld n = 23. De daarbij behoorende 
rij wijst aan, dat de getallen 

7 , 10 — 1, 3 . 102— 1, 2 . 10^ + 1, 9 
4 . 10^ — 1, 5 . 107— 1^ 11 , 108+ 1^ 8 
alle door 23 deelbaar zijn. 

De getallen 7, 3, — 2, 9, — 6, 4, 5, 
nen door het oplossen der onbepaalde vergelijking 

ƒ. 10* — 23x= 1 
voor ^ = 1, 2, 3, . . . ., 10 verkregen worden. 

802. Eenvoudiger is het echter meer probeerenderwijs te werk 
te gaan. Voor /z = 23 vindt men het getal uit de kolom k = 1 
door een veelvoud van 23 te zoeken, waarvan het laatste cijfer 
1 of 9 is; men komt dan tot 3 . 23 - 69 = 7 . 10 — 1 (verg. 
n\ 776 en 777). Om nu daaruit een getal/. 10- — 1 of/ . 10~+ 1 
af te leiden, dat door 23 deelbaar is, bepalen we een veelvoud 



398 

van 23, dat op 3 of 7 eindigt. Zulk een veelvoud is 23, hetgeen 
tot het door 23 deelbare getal 

(7. 10— 1) + 23 . 10 = 3 . 102— 1 
voert. Daaruit vindt men weer het door 23 deelbare getal 
23 . 102 — (3 . 102 — 1) = 2 . 10^ + 1. 
Om daaruit een door 23 deelbaar getal ƒ .10^+1 of/ . 10^-1 
af te leiden zoeken we een veelvoud van 23, dat op 2 of 8 
eindigt. Zulk een veelvoud is 4 . 23 = 92, zoodat het getal 

92 . 10^ — (2 . 10^ + 1) = 9 . 10^ — 1 
door 23 deelbaar is. Men zoekt vervolgens een veelvoud van 
23, dat op 1 of 9 eindigt, enz. 

Op de in n". 803 — 808 aangegeven wijze kan de berekening 
echter nog verder vereenvoudigd worden. 

803. Eenvoudiger berekening der herleidingsfactoren. We 

onderstellen verder het grondtal g van het talstelsel willekeurig 
en nemen aan, dat ƒ zoo bepaald is, dat fg — 1 door n deel- 
baar is (zie het tabelletje van n^ 777), dus dat ƒ de bij k = l 
behoorende herleidingsfactor is. 

Wegens de deelbaarheid van (fg)^ — 1, of f^g^ — 1, door f g — 1 
is dan ook f^g^ — 1 door n deelbaar. Hieruit blijkt, dat f^ de 
bij een willekearigen exponent k behoorende her leidings factor is 
als f den bij k = 1 behoorenden herleidingsfactor voorstelt. De 
gevonden factor /^ kan nu natuurlijk verder nog in absolute 
waarde worden verkleind door vermeerdering met een (positief 
of negatief) veelvoud van n (zie n^ 765). 

804. Het in n^ 803 gevondene kan ook zoo worden uitge- 
drukt, dat de bij k = 2, 5, 4, enz. behoorende herleidingsfactoren 
resp. de resten zijn van ƒ2, f^, /^, enz. bij deeling door n als f 
de bij k = 1 behoorende her leidings factor is. Die factoren kun- 
nen dus op de in n^. 744 — 746 besproken wijze berekend wor- 
den; slechts is er dit verschil, dat men nu niet van het grond- 
tal van het talstelsel, maar van het getal ƒ uitgaat, hetgeen echter 
geheel bijkomstig is ^). 



^) In n^. 809 zal blijken, dat de factoren t)ok resten van machten 
van het grondtal zijn. 



399 

Uit het voorgaande blijkt, dat de herleidingsfactoren ƒ, die in 
een zelfde rij der tafel van n^. 800 voorkomen (das bij een 
zelfde getal n behooren) een periode van resten (zie n^ 733) 
vormen, zoo die rij slechts ver genoeg wordt voortgezet. 

805. Uit het in n^ 804 gevondene blijkt, dat, als men op een 
factor 1 komt, de voorafgaande herleidingsfactoren in dezelfde 
volgorde terugkeeren. Dit beteekent, dat, als g^ — / ^) en fg^ — / 
beide door n deelbaar zijn, dit ook met fg^-^^ — 1 het geval is, iets 
dat trouwens ook onmiddellijk is af te lezen uit: 

^fgk.t _ 1) _(/^-._ \)^fgk(gt _ 1). 

In de tafel is het repeteeren der herleidingsfactoren waar te 
nemen voor 

n = 7, 13, 21, 27, 33, 37, 39, 41, 63, 73, 77, 81, 91, 99, 
terwijl dit ook voor de overige waarden van n het geval zou 
zijn zoo de tafel voor grootere waarden van k was voortgezet. 

806. Komt men op een herleidingsfactor — /, dan keer en de 
voorafgaande factoren met tegengesteld teeken terug (zie n*^. 741). 
Dit beteekent, dat, als g^' -^ 1 en fg^ — / beide door n deelbaar 
zijn, ook fg^^^' + / door n deelbaar is, zooals ook onmiddelijk uit 

^fgk.i' ^ 1) ^ ^fgk _x)= fg\g''^- 1) 
is af te lezen. 

In het beschouwde geval is het aantal her Ie idings f actoren eener 
periode even ^). Is omgekeerd dit aantal even, dan komt er stellig 
een factor — 1 zoo n een macht van een oneven priemgetal is 
(zie n^. 741). In de tafel van n^ 800 is dit waar te nemen voor 
n = 7, 13, 17, 19, 73. 

Voor andere waarden van n kan echter het aantal factoren 
eener periode even zijn zonder dat een factor — 1 verschijnt. Is 
g even, dus n oneven (wegens de onderlinge ondeelbaarheid van 
g en n), dan kan zich dit geval alleen voordoen als n door 
minstens twee oneven priemgetallen deelbaar is. De tafel wijst 



^) Hierin is t het aantal resten eener periode behoorende bij machten 
van g, dus het door de tafel van n^. 747 aangegeven getal. 

^) NI. 2t' als t' het kleinste getal is, waarvoor g^^ -\- 1 door // deel- 
baar is. 



400 

dit geval aan voor n = 21, 33, 39, 63, 99. Zooals men aan n = 77 
of 91 ziet, kan echter ook bij een door meerdere oneven priem- 
getallen deelbaar getal n een herleidingsfactor — 1 optreden. 

807. De beschouwingen van n^ 803—806 leveren het een- 
voudigste middel om de bij ^ = 2, 3, 4, enz. behoorende factoren 
te berekenen (waarbij men nog op de in n^. 744—746 gemaakte 
opmerkingen te letten heeft). Evenals in n». 802 nemen we als 
voorbeeld n = 23. Duiden we den bij den exponent k behoo- 
renden factor door fk aan en heeft men (volgens het tabelletje 
van n^ 777) gevonden f^ = 7, dan is de verdere berekening: 

ƒ2 =/i' — 2 . 23 = 3, 

fs =fiA -23^-2, 

ƒ9 = ƒ3 /e = — 8, 

808. Bovendien is nog een vereenvoudiging aan te brengen 
als men een door 10 deelbaren herleidingsfactor vindt. De vol- 
gende factor wordt dan nl. eenvoudig verkregen door eerstge- 
noemden factor door 10 te deelen. Immers behoort bij een zekere 
waarde van k de factor \0d, dan is \0d . 10^ — 1, dus ^ . 10*+^ — 1, 
door n deelbaar, zoodat d de bij den exponent k ^ \ behoorende 
factor is. 

Als voorbeeld nemen we n = 93. Daarvoor wordt gevonden 
ƒ2 = 40, waaruit men direct tot ƒ3 = 4 besluit. Zonder deze 
opmerking zou de berekening van ƒ3 aanmerkelijk minder een- 
voudig geweest zijn, nl. aldus: 

ƒ3 = fiA — 12 . 93 = 28 . 40 — 12 . 93 = 4. 

Als tweede voorbeeld nemen we n = 57. Volgens het tabelletje 
van n^ 777 is fi = — 17. Het is nu echter voordeelig deze 
waarde door de absoluut grootere waarde 40 te vervangen, daar 
men dan direct vindt ƒ2 ^ 4 (hetgeen eenvoudiger is dan de 
berekening van f^ uit 17^). 



401 

809. Verband tusschen de tafels van n^. 743 en 800. Is t 

het kleinste natuurlijke getal, waarvoor g^ — 1 door n deelbaar 

is, dus ,het aantal verschillende resten, die g, ^^ ^^ enz. bij 

deeling door n opleveren, dan is voor k ^ t het getal 

gt-kgk _ 1 

door n deelbaar. Hieruit blijkt, dat de bij den exponent k 
behoorende herleidingsfactor g^-^ is of een getal, dat daaruit 
door vermeerdering met een /z-voud ontstaat. Neemt men den 
herleidingsfactor zoo klein mogelijk, dan is deze dus de rest der 
deeling van g^-^ door n. We zien dus, dat de bij k = I, 2, 3, 
. . . ., t behoorende herleidingsfactoren niets anders zijn dan de 
resten van 

g'~\ g'-\ g'-\ . . . ., ^, / 

bij deeling door n ^). 

Voor de berekening dier factoren, zoo men deze in een beperkt 
aantal wenscht, is het echter aangewezen niet de machten van 
g, maar (zooals in n^. 803 en volg. is aangegeven) die van den 
bij k = \ behoorenden herleidingsfactor te berekenen, daar men 
anders juist de herleidingsfactoren, waarom het te doen is, het 
laatst vindt. 

810. Uit het in n^ 809 gevondene blijkt, dat de periode der 
bij k = l, 2, 3, .... behoorende her leldingsf actoren A, ƒ2, ƒ3, 
. . . ., das de periode der resten van A, A^, ƒl^ . ... bij deeling 
door n, dezelfde Is als de In n^. 736 en volg. beschouwde periode 
der resten van machten van het grondtal g, maar In omgekeerde 
volgorde. 

Is dus eenmaal de tafel van n^. 743 samengesteld, dan kan 
men daaraan onmiddellijk de in de tafel van n^ 800 opgenomen 
herleidingsfactoren ontleenen voor de getallen n, die een macht 
van een priemgetal zijn. Zoo geeft de tafel van n''. 743 als 
periode der resten van machten van 10 voor n = A\ de getallen 
10, 18, 16, — 4, 1, waaruit men voor de bij n == 41 behoorende 
herleidingsfactoren vindt — 4, 16, 18, 10, 1. Evenzoo vindt men 



^) Ook hieruit blijkt onmiddellijk, dat, als een herleidingsfactor door 
g deelbaar is, de volgende factor daaruit door deeling door ^ gevonden 
wordt (zie n^. 808). 

FRED. SCHUH, Leerboek der Theoretische Rekenkunde. 26 



402 

uit de door de tafel van n°. 743 opgegeven resten — 7, — 2, 
— 3, 4, 6, — 8, 5, — 1 voor n = \7 de volgende herleidings- 
factoren — 5, 8, — 6, — 4, 3, 2, 7, — 1, zooals gemakkelijk is 
na te gaan door de periode der resten van machten van 10 
volledig uitgeschreven te denken. 

In het bijzonder blijkt uit het voorgaande, dat de tafel van 
n^. 747 ook aangeeft de aantallen verschillende her leidings facto ren ^ 
welke bij een gegeven getal n behooren als men de tafel van n^. 
800 voor voldoend groote waarden van k voortzet, dus dat ze 
de aantallen herleidingsf actoren eener periode geeft. 

811. Voorbeelden ter toelichting. We laten hier eenige 
voorbeelden volgen, die met behulp van de tafel van n^. 800 
behandeld zijn: 

2746975223418354621 deelbaar door 99. 

4183546210 , 

6930521433 

M33 + 1 

4485 Het is hierbij allicht eenvoudiger 

85 , afzonderlijk de kenmerken van 



7029 deelbaarheid door 9 en door 11 

29 toe te passen (zie n^. 704 en 

99 + ^ 722). 

812. Als tweede voorbeeld diene: 

1868530025427316484931093 deelbaar door 57. 
12969862186 _ 

40032680545 Men kan bij dit voorbeeld 

13402725 ^ ook eerst de deelbaarheid 

5281278 door 3 constateeren en 

^Q^^ _ j 2 daarna het getal op zijn 

2223 deelbaarheid door 19 onder- 

^ _l_ 4 zoeken. De berekening 

114 = 2 . 57 wordt dan aldus: 



1) De getallen -f- 10, + 1, enz. geven de herleidingsfactoren aan 
behoorende bij het uitgebreide kenmerk door optelling, zoodat bij een 
kenmerk door aftrekking de herleidingsfactor door een negatief getal 
wordt voorgesteld (zie het voorbeeld van n^. 812). 



403 

1 8685300254273 1 648493 1 093 
484931093 



29540496223 
2481115 
4371839 
5517 . 



— 1 



2920 

4 



+ 2 
133 = 7 . 19. 

Eenvoudiger is het echter rechtstreeks het kenmerk van deel- 
baarheid door 57 toe te passen. 

813. Als verdere voorbeelden (waarbij de deeler een priemgetal 
of een macht van een priemgetal is) nemen we: 

29739797350216452576 deelbaar door 27. 
216452576 , . 



956249926 
499260 



798822 
822 



+ 1 
8 



1620 
16_ 
O 

17924390521863420576879421503 deelbaar door 89. 
1588430 06 
793048774 "^ ^ 
186097548 



625149735 
50299470 
50317396^^ 
768 g 
2405 

'' 8 



+ 2 



4984 

36 

53Ï + 9 
36 
89 + 9 



404 

85281843296458205478675934382 deelbaar door 49. 
2278031 46 

354251640 "~ ^ 
1062754 92 
712157472"^ 
944832 (aftrekking met positieve getallen niet 

92120 ~ ^ mogelijk) 
300 

392 "^ ^^ 
10 
49^^ 

Bij deze berekening doet zich bij de derde aftrekking het geval 
voor, dat de aftrekker grooter is dan het aftrektal, iets dat natuur- 
lijk geen bezwaar oplevert. 

In de voorgaande voorbeelden geeft de toepassing der deel- 
baarheidskenmerken, in vergelijking met de rechtstreeksche dee- 
ling, een niet onbelangrijke bekorting. 



814. Rest der deeling bij de kenmerken door optelling en 
aftrekking. Uit de betrekking (509) van n^ 788 ziet men, dat 
de getallen a en {b -{- fl)g^ bij deeling door n dezelfde rest ople- 
veren {n is deeler van fg'' — 1). Is f de rest van b -^ fl bij 
deeling door n, dan is dus de rest r der deeling van a door n 
dezelfde als van r'g^. 

Het voorgaande geldt eveneens als ƒ negatief is (ƒ = — ƒ0, 
dus zoowel voor het eerste als voor het tweede kenmerk van 
n^. 788. Is bij toepassing van laatstgenoemd kenmerk b — f'l 
negatief (zooals bij de derde aftrekking van het laatste voorbeeld 
van n^ 813, welke aftrekking met positieve getallen niet mogelijk 
is) en r" de rest der deeling van f'l — b door n, dan is de rest 
der deeling door n voor het getal a dezelfde als voor — f'g^. 

815. Uit het in n^ 814 gevondene volgt nu: 

Komt men na de verschillende optellingen en aftrekkingen, die 



405 

overeenkomstig de kenmerken van n^. 788 worden uitgevoerd, op 
een rest, waarvan de absolute waarde s is, dan is de rest der 
deeling van het oorspronkelijke getal a door n dezelfde als van 
(— lysg"", dus van 

(— irsru, 
waarin u voorstelt het totale aantal aan het eind weggelaten 
nullen, ru de rest der deeling van ^" door n en w het aantal 
malen, dat b — ƒ7 negatief is uitgevallen {dus het aantal aftrek- 
kingen, die met positieve getallen niet mogelijk zijn). 

816. Voorbeelden ter toelichting. Als voorbeeld van de 
besproken restbepaling vragen we naar de rest van 

538976042312904153762248357880000 

bij deeling door 73. De berekening is de volgende: 

5389760423 1 2904 1 53762248357880000 
24835788 
28989550 ^ ^ 

92898955 

+ 1 



9068941267 

1267 

1 



5627 

5627 (aftrekking met positieve getallen niet 

237 ~~ ^ mogelijk) 
3 . 73 = 219 
18 

In het geheel zijn 29 nullen geschrapt, terwijl eenmaal de 
aftrekker grooter dan het aftrektal was (dus ^^ = 29, w =^ 1). De 
gevraagde rest is dus, volgens de eigenschap van n^ 815, dezelfde 
als die van — 18 . lO^^. Daar 10» als rest 1 en 10* als rest — 1 
oplevert (hetgeen ook uit de tafel van n^ 800 is af te lezen), 
is van 10^9 = (10»)^ . 10* . 10 de rest — 10. De gevraagde rest 
is dus dezelfde als die van — 18 . (— 10) = 180, dus -34. 

817. Als tweede voorbeeld vragen we naar de rest van 
1 09702 1 359 1 7658842674230429 
bij deeling door 19, Dit geeft de volgende berekening: 



406 

1 09702 1 359 1 7658842674230429 
674230429 



243428413 



1 



2434284 13 (aftrekking met positieve getallen 

133726278 ~ ^ niet mogelijk) 
18834 

^62 - ^ (^^'^) 

-550 + 2 
3. 19 = 57 

2 (idem) 

Hier is u = 24 en w = 3, zoodat de gevraagde rest dezelfde 
is als die van — 2 . 10^^ dus van — 2 . 10^ (daar 10^^ een rest 
1 geeft). Volgens de tafel van n^. 743 geeft 10^ bij deeling door 
19 een rest — 8 (hetgeen ook is af te leiden uit de tafel van 
n^ 800, nl. uit den herleidingsfactor behoorend bij ^ = 9 — 6 = 3) ^), 
zoodat voor de gevraagde rest — 2 . ( — 8) = 16 gevonden wordt 
(of — 3, wat op hetzelfde neerkomt). 

De lezer overtuige zich, dat op deze wijze de gevraagde resten 
sneller gevonden worden dan door rechtstreeksche deeling. 

818. Quotiënt van een opgaande deeling bij de uitgebreide 
kenmerken door optelling en aftrekking. Op soortgelijke wijze 
als in n^ 781 — 784 kan ook bij toepassing der meer algemeene 
deelbaarheidskenmerken van n^. 788 het quotiënt bepaald worden 
in geval de deelbaarheid blijkt te bestaan. 

Is n een deeler van fg^ — 1, is dus voor een zekere waarde van 
n aan de vergelijking (510) van n^ 795 voldaan, dan kan voor 
de gelijkheid (509) van n*^. 788 geschreven worden: 

a = a-^g^ — lxn\ (511) 

hierin is a^ — b + fl, dus het getaly waartoe a door toepassing 



^) Uit de door de tafel van n^. 800 opgegeven herleidingsfactoren 
volgen nl. omgekeerd de resten der machten van 10, en wel is de rest 
van 10 gelijk aan den herleidingsfactor behoorend bij k = t — / (zie 
n*^. 809), of, voor het geval dat t = 2t' is, gelijk aan het tegengestelde 
van den hedeidingsfactor behoorende bij k = t' — / (waarbij / < t' 
ondersteld wordt). 



407 

van het deelbaarheidskenmerk herleid wordt, terwijl / voorstelt 
het getal gevormd door de k laatste cijfers van a. 
Uit (511) vindt men voor het gezochte quotiënt: 

^=^^^-/x, (512) 

waarmede de bepaling van het quotiënt a : n tot die van het 
quotiënt a^ : n teruggebracht is. Zoo kan men doorgaan. 

Het spreekt weer van zelf, dat ƒ ook negatief kan zijn (in welk 
geval ook x negatief is), zoodat de voorgaande beschouwingen 
ook op het tweede kenmerk van n^ 788 betrekking hebben. 

819. Past men bij den volgenden stap der bewerking (dus bij de 
herleiding van het getal a^ van n^. 818) het kenmerk met den expo- 
nent k^ en den (positieven of negatieven) herleidingsfactor /^ toe en is 

dan vindt men evenzoo: 

^=^5*1 -4^1. (513) 

waarin l^ het getal is gevormd door de k-^ laatste cijfers van a^ en a^ het 
getal, dat ontstaat door het door de overige cijfers van a^ gevormde 
getal met fj^ te vermeerderen (dus het getal, dat uit a na tweema- 
lige herleiding ontstaan is). Uit (512) en (513) leidt men af: 

n n ^ ^ ^^ 

Evenzoo vindt men na de derde herleiding (met exponent ^2) • 

|- = ^ ^'^'^"'2 — 4-^2^'"'^ — k^ig' — ix^ 

enz. 

Het is weer het voordeeligst de herleidingsfactoren ƒ, /i, ƒ2,. 
enz. alle negatief te kiezen (dus steeds het tweede kenmerk van 
-«^. 788 toe te passen), daar dan ook x, x^, x^, enz. alle negatief 
worden en dus het quotiënt door optelling van eenige (positieve) 
getallen gevonden wordt. 

820. Neemt men bij de toepassing van een der kenmerken 
van n^. 788 den exponent k eenigszins groot (grooter dan het 
aantal cijfers van den deeler /i), dan zal het getal a', waarvoor 
aan de vergelijking (510) van n^ 795 voldaan is, uit meerdere 



408 

cijfers bestaan, hetgeen de berekening van het product lx (waar- 
van de factor / eveneens uit meerdere cijfers bestaat) min of meer 
bewerkelijk maakt. In nog sterkere mate is dit het geval als 
men bij de verschillende herleidingen verschillende exponenten 
kiest (zooals bij de voorbeelden van n^ 811 — 813), daar dan ook 
de getallen x, x-^, Xg, enz. verschillend zijn en dus niet (zooals 
in n^. 783) de verschillende vermenigvuldigingen door één enkele 
vermenigvuldiging kunnen worden vervangen. Daarbij komt nog, 
dat men voor de quotiëntbepaling met willekeurige exponenten 
niet alleen zou moeten beschikken over een tafel der herleidings- 
factoren (die van n^. 800), maar ook over een tafel, die voor 
verschillende deelers en verschillende exponenten de getallen x 
opgeeft. Dit maakt de besproken quotiëntbepaHng voor grootere 
waarden van k vrijwel onbruikbaar, als achterstaande bij gewone 
deehng, zooals de voorbeelden van n^ 821 doen zien. 

821. Voorbeelden ter toelichting. In het eerste voorbeeld 
van n^ 813 is gebruik gemaakt van de deelbaarheid der getallen 

10» — 1, 10 . 10^ — 1, 10^ — 1, 8 . 10 + 1 
door 27; de quotiënten zijn resp.: 

37037037, 37037, 37, 3. 
Volgens het in n^. 819 gevondene is dus het verlangde quotiënt: 
2.3. 1018 — 822 . 37 . lO^^ — 49926 . 37037 . 10^ — 

— 216452576 . 37037037. 
De becijfering hiervan is bewerkelijker dan gewone deeling. 

Bij het tweede voorbeeld van n^ 813 is gebruik gemaakt van 
de deelbaarheid van , . 

2 . 108— 1, 8. 102+ 1, 9 . 10- 1 

door 89, waarbij de quotiënten resp. zijn: 

2247191, 9, 1. 
Voor het quotiënt wordt dus gevonden: 

1030 _ 4 ^ 1029 _ 4 , 1028 + 9 (5 . 1026 + 96 . 1024) _ 
— 2247191 (25149735 . lO^^ + 93048774 . 10^ + 79421503) = 
1030 _ 44 ^ 1028 + 9 . 596 . lO^* — 2247191 . 251497359304877479421503. 

Ook hier is gewone deeling te verkiezen. 

822. De in n^. 818 en 8Ï9 besproken quotiëntbepaling levert 



409 

echter voordeel op als men bij alle herleidingen denzelfden expo- 
nent en denzelfden herleidingsfactor (dezen laatsten liefst negatief) 
gebruikt en den exponent zoo klein neemt, dat het getal x 
slechts uit enkele (b.v. een of twee) cijfers bestaat. 

Zoo is bij het eerste voorbeeld van n'^. 793 x = 13 (wegens 
299 = 13 . 23). De in n^ 793 voorkomende berekening levert 
dus voor het quotiënt: 
12 . 10^2 — 13 . 743972950062 = 12 . 10^^ _ 9671648350806 = 

= 2328351649194. 
De berekening van n^ 794 (waarbij van 2001 = 87 . 23 gebruik 
gemaakt is) doet hetzelfde quotiënt aldus vinden: 
— 33 . W + 87 . 406073007462 = 
= — 33 . 10^2 + 35328351649194 = 2328351649194. 

823. De quotiëntbepahng wordt even eenvoudig als die van 
n^ 781—784 als het getal x slechts uit één cijfer bestaat. We 
laten hiervan een voorbeeld volgen, waarbij k = 2 is: 

20788314968102357 deelbaar door 67. 

lA^ -9 
090^ 

785 ^ 

1^_9 

2977 

l^i _ . 

675 

Voor het quotiënt wordt (wegens 

i^^ _ 2 201 = 3 . 67) gevonden: 



636 

72 



2 . 10^* + 3. 36757785910957 = 
2 =310273357732871. 

134 = 2 . 67 Nadat de deelbaarheid door 67 

geconstateerd is loopt deze quotiëntbepaling aanmerkelijk sneller 
dan gewone deeling. 

824. Toepassing op de ontbinding van een getal in priem- 
factoren. Om een getal a in priemfactoren te ontbinden onder- 
zoekt men achtereenvolgens of a door 2, 3, 5, 7, 11, enz. deelbaar 



410 

is; hierin zijn 2, 3, 5, 7, 11, enz. de naar de grootte gerang- 
schikte priemgetallen, die we door /7j, p^, p^, enz. voorstellen. 
Men heeft nu: 

Het getal a is priem als het door geen der priemgetallen p^, 
/72, . . . ., pk deelbaar is en voldaan is aan: 



£] 



„ ,^A.i. (514) 

Immers uit (514) volgt: 

a < (M + ik ^ (Pk.i + \)Pk ^ 

^ (Pk^x + 1) {pk+i — 1) = pl+\ — 1, 
dus: 

a<pl^u 

Volgens de eigenschap van n°. 196 is a dus een priemgetal. 

825. De eigenschap van n^. 824 is vooral van nut als men 
de deelbaarheid door gewone deehng onderzoekt, daar men dan 
ook de partiëele quotiënten der niet-opgaande deelingen vindt. 

Als voorbeeld nemen we a = 2531. De deelingen daarvan 

door 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 en 47 

blijken niet op te gaan, terwijl men voor het laatste quotiënt, 

r25311 
dus voor ~~JY~ ? vindt 53, d. i. het op 47 volgende priemgetal. 

Bijgevolg is 2531 priem. 

826, Dat 2531 niet door 2, 3, 5 en 11 deelbaar is, ziet men 
onmiddellijk uit de bijbehoorende kenmerken van deelbaarheid. 
Dat deelbaarheid door 7, 13, ... ., 47 niet bestaat, .blijkt met 
behulp van het tabelletje van n^. 777 of de tafel van n^. 800 aldus: 



2531 


(7) 


2 






— 2 


r 




2 




23" 


-2 


2531 


(23) 


1 

26Ö 


+ 7 



2531 
9 
44 ' 


(13) 
-9 


36 


r\ 


12 


- 9 


253] 


i (29 


3 

6 


+ 3 


43^^ 



2531 (17) 
^ 5 


2531 (19) 

1- 


^^ 5 
Ï6 ^ 


^^ 


2531 (37) 

-11 -n 

176 


2531 (41) 

4-* 


49 


S-* 



411 

2531 (43) 2531 (47) 

30 _ 14 

23 ""^^ 239"^^ 

^^ + 13 

De tusschen haakjes geplaatste getallen wijzen de deelers aan, 
waarvan de deelbaarheid op 2531 wordt onderzocht. Den deeler 
31 hebben we overgeslagen, daar onmiddellijk te zien is, dat 
2531 niet door 31 deelbaar is; men kan nl. direct de laatste twee 
cijfers van 2531 schrappen. 

827. Zooals het volgende voorbeeld doet zien kan men soms 
nog enkele bekortingen aanbrengen. Heeft men geconstateerd, 
dat het getal 5417 door geen der priemgetallen beneden 60 deel- 
baar is, dan is uitgesloten, dat 5417 een product van drie priem- 
getallen is. Onderzocht moet dus nog worden of 5417 een 
product van twee priemgetallen grooter dan 60 is, welke priem- 
getallen geen andere dan 61, 67, 71, 73, 79, 83 en 89 kunnen 
zijn. Was 5417 deelbaar door 61, dan zou de complementaire deeler 
een op 7 eindigend priemgetal, dus 67 moeten zijn; daar men 
echter direct ziet, dat 61 . 67 < 5417 is, gaat de deeling door 
61 niet op. Evenzoo ziet men uit 67 . 71 < 5417, dat 5417 niet 
door 67 en niet door 71 deelbaar is. Was 5417 door 73 deelbaar, 
dan zou de complementaire deeler een op 9 eindigend priemgetal 
moeten zijn; daar echter 73 . 79 > 5417 is, besluit men tot het 
priem zijn van 5417. 

828. Heeft men een getal a op zijn deelbaarheid door de op- 
volgende priemgetallen p^, p^, p^, enz. onderzocht en is pi het 
eerste priemgetal, waarvoor de deeling opgaat, dan is het quotiënt 

— door geen der getallen p^, p^, . . . ., />/_i deelbaar, zoodat men 

pi 

dit verder nog slechts op zijn deelbaarheid door pi , p, + i, enz. 

heeft te onderzoeken. Is dus < yt?^, dan kan men direct tot 

Pi 

het priem zijn van — besluiten. 

Als voorbeeld nemen we de ontbinding van 3109738801 in 



412 



priemfactoren. Dit getal blijkt niet deelbaar te zijn door 2, 3, 
5, 7 en 11, wel door 13. Het quotiënt is 239210677. Dit is 
niet deelbaar door 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 en 41, wel door 
43. Het quotiënt is 5563039, dat weer door 43 deelbaar is en 
129373 als quotiënt oplevert. Dit is niet deelbaar door 43 en 
47 deelbaar, wel door 53. Het quotiënt is 2441. Daar dit getal 
< 532 is, is het priem, zoodat de verlangde ontbinding is: 
3109738801 = 13 . 43^ . 53 . 2441. 
Wij laten hier voor de opgaande deelingen de toepassing van 
het deelbaarheidskenmerk (met behulp van de tafel van n^. 800) 
en de quotiëntbepaling (volgens n^. 818 en 819) volgen. 



3109738801 : 13. 


Daar 1001 = 77 . 13 is, vindt 


801 
8937 


men voor het quotiënt: 


— 53. 10« + 77. 71937801 = 


937 
2171 


= — 53. 108 + 5539210677 = 


= 239210677. 


^^-10 

-689 = — 53. 13 




239210677 : 43. 


Daar 301 = 7 . 43 is, vindt 


231 . 
1875 ""^ 


men voor het quotiënt: 


— 10« + 7 . 937577 = 


225 , 
693 ~"^ 


- — 106 + 6563039 = 
= 5563039. 


279 ^ 
-~4 3 ~ ^ 




5563039 : 43. 


Voor het quotiënt wordt 


513 -^ 


gevonden: 
— 10^ + 7 . 161339 = 


39 
516 "'^ 


— 106 + 1129373 = 


= 129373. 


43 '^ 




129373 : 53. 


Daar 901 = 17 . 53 is, vindt 


636 = 12 . 53 


men voor het quotiënt: 
12 . 10^+ 17.73 = 



12. 102+ 1241 =2441. 



413 



829. Uitbreiding der eigenschap van n^ 824. De eigen- 
schap van n^. 824 kan aldus worden uitgebreid: 

Het getal a is priem als het door geen der priemgetallen p^, 
/?2, . . . ,, Pk deelbaar is (waarin p^^ p^, p^, . , . . de naar de grootte 
gerangschikte priemgetallen zijn) en voldaan is aan: 
'a 



Pk 



< 2pk + i 

Uit (515) volgt nl, als men pk+i 

'a 

-Pk 



a < 



Pk = Pk^i + (a + i — Pk)- 

pk = m stelt: 
+ l)/7fc ^ {pk+1 + m) ipk+i — m) = 



(515) 



/?Li 



m^ < Pk-^h 



830. Daar pk+i — pk^ \ is, dus 2pk+i — Pk ^A + i + 1, is aan 
(515) voldaan als aan (514) voldaan is, zoodat de eigenschap van 
n^. 824 in die van n^ 829 ligt opgesloten. 

Als voorbeeld van een toepassing der eigenschap van n^. 829 
nemen we a = 9281. Dit getal blijkt door geen der priemgetal- 

-9281- 



len tot en met 89 deelbaar te zijn, terwijl men vindt 



L 89 



104. 



Dit is kleiner dan 97 + (97 — 89) = 105 (waarin 97 het op 89 
volgende priemgetal is), waaruit men in verband met de eigen- 
schap van n^. 829 tot het priem zijn van 9281 besluit. De eigen- 
schap van n^ 824 is nu niet van toepassing. 



§ 3. Deelbaarheid der faculteiten. 



831. Ontbinding van nl in priemfactoren. Het is duidelijk, 
dat in n! geen andere priemfactoren voorkomen dan die, welke 
^ n zijn. Immers een priemgetal > ^ is op geen der factoren 
van het product 1 . 2 . 3 . . . . n deelbaar, dus ook niet op het 
product (zie de eerste formuleering der eigenschap van n*^. 199). 

We beschouwen nu een priemgetal p, dat ^ n is, en vragen naar 
den exponent y waarmede de priemfactor p in n! voorkomt. 

Het getal p is alleen op de factoren 

/7, 2p, 3/7, .. . ., [j]p (516) 

\{d > n is. 



van het product 1 . 2 . 3 . . . . n deelbaar, daar 



n 

7j 



+ 1/^ 



Er kunnen echter in het product factoren voorkomen, die door 
een hoogere macht van p deelbaar zijn, als nl. n ^ p^ is. De 
door p^ deelbare factoren van het product zijn dan: 



p\ 2p\ ?>p\ . . . ., 



L/;2J 



vp^i 



dus ten getale van -^ aanwezig; dit laatste geldt ook nog als 



n < p^ is (in welk geval geen enkele der n factoren door p'" 



deelbaar is), daar dan . „ 

L/7^ 



O is. Evenzoo zijn 



factoren van 



het product door p^ deelbaar, enz. 

Dit voert tot de volgende eigenschap: 

De exponent £{n), waarmede het priemgetal p in n! voorkomt, 
wordt aangewezen door 



<n) 



T]^m 



+ 



p'i 



+[a+- 



(517) 



415 



door p' 



welke som over alle van nul verschillende termen moet worden 
uitgestrekt. 

Immers een der factoren 1, 2, 3, . . . ., /z, die door p' en geen 
hoogere macht van p deelbaar is, geeft aanleiding tot / factoren 
p in n\. Echter geeft die door /?'' deelbare factor ook juist een 
bijdrage / tot het tweede lid van (517), daar hij medegeteld is 

onder de | — door p deelbare factoren, onder de —^ 

deelbare factoren, enz. en eindelijk onder de —^ door p' deel- 
bare factoren en dus /-maal in rekening gebracht is. 

832. In de door Legendre gegeven formule (517) ^) kan men 
de som natuurlijk ook over meerdere termen dan de van nul 
verschillende uitstrekken, daar deze meerdere termen aan de som 
niets veranderen. Men kan voor (517) dus ook schrijven: 



■« = m 



+ 



+ 



n 



....+ 



(518) 



waarin j willekeurig mag worden aangenomen, mits zoo dat 
pj^^ > n is. 

In den vorm (518) geldt de formule ook a\s p > n is. In dat 
geval zijn nl. alle termen in het tweede Hd van (518) nul, zoodat 
men naar behooren e{n) = O vindt. 

833. Omvorming der formule van Legendre. Stelt men 

[pr] = ^'- ' 
dan is volgens de eigenschap van n^. 457: 



f 


~' n -' 




' n ' 




y\ 




KI 


[p^p\ 




-p ^ 




L/7 J 



zoodat de termen in het tweede lid van {517) ook aldus gevon- 
den kunnen worden: 



Qi = 



' n' 

Vp\ 


^ Q2 = 


'q{ 


. ^3 = 


'qi 

^ ^ 


> ^4 = 


'qi 






Vp\ 




.p\ 




ip\ 



(519) 



^) De formule komt voor in het in 1798 verschenen groote werk 
„Essai sur la theorie des nombres'' (voor de derde maal gedrukt in 
1830 onder den titel „Theorie des nombres'') van Adrien Marie Legendre 
(1752-1833). 



416 



Voor de berekening van den exponent e{n), waarmede p 'm n\ 
voorkomt, is dit de aangewezen weg. 

Door zoo dien exponent te bepalen voor ieder priemgetal, dat ^ n 
is, krijgt men een volledige ontbinding van n\ in priemfactoren. 

834. Men kan den in n^ 833 gevonden algorithmus ter bepa- 
ling van den exponent £(«) ook geheel onafhankelijk van de 
formule (517) van Legendre verkrijgen. Blijkens het in n^. 831 
opgemerkte komt het priemgetal p 'm n\ met denzelfden exponent 
voor als in het product der getallen (516), dus als in 

Evenzoo komt p 'm q^\ met denzelfden exponent voor als in 

'm qc,\ met denzelfden exponent als in 

enz. De factor p komt dus in n\ met denzelfden exponent voor als in 



! n^i^^2^^3 



De getallen q-^, q^, q^, .... worden (blijkens hun door (519) 
aangegeven beteekenis) steeds kleiner, zoodat men eindelijk op 
een getal stuit, dat < /? is. Is dit q^ , dan is q.\ niet meer door 
p deelbaar, zoodat p in n! met den exponent q^-^ q^ -{-..,. -\- q^ 
voorkomt. 

835. Als voorbeeld nemen we de ontbinding van het getal 
501, waarin de priemfactoren 

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 
voorkomen. De bepaling der exponenten, waarmede deze zijn 
aangedaan, loopt als volgt: 



-50- 




r50 




-50- 




-50- 






= 25 




= 16 




= 10 




= 7 


.y_ 




_T. 




.T. 




.7. 




-25- 




-16- 




-10- 




-7- 






= 12 




= 5 




= 2 




= 1 


.TJ 




T. 




.T_ 




.7. 




-12- 




-5- 






J2 




8 


.T. 


= 6 


X 


= 1 










'6' 






22 












= 3 














-T. 
















r3- 


= 1 














.2. 
















47 















417 



r50i _ r50i ^ rSOi _ r50i ^ rSOi _ r50i ^ . 
L29J " L3lJ L37J UlJ L43J L47j '' 



50 

L23. 



= 2 



Hieruit blijkt: 
50! = 2*7 . 322 . 512 . 7M P . 133 . 172 . 192 . 232 . 29 . 31 . 37 . 41 . 43 . 47. 
Het aantal deelers van 50! bedraagt dus volgens de formule 
(241) van n^. 393: 

48 . 23 . 13 . 9 . 5 . 4 . 33 . 2ö = 4464046080. 
De som dier deelers is (zie de formule (245) van n^ 398): 
323_i 5i3_i 79_i ii5_i I34_i i73_i 



(2*8 _i) 



4 • 6 ' 10 
19^ — 1 23^ — 1 
18 • 22~ 



12 • 16 
. 30 . 32 . 38 . 42 . 44 . 48 



_(2*8— l)(3^g— l)(5^g — 1)(7^— 1)(1P — 1)(13*— 1)(173 — 1)(19^— 1)(233 — 1).7.38_ 



608076 (2*8 — 1) (323 — 1) (513 — 1) (7^ — 1) (11 ^ — 1) (13* — 1) (I73 — 1) (23^ 

836. Deelbaarheid van (ai + 02 + . . . . + ay)\ door ai \ 
02 ! .... flTk !. Is 

n = üi -\- a2 -\- . . . . -\- Uk , 
dan is volgens de formule (518) van n^ 832: 



1). 



iüi) = 



+ ....+ 



ai 



(520) 



waarbij j thans zoo gekozen is, dat /7^+^ grooter dan /z, dus ook 
grooter dan ieder der getallen a^, a^j ... ., a^ is. Uit (520) volgt: 

k 



e{aj + <ö^2) + 



iak) 



Ui 



;(L/7 



È 



Ipi 



+ 



4- 



di 



./?'J 



+ 



+ ....+ 



ai 



Ipj 
'a^ 



£(ai) + ia^) + 



i[ak) 



z{n). 



In verband met de eerste der ongelijkheden (287) van n^ 460 
volgt hieruit: 

V \^ 
dus: 

z(n) ^ c(aO + e(a,) + ....+ <a,). (521) 

Hieruit blijkt, dat het priemgetal p 'm n\ met denzelfden of 



FRFD. SCHUH, Leerboek der Theoretische Rekenkunde. 



27 



418 

grooteren exponent voorkomt als in a^ ! ^g ! . . . . Uk !. 

Daar dit voor ieder priemgetal geldt, vindt men in verband 
met de eigenschap van n^. 392: 

Het getal fa^ + ag + . . . . + ük)! is deelbaar door het product 

a^fa^f akf. 

837. Uit de eigenschap van n^ 836 volgt in het bijzonder, 
dat {a-]-b)\ door a\ b\ deelbaar is, dus dat 

{a-\-b)\ 



b\ 



= {b^\){b-\-2)....{b^a) 



door a\ deelbaar is. Dit geeft de eigenschap: 

Het product van a opvolgende natuurlijke getallen is deelbaar 
door af. 

Deze eigenschap volgt ook onmiddellijk daaruit, dat het aantal 
Ca+b der combinaties van a + b elementen in groepen van a 

gelijk is aan ^^ (zie n^. 330). 

838. Evenzoo volgt de m^eer algemeene eigenschap van n^ 
836 direct uit het in n^ 341 gevondene, volgens hetwelk het 
aantal permutaties van a^ -}- a^ + .... + ak elementen, die bestaan 
uit groepen van a-^, a^, ... ., ak gelijke elementen, gelijk is aan: 

(^1 + fltg + . . . . -^ ak)\ 
a^\ aA . . . . ak\ 

Dit getal treedt ook op als po/ynom/aa/coëff/'c/ënt, nl. als 
de coëfficiënt van 

in de ontwikkeling van de (a-^ + a^ + . . . . -\- ak)"^^ macht van het 
polynomium b-^ + b2 -{-.... + bk (zie n^. 366). 

839. Stelling van Catalan omtrent deelbaarheid van (a+6— 1) ! 
door al 6!. In n^ 384 is reeds opgemerkt, dat, als n een priem- 
getal is, de polynomiaalcoëfficiënten van de /z^^ macht, met uit- 
zondering van die, welke behooren bij exponenten die alle op 
een na nul zijn, door n deelbaar zijn, In het bijzonder volgt 
hieruit: 



419 

Het getal — rjrr^ waarin a en b natuurlijke getallen zijn ^) 

en a-\- b priem is, is deelbaar door a -\- b. 
Men heeft dan dus: 

(a-{-b)\ =a\ b\ {a + b)v, 
{a + b— 1)! = a\ b\ v, 
zoodat de eigenschap ook aldus geformuleerd kan worden: 

Zijn a en b natuurlijke getallen en is a -\- b priem, dan is 
(a + b — 1)1 deelbaar door af bf. 

840. De eigenschap van n^'. 839 is door Catalan ^) in 1874 
aldus uitgebreid: 

Zijn a en b onderling ondeelbaar, dan is (a-\- b — /)/ deel- 
baar door af bf. 

Uit de deelbaarheid van {a -{- b — 1)! door a\ (b — 1)! en door 

(a — 1)! b\ volgt nl., dat t— ^^ — uï (h ni ^^^^^^ ^^^^ ^ ^^^ 

door b deelbaar is, dus (wegens de onderlinge ondeelbaarheid 

van a en b) door ab. Dit beteekent, dat (a-{-b—\)\ door 

{a — 1)! {b — 1)! ab = a\ b\ deelbaar is. 
De eigenschap kan ook zoo geformuleerd worden: 
Een binomiaalcoëfficiënt van de n^^ macht, behoorende bij twee 

onderling ondeelbare exponenten, is deelbaar door n. 

841. Het onderstelde der eigenschap van n^. 840 sluit van 
zelf het geval uit, dat a = en b > \ of Z? = O en a > 1 is. 
Immers voor a = O, b > \ is ^ de G.G.D. van a en b, daar O 
door ieder getal deelbaar is (zie n^. 309); de getallen a en ^ 
hebben dan dus een G.G.D. , die > 1 is, en zijn dus niet als 
onderling ondeelbaar te beschouwen. Voor a = O, b = \ of 
^ = O, a = 1, in welke gevallen a en b wel onderling ondeelbaar 
te achten zijn, blijkt echter de deelbaarheid van (a + b — 1)! 
door a\ b\ te bestaan. De in de eigenschap van n^ 839 voorko- 
mende toevoeging, dat a en b natuurlijke getallen zijn, kan dus 
bij de eigenschap van n^ 840 worden weggelaten. 



^) Dit wil dus zeggen, dat a ^ 1 en ö ^ 1 is. Voor a = Q o\ b = O 
geldt de eigenschap niet. 
2) EuoÈNE Charles Catalan (1814—1894). 



420 

In de eigenschap van n^ 840 stellen a en b derhalve aantallen 
(natuurlijke getallen of nul) voor. Het onderstelde sluit echter 
uit, dat a en b beide nul zijn, daar a en b dan ieder getal tot 
gemeenen deeler hebben en dus niet onderling ondeelbaar zijn. 
Trouwens voor a = b = O heeft {a-\- b — 1)!, d. i. (— 1)!, geen 
zin; opgemerkt zij nog, dat men de formule (166) van n^. 313 
niet kan volhouden voor n = 0, daar dit zou voeren tot 

(-1)'--==- 
^ ^' O O' 

terwijl -^ geen zin heeft (zie n^. 308). 

842. De eigenschap van n^, 839 ligt als bijzonder geval in 
die van n^. 840 opgesloten. Zijn nl. a en b natuurlijke getallen, 
dan zijn deze beide < a^ b. Een gemeene deeler van a en b 
is een deeler van a + b en tevens ^ a en ^ b, dus < a -\- b. 
Daar het getal a + ^, als dit priem is, geen andere deelers dan 1 
en a -[- b heeft, kan die gemeene deeler van a en b niets anders 
dan 1 zijn, zoodat a en b onderling ondeelbaar zijn en dus aan 
het onderstelde der eigenschap van n^ 840 voldaan is. 

We merken nog op, dat de eigenschap van n^. 840 niet voor 
omkeering vatbaar is, d. w. z. dat uit de deelbaarheid van 
{a-^b — 1)! door a\ b\ niet tot de onderlinge ondeelbaarheid 
van a en b kan worden besloten. Zoo is: 
9! deelbaar door 4! 6!, 
11! deelbaar door (6!)^, 
17! deelbaar door 4! 14! en door 8! 10!. 

843. Deelbaarheid van {ka)\ door (a»^ ^!. In n^. 836 is 

gebleken, dat (a^ + öig + . . . . + ak)\ door aj ag! .... ak\ deel- 
baar is. Zijn i der getallen a^, ag, . . . ., ak gelijk en > O, dan 
volgt uit het in n^ 343 gevondene (omtrent het aantal manieren, 
waarop a-^-\- a^ -\- . . . .+ au elementen in k groepen van a^, 
o's, ... ., dk elementen verdeeld kunnen worden) verder nog, 
dat het quotiënt 



door il deelbaar is i), 



(a^ -{- a^ + ....+ ak) 
a^! a^! . . . . ak! 



^) Zie noot 1 van blz. 144. 



421 

Door de getallen a^, a^, ... ., ak alle gelijk te nemen blijkt 
in het bijzonder: 
Is a > O, dan is getal (ka)! deelbaar door (a!)^ k!. 

844. De eigenschap van n^ 843 kan ook zonder combinato- 
rische beschouwingen worden aangetoond. Volgens de eigen- 
schap van n^. 837 is het product 

{(k —\)a^- \}{(k — 1) a + 2} {(k—\)a + a—\} (522) 

deelbaar door {a — 1)!. Hierbij wordt natuurlijk a > O onder- 
steld; wel kan men a = 1 nemen, in welk geval het product 
(522) nul factoren bevat, dus gelijk is aan 1 (zie n^ 311). 

Het quotiënt der deeling van (522) door (a — 1)! is: 
{ka-\)\ ^a-x 



{a - l)\ {{k - l)a}\ 

Hieruit volgt: 

(ka)\ = {{k -l)a}\a\k Cka\ (523) 

Evenzoo heeft men (hierin k door k — 1 vervangend): 
{(k - l)a}\ = {{k - 2)a}\ a\ (k - 1) CjlWi, 
waardoor (523) overgaat in: 

{ka)\ = {(k - 2)a] ! (a\)'k{k - 1) C^-i . Ct\a-i^ (524) 
Door (523) nog eens toe te passen (na k door k — 2 vervan- 
gen te hebben) vindt men uit (524): 

(ka) \ = {{k- 3)a}! {a^)^k{k -\){k- 2) CL"-i • Ct-\)a-i • Q^^ja-i. 
Zoo doorgaande krijgt men: 

(kd)\ = {a^)^ k\ Cta-\ • C^k^i)a-\ . C(k^2)a-\ .... Cf^i. 

Hieruit leest men de eigenschap van n^ 843 af; tevens blijkt, 
dat het quotiënt der deeling van (ka)! door (a!)^ k! gelijk is aan: 

Ca— 1 y^a—\ ^a—\ /-♦a— 1 ix 

ka—\ ' ^(k-l)a—l . ^(k-2)a—l- • • . ^2a-l )- 

845. Stelling van Catalan en Bourguet. Door Bourguet is 
in 1875 aan een door Catalan gevonden eigenschap de volgende 
uitbreiding gegeven : 



^) Dat verder b.v. (ka -\- b -\- c)! door (a!)^b! c! k! deelbaar is 
(a > 0), blijkt in verband met de eigenschap van n*^. 836 uit 

waarin {ka)\ weer door {a\)^k\ deelbaar is. 



422 



(525) 



Is k ^ 2, dan is 

(ka,)! (ka,)! .... (ka,)! 
deelbaar door 

aj a^! aj (a, + a,^ + a,)!. (526) 

Het priemgetal p komt volgens de formule (517) van Legendre 

in de uitdrukking (525) voor met den exponent 



iip'- 



+ 



+ 



v< 



ka. 



p' 1 



+ 



'ka 



Lp' 



y 

+ ....+ 



'kOkV 



kak 



Lp'J 



waarbij de sommeeringen over de waarden 1, 2, 3, ... . van i 
moeten worden uitgedrukt zoolang van nul verschillende termen 
optreden. 
Evenzoo komt p in de uitdrukking (526) voor met den exponent 



P' 



+ 



'V& 



lp' 
+ 



+ 



.p'j 



p' 

U/7'J 



+ 



«1 + ^3 + + ttk 

P' 

a^ + a^ + ....+ Uk 



]= 



» 



We bewijzen nu de stelling door aan te toonen: 



ka. 



lp' 



+ 



'ka. 



> 



Zij 



+ 



■P' 



p- } 

+ 



+ ....+ 
+ 



kak 



Ok 

.p'J 



P' 

a-^-\- a^ . . 



+ at 



p' 



\ 



(527) 



^1 = P'Qi + ^1 (O ^ ''i < P% 

«2 = p'qc, + Tg (O ^ rg < /?0, 

ak = p'qk + rk (0^rk<p'). 
Het eerste lid van (527) is dan: 



K^i + ^2 + +(Ik) + 

en het tweede lid: 



kr. 



Ip^J 



+ 



kr. 



Ip^ 



P' 



2(q, +q,i-..., + q,) + 

Is nu r het grootste der getallen r^, rg, 

/"i + ^2 + .... + r/t ^ ^r, dus (528) minstens 

k(q,+q, + .... + qk) + [^] 



.+ 
+ rk 



kn 



p' } 



(528) 



(529) 

r*, dan is 



423 



en (529) hoogstens 

2(^1 + ^2 + + ^A:) H 

In verband met ^ ^ 2 voert dit tot (527). 






846. Derde vorm van de formule van Legendre. Men kan 

aan de formule (517) van Legendre nog een anderen vorm geven 
door het getal n in het /7-tallig stelsel te schrijven, aldus: 

ft = CmCm—l .... C^C-^Cq = 
= CmP"^ 4- Cm-lP"^-' + + Cc^p' + C^p + C,. '(530) 

Men heeft dan: 



[j] = CmP^-' + Cm-xP'^-'' + 
^] = CmP^-^ + Cm-xP^-^ + 












" AZ 


J = CmP 


' + <:m 


-b 




' n ' 


^^^ Cm ) 


terwijl 


n 




, enz. alle nul zijn. Uit bovenstaande ver- 


gelijkingen volgt: 






+ 


~ n' 


F....+ 


" n ~ 


= Cmip"^-' + p^-^ + +/7 + 1) + 


+ Cm-X{p^-^ ^ P'^-'' + ....-f/7+l)+.... r2(;7 + 1) + C, = ■ 


_^ 


,(/;- - 1) + C^-l(/7— 1 _!) + ....+ c^(;;2 _!)_!_ c^(^ _ 1) 


/7-1 


<:mP'" +Cm-l/?"'~^ + -^ C^p^^- C^p-V C^—(Cm-\- Cm-\^ + <^i> + <^1 + ^0 ) 



p-\ 

In verband met (530) kan dus voor de formule van Legendre 
geschreven worden: 



Men vindt zoo: 



424 

De exponent, waarmede het priemgetal p in n! voorkomt is, 
gelijk aan 

n — s{n) 
p-1 ^' 
waarin s(n) de som der cijfers voorstelt van het getal n geschre- 
ven in het p-tallig stelsel ^). 

847. Als voorbeeld vragen we naar den exponent, waarmede 
7 in 10000! voorkomt. Om dien exponent te vinden brengen 
we 10000 volgens de methode van n^ 482 (dus door opvolgende 
in het tientallig stelsel uitgevoerde deelingen) in het zeventallig 
stelsel over. De berekening is dan aldus: 

7 /lOOOO \ 1428 7 /1428\ 204 7 /204\ 29 7 / 29\ 4 

30 ~28 "64 T 

28 28 63 

.20 O 1 

U 
60 
56 
4 In het zeventallig stelsel is het getal 10000 dus 41104, 

zoodat men voor den gezochten exponent vindt ^ = 1665. 

Volgens de in n^ 833 aangegeven methode vindt men den 
exponent als 1428 + 204 + 29 + 4 = 1665. Beide methoden 
voeren nagenoeg even snel tot het doel. 

848. Exponent, waarmede 2 in /?! voorkomt. Een zeer een- 
voudigen vorm neemt de eigenschap van n^. 846 aan als /7 == 2 
is. Daar men in het tweetallig stelsel slechts de cijfers O en 1 
heeft (zie n^ 425), luidt de eigenschap, volgens welke n op één 
en slechts één manier als een getal in het /7-tallig stelsel te 
schrijven is (zie n^ 412 en 417), dan aldus: 



^) Dat n — s{n) door p — 1 deelbaar is, ligt in de eigenschap van 
n^. 710 opgesloten. 

^) De juistheid der eigenschap voor p > « (in welk geval genoemde 
exponent nul is) blijkt ook direct daaruit, dat n dan in het p-tallig 
stelsel een getal van één cijfer is, dus s = n. 



425 

Een natuurlijk getal is steeds^ en op slechts één manier^ als 
een som van verschillende machten van 2 {de nulde macht inbe- 
grepen) te schrijven. 

De eigenschap van n^ 846 luidt dan: 

De exponent, waarmede 2 in n! voorkomt, is gelijk aan n — s, 
waarin s het aantal verschillende machten van 2 voorstelt, waar- 
van n de som is. 

849e Als voorbeeld vragen we naar den exponent, waarmede 
2 in 62300! voorkomt. De berekening is aldus: 



62300 = 2 . 


31150 


31150 = 2 . 


15575 


15575 = 2 . 


7787 + 1, 


7787 = 2 . 


3893 + 1, 


3893 = 2 . 


1946 + 1, 


1946 = 2 . 


973 


973 = 2 . 


486 + 1, 


486 = 2 . 


243 


243 = 2 . 


121 +1, 


121 = 2 . 


60+ 1, 


60 = 2. 


30 , 


30 = 2. 


15 , 


15 = 2 . 


7 + 1, 


7 = 2. 


3 + 1, 


3 = 2 . 


1 + 1. 



In het tweetallig stelsel wordt 62300 dus geschreven als 
1111001101011100, 

zoodat de gevraagde exponent gelijk is aan 62300 — 10 = 62290. 
De methode van n^ 833, volgens welke de som der 15 partiëele 
quotiënten (31150, 15575, . . . ., 3, 1) gevormd moet worden, is 
nu minder aan te bevelen. 

850. Men kan de omvorming van het getal 62300 tot het 
tweetallig stelsel bekorten door geen deelingen door 2, maar b.v. 
door 2^ = 8 uit te voeren. Men vindt dan: 



426 



62300 


= 8. 


7787 + 4, 


7787: 


= 8. 


973 + 3, 


973: 


= 8 . 


121 -h 5, 


121 : 


= 8. 


15+ /, 


15: 


= 8. 


/+7. 



Daar nu de resten 4, 3, 5, 1, 7 en het laatste quotiënt 1 in 
het tweetallig stelsel resp. zijn: 

100, 11, 101, 1, 111, 1, (532) 

vindt men voor 62300 in het tweetallig stelsel: 

1 . 10^^+ 111 . W-hl . 109 -f 101 , 106+ 11 ^ 103-1- 100-:= 
= 1111001101011100. 

Daar het alleen om het aantal in dit getal voorkomende cijfers 
1 te doen is, heeft men slechts de vet gedrukte getallen in het 
tweetallig stelsel te schrijven en de daarin te zamen voorkomende 
cijfers 1, dus het aantal cijfers 1 van de getallen (532), te tellen. 

851. In het tweetallig stelsel wordt het optellen en vermenig- 
vuldigen buitengewoon eenvoudig doordat de tafel van optelling 
dan slechts uit 1 + 1 = 10 en de tafel van vermenigvuldiging 
slechts uit 1.1 = 1 bestaat. De vermenigvuldiging is dan niets 
anders dan optelHng en de deeHng niets dan herhaalde aftrek- 
king (daar ieder cijfer van het quotiënt O of 1 is). Nevenstaande 
voorbeelden doen dit zien. 



1011 


110101001 = 


= 101111 , 


. 1001 


1101 


1001 






1011 


10001 






1011 


1001 






1011 


10000 






0001111 


1001 
1110 
1001 
1011 
1001 







10 

852. Men kan de in n^ 849 en 850 besproken omvorming 
van het getal 62300 tot het tweetaUig stelsel ook volgens de 
methode van n^ 483 (dus door vermenigvuldigingen in het twee- 



427 



tallig stelsel) uitvoeren. Daar de getallen 6, 2, 3 en 10 in het 
tweetallig stelsel luiden 110, 10, 11, 1010, wordt de berekening 
aldus: 



110 
110 



111100 

10 

111110 

111110 
1001101100 



1001101100 

' n 

1001101111 

10011011 11 
1100001010110 

1100001010110 
1111001101011100 



853. Stelling van André. Is p een priemgetal, dan heeft men 
volgens de formule (517) van Legendre (zie n°. 831), in verband 
met de eigenschap van n^. 456: 



£(Al/70 = 



'np'' 
^ P 


+ 


'np'' 

[p^\ 



+ ....+ 



~np'' 

lpi\ 


+ 


' np^ ' 


+ 


' np^~ 


+ 


\-n- 


f 




7' 


+ 


'n 


+ 


'n 



= np'-^ 4- np'-^ -\- . . . . -\- np -\- n -{- 

In verband met (517) leest men hieruit af: 
Is e(n) de exponent, waarmede het priemgetal p in n! voor- 
komt, dan komt p in (np')I voor met den exponent 



:(np') = n 



P' 



1 



1 



+ ^(n). 



(533) 



854. In het quotiënt (polynomiaalcoëfficiënt) 

(ka)\ 

komt p voor met den exponent 

z[ka) — k z[a). 
We schrijven het getal a in het /?-tanig stelsel, aldus: 

a = CmP"^ + Cm-\P'^-^ + . . . ■ -f- C^p'- -f- Cl/7 + ^o- 

Volgens de eigenschap van n^. 836 is dan: 

Hieruit volgt in verband rnet de eigenschap van n^. 853: 



e(ka) ^ k 



Cnt{p'^—\)^Cm-\{p' 



l) + ....+^2(/^^-l)+ri(/7-l) 



= ^ 



g — (Cm+^m -l + . ♦. +<:o) 



p-\ 

. . . + i{kc^) + £(^ro) - 



+ 



^{kCm)^-l{kc,n^^)^,, .^-l{kc,)^l{kC,\ 



428 

Volgens de formule (531) van n^ 846 heeft men dus: 
t{ka) — k z[a) ^ likCm) + ^(kCm-x) + -i- ikc^) + E(kc,). (534) 

Nu is (kcj)\ deelbaar door (^!)'>' (zie de eigenschap van n°. 836), 
dus: 

waardoor uit (534) volgt: 

Z{ka) — k e{a) > (Cni + Cm-l + .... + ^1 + Co) e(k). 
Hieruit leest men af: 

Het priemgetal p komt in ~y^ met minstens denzelfden expo- 
nent voor als in (k/y, waarin s de som der cijfers van a voor- 
stelt als dit getal in het p-tallig stelsel geschreven wordt, 

855. Uit de eigenschap van n^ 854 vloeit de volgende door 
D. André in 1881 medegedeelde stelling voort: 

Is t de kleinste cijfersom, die het getal a in eenig talstelsel 
met een priemgetal als grondtal bezit, dan is (ka)! deelbaar door 
{aï)Hkiy, 

Immers voor ieder priemgetal p is dan het getal s van n°. 854 
grooter dan of gelijk aan t, zoodat ieder priemgetal volgens de 

eigenschap van n^ 854 in ^-^ met minstens denzelfden exponent 

voorkomt als in (^!)^ en dus -r^ door (^!)^ deelbaar is. 

ya.) 

Daar de som der cijfers van a voor ieder grondtal minstens 1 

is ^), is t ^ 1, zoodat de eigenschap van n^. 843 in de nu 

beschouwde ligt opgesloten. 

856. Daar ieder getal minstens gelijk is aan de som zijner 
cijfers, is 5 ^ a, waarin s de som der cijfers van a is. De gelijk- 
heid s = a geldt dan en alleen dan als a uit één cijfer bestaat, 
dus als het grondtal van het talstelsel > a is. 

Is a > 1, dan is er steeds een priemgetal /?, waarvoor p ^ a 
is, dus waarvoor de som der cijfers van a in het 77-tallig stelsel 
< a is. Hieruit blijkt, dat voor a> 1 de in de eigenschap van 



^) Tenminste als a > O is. De eigenschap van André blijft echter 
gelden voor a = O, daar dan ook ^ = O is. 



429 

n^. 855 genoemde kleinste cijfer som t, die het getal a in eenig 
talstelsel met ondeelbaar grondtal bezit, kleiner dan a is. 

Om het getal t te bepalen heeft men voor de grondtallen slechts 
de priemgetallen ^ a te nemen, daar de overige priemgrondtallen 
een cijfersom a, dus niet een zoo klein mogelijke cijfersom leveren. 
Is a een priemgetal of een macht daarvan, dan is t = I, zooals 
blijkt door dat priemgetal als grondtal te nemen. 

857. Omvorming der stelling van André. Is 5 de som der 
cijfers van een getal a, dan is a als som van s machten van het 
grondtal g (nulde machten inbegref^en) te schrijven; de cijfers 
van a geven daarbij aan hoeveel maal een zelfde macht van g 
in deze som voorkomt. Daar ieder cijfer < g is, komt bij deze 
splitsing een zelfde macht van g hoogstens {g — l)-maal voor. 

Heeft men een splitsing van a in een som van machten van 
g, waarbij een zekere macht van g (b.v. g') minstens ^-maal voor- 
komt, dan is a als een som van een kleiner aantal machten van 
g te schrijven; de g termen g' kunnen nl. door den enkelen term 
^^■+1 worden vervangen. 

Daar nu volgens de eigenschap van n^. 417 het getal a slechts 
op één manier als een som van machten van g te schrijven is 
zoodanig, dat een zelfde macht hoogstens (g — l)-maal voorkomt, 
heeft men: 

Een getal a is slechts op één manier in een som van machten 
'^^^ g {g^ ^) ^^ splitsen zoodanig, dat het aantal termen dier 
som zoo klein mogelijk is. Deze splitsing is niets anders dan de 
omvorming van a tot een getal in het g-tallig stelsel. 

858. Uit de eigenschap van n*^. 857 blijkt, dat de som der 
cijfers van het getal a in het g-tallig stelsel ook op te vatten is 
als het kleinste aantal machten van g (nulde machten inbegrepen), 
waarin a kan worden gesplitst. Hieruit volgt, dat de eigen- 
schap van n^. 855 ook aldus kan worden geformuleerd: 

Is t het kleinste aantal [al of niet verschillende) machten van 
een eenig priemgetal, waarin het getal a kan worden gesplitst, 
dan is (ka)! deelbaar door (a!)^(k!y. 

Ook hieruit blijkt onmiddellijk, dat / = 1 is als a een macht 
van een priemgetal is en in geen ander geval. 



430 



Bevat a minstens twee verschillende priemfactoren, dan is ^ ^ 2, 
(ka)\ 
{a\Y 
heid alleen als /j = 1 of = O is. 



4us \—^^ deelbaar door (k\y. Voor a = \ bestaat die deelbaar- 



859. Bevat het getal a geen twee verschillende priemfactoren, 
dan is a een macht van een priemgetal, dus 

a = p^. 
Is a > 1 (dus / > 0), dan is voor ieder ander priemgetal het 
getal s der eigenschap van n^ 854 minstens 2, zoodat een van 
p verschillend priemgetal in 

{ka)\ i (kp^)\ 

(^ - (7¥ ^ ^ 

met minstens denzelfden exponent voorkomt als in {k\Y. 

We beschouwen nu den exponent, waarmede het priemgetal 
p in het tweede Hd van (535) voorkomt. Deze is: 

^{kp^)-k^(p^ 
dus volgens de formule (533) van n^. 853 (lettend op £(1) = 0) 
gelijk aan 

^^-=■-1 + eik) — ^^^-1 - ik), 
p — 1 ^ ' P — 1 

De gezochte exponent is dus dezelfde als die, w^aarmede/7 in k\ 
voorkomt, dus kleiner dan de exponent, waarmede p in (/j!)^ 
voorkomt, behalve als e{k) = O dus k <p is; het tweede lid van 
(535) is dus dan en alleen dan door {k^)^ deelbaar als k<p is. 

In verband met het aan het eind van n^. 858 opgemerkte vin- 
den we dus: 

Het getal ^—^ is deelbaar door (kif behalve in het geval, 

dat a = 1 en k> 1 is, en in het geval, dat a een macht van 
een priemgetal p (met exponent > 0) en k ^ p is. 

Men kan beide uitzonderingsgevallen samenvatten tot het geval, 
dat a te schrijven is als macht van een priemgetal, dat ^ k is. 
Hiertoe behoort nl. ook het geval, dat a = 1 en ^ > 1 is, zooals 
blijkt door a dan als 2^ te schrijven. 



431 

860. Som der cijfers van een som van eenige getallen. Uit 

den in n^. 438 en 439 besproken algorithmus volgt zonder moeite: 
De som der cijfers van de som van eenige getallen is gelijk 
aan de som van de cijfersommen dier getallen verminderd met 
A(g — 7), waarin g het grondtal voorstelt en A het aantal malen, 
dat men bij het optellen g g-tallen door een g'^^-tal heeft moeten 
vervangen, dus de som der getallen, die men bij het optellen 
heeft moeten onthouden. 

Stellen we evenals in n^. 846 de cijfersom van het getal n door 
s{n) voor, dan luidt de eigenschap in formule: 
5(ai + a2 + ....+a/)=:5{ai)+5(a2) + ....+5(a/) — /1(^— 1). (536) 

861. Het bewijs der eigenschap van n^ 860 wordt daardoor 
geleverd, dat men de som der getallen a^, ög, ... ., ai eerst in 
den vorm (264) van n^ 430 brengt (zie ook n^ 438), waarbij 
ti de som van de cijfers der ^'-tallen is. 

Men heeft dan: 
tm + tm-i-^ .^. ^-\-t^ + t, = s{a^) + s{a^) + + s{a^. (537) 

Vervolgens moet de uitdrukking (264) op de in n^ 431 aan- 
gegeven wijze tot een getal in het ^-tallig stelsel herleid worden. 
Dit komt daarop neer, dat men bij herhaling g . g' door g'^^ ver- 
vangt. Hierbij wordt het getal tt met g verkleind en ti+\ met 1 
vergroot, zoodat de som der getallen 4, t^, 4' ^i^z. met g — 1 
afneemt. Is het voor de herleiding tot een getal in het ^-tallig 
stelsel noodig i4-maal de genoemde vervanging uit te voeren, 
dan is de som der getallen 4, t^, 4> ^"z. in het geheel met 
Mg — 1) afgenomen. Daar die som ten slotte in de som der 
cijfers van a-^-\-a^ + ....^ai\s overgegaan, voert (537) tot (536). 

862. Men kan het betoog ook zoo inkleeden, dat men uit de 
gelijkheden (265) en (266) van n^ 431 door optelling der over- 
eenkomstige leden afleidt: 

4 + ^1 + 4 + • • • • + ^m + ^1 + ^2 + • • • • + Qm = 
UQ+U^ + ....-i-U,n+g{qi^q2 + '---^qm)-\-Um^kg^^llm^k-\g''-^^--.--^Ur„ 

of: 

^0 + ^1 + ^2+ + ^m— («0 + ^1+ + «m+/^m + l + .... + ttm + *) = 

= (^— l){^l + ^2 + - ••+^/« + ^m + l+«m .-2(^+1) + «m + 3(^^-f^+l)-f- 

+ .... + Um.kig'-' -^-g'~' + ....+ ^ -f- 1)}. (538) 



432 

Hierin is üq-\- u^-^ ....-{- Um+k de som der cijfers van het 
door (264) voorgestelde getal (dus van a^ + ^g + . . . . + aj), ter- 
wijl in het tweede lid van (538) de uitdrukking tusschen accoladen 
niets anders is dan het getal A van n^ 860 en 861. Zoo wijst b.v. 

ti + Qi = qu\g + Ui (i < m) 
aan, dat (qi+\g)g' vervangen wordt door qi+\g'^\ hetgeen neer- 
komt op ^/+i-malige vervanging van g . g' door ^'•'■^ Schrijft 
men verder voor (266): 

tm+ qm = [Um^kg^-^ + Um^k-\g^~'^ + .... + «m^ l)^ + «m = 

= [{Um^kg^-'^ f Um^k-lg^-^ + + Uni + 2)g + llm-.\}g + Um = 

= l{{llm + kg^-^ + llnt^k-lg^-'^-^'"'-i-llm^3)g-{-Um^2}g + Um^l]g-\-Um= 



dan blijkt, dat dit neerkomt op een aantal vervangingen van de 
beschouwde soort gelijk aan 

Um^kg^-^ + Um + k-lg^-^ + .... + Um^3g^ + llm + 2g + «m + l + 
+ Urn^kg^-^ + Um^k-\g^~^ +....+ Um + sg + «m + 2 + 

+ llm-.kg^~^ + Unt + k-lg''-'^ + + Um + 3 + 

+ .• + 

~\~llm + kg + «m + A:-l + 

-\-llm + k = 

= Um.k{g'-'-\-g'-' + ...--^g^\)^llm.k-Ag^-''-^g'-''r....+g-^l)^ 
+ .... + Um^ig^ + ^ + 1) + Um^2{g + 1) + ^m + 1. 

863. Als voorbeeld in het tientallig stelsel nemen we de optelling 



8 3 5 


9 


7 6 2 


4 




4 


7 6 


8 


3 5 6 


3 5 




8 


9 7 5 


9 


4 8 3 


4 5 




9 


9 9 8 


9 


7 5 


4 7 




11 


8 4 3 


8 


8 6 7 


4 4 




8 


9 8 6 


9 


9 7 6 


5 4 




9 


9 9 4 


8 


7 3 9 


4 9 




13 


8 7 6 


9 


8 7 4 


4 9 




13 


9 6 3 


8 


4 6 


3 6 




9 


9 9 8 


9 


8 4 5 


5 2 




7 


8 8 5 


9 


7 9 8 


5 4 




9 


9 5 6 


7 


8 


3 5 




8 


3 9 6 





6 5 6 {36} 


5 4 


{9} 


108 


(1)(10)(8)(7)(11)(8) (6) (5) {56} 


(5) (6) \ 


:n} 





433 

De getallen boven de streep in de tweede en derde kolom 
zijn de sommen der cijfers van de naast geplaatste getallen der 
eerste resp. tweede kolom. De tusschen haakjes geplaatste getallen 
onder de cijfers van de som der getallen van de eerste kolom 
en de som der getallen van de tweede kolom wijzen aan' hoe- 
veel maal telkens tien lO'-tallen door een lO'+^-tal zijn vervangen ^). 
De sommen der cijfers van de sommen der getallen uit de tweede 
en derde kolom zijn tusschen accoladen achter de bijbehoorende 
getallen geplaatst. Evenzoo zijn tusschen accoladen opgenomen 
de sommen der getallen, die men bij de gedeeltelijke optellingen 
heeft moeten onthouden. 

Inderdaad is nu (overeenkomstig de eigenschap van n^. 860): 

36 = 540 — 56 (10 — 1) = 540 — 504, 
9 = 108— 11 (10 — 1)= 108— 99. 

864. Som der cijfers van een product. De algorithmus tot 
vorming van het product van twee getallen a en b, zoowel de 
gewone algorithmus van n^. 449 als de kortere van n^. 450, komt 
neer op het vermenigvuldigen van ieder cijfer van a met ieder 
cijfer van b gevolgd door optelling der zoo verkregen getallen 
als men daar het behoorlijke aantallen nullen achter plaatst (of 
achter geplaatst denkt). Beide algorithmen verschillen slechts in 
de wijze, waarop die optelHng wordt uitgevoerd (met betrekking 
tot het samennemen van termen). 

We beschouwen nu de producten P, die men krijgt door tel- 
kens een cijfer van a met een cijfer van b te vermenigvuldigen. 
De som dier producten met achtergevoegde nullen (d. i. het pro- 
duct ab) heeft volgens de eigenschap van n^. 860 een cijfersom 
gelijk aan S — A(g — 1), waarin <S voorstelt de som der cijfers 
van alle producten P en /l de som der getallen, die men bij het 
optellen heeft moeten onthouden. De producten P (zonder 
achtergevoegde nullen) bestaan uit hoogstens twee cijfers. Is van 
die producten 5^ de som van de cijfers der eenheden en Sc, de 



^) Dus de getallen, die men bij de verschillende optellingen heeft 
moeten onthouden en bijvoegen bij de som der cijfers van een 1 
hoogeren rang. 

FKED. SCHUH, Leerboek der Theoretische Rekenkunde. 28 



434 

som van de cijfers der\§--tallen, dan is S = S^ -{- S^, zoodat men 
met de notatie van n^. 846 en 860 heeft: 

s(ab) = S, + S,- A(g -1) = S,g + S, - (S, + A){g - 1). 

Hierin is S^g + S-^ de som der getallen P (zonder achterge- 
voegde nullen), dus gelijk aan s{a) . 5(^). Men vindt derhalve: 
s{ab) = s{a) . s(b) — (S, + A){g — 1). (539) 

Het getal S^, — d. i. de som van de cijfers der ^-tallen voor 
de producten P, die ontstaan door telkens een cijfer van a met 
een cijfer van b te vermenigvuldigen — , is de som der getallen, 
die men bij de verschillende vermenigvuldigingen heeft moeten 
onthouden. Bijgevolg stelt S^ -\- A voor de som der getallen, 
die men, hetzij bij de vermenigvuldigingen hetzij bij de optelling, 
heeft moeten onthouden. 

Uit (539) leest men dus de volgende eigenschap af: 

De som der cijfers van het product ab is gelijk aan het pro- 
duct der cijfersommen van a en b verminderd met B(g — /), 
waarin g het grondtal voorstelt en B het aantal malen, dat men 
bij het vermenigvuldigen of optellen g g' -tallen door een g'^^ -tal 
vervangen heeft, dus de som der getallen, die men bij de ver- 
schillende onderdeden der berekening heeft moeten onthouden. 

In formule luidt dit: 

s{ab) = s{a) . s{b) — B{g — 1). . (540) 

865. Als voorbeeld in het tientallig stelsel nemen we de vol- 
gende vermenigvuldiging: 

6 5 7 18 {27} Hierbij wijzen de tusschen haakjes 

4 2 9 5 {20} geplaatste klein gedrukte getallen 

2 6 2 8 7 2 de getallen aan, die men heeft 

(2) (2) (2) (3) ,u A A A 

-.01^35 moeten onthouden; de som daar- 

(1) (1) (1) (1) van bedraagt 56. De cijfersom- 

(5) (5) (6) (1) (7) i^^n v^" d^ factoren en van het 

3 2 8 5 9 product zijn tusschen accoladen 

(3) (2) (3) (4) , , . ..-u -L, A i 11 

achter de bijbehoorende getallen 



282258810 {36} , , , 

(i)(2)(i)(i)(i)(i) geplaatst. 

Overeenkomstig de eigenschap van n^. 864 heeft men nu 

inderdaad: 

36 = 27 . 20 — 56 . (10 — 1) - 540 — 504. 



435 

866. Bepaling van de hoogste macht van k!y waardoor 
L-Z: deelbaar is. Volgens de eigenschap van n^ 846 is de 

exponent, waarmede het priemgetal p in S—\^ voorkomt, gelijk 

aan 

ka — s{ka) .a — s{a) _ k . s{a) — s(ka) 

P — 1 P — ^~ ~ P — 1 ' 

Volgens de formule (540) van n^ 864 kan voor dien exponent 
geschreven worden: 

k . s(a) — sjk) . s( a) ^Bjp — l) _ 

= izzi^) s(a) +B = e(k) . s{a) + B. 

Hierin is e{k) de exponent, waarmede p in k\ voorkomt. 

Het priemgetal p komt alleen dan in t-^ met minstens den- 
zelfden exponent voor als in (^!)" als voldaan is aan: 

e{k) . s{a) + B^a , e{k). (541) 

Hieraan is steeds voldaan als p > k is, daar dan e(k) = O is. 
Is p ^ k, dus z(k) ^ 1, dan is de grootste waarde van den expo- 
nent a, waarvoor aan (541) voldaan is, 



e(k) . s{a) + B 



s(a) + 



B^ 

le(k) 



e{k) 

Bepaalt men die grootste waarde van u voor alle priemgetallen, 
die ^ k zijn, dan is de kleinste dier grootste waarden de expo- 
nent van de hoogste macht van k\, die op >— tx^ deelbaar is. Men 

krijgt zoo de volgende door C. de Polignac in 1883 bewezen 
eigenschap: 

De exponent van de hoogste macht van kf, die op LJ- deel- 
baar is, is het kleinste der getallen 

s(a) + L(^J (542) 

voor de priemgetallen /?, die ^ k zijn. Hierin is s{a) de som 
der cijfers van a in het p-tallig stelsel, B de som der getallen, 
die men bij de berekening van ka in het p-tallig stelsel heeft 



436 

moeten onthouden, en e{k) de exponent, waarmede p in kt voor- 
komt. 

867. In de eigenschap van n^ 866 ligt die van André (zie- 

D - 

O is. Hiermede is de stelling 



n^. 855) opgesloten, daar 

Lc(/e) 

van André opnieuw bewezen. Is het alleen om het bewijs dier 

stelling te doen, dan heeft men de eigenschap van n^ 864 niet 

noodig, maar kan worden volstaan met 

s(ah) ^ s(a) . s{h\ 

iets waarvan de juistheid gemakkelijker is in te zien dan van de 

eigenschap van n°. 864. 



die van de Polignac. Dat y^ door (^!)2 deelbaar is als a 



^ k is, minstens gelijk aan 2, zoodat ^^^-^^ nog steeds door (^!)2 



868. Ook de eigenschap van n^. 859 volgt zonder moeite uit 

{ka)\ 

minstens twee verschillende priemfactoren bevat, volgt nl. reeds 
direct uit de stelling van André (zie het aan het eind van n^ 858 
opgemerkte). 

Is a een macht van een priemgetal p (met van nul verschil- 
lenden exponent), dan is s(a), dus zeker ook de uitdrukking 
(542) van n^ 866, voor ieder van p verschillend priemgetal, dat 

{ka)\ 

(^!y 

deelbaar is als /? > ^ is. \s p ^ k, dan is, daar a in het/7-tallig 
stelsel geschreven wordt als 1 gevolgd door eenige nullen, s{a) = 1 
en B = O, zoodat de kleinste waarde der uitdrukking (542) dan 

1 is, dus y-— niet door {k\y deelbaar is. 

869. Voorbeeld ter toelichting. Als voorbeeld vragen we 

(7 23)! 
naar de hoogste macht van 7! die op ^ ' ;' deelbaar is, in 

{Zól) 

welk geval a = 23 en k = 7 is. Men heeft dan de priemgetallen 

te beschouwen, die ^ 7 zijn, dus 2, 3, 5, 7. Nu heeft men: 

23 = 10111 (grondtal 2), 5(23) = 4, 

= 212 ( „ 3), = 5, 

= 43 ( , 5), =7, 

= 32 ( „ 7), = 5, 



437 



7= 111 (grondtal 2), e{7) = 



^ = 4, 



= 21 ( „ 




3), 


= 12 ( „ 




5), 


= 10( „ 




7), 


Verder is voor p = 2: 


B 


= 9, 


voor /J = 3: 




= 3, 


voor p = 5: 




= 4, 


voor p = 7: 




= 0, 



7j-3 

2 
7 — 3 

4 
7 — 1 



= 1, 
= 1. 



5(23) 



L<7). 


= 4 + 


"9- 

.4. 




= 5 + 


-3" 

.2. 



o 



= 5 + 



[t 



= 6, 

= 6, 

= 11, 
= 5, 



zooals uit de volgende vermenigvuldigingen, resp. in het twee-, 
drie-, vijf- en zeventallig stelsel, blijkt: 



10111 


212 


43 


32 


111 


21 


12 


10 


10111 


1201 


43 


320 


10111 


212 


141 




10111 


12222 


1121 





10100001 

Daar de kleinste waarde der uitdrukking (542) van n^ 866 
gelijk aan 5 blijkt te zijn, vindt men, dat (7!)^ de hoogste macht 

161' 

van 7! is, waardoor t^ött. deelbaar is. De stelling van André 
(2ö!) 

leert slechts de deelbaarheid daarvan door (7!)^. 

870. Het is voor de bepaling van de kleinste waarde van 
{542) niet steeds noodig de waarde van B voor alle priemgetal- 
len, die ^ k zijn, te berekenen. Neemt nl. de uitdrukking (542) 
voor een bepaald priemgetal een zoodanige waarde aan, dat 
s{a) voor de overige priemgetallen daaraan reeds minstens gelijk 
is, dan is men verzekerd met het kleinste der getallen (542) te 
doen te hebben. 

Heeft men dus in het voorbeeld van n^. 869 gevonden, dat de 



438 



uitdrukking (542) voor p = 2 gelijk is aan 6, dan besluit men 
hieruit direct, dat 5 de kleinste waarde van (542) is. Immers uit 
den vorm van 7 in het zeventallig stelsel valt het onmiddellijk 
op, dat 5 = O is voor p = 7 en (542) dan dus de waarde 5 aan- 
neemt, terwijl voor p = 3 en p = 5 de eerste term van (542) 
reeds minstens 5 is. 

Het is natuurlijk aan te bevelen bij de berekening van (542) 
te beginnen met die waarde van /?, waarvoor s{a) het kleinst is, 
dus in het voorbeeld vau n^ 869 met /? = 2. Vindt men dan 
B = O, dan is reeds direct de kleinste waarde van (542) gevon- 
den, terwijl die mogelijkheid ook nog bestaat als men voor B 
een grootere waarde vindt. 

871. Het voorbeeld van n^. 869 kan natuurlijk ook zonder 
de eigenschap van de Polignac (zie n^. 866) behandeld worden. 
Daartoe bepalen we met behulp van de formule (517) van Legendre 
de exponenten, waarmede de priemgetallen 2, 3, 5 en 7 (de 

161 



eenige, 
Uit 

ri6r 



die in 7! voorkomen) in 



16^1 

3"J 
161 



L 5 . 
161 



L 7 
23 
2 
23 

3J 

7 

2 



+ 



+ 



161 

22 

161 



32 
161 

52. 
161 



4- 



4- 



+ 



161 



161 



161 



+ 



(23iy 

161 



en in 7! zijn aangedaan. 



2' 



H- 



161 



161 



33 J 
161 



+ 



161- 

4^- 



26 J ' L 27 J 
80 + 40 + 20+10 + 5 + 2 

= 53 + 17 + 5 + 1-76, 



158, 



32 + 6 + 1-39, 



[23' 
L22. 
23 
32. 
_7" 
2'. 



+ 



23 

L2^J 



23 

L2^J 



23 + 3 = 26; 

= 7 + 2=9, 
= 3+1=4, 



11 +5 + 2 + 1 = 19, 



= 4, 
= 2, 



'L 

-5 

(23!^ 



23 

L7. 

1, 



= 3 



resp. voorkomen 



volgt, dat de priemgetallen 2, 3, 5, 7 in 

met de exponenten 

158-7. 19 = 25, 76 — 7.9=13, 39 — 7.4=11, 26 — 7,3 



439 

en in 7! resp. met de exponenten 4, 2, 1, 1. Voor den exponent 

van de hoogste macht van 7!, waarin het priemgetal 2, 3, 5 of 

161' 
7 met geen hoogeren exponent voorkomt dan in t^qIv? ^^rdt 

(z3!) 

dus resp. gevonden: 



25 

L4. 



6, 



13 

L2. 



^ 6. iH^ 



= 11 



.[4 



= 5. 



Dit is in overeenstemming met het in n^ 869 gevondene. 



872. Triadische getallen. Volgens de eigenschap van n^ 
846 wordt de exponent, waarmede het priemgetal 3 in n! voor- 
komt, gevonden door n te schrijven als een triadisch getal, 
d. w. z. een getal in het drietallig stelsel. De cijfers van zulk 
een getal zijn O, 1 of 2, m. a. w. de triadische schrijfwijze is 

n = Cm.?>'^ + Cm-i . 3'^-! + Cm-2 • 3'"-^ + .... + C^ . 3 + Cq, (543) 
waarin c^, Cm-h • • • ■, ^i, c^ slechts de waarden O, 1, 2 kunnen 
hebben. 

De tafel van optelling in dit talstelsel luidt: 

1 + 1 = 2, 1 +2 = 10, 2 + 2 = 11, 
de tafel van vermenigvuldiging: 

1.1-1, 1 .2 = 2, 2 . 2= 11. 

873. Splitsing van een getal in een aggregaat van ver- 
schillende machten van 3. Is minstens één der cijfers van het 
door (543) aangegeven getal n gelijk aan 2 en is Cj het laatste 
cijfer 2, dan vindt men (door Cj door 3 — 1 te vervangen en den 
term 3.3^' = 3^-'^ met Cj+\ . 3^'+^ te vereenigen): 

n = Cm.S'^ ^ Cm-l . 3'"-! . . . . + 0>2 • ?>^^'' + 

+ {Cj,, -f- 1) 3>-i - 3^- + o_i ■ 3^-1 + + q . 3 + c,. (544) 

Hierin zijn Cy_i, . . . ., c^, Cq alle O of 1. Het geval, dat reeds 

Cq = 2 is, ligt in het voorgaande als het geval J = O opgesloten; 

dan is — 3^' = — 1, terwijl de daarop volgende termen ten getale 

van J = O aanwezig zijn, dus ontbreken. 

Is Cj+i = 2, dan kan voor (544) geschreven worden: 

/z = c^ . 3'" + Cm-i . 3^-1 -h + 0.3 . 3-'-^3 4_ 

+ (Cy,2 + 1) 3^-^2 _ 3,- + ^._^ , 3.-1 _^ ^ ^^ 3 4- Co. (545) 



440 
Is ook Cj+2 = 2, dan gaat dit over in: 

+ icj,3 + 1) • 3^--3 — 3J + 0-1 • 3^-1 + ....+ o . 3 + Co, (546) 
enz. 

Komt na afloop dezer herleidingen nog minstens één der 
machten van 3 met den coëfficiënt 2 voor, dan vervangen we 
den meest rechts staanden coëfficiënt 2 weer door 3 — 1 en 
handelen verder op dezelfde wijze als boven. Zoo doorgaande 
kan men, van rechts naar links gaande, alle coëfficiënten 2 ver- 
drijven, waarvoor dan echter coëfficiënten — 1 in de plaats 
komen. Men heeft dus: 

Ieder natuurlijk getal is als een aggregaat van verschillende 
machten van 3 te schrijven. 

Hierbij is onder een aggregaat van eenige getallen te verstaan 
de som dier getallen nadat mogelijk eenige daarvan van teeken 
zijn omgekeerd, 

874. Uit de vormingswijze van het in n^ 873 beschouwde 
aggregaat is direct te zien, dat de hoogste macht van 3 met het 
teeken + is aangedaan (verg. n^ 877). 

Verder blijkt gemakkelijk, dat in het aggregaat de exponent 
van de hoogste macht van 3 gelijk is aan of 1 grooter dan de 
grootste exponent van 3, die in de oorspronkelijke formule (543) 
voor n (triadische schrijfwijze van n) voorkomt. Het laatste geval 
doet zich dan en alleen dan voor als in de triadische schrijfwijze 
een cijfer 2 voorkomt, waaraan [zoo het niet het eerste cijfer is) 
uitsluitend cijfers 1 voorafgaan; we laten dit ^an den lezer over 
na te gaan. 

875. Ter verduidelijking laten we een voorbeeld van de in 
n^. 873 besproken omzetting volgen: 

120102211 = 



39 + 


38 + 2 


.37 + 3^ 


+ 2 . 


33 


+ 2 


.32-1-3+1 


39 + 


38 + 2 


.37 + 3^ 


+ 3 


. 33 


— 


32 + 3 + 1 


3« + 


38 + 2 


.37 + 35 + 3^ 






— 


32 + 3 + 1 


39 + 2 


. 3«- 


37 + 3^ + 3* 






— 


32 + 3+1 


39 — 


3« — 


37 + 3^ + 3* 






— 


32 + 3 + 1 


3^ — 


38 — 


37 + 3^ + 3* 






— 


32 + 3 + 1 



= 310 _ 

Deze herleidingen zijn gemakkelijk uit het hoofd uit te voeren, 



441 



zoodat men het aggregaat onmiddellijk kan neerschrijven als de 
triadische schrijfwijze gegeven is; men heeft slechts, rechts begin- 
nend, ieder cijfer 2 door — 1 te vervangen en daarbij het voor- 
afgaande cijfer met 1 te verhoogen. 

876. We laten hier de eerste 50 getallen, geschreven als 
aggregaten van verschillende machten van 3 volgen. De tweede 
en derde kolom geven deze getallen resp. in het tien- en in het 
drietalHg stelsel. 



i 

i 1 


1 






26 


222 




3^ -1 


2 


2 




3— 1 


27 


1000 




33 


3 


10 




3 


28 


1001 




33 + 1 


4 


11 




3 + 1 


29 


1002 




33 +3 — 1 


5 


12 




32-3-1 


30 


1010 




33 +3 


6 


20 




32 _ 3 


31 


1011 




33 +3 + 1 


7 


21 




3^ - 3 -h 1 


32 


1012 




33 + 32 — 3-1 


8 


22 




32 _i 


33 


1020 




33 + 32 — 3 


9 


100 




32 


34 


1021 




33 + 32-3 + 1 


10 


101 




3-^ +1 


35 


1022 




33 + 32 - 1 


11 


102 




3^ + 3-1 


36 


1100 




33 + 32 


12 


110 




32+3 


37 


1101 




33 + 32 _^ 1 


13 


111 




3-^ + 3+1 


38 


1102 




33 + 32 + 3-1 


14 


112 


33- 


-32-3-1 


39 


1110 




33 + 32 + 3 


15 


120 


33- 


-32-3 


40 


1111 




33 + 32 + 3+1 


16 


121 


33- 


-32-3 + 1 


41 


1112 


3*- 


- 33 - 32 - 3—1 


17 


122 


y- 


_32 _ 1 


42 


1120 


3*- 


_ 33 _ 32 _ 3 


18 


200 


33- 


-32 


43 


1121 


34 _ 


-33 — 32 — 3+1 


19 


201 


33- 


-32 +1 


44 


1122 


3*- 


_33_32 _i 


20 


202 


33 - 


-32 + 3 — 1 


45 


1200 


3^ - 


- 33 — 32 


21 


210 


33- 


-32 + 3 


46 


1201 


3^ - 


_ 33 _ 32 +1 


22 


211 


33- 


- 32 + 3 -^, 1 


47 


1202 


3*- 


_ 38 _ 32 + 3 _ 1 


23 


212 


33 


-3-1 


48 


1210 


3*- 


-33 — 32 + 3 


24 


220 


38 


- 3 


49 


1211 


3*- 


-33-32 + 3+1 


25 


221 


33 


-3 + 1 


50 


1212 


3^- 


-33 - 3 - 1 



877. Nadere beschouwing der aggregaten van verschillende 
machten van 3. Volgens de eigenschap van n*^. 873 is een 
natuurlijk getal n in den volgenden vorm te brengen: 
n = dk.?>'^ d,-i . 3^-^ + dk-2 . 3*-2 + + ^, . 3 + ^0. (547) 



442 

waarin de coëfficiënten dk, dk-u . . . ., d^, d^ een der waarden 
O, 1, — 1 hebben. Uit (547) volgt: 

n^dk.'è^ + 3^-1 + 3^-2 + + 3 + 1 = 

= <^..3^ + ?^-i=^?^^^±l^^. (548) 

Hieruit volgt in verband met n^ \, ddiidk niet — 1, dus O of 1 is. 

Begint men de door het tweede lid van (547) aangegeven ont- 
wikkeling met een van nul verschillenden term, dan is dus dk== l. 
Hiermede is het in n^ 874 verkregen resultaat, dat bij het 
aggregaat van verschillende machten van 8 de hoogste macht 
van 3 het teeken + heeft, opnieuw aangetoond. 

In sommige gevallen is het echter voordeelig nog een of meer 
hoogere machten van 3 met coëfficiënten O toegevoegd te denken \ 

878. We beschouwen een tweede natuurlijk getal n' en schrij- 
ven dit eveneens als een aggregaat van verschillende machten 
van 3. Men heeft dan 

^^ = ü^i . 3^ + d\_x . 3^-1 + + öf'i . 3 + ö^ó, 

waarin weer d!k, d'k-\, . . . ., d'o, alle O, 1 of — 1 zijn. Hierbij is 
aangenomen, dat de ontwikkelingen van n en n' met dezelfde 
macht van 3 beginnen, iets dat door voorplaatsing van machten 
van 3 met coëfficiënt nul (zie de opmerking aan het eind van 
n^. 877) steeds te bereiken is. 

Zijn nu di en d] van links gerekend de eerste afwijkende coëf- 
ficiënten (dus dk = d'k, dk-\ = d'k-u . • . ., di+\ = dUx) en b.v. 
di > d'i\ het geval, dat reeds dk en <iWersGhillend zijn, Ugt hierin 
als i = k opgesloten. Men heeft dan, als men 

dk.?>^-\- du-i . 3^-1 + .... + du, . 3'-i = w 
stelt (daar ö?/_i, <i/_2, . . . ., d^ alle ^ — 1 zijn): 

n^w^-di .'è^ — 3'-i — 3^-2 — 3 _ 1 := 

^ ^ o 3^-1 , {2di - 1) 3^- + 1 ,.,Q. 

= w + di . 3/ ^- =w + ' ^ . (549) 

Evenzoo vindt men (daar <i/_i, d'i-2, . . . ., dó alle ^ 1 zijn): 

n' ^w + d'i . 3^' + 3'-i + 3''-2 ■{- + 3 + 1 - 

. ^ + (2^i+i)^izii. (550) 



^) Dit is geheel analoog met het voorplaatsen van cijfers nul ; zie n^. 418. 



443 

Nu is di'^ d\ + \, dus: 

2di — 1 ^ 2d'i+ 1, 
zoodat men uit (549) en (550) tot n > n' besluit. Hiermede is 
aangetoond: 

Zijn twee getallen ieder als een aggregaat van verschillende 
machten van 3 geschreven en stemmen de overeenkomstige coëf- 
ficiënten (O, 1 of — 1) bij beide ontwikkelingen niet alle overeen, 
dan is het getal, waarbij de eerste afwijkende coëfficiënt (d. w. z. 
die behoorende bij de hoogste macht van 3, waarvoor de coëf- 
ficiënten niet overeenstemmen) het grootst is, grooter dan het 
andere getal. 

879. Ondubbelzinnigheid der splitsing in een aggregaat 
van verschillende machten van 3. Uit de eigenschap van n^ 
878 blijkt, dat twee als aggregaten van verschillende van machten 
van 3 geschreven natuurlijke getallen ongelijk zijn als die aggre- 
gaten niet in alle coëfficiënten overeenstemmen. Dit beteekent: 

Een natuurlijk getal is op slechts één manier als een aggregaat 
van verschillende machten van 3 te schrijven. 

We merken nog op, dat het hiervan gegeven bewijs met voor 
de hand liggende wijziging kan dienen om de eigenschap van 
n^. 417 aan te toonen. Daartoe begint men met het afleiden 
van de in n^. 420 en 421 verkregen resultaten, waaruit dan verder 
de eigenschap van n^. 417 onmiddellijk volgt. 

880. De eigenschap van n^ 878 stelt ons in staat met aggre- 
gaten van verschillende machten van 3 te tellen op geheel soort- 
gelijke wijze als men dit met getallen in het ^-tallig stelsel doet 
(zie n^ 422 — 424); d. w. z. ze levert een middel om de opvolgende 
natuurlijke getallen direct als zulke aggregaten neer te schrijven. 
Het is dus niet noodig die getallen eerst in een of ander tal- 
stelsel neer te schrijven en ze daarna tot aggregaten van ver- 
schillende machten van 3 om te rekenen. 

Het achtereenvolgens neerschrijven dier aggregaten, d. w. z. het 
overgaan op het volgende getal, geschiedt nl. door den laatsten 
van 1 verschillenden coëfficiënt (dus den van 1 verschillenden 
coëfficiënt, die behoort bij de laagste macht van 3) met 1 te 
vermeerderen (dus resp. door O of 1 te vervangen als die — 1 



444 

of O is) en de daarop volgende coëfficiënten 1, zoo die er zijn, 
alle door — 1 te vervangen. Dit stemt geheel met den in n^. 
422 gegeven regel overeen, waarbij de coëfficiënten — 1 en 1 
resp. dezelfde rol spelen als de cijfers O en ^ — 1 van n^. 422. 
De gegeven regel stelt ons op eenvoudige wijze in staat direct 
de derde kolom van het tafeltje van n^. 876 in te vullen. 

881. Uit de gelijkheid (547) van n». 877 volgt (daar dk-u 
dk-2, . . . ., d^, d^ alle > — 1 zijn): 

n^dk.S'^ — 3^-1 — 3^-2 — 3 — 1 = 

= rf..3^-^--:-i = <2^^^^-±l. (551) 

Begint men de ontwikkeling niet met een term nul, dan is 
dk= \. Uit (548) en (551) volgt dan: 

3/:_l 3^_.1 3;c.i_i 

-^— < -^— + 1 ^ « ^ 2 • ^^^^^ 

Omgekeerd zal ook ieder getal n, dat aan (552) voldoet, bij 
splitsing in een aggregaat van verschillende machten van 3 als 
hoogste macht van 3 de k"^^ opleveren. Nu is: 

5^- = 3^-' 4-3^^-2 + ....+ 3 + 1, 

dus in het drietallig stelsel een getal geschreven met k cijfers 1. 
Het blijkt dus, dat het aggregaat dan en alleen dan 3^ als hoogste 
macht van 3 heeft als n grooter is dan het triadische getal 
UI ... . 1 (k cijfers) en ^ 111 .... 1 (k -\- 1 cijfers). Hieruit zijn 
de in n^. 874 verkregen resultaten onmiddellijk af te lezen. 

882. Andere omvormingswijze tot een aggregaat van ver- 
schillende machten van 3. Een natuurlijk getal kan ook tot 
een aggregaat van verschillende machten van 3 worden omge- 
vormd zonder dit eerst in bet drietallig stelsel te schrijven. Uit 
de gelijkheid (547) van n^. 877 blijkt nl., dat d^ de rest der 
deeling van n door 3 is als men die rest tot haar absoluut kleinste 
waarde herleidt. Is dan: 

n = ?>q,+d, {—\<d,^ 1), 
dan heeft men, als dk= \ genomen wordt: 

q^ = S'^-i + dk-i . 3^-2 + 4_2 . 3^-3 + . . . . + öfg . 3 + ^1, 



445 

zoodat d] de absoluut kleinste rest der deeling van q^ door 3 is, 
enz. Men krijgt zoo de betrekkingen: 
n = 3qi -j- d^ 

Qi = 3^2 + ^1 



1 ^ ö?o ^ 1), 
1 ^ ^1 ^ 1), 
l^d, ^ 1), 



1 ^ öf,_2 ^ 1), 
1 ^ ^,_i ^ 1). 



Daar de getallen ö^q, <ii, üfg. enz. door deze betrekkingen 
ondubbelzinnig bepaald zijn, is hiermede tevens een ander bewijs 
der eigenschap van n^ 879 geleverd (vergelijk het aan het eind 
van n^. 417 opgemerkte). 

883. De in n^. 882 besproken omvorming van een getal in 
het ^-tallig stelsel tot een aggregaat van verschillende machten 
van 3 komt geheel overeen met den in n*'. 482 besproken over- 
gang op een ander talstelsel door deelingen in het oorspronke- 
lijke talstelsel. Slechts is er dit verschil, dat men nu de quotiënten 
steeds zoo kiest, dat de resten in absolute waarde zoo klein 
mogelijk uitvallen. 

Als voorbeeld nemen we hetzelfde getal als dat van n^. 875, 
hetwelk in het tientallig stelsel luidt 30937. De berekening is 
nu de volgende: 





30937 = 3 . 


10312 + 1, 




10312 = 3 . 


3437+1, 




3437 = 3 . 


1146 — 1, 




1146 = 3 . 


382 




382 = 3 . 


127+ 1, 




127 = 3 . 


42 + 1, 




42 = 3 . 


14 




14 = 3. 


5- 1, 




5 = 3. 


2 — 1, 




2 = 3 


— 1, 


waaruit blijkt: 






30937 = 310 - 


_39_38_3 


'' + 3^ + 3^ 



32 + 3 + 1. 

884. Verband met de formule van Legendre. Men kan uit 

de voorstelling van een getal n door een aggregaat van verschil- 



446 

lende machten van 3 gemakkelijk de som der cijfers in het drie- 
tallig stelsel afleiden zonder eerst de omvorming tot een triadisch 
getal uit te voeren ^). 

Daartoe gaan we de in n^. 873 besproken omvorming na en mer- 
ken op, dat bij overgang van (543) op (544) de coëfficiënten Cj+\ en 
Cj = 2 resp. door Cj+\ + 1 en — 1 vervangen worden, zoodat de 
som der coëfficiënten (die aanvankelijk de som der cijfers in het 
drietallig stelsel is) met 2 wordt verminderd. Bij overgang van 
(544) op (545) (welke overgang alleen wordt uitgevoerd als r^ + i = 2 
is) worden de coëfficiënten Cj+2 en Cy+i + 1 = 3 resp. door ^^+2+ 1 
en O vervangen, zoodat de som der coëfficiënten opnieuw met 
2 afneemt. Hetzelfde heeft, voor het geval ook Cj+2 = 2 is, 
plaats bij overgang van (545) op (546), enz. Komt men zoo op 

n = Cm,'è'^^ Cm-i . 3^-1 + + Ch-1 . 3^-^ + 

+ (c/, + 1) . 3^ — 3^- + 0-1 • S-^'"' + . . . . + ^1 • 3 + ^0, (553) 
waarbij Ch < 2, dus c^-^ l ^2 is, dan is de som der coëfficiënten 
in het geheel met 2(h — j) afgenomen. 

Bij de verdere herleiding blijft de coëfficiënt van 3^' gelijk aan 
1 als Ch = O is en wordt — 1 a.\s Ch = l is. Bijgevolg is in den 
eindvorm (aggregaat van verschillende machten van 3) h — j het 
bedrag, waarmede J overtroffen wordt door den exponent van 
de voorafgaande (hoogere) macht van 3 (met van nul verschil- 
lenden coëfficiënt). 

Komen in het tweede lid van (553) nog coëfficiënten 2 voor, 
dan begint men dezelfde herleidingen opnieuw, waarbij de som 
der coëfficiënten weer eenige malen met 2 afneemt. Zoo door- 
gaande vindt men: 

Is een natuurlijk getal n als een aggregaat van verschillende 
machten van 3 geschreven, dan is de som der coëfficiënten (/ 
of — /) gelijk aan de som der cijfers van n in het drietallig 
stelsel verminderd met 2S, waarin S voorstelt de som der bedra- 



^) Zoo noodig kan die omvorming tot stand gebracht worden door 
de in n^. 873 besproken herleidingen in tegengestelde volgorde uit te 
voeren. In het voorbeeld van n^. 875 heeft men dan de aaneenge- 
schakelde gelijkheden van achteren naar, voren te lezen. We laten het 
aan den lezer ovei dit verder na te gaan. 



447 

gerij waarmede telkens een exponent van een negatieve macht ^) 
door den voorafgaanden exponent {met bijbehoorenden van nul 
verschillenden coëfficiënt) overtroffen wordt. 

885. De eigenschap van n*^. 884 doet bij een als aggregaat 
van verschillende machten van 3 geschreven getal n onmiddellijk 
de som der cijfers als triadisch getal kennen en daarmede den 
exponent, waarmede 3 in n! voorkomt (zie de eigenschap van 
no. 846). 

Als voorbeeld nemen we 

AZ = 320 — 3I8 — 3^6 _ 313 -f- 312 _ 310 _ 36 + 35 _ 33 + 3 _ 1 

De som der coëfficiënten (4 coëfficiënten 1 en 7 coëfficiënten 
— 1) is — 3. De som der cijfers in het drietallig stelsel is dus: 

— 3 + 2{(20— 18) + (18— 16) + (16 — 13)-f(12 — 10) + (10— 6) + (5-3) + (l-0)} = 
: — 3 + 2{(20 — 13) 2) + (12 — 6) 2) + (5 — 3) + (1 - 0)} = 

— 3 + 2(7 + 6 + 2+ 1) = — 3 +2. 16 = 29. 

De omzetting van n tot een dekadisch getal is blijkens: 
/i = 3 [32{3<3[3^{32(3 [3^(32(32 — 1) - 1)} — 1] + 1) _ 1} _ l] + l) — i( + ij _ 1 
als volgt (vergelijk n^ 483): 

9 5748 12572817 



8 5749 ' 12572818 

Jx ^X ^ 

72 51741 113155362 

1 1 1 



71 51740 113155361 

2^x ' ...Jx ^_^x 



1917 4190940 1018398249 
1 1 1 



1916 4190939 1018398250 ' 

^x _.^x ...^Jx 



5748 12572817 3055194750 

1 



3055194749 



^) Met een negatieve macht is hier bedoeld een macht met coëffi- 
ciënt — 1. 

^) Een soortgelijke vereenvoudiging kan steeds worden toegepast 
als twee of meer negatieve termen op elkaar volgen. 



448 

Volgens de eigenschap van n^ 846 komt 3 dus in n ! voor met 
den exponent 

3055194749-^9 ^ ^^^^^^^^^^ 

886. Men kan aan het getal 6" van n^. 884 nog een andere 
beteekenis toekennen, nl. het aantal der negatieve termen en dier 
termen nul, die aan een negatieven term voorafgaan, d. w. z. 
waarvoor de eerstvolgende van nul verschillende term negatief is. 

Zoo zijn in het voorbeeld van n^. 885 de coëfficiënten van het 
aggregaat, als men ook de termen nul (behoorende bij de exponen- 
ten 19, 17, 15, 14, 11, 9, 8, 7, 4, 2) mederekent: 
Ö, — 1, Ö, — 1, Ö, Ö, - 1, 1, Ö, - 1, Ö, Ö, Ö, — 1, 1, Ö, - 1, O, 1, 

De nullen, die aan een coëfficiënt — 1 voorafgaan, zijn door 
een streepje er boven aangewezen. Het aantal dier nullen gevoegd 
bij dat der coëfficiënten — 1 geeft S = 16, in overeenstemming 
met het in n^. 885 gevondene. 

887. Uitbreiding der voorgaande beschouwingen. De be- 
schouwingen van n^. 873—886 zijn uit te breiden tot het geval, 
dat men het grondtal 3 door een willekeurig (al of niet ondeel- 
baar) oneven getal g vervangt. Men heeft nl.:' 

Een natuurlijk getal n is steeds en op slechts één manier in 
den vorm 

n = d,g' + d,_,g'-' + d,_,g'-^ + ....^d,g^d, (554) 
te brengen, waarin de coëfficiënten df^, <^a;— i» • • • ., d^ een der 
waarden 

0+1 +2 + ^ — 

hebben. 

Het eenvoudigst toont men dit weer op de in n^. 882 aange- 
geven wijze aan, nl. door opvolgende deelingen door g, daarbij 
steeds de quotiënten zoo kiezend, dat de resten absoluut zoo 
klein mogelijk zijn. 

888.- De regel om van twee aldus geschreven getallen uit te 
maken, welk het grootst is, is weer geheel analoog met den- 
in n^ 878 gegeven regel. Stemmen nl. de getallen n en n' in 
de coëfficiënten van g'*^ en die van de hoogere machten van g 



449 
overeen, terwijl di > d'. is, dan heeft men (daar <i/_i, di-2, . . . ., 
d, alle ^ -^~ en d[_^, d'._^, • • • ., «f; alle ^^-^ zijn): 

, . , ^' — 1 , (2^/ — 1)^'' + 1 

n' ^.w + d'g + ^-te'-^ + ^'-' + .•••+ ^ + 1) = 

Jld\^\)gi-\ 

= w-r -^ , 

waarin: 

w = dkgk + 4_i^^-i + + dij^^gi^-K 

Op dezelfde wijze als in n^. 878 besluit men hieruit tot n > n\ 
Men kan nu verder met getallen van den vorm (554) tellen 

a— 1 

door den laatsten coëfficiënt, die < ^— ^ — is, met 1 te vermeer- 

a _ 1 
deren en de volgende coëfficiënten -—^ — (zoo die er zijn) alle 

door — ^-^ — te vervangen (verg. n^ 880). 

889. Is een getal in het ^-tallig stelsel geschreven, dan kan 
men het op soortgelijke wijze als de in n^. 873 aangegevene tot 
den vorm (554) herleiden (van rechts naar links). Daartoe ver- 
vangen we Cj door g — {g — c^ en vereenigen den term g . g^ = gj^'^ 

a — 1 
met Cj+]gJ-^'^; hierin is Cj het laatste cijfer van n, dat > ^— 9 — 

is. Is Cj+i =g — 1, dan ontstaat zoo een term 

die met 0+2 ^■'^^ tot (Cy+2 + 1)^-'^^ vereenigd wordt, enz. Deze 
herleiding wordt door het volgende voorbeeld (waarbij ^ = 7 is) 
genoegzaam verduidelijkt: 
662036503 = 6 . 7« 4- 6 . 7^ + 2 . 7^ + 3 . 7* + 6 . 7» + 5 . 7^ -f 3 

= 6 . 7« + 6 . 77 + 2 . 7« + 3 . 7^ H- 7 . 7» — 2 . 7~ + 3 

- 6 . 7« + 6 . 7^^-h2 . 76 +4.7'* - 2 . 7~ + 3 

- 6 . 7« + 6 . 77 + 2 .7<5 + 7-' — 3 . 7-* — 2 . 7~ + 3 
= 7.7«— 7^ + 2 . 76 + 7" — 3 . 7^ . — 2 . 7- + 3 
= 79 — 77 + 2 . 7« + 7^ — 3 . 7» . — 2.7~ + 3. 

FRED. scHUii, Leerboek der Theoretische Rekenkunde. 29 



450 

890. Ook de beschouwingen van n^. 884 blijven met voor de 
hand liggende wijzigingen doorgaan. Bij ieder der omzettingen 
wordt een coëfficiënt met g verminderd en de daaraan vooraf- 
gaande coëfficiënt met 1 vermeerderd, waardoor de som der 
coëfficiënten met g — 1 afneemt. Is 6" het aantal dier omzettin- 
gen, dan is dus de som der coëfficiënten in de ontwikkeling 
(554) gelijk aan de cijfersom in het ^-tallig stelsel verminderd 
met (g — 1)5; hierin wordt S uit de ontwikkeling (554) afgeleid 
op de wijze als in de eigenschap van n^. 884 is aangegeven. 

Zoo blijkt in het voorbeeld van n^. 889 uit den laatsten vorm 
van het daar beschouwde getal (waarvan de coëfficiëntensom 1 
is), dat de som der cijfers in het zeventallig stelsel gelijk is aan: 
1 + 6{(9 - 7) + (5 - 4) + (4 — 2)} = 1 -f 6 . 5 - 31. 

891. Talstelsel met wisselend grondtal. Een uitbreiding van 
het schrijven van een natuurlijk getal in het ^-tallig stelsel willen 
we hier nog vermelden. De bedoelde uitbreiding bestaat daarin, 
dat de opvolgende machten van g, nl. 1, g, g^, g^, g*, enz., ver- 
vangen worden door de producten 

waarin de getallen g^, g^, g^, enz. alle > 1 zijn. Men heeft dien- 
aangaande de eigenschap: 
Is 

gv gi^ ^3> • • • • 

een oneindig voortloopende rij van gegeven getallen, die alle > / 
zijn, dan is ieder natuurlijk getal n steeds, en op slechts één 
manier, in den vorm 

+ c^gig^g^ + Cigigi + ^1^1 + ^0 (555) 

te schrijven, waarin: 

O^Ci<guu 
Neemt men de getallen g^, g^, g^, enz. alle gelijk aan g, dan 
gaat dit in de schrijfwijze in het ^-tallig stelsel over. 

892. De eigenschap van n^ 891 wordt weer het eenvoudigst 
bewezen door op te merken, dat c^ de (niet negatieve) rest der 
deeling van n door g^ is, c-^ de rest der deeling van het partiëele 
quotiënt door g^, enz. Dit geeft de betrekkingen: 



451 



« = <J^gi 't Co 


(0^c,< gi), 


qi = q^gi + Cl 


(0 S Cl < g,), 


^2 = Isgs + Cst 


(0 ö c, < g,), 



qm-2 = qm-\gm-\ + Cm-2 (O ^ C;„-2 < gm-\), 

qm-\ = ^m^m ^- Cm~\ {^^Cm-\ <gm,0<Cm <gm + l)- 

Daar g-^, g^, g^, enz. alle > 1 zijn, worden de partiëele quotiën- 
ten ^1,^2^ ^s? ^i^z. voortdurend kleiner (m. 2i.w.n> q^ >q2>qs>--"), 
zoodat men eindelijk een quotiënt qm = Cm verkrijgt, waarvoor 
geldt qm < gm + \' Hiermede breekt de rij gelijkheden af. 

Met het voorgaande is tevens de eenvoudigste weg aangegeven 
om de omvorming tot (555) tot stand te brengen. 

-893. De eigenschap van n^ 891 blijft doorgaan als eenige of 
oneindig veel der getallen g-^, g^, ^3, .... de waarde 1 hebben, 
mits nog oneindig veel dier getallen > 1 zijn. Immers ook dan 
nemen de quotiënten af tot er een quotiënt komt, waarvoor aan 
Qm <^w + i voldaan is; slechts is er dit verschil, dat nu sommige 
opvolgende quotiënten gelijk zijn, nl. ^/_i = qi als gt = 1 is. 

Voor gi = 1 volgt uit O ^ Ci-\ < gi, dat O-i = O is. Dit maakt, 
dat dezelfde uitdrukking ontstaat als wanneer gi niet onder de 
getallen g-^^, g^, g^, enz. was opgenomen. Heeft men b.v.: 

^ = C4glg2g^g4 + (^Sglg2gs + C2glg2 + ^1^] + ^0 

en is ^3 = 1, dus Cc,, = O, dan gaat dit over in: 

^ == ^4glg2g4 + ^Sglg2 + ^1^1 + ^0, 

waarbij het getal ^g geheel is uitgeschakeld. Het heeft dus weinig 
zin toe te laten, dat sommige der getallen g^, g^, g^, enz. gelijk 
aan 1 zijn. 

894. We laten het aan den lezer over aan te toonen, dat men 
bij twee getallen, die op de in de eigenschap van n^ 891 aan- 
gegeven wijze geschreven zijn, het grooter of kleiner zijn op 
geheel dezelfde wijze beoordeelt als bij de schrijfwijze met een 
vast grondtal (zie n^. 420 en 421). Ook het optellen blijft op 
geheel soortgelijke wijze geschieden, zooals gemakkelijk is na 
te gaan. 

Voor het uitvoeren van een vermenigvuldiging leent zich echter 



452 

de vorm (555) zeer slecht, daar de vermenigvuldiging tot producten 
van getallen gt voert, die in den vorm (555) niet voorkomen. 
Dit maakt, dat de schrijfwijze (555) voor ongelijke getallen 
^1) ^2» ^3' ^nz. practisch zeer aanmerkelijk achterstaat bij de 
gewone schrijfwijze in een talstelsel. 

895. Als een aan het dagelijksch leven ontleend voorbeeld 
van de schrijfwijze (555) van n^. 891 nemen we de verdeeling 
van den tijd in eeuwen, jaren, weken, dagen, uren en minuten 
(daarbij gemakshalve een jaar op 52 weken stellend). Een tijd- 
vak van Cq minuten, q uren, Cj dagen, c^, weken, c^ jaren en 
^5 eeuwen (Cq < 60, c-^ < 24, c^ < 7, c^ < 52, C4 < 100) bevat dan 
60. 24.7.52.100+^4.60.24. 7. 52 + 6-3. 60. 24. 7 + ^2.60.24 + ^1.60+^0 
minuten. Door de samenvoeging tot grootere tijdvakken (die 
b.v. 1000 jaar, 1000000 jaar, enz. bevatten) onbepaald voort te 
zetten krijgt men volledige overeenstemming met (555). 

Tevens doet het voorbeeld nog eens duidelijk uitkomen, dat 
het geen zin heeft sommige der getallen gi gelijk aan 1 te nemen 
(zie n^ 893). Dit zou nl. daarop neerkomen, dat men aan een 
zelfde tijdvak meerdere namen toekent en slechts één dier namen 
gebruikt. 



NOTATIES. 



Aantal combinaties van n elementen p aan p CJ 

deelers van n t{n) 

herhalingscombinaties van n elementen p aan p Cp 

permutaties van n elementen P^ 

variaties van n elementen p aan p yP 

Absolute waarde van a \ a\ 

Aftelbaar oneindig cardinaalgetal a 

Binomiaalcoëfficiënt van de «^e macht y\ 

Cardinaalgetallen uit a door machtsverheffingen 

afgeleid 

Exponent, waarmede zeker priemgetal in n\ voorkomt s{n) 

Gelijkwaardigheid der hoeveelheden A ^n B A o^ B 

Getallenpaar gevormd door a tn b (a, b) 

Qrondtal van het talstelsel g 
Hoeveelheid der beleggingen van de hoeveelheid B 

met elementen der hoeveelheid A A^ 

Indicator van n <p(n) 

Kleinste transfiniet ordinaalgetal <w 

Partieel quotiënt der deeling van a door b \~h\ 

Product der deelers van n p^^^^ 



(ttj, Og, .■■, 0.nj 



der getallen a^, a^, . 


. . ., «n 


Pn 


der getallen 1, 2, . . . 


., n 


n\ 


Som der cijfers van n 




s(n) 


der deelers van n 




Sin) 


der getallen a^, a^, . 


• . ., an 


Sn=ta^ 



LIJST DER TAFELS, 



Tafel der aantallen resten van de machten van 10 bij deeling door 
met 10 onderling ondeelbare getallen beneden 300 (blz. 367). 

Tafel der aggregaten van verschillende machten van 3, welke ^ 50 
zijn (blz. 441). 

Tafel der binomiaalcoëfficiënten tot en met de S^te macht (blz. 159). 

Tafel der herleidingsfactoren bij de deelbaarheidskenmerken door 
optelling of aftrekking in het tientallig stelsel (blz. 382). 

Tafel der herleidingsfactoren bij de uitgebreide deelbaarheidskenmerken 
door optelling of aftrekking in het tientallig stelsel voor deelers beneden 
100 en exponenten 1, 2, , 10 (blz. 395—397). 

Tafel der ontbinding in priemf actoren van de getallen 10^ — 1 voor 
/ = 1, 2, ,10 (blz. 349). 

Tafel der ordinaalgetallen (blz. 106 — 107). 

Tafel der perioden van resten der machten van 10 bij deeling door 
met 10 onderling ondeelbare getallen beneden 100 (blz. 363 — 364). 



REGISTER. 

(De getallen verwijzen naar de bladzijden). 



Aantal, 123, 236; 

deelers van een getal, 179; 

elementen van een hoeveel- 
heid, 8. 
Aantallen resten (tafel der — ), 367. 
Aantallenpaar, 254. 
Absolute waarde, 249, 269; 

van een product, 250; 

van een quotiënt, 270; 

van een som, 250—252. 
Aequivalent, zie gelijkwaardig. 
Afbeelding van hoeveelheden, 6, 

9, 89; 

(gelijkvormige — ), 288; 

(identieke — ), 90, 290. 
Afgeleide eigenschappen, 3. 
Afhankelijk veranderlijke, 170. 
Afhankelijkheid van vergelijkin- 
gen, 326. 
Aftelbaar oneindige cardinaalge- 

tallen, 90; 

hoeveelheden, 90. 
Aftrekker, 28. 
Aftrekking, 28; 

in talstelsels, 207—211; 

met aantallen, 127; 

met geheele getallen, 265 — 266; 

met natuurlijke getallen, 29; 

(kenmerk van deelbaarheid 

door — ), 375, 390. 
Aftrektal, 28. 



Aggregaat van machten van 3, 440. 
Algemeen element eener rekenkun- 
dige reeks, 304. 
Algemeene associatieve eigenschap 

der opteUing, 21, 96; 

der vermenigvuldiging, 39, 98; 

commutatieve eigenschap der 

optelling 22, 96; 

der vermenigvuldiging, 39, 98; 

distributieve eigenschap der 

machtsverheffing, 50; 

der vermenigvuldiging, 42, 98; 

oplossing van een onbepaalde 

vergelijking, 310, 324, 336. 
Algorithmus der aftrekking, 209— 

210; 

der deeling, 223—230; 

der optelling, 207; 

der vermenigvuldiging, 211 — 

215; 

ter oplossing van een onbe- 
paalde vergelijking, 314, 332; 

van EucLiDES, 71; 

voor ontbinding van n\, 416; 

voor overgang op een ander 

talstelsel, 230—231. 
André (stelling van — ), 428. 
Associatieve eigenschap der optel- 
ling, 237; 

der optelling van aantallen, 125; 

van cardinaalgetallen, 96; 



456 



van geheele getallen, 261 — 262, 

282—283; 

van hoeveelheden, 16, 96; 

van natuurlijke getallen,19 — 21, 

26; 

der vermenigvuldiging, 237; 

der vermenigvuldiging van 

aantallen, 128—129; 

van cardinaalgetallen, 97, 98; 

van geheele getallen, 263, 280; 

van hoeveelheden, 46, 97; 

van natuurlijke getallen, 39, 

44, 47. 

JBeginsel van de permanentie der 

formeele wetten, 237. 
Belegging van een hoeveelheid, 54. 
Benoemde getallen, 57. 
Bernoullt (Jacob), 25. 
Bernoulliaansch bewijs, 25. 
Bernstein (gelijkwaardigheidsstel- 

ling van Schröder en — ), 93. 
Bewijs door volledige inductie, 25; 

van Bernoulli, 25; 

van « op /z -h 1, 25. 
Bijzondere oplossing van een onbe- 
paalde vergelijking, 310, 335. 
Bikwadratisch, 170. 
Binomiaalcoëfficiënten, 1 53. 
Binomium, 152 ; 

van Newton, 153, 300. 
BouRGUET (stelling van Catalan 

en — ), 421—422. 

Cantor (Georg), 89. 

Cardinaalgetal, 90. 

Catalan (Eugène Charles), 419; 

(stelling van — ), 419; 

(stelling van — en Bourguet), 

421—422. 
Cijfer, 193; 

der eenheden, 193; 

der ^'-tallen, 193. 



Coëfficiënt, 152, 170, 307. 
Combinaties, 137; 

met herhaling, 140. 
Commutatieve eigenschap der op- 
telling, 237; 

der optelling van aantallen, 125; 

van cardinaalgetallen, 96; 

van geheele getallen, 261, 280; 

van hoeveelheden, 15, 96; 

van natuurlijke getallen, 18, 

21-22, 26—27; 

der vermenigvuldiging, 237; 

der vermenigvuldiging van aan- 
tallen, 128; 

van cardinaalgetallen, 97, 98; 

van geheele getallen, 263,280; 

van hoeveelheden, 46, 97; 

van natuurlijke getallen, 38, 

39, 44—45, 47. 
Complementaire deelen, 124; 

deelers, 57. 
Constante, 171. 
Continuüm (machtigheid van het 

-), 113. 
Correspondeerende elementen, 9. 
Correspondentie (een -eenduidige 

— ), 6, 89. 
Cretenzer (paradox van den — ), 

116, 119-122. 
Cyclische verwisseling, 200. 

Decimaal stelsel, 199. 
Dedekind (Richard) 12, 465. 
Deel van een hoeveelheid, 6; 

(complementair — ), 124; 

(echt — ), 6, 124. 
Deelbaar door of op een getal, 57 ; 

getal, 79; 

(onderling — ), 69. 
Deelbaarheid door een deeler van 

g'. 341; 

door een deeler van g — 1, 343; 

door een deeler van g^ — 1, 348; 



457 



door een deeler van^^ + 1» 351 

van geheele getallen, 269; 

(hoofdeigenschap der — ), 73 

(kenmerk van — door optelling 

of aftrekking), 372, 375, 390 

(kenmerk van — met de resten- 
periode), 359-371; 

(samengesteld kenmerk van — ), 

342. 
Deeler, 55, 57; 

(complementaire — ), 57; 

(echte — ), 57; 

(gemeene — ), 69; 

(grootste gemeene — ), 71, 

307—308. 
Deeling, 55—57; 

in talstelsels, 223—230; 

met aantallen, 129—130; 

met geheele getallen, 269—270; 

(opgaande en niet-opgaande 

-), 68. 
Deelstelsel van een stelsel getallen, 

289; 

(echt -), 289. 
Deeltal, 55. 
Definitie door volledige inductie, 

26; 

van de machtsverheffing, 53; 

van de optelling, 25—26; 

van de vermenigvuldiging, 44. 
Dekadische getallen, 199. 
Derde hoofdverbinding, 36. 
Diophantische vergelijking, 306. 
DioPHANTus van Alexandrië, 306. 
Distributieve eigenschap der dee- 
ling t. o. V. aftrekking, 63; 

t. o". V. optelling, 63 ; 

der machtsverheffing t. o. v. 

deeling, 65; 

t. o. V. vermenigvuldiging, 49 — 

50; 

der vermenigvuldiging t. o. v. 

aftrekking, 43; 



der vermenigvuldiging t. o. v. 

optelling, 237; 

voor aantallen, 129; 

voor cardinaalgetallen, 97, 98; 

voor geheele getallen, 264, 

280-281; 

voor hoeveelheden, 46 — 47, 97; 

voor natuurlijke getallen, 39 

-42, 44, 47. 
Doubleering der natuurlijke getal- 
len, 276. 
Driehoek van Pascal, 159. 
Dyadische getallen, 198. 

Echt deel, 6, 124; 

deelstelsel, 289. 
Echte deeler, 57. 
Een-eenduidige correspondentie 6, 

89. 
Eenheden (cijfer der — ), 193. 
Eerste eisch voor volledige induc- 
tie, 25; 

hoofdverbinding, 17. 
Eindige cardinaalgetallen, 90; 

hoeveelheden, 10; 

ordinaalgetallen, 107. 
Eisch voor volledige inductie (eerste 

en tweede — ), 25. 
Element eener hoeveelheid, 4; 

(algemeen — eener rekenkun- 
dige reeks), 304. 
Elementen (positieve en negatieve 

— ), 293, 
El f proef, 355- 
Elimineeren, 324. 

Epimenides (paradox van — ), 116. 
EucLiDES, 71 ; 

(algorithmus van — ), 71. 
EuLER (Leonhard), 177; 

(stelling van — ), 177. 
Even getallen, 57. 
Evenredigheid (rekenkundige — ), 

303. 



458 



Existentiebewijs, 313. 

Existentiestelling, 313. 

Exponent, 48; 

behoorende bij een kenmerk 
van deelbaarheid, 390; 
(oneigenlijke — ), 132. 

Factoren van een product, 36; 
(product van nul — ), 131. 

Faculteit van az, 131. 

Fermat (Pierre de), 174; 

(stelling van — ), 174, 200-201. 

FiBONACci, 344. 

Formeele wetten (permanentie der 
-), 237. 

Formule van Legendre, 415, 416, 
424; 
van Wallis, 149. 

Fu Hl, 198. 

Functie, 170. 

Fundament aalstelling der reken- 
kunde, 83. 

Gebruikelijke schrijfwijze der nega- 
tieve getallen, 268. 

Qeheele getallen als aantallenparen, 
255; 

als paren natuurlijke getallen, 
273; 

bij de methode der doubleering, 
276; 

rationale functie, 170, 307; 
(rij der — getallen), 287. 

Gelijkheid bij de methode der dou- 
bleering, 277; 

bij hoeveelheden met twee 
soorten elementen, 294; 
van aantallenparen, 254; 
van geheel e getallen, 256; 
van natuurlijke getallen, 2. 

Gelijknamige machten, 49. 

Gelijkvormige afbeelding, 288; 
stelsels getallen, 288. 



Gelijkwaardige hoeveelheden, 89; 

stellen vergelijkingen, 324; 

vergelijkingen, 307. 
Gelijkwaardigheidsstelling van 

Schröder en Bernstein, 93. 
Gemeen veelvoud, 76, 78; 

(kleinste — ), 77, 79. 
Gemeene deeler, 69; 

(grootste — ), 71, 85, 307—308. 
Gemiddelde (rekenkundig — ), 302. 
Geordende hoeveelheid, 108. 
Gereduceerde vergelijking, 336. 
Getal nul, 123. 
Getallen (benoemde — ), 57; 

(deelbare — ), 79; 

(dekadische — ), 199; 

(dyadische — ), 198; 

(eindige — ), 90, 107; 

(even — ), 57; 

(geheele -), 205, 273, 276, 

286—287; 

(natuurlijke — ), 1 ; 

(negatieve — ), 246, 276; 

(onbenoemde — ), 57; 

(ondeelbare — ), 79; 

(oneindige — ), 90, 107; 

(oneven — ), 57; 

(positieve — ), 246, 276; 

(stelsels — ), 238, 271—272, 

276, 288-292; 

(transfiniete — ), 90, 107; 

(triadische — ), 439. 
Getallenhoeveelheid, 12. 
Getallenparen, 253, 271. 
Gewicht van een getal, 344. 
Graad van een geheele rationale 

functie, 170, 307; 

van een term, 307. 
Grondeigenschap betreffende de 

som van positieve getallen, 285; 

betreffende het product van 

positieve getallen, 247, 267; 

der aftrekking, 240. 



459 



Grondeigenschappen, 3; 

der rechtstreeksche verbindin- 
gen, 237-238; 

der volgorde, 238, 247, 267, 

285. 
Qrondtal van een maclit, 48; 

van een talstelsel, 193; 

(talstelsel met wisselend — ), 

450-452. 
Grooter bij aantallen, 126; 

bij aantal lenparen, 258; 

bij cardinaalgetallen, 91; 

bij de methode der doublee- 

ring, 277; 

bij geheele getallen, 259; 

bij hoeveelheden met twee 

soorten elementen, 294 — 295; 

bij natuurlijke getallen, 1 ; 

in talstelsels, 196. • 
Grootste gemeene deeler van ge- 
heele getallen, 307—308; 

van natuurlijke getallen, 71, 85; 

getal van een getallenhoeveel- 

heid, 13, 85. 
Grootte (rangschikking naar de — ), 

14. 

Hankel (Hermann), 237. 
Herhalingscombinaties, 140. 
Herleiden (op nul — ), 307. 
Herleidingsfactor, 372, 375, 390. 
Herleidingsfactoren (periode van 

— ), 399-402; 

(tafel van '— ), 395—397. 
Hoeveelheid, 4; 

der natuurlijke getallen, 11; 

met twee soorten elementen, 

293; 

van alle dingen, 115; 

(aantal elementen van een — ), 

8; 

(complementair deel van een 

-), 124; 



(deel van een — ), 6; 

(echt deel van een — ), 6, 124; 

(eindige — ), 10; 

(oneindige — ), 10; 

(paradoxale — ), 115; 

(transfiniete — ), 10. 
Hoofdbewerking, zie -verbinding. 
Hoofdeigenschap der deelbaarheid, 

73; 

der rekenkunde, 8; 

van het tellen, 8. 
Hoofdverbinding (derde — ), 36; 

(eerste — ), 17; 

(tweede -), 28; 

(vierde — ), 55. 

Identieke aantallenparen, 254; 

afbeelding, 90, 290. 
llatieteeken, 193. 

Indicator van een getal, 176, 465^ 
Inductie (bewijs door volledige ~), 

25; 

(definitie door volledige — ), 26. 

Kenmerk van deelbaarheid door 

aftrekking, 375; 

door een deeler van g^, 341; 

door een deeler van^ — 1, 343; 

door een deeler van g^ — 1, 

348; 

door een deeler van g^ -f- 1, 

351; 

door optelling, 372; 

met de restenperiode, 359; 

(samengesteld — ), 342; 

(uitgebreid — door optelling 

of aftrekking), 390; 

(uitgebreid — met de resten- 
periode), 370. 
Kleiner, zie grooter. 
Kleinste gemeene veelvoud, 77, 79; 

getal van een getallenhoeveel- 

heid, 13, 85; 



460 



transfiniet cardinaalgetal, 92. 
Kwadraat, 48, 180. 
Kwadratisch, 170. 
Kubisch, 170. 

Iieenen, 208. 

Legendre (Adrien Marie), 415; 

(formule — ), 415, 416, 424. 
Leonardo van Pisa, 344. 
Lineaire geheele rationale functie, 

170, 307; 

onbepaalde vergelijking, 307. 

Macht j 48; 

van een binomium, 152 — 154, 
300; 

van een geheele rationale func- 
tie, 171— 173; 

vaneenpolynomium, 161 — 166; 
(gelijknamige — ), 49; 
(oneigenlijke — ), 132. 

Machtigheid, 90; 

van het continuüm, 113; 
(aftelbaar oneindige — ), 90. 

Machtsverheffing met exponent 
nul, 132; 

met grondtal nul, 131; 
van cardinaalgetallen, 98; 
van hoeveelheden, 98; 
van natuurlijke getallen, 48, 53. 

Merkwaardige producten en quo- 
tiënten, 66—67, 135, 299. 

Methode der aantallenparen, 254; 
der doubleering van de natuur- 
lijke getallen, 276; 
der getallenparen, 271 ; 
der paren natuurlijke getallen, 
273; 
der volledige inductie, 25. 

Middelevenredig (rekenkundig — ), 
303. 

Middelste term van een rekenkun- 
dige reeks, 305. 



Modulus der optelling, 125 ; 

der vermenigvuldiging, 37. 
Moduluseigenschap der optelling, 

237; 

der optelling van aantallen, 125; 

van geheele getallen, 262, 275, 

280; 

der vermenigvuldiging, 238; 

der vermenigvuldiging van aan- 
tallen, 129; 

van geheele getallen, 263,280; 

van natuurlijke getallen, 37. 
Mogelijkheid der aftrekking bij aan- 
tallen, 127; 

bij geheele getallen, 265; 

bij natuurlijke getallen, 29; 

(stelling omtrent de — ), 238. 

Natuurlijke getallen, 1. 
Negatieve getallen, 246, 276; 

(gebruikelijke schrijfwijze der 

— ), 268. 
Negenproef, 346. 
Newton (Isaac), 153; . 

(binomium — ), 153, 300. 
Niet-opgaande deeling, 68. 
Notaties, 453. 
Nul, 123; 

als geheel getal, 275; 

(op — herleiden), 307; 

(product van — factoren), 131; 

(som van — termen), 130. 
Nulhoeveelheid, 123. 

Omkeering der optelling, 28; 
der vermenigvuldiging, 55. 

Onafhankelijk veranderlijke, 170. 

Onbekenden eener onbepaalde ver- 
gelijking, 306. 

Onbenoemde getallen, 57. 

Onbepaalde vergelijkingen met 
meer dan twee onbekenden, 
323—339; 



461 



met twee onbekenden, 306 — 

323. 
Ondeelbaar getal, 79; 

(onderling — ), 69. 
Onderling deelbaar, 69; 

ondeelbaar, 69. 
Ondubbelzinnigheid der aftrekking, 

28; 

der deeling, 55; 

der ontbinding in priemfacto- 

ren, 83; 

der optelling, 17—18, 237; 

der schrijfwijze in een talstel- 
sel, 194; 

der splitsing in een aggregaat 

van machten van 3, 443; 

der vermenigvuldiging, 237; 

van het telresultaat, 8. 
Oneigenlijke exponent, 132; 

macht, 132. 
Oneindig cardinaalgetal, 90; 

ordinaalgetal, 107; 

(aftelbaar — ), 90. 
Oneindige hoeveelheid, 10. 
Oneven getallen, 57. 
Ongelijkheid, zie gelijkheid. 
Ontbinding in priemfactoren, 81 — 

83, 409-413. 
Opgaande deeling, 68. 
Oplossing van een onbepaalde ver- 
gelijking, 306; 

(algemeene — ), 310, 324, 336; 

(bijzondere — ), 310, 335; 

(particuliere — ), 310, 335; 

(positieve — ), 321, 337. 
Op nul herleiden, 307. 
Optel Ier, 36. 

Optelling bij de methode der dou- 
bleering, 277; 

bij hoeveelheden met twee 

soorten elementen, 295; 

door tellen, 18; 

door tellen en terugtellen, 287; 



gedefinieerd door volledige 

inductie, 25 — 26; 

in talstelsels, 204—207; 

van aantallen, 125; 

van aantallenparen, 260; 

van cardinaalgetallen, 96; 

van geheele getallen, 260—261, 

277, 287; 

van hoeveelheden, 15, 96; 

van natuurlijke getallen, 17, 18, 

25—26; 

van ordinaalgetallen, 107; 

(kenmerk van deelbaarheid door 

-), 372, 390; 

(tafel van — ), 204. 
Opteltal, 36. 
Ordinaalgetal, 106. 
Overgang »op een ander talstelsel, 

230-235. 

Paradox van Epimenides, den 

Cretenzer, 116, 119—122; 

van RussELL, 115—116. 
Paradoxale hoeveelheden, 115. 
Paring van aantallen, 254; 

van getallen, 271 ; 

van natuurlijke getallen, 273. 
Particuliere oplossing van een 

onbepaalde vergelijking, 310, 

335. 
Partieel quotiënt bij ni et-opgaande 

deeling, 68; 

bij opgaande deeling, 181, 215, 

465. 
Partitieprobleem, 169, 173, 337. 
Pascal (Blaise), 25, 153, 159, 359; 

(driehoek van — ), 159. 
Periode van herleidingsfactoren, 

399-402; 

van resten, 358. 
Permanentte der formeele wetten, 

237. 
Permutaties, 137; 



462 



met gelijke elementen, 142 — 

143. 
DE PoLiGNAC (stelHng van — ), 435. 
Polynomiaalcoëfficiënt, 161, 418. 
Polynomium, 161. 
Positieve getallen, 246, 276; 

oplossingen van een onbe- 
paalde vergelijking, 321, 337. 
Praedicatief, 117. 
Priem, 79; 

(relatief — ), 69. 
Priemdeeler, 80. 
Priem f actoren, 80;^ 

(ontbinding in — ), 81 — 83, 

409—413. 
Priemgetal, 79. 
Product, 36; 

der deelers van een getal, 

183—184; 

van nul factoren, 131; 

van positieve getallen, 247, 267; 

(absolute waarde van een — ), 

250; 

(merkwaardig — ), 66; 

zie verder vermenigvuldiging. 
Producthoeveelheid, 45, 97. 
Proeven op vermenigvuldiging en 

deeling, 345—347, 355—356. 

Quotiënt, 57; 

(absolute waarde van een — ), 

270; 

(merkwaardig — ), 66 — 67, 135, 

299; 

(partieel -), 68, 181, 215, 465. 

Quotiëntbepaling bij de kenmerken 
van deelbaarheid door optel- 
ling of aftrekking, 384—389; 
bij de uitgebreide kenmerken 
door optelling of aftrekking, 
406—409. 

Rang van een cijfer, 193. 



Rangnummer, 5. 

Rangschikking naar de grootte, 14. 

Rationale (geheele — functie), 107, 

307. 
Rechtstreeksche verbindingen 

(grondeigenschappen der — ), 

237^238. 
Reciproke betrekking, 57, 123, 241. 
Reductiefactor, 372, 375, 390. 
Reductiefactoren (periode van — ), 

399-402; 

(tafel van — ), 395—397. 
Reeks (rekenkundige — ), 303. 
Rekenkundig gemiddelde, 302; 

middelevenredig, 303. 
Rekenkundige evenredigheid, 303; 

reeks, 303. 
Rekenwijze, zie algorithmus. 
Relatief priem, 69. 
Repeteeren der herleidingsfactoren, 

399; 

der resten, 358. 
Representanten van een geheel 

getal, 256. 
Rest eener al of niet opgaande 

deeling, 215, 465; 

eener niet-opgaande deeling,69; 

eener opgaande deeling, 195, 

465. 
Restbepaling bij kenmerken van 

deelbaarheid, 346, 348, 355, 

359, 404-406. 
Resten (periode van — ), 358; 

(tafel der aantallen — ), 367. 
Restenperiode, 358; 

(tafel der — ), 363—364. 
Resultaat der telling, 5. 
Rij der geheele getallen, 287; 

der natuurlijke getallen, 1. 
RussELL (paradox van — ), 1 15 — 116. 

Samengesteld kenmerk van deel- 
baarheid, 342. 



463 



Schaal (term der — ), 193. 
Schrijfwijze (gebruikelijke — der 

negatieve getallen), 268; 

zie verder notaties, 453. 
ScHRÖDER (gelijkwaardigheidsstel- 

ling van — en Bernstein), 93. 
Som, 15 en 17; 

der cijfers van een product, 

433-434; 

der cijfers van een som, 431; 

der deelers van een getal, 

182—183; 

van nul termen, 130; 

van opvolgende elementen ee- 

ner rekenkundige reeks, 304 — 

305; 

van positieve getallen, 285; 

(absolute waarde van een — ), 

250—252; 

zie verder optelling. 
Somhoeveelheid, 15, 96. 
Stelling van André, 428; 

van Catalan, 419; 

van Catalan en Bourguet, 

421—422; 

van EuLER, 177; 

van Fermat, 174, 200—201; 

van de Polignac, 435. 
Stelsels getallen, 238, 271—272, 

276, 288-292; 

(gelijkvormige — ), 288. 
Stifel (Michael), 159, 344. 
Symmetrische betrekking, 254. 

Tafel van optelling, 204; 

van vermenigvuldiging, 211; 

zie verder 454. 
Talstelsel, 193; 

met wisselend grondtal, 450 — 

452; 

(aftrekken in een — ), 207-211; 

(deelen in een — ), 223—230; 

(grondtal van een — ), 193; 



(optellen in een — ), 204—207; 

(overgang op een ander — ), 

230—235; 

(vermenigvuldigen in een — ), 

211—215. 
Teeken (positief of negatief — ), 250. 
Teekenverandering, 269. 
Tegengestelde van een getal, 241, 

269, 276. 
Tellen, 4, 287; 

in een talstelsel, 196; 

met aggregaten van machten 

van 3, 443. 
Termen der schaal, 193; 

van een som, 17, 18. 
Terugtellen, 287. 
Tientallig stelsel, 198-199. 
Toepassing der negatieve getallen 

op het binomium van Newton, 

300-302; 

op merkwaardige quotiënten, 

298—300. 
Transfiniete cardinaalgetallen, 90: 

hoeveelheden, 10; 

ordinaalgetallen, 107. 
Transitieve eigenschap der deel- 
baarheid, 58; 

der gelijkheid, 3; 

der gelijkheid- van aantallen- 
paren, 255; 

der gelijkwaardigheid, 89—90; 

van grooter en kleiner, 238; 

van grooter en kleiner bij aan- 
tallen, 126; 

bij cardinaalgetallen, 94; 

bij geheele getallen, 259, 283— 

284; 

bij natuurlijke getallen, 2 — 3. 
Triadische getallen, 439. 

TSCHU SCHI KIH, 159. 

Tweede eisch voor volledige induc- 
tie, 25; 
hoofdverbinding, 28. 



464 



Tweetallig stelsel, 198, 424—427. 
Tweeterm, 152. 

Uitgebreid kenmerk van deelbaar- 
heid door optelling of aftrek- 
king, 390; 
met de restenperiode, 370. 

Variaties, 136. 
Veelterm, 161 ; 

in X, 170. 
Veelvoud f 57; 

(gemeen — ), 76, 78; 

(kleinste gemeen — ), 77, 79. 
Veranderlijke (afhankelijk — ), 170; 

(onafhankelijk — ), 170. 
Verbinden van getallen, 17; 

van hoeveelheden, 15. 
Verdeelingsdeeling, 56. 
Verdeelingsprobleem, 169, 173,337. 
Vergelijkbaarheid van hoeveelhe- 
den, 95. 
Vergelijking, 28; 

(Diophantische — ), 306; 

(gereduceerde — ), 336; 

(onbepaalde — ), 306. 
Verhoudingsdeeling, 56. 
Vermenigvuldiger, 36. 
Vermenigvuldiging bij de methode 

der doubleering, 278; 

bij hoeveelheden met twee 

soorten elementen, 295 — 296; 

gedefinieerd door volledige 

inductie, 44; 

in talstelsels, 211—215; 

met nul, 128, 243; 

van aantallen, 128; 

van aantallenparen, 262; 

van cardinaalgetallen, 97; 

van geheele getallen, 263, 278; 



van hoeveelheden, 45 — 46,97; 

van natuurlijke getallen, 36, 44; 

(tafel van — ), 211. 
Vermenigvuldigtal, 36. 
Verschil, 30; 

van een rekenkundige reeks, 

303. 
Verwantschap, zie correspondentie. 
Verwisselbaar, 15. 
Verwisseling (cyclische — ), 200. 
Verzameling, zie hoeveelheid. 
Vierde hoofdverbinding, 55. 
Vierkant, 48, 180. 
Volgorde (grondeigenschappen der 

— ), 238, 247, 267, 285. 
Volledige inductie (bewijs door — ), 

25; 

(definitie der machtsverheffing 

door — ), 53; 

(definitie der optelling door — ), 

25—26. 

(definitie der vermenigvuldi- 
ging door — ), 44. 
Volstrekt, zie absoluut. 

Waarde (absolute of volstrekte — ), 

249, 269; 

van een product, 250; 

van een quotiënt, 270; 

van een som, 250 — 252. 
Wallis (John), 149; 

(formule van — ), 149. 
Wederkeerige betrekking, 57, 123, 

241. 
Welgeordende hoeveelheid, 108. 
Wisselend (tal stelsel met — grond- 

tal), 450-452. 
Wisseling van talstelsel, 230—235. 
Wortel, 184. 



CORRIGENDA et ADDENDA. 



Blz. 


12, 


r. 


16 V. 


0. 


staat: Dedekind 


lees: 


RiCHARD Dedekind (Was sind 


















und was sollen die Zahlen?, 


















1888) 


Blz. 


132, 


r. 


7 V. 


b. 


staat: voor n = 


lees: 


voor n = 1 


Blz 


175, 


r. 


14 V. 


b. 


staat: is (moet 


lees: 


is) moet 


Blz. 


176, 


r. 


1 V. 


0. 


staat: dit getal 


lees: 


dit getal, dat de indicator 


















van n genoemd wordt, 


Blz. 


181, 


r. 


10 V. 


b. 


staat: ( 


zie no. 168), 


lees: 


(zie n^. 168), waaronder 
a : b ie verstaan is als a 
door b deelbaar is, 


Blz. 


186, 


r. 


16 V. 


b. 


staat: 404. 


lees: 


404. Verdere eigenschap- 


















pen betreffende G. G. D. 


















en K. G. V. 


Blz. 


195, 


r. 


4 V. 


b. 


staat: in n^. 482). 


lees: 


in no. 482); hierbij is de rest 


















van een opgaande deeling 


















als te beschouwen. 


Blz. 


206, 


r. 


6 V. 


0. 


staat: beschowd 


lees: 


beschouwd 


Blz. 


209, 


r. 


6 V. 


0. 


staat: in n». 434 


lees: 


in no. 443 


Blz. 


215, 


r. 


12 V. 


b. 


staat: hetgeen 


lees: 


waarin r de rest der deeling 


















van a door b is, hetgeen 


Blz. 


269, 


r. 


3 V. 


b. 


staat: geheel getal van 


lees : 


geheel van 






r. 


4 V. 


b. 


staat: schillend 


lees: 


schillend getal 


Blz. 


302, 


r. 


3 V. 


b. 


staat: C^^^-^ 


lees: 


^2n 


Blz. 


319, 


r. 


5 V. 


b. 


staat: a = Ga' c 


lees 


a = Ga', c 


Blz. 


346, 


r. 


6 V. 


b. 


staat: en de 


lees: 


en die der 


Blz. 


357, 


r. 


13 V. 


0. 


staat: kleinste getal 


lees: 


kleinste natuurlijke getal 


Blz. 


399, 


r. 


7 V. 


b. 


staat: en 


lees: 


en 


Blz. 


412, 


r. 


6 V. 


b. 


staat: 47 deelbaar, 


lees: 


47, 


Blz. 


415, 


r. 


8 V. 


0. 


staat: 


p 


> 


lees: 


py 


Blz. 


423, 


r. 


2 V. 


0. 


staat: c 


m+ 1 


lees : 


Cm-\ 


Blz. 


424, 


r. 


1 V. 


b. 


staat: t 


foorkomt is, 


lees: 


voorkomt, is 






r. 


1 V. 


0. 


staat: s 


' = n. 


lees: 


s{n) = n. 



VERSCHENEN: 

1. Prof. Dr. Hk. de VRIES. DE VÏERDE DIMENSIE. 

Eene inleiding tot de vergelijkende studie der ver- 
schillende meetkunden. Prijs gebonden f 3.25. 

2. Prof. Dr. F. SCHUH. GREPEN UIT DE MODERNE 

MEETKUNDE. Eerste deel: Reciproke transformaties 
in het vlak en in de ruimte. Hyperboloïden en 
kegelsneden. Harmonische eigenschappen en cirkel- 
bundels. Prijs geb. f 9.50. 

3. Prof. Dr. G. SCHOUTEN. DE GRONDSLAGEN DER 

REKENKUNDE met toepassingen op grenswaarden, 
oneindige reeksen en produkten, gedurige breuken, 
dubbelreeksen. Prijs geb. f 2.50. 

4. Prof. Dr. J. A. BARRAU. ANALYTISCHE MEET- 

KUNDE. Eerste deel: Het platte vlak. Prijs geb. f8.50. 
Tot 1 Dec. 1918 voor ab's N. T. v. Wisk. ƒ 5.90. 

5. Prof. Dr. F. SCHUH. LEERBOEK DER THEORE- 

TISCHE REKENKUNDE. Eerste deel: Natuurlijke 
getallen en cardinaalgetallen. Het rekenen in talstel- 
sels en met positieve en negatieve getallen. Binomium 
van Newton en de stellingen van Fermat en Euler. 
Onbepaalde vergelijkingen en kenmerken van deel- 
baarheid. Ontbinding der faculteiten. Prijs geb. f 8.50. 
Tot 1 Jan. 1919 voor ab's N. T. v. Wisk. f5.90. 



IN BEWERKING: 

Prof. Dr. F. SCHUH. Grepen uit de moderne meet- 
kunde. Tweede deel: Reciproke transformatie t. o. v. 
een hyperboloïde; nulsysteem. Gelijkvormigheids- 
transformatie. Transformatiegroepen. 

Prof. Dr. Hk. de VRIES. Leerboek der Differentiaal- en 
Integraalrekening en van de Diff. Vergelijkingen. 

Prof. Dr. J. G. RUTGERS. Inleiding tot de Analytische 
Meetkunde. 

Prof. Dr. F. SCHUH. Leerboek der Hoogere Algebra. 



BINNENKORT TE VERSCHIJNEN: 

Prof. Dr. F. SCHUH. Beknopt Leerboek der Theoretische 
Rekenkunde. Eerste deel: Natuurlijke getallen en 
deelbaarheidseigenschappen. Het 'rekenen in tal- 
stelsels en met positieve en negatieve getallen. 
Binomium van Newton en de stelling van Fermat. 
Indicator en de stelling van Euler. Onbepaalde 
vergelijkingen en kenmerken van deelbaarheid. Vier- 
kantsworteltrekking en eindcijfers van vierkanten. 
Priemgetallen en ontbinding in priemfactoren. 



NIEUW TIJDSCHRIFT VOOR WISKUNDE 

onder redactie van 
H. G. A. VERKAART en P. WIJDENES, 

Roermond. Amsterdam. 



Met medewerking van de professoren: 

Dr. F. SCHUH, Dr. Hk. DE VRIES en Dr. J. DE VRIES, 
Delft. Amsterdam. Utrecht. 

en van 

H, J. BARTELINGS Jr., C. A. CIKOT, Dr. M. v. EVERDINGEN, 

Dr. B. GONGGRIJP, VV. J. HEYDEMAN, P. JANSEN, 

Dr. J. STEIN S.J. en H. VERHAGEN. 

6e Jaargang 1918/19. 

Verschijnt in tweemaandelijksche afleveringen van ongeveer 4 vel druks. 
Prijs f 5,00 per jufirtfuttg. 

Uitgaven van P. NOORDHOFF te Groningen. 



$